專(zhuān)題19.5-正比例函數(shù)(知識(shí)講解)-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練(人教版)

專(zhuān)題19.5正比例函數(shù)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解正比例函數(shù)的概念，能正確畫(huà)出正比例函數(shù)的圖象；2.能用數(shù)形結(jié)合的思想理解正比例函數(shù)的性質(zhì)，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、正比例函數(shù)的定義1、正比例函數(shù)的定義一般的，形如（為常數(shù)，且≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù).其中叫做比例系數(shù).2、正比例函數(shù)的等價(jià)形式（1）、是的正比例函數(shù)；（2）、（為常數(shù)且≠0）；（3）、若與成正比例；（4）、（為常數(shù)且≠0）.要點(diǎn)二、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)正比例函數(shù)（是常數(shù)，≠0）的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，我們稱(chēng)它為直線.當(dāng)＞0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三象限，隨著的增大也增大；當(dāng)＜0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、四象限，隨著的增大反而減小.要點(diǎn)三、待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式由于正比例函數(shù)（為常數(shù)，≠0）中只有一個(gè)待定系數(shù)，故只要有一對(duì)，的值或一個(gè)非原點(diǎn)的點(diǎn)，就可以求得值.【典型例題】類(lèi)型一、正比例函數(shù)的定義 1、（2021·山東煙臺(tái)市·七年級(jí)期末）當(dāng)_________時(shí)，函數(shù)是正比例函數(shù)．【答案】-1【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的概念可直接進(jìn)行求解．解：由題意得：，∴；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·鹽城市初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）在中，若y是x的正比例函數(shù)，則k值為_(kāi)___________．【答案】－1【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義得到k-1≠0且k2?1=0即可求出k值．解：∵函數(shù)y=（k-1）x+k2?1是正比例函數(shù)，∴k-1≠0且k2?1=0，解得k=-1；故填：-1．【點(diǎn)撥】此題考查正比例函數(shù)的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵，主要是定義的理解，比較容易．舉一反三：【變式】（2020·霞南中學(xué)八年級(jí)月考）已知函數(shù)y=（m－2）x+m2－9是關(guān)于x的正比例函數(shù)，且其圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，則m的值是____．【答案】－3【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，列出關(guān)于m的方程，求解即可．由題可得：，解得：，∴，故答案為：-3．【點(diǎn)撥】本題考查正比例函數(shù)的定義，熟記正比例函數(shù)的基本定義并準(zhǔn)確根據(jù)定義建立方程求解是解題關(guān)鍵．類(lèi)型二、正比函數(shù)的圖象和性質(zhì)2、（2021·浙江湖州市·八年級(jí)期末）已知正比例函數(shù)．（1）若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，求的取值范圍；（2）若點(diǎn)在函數(shù)圖象上．求該函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，得k-1＞0，解不等式即可求得k的取值范圍；

（2）只需把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可計(jì)算．解：（1）∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；（2）∵點(diǎn)在函數(shù)圖象上故函數(shù)解析式:【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象的性質(zhì)：k>0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二、四象限．若一點(diǎn)在圖象上，則其坐標(biāo)滿足直線解析式．3、（2020·南昌民德學(xué)校八年級(jí)期中）已知y﹣3與2x﹣1成正比例，且當(dāng)x＝1時(shí)，y＝6．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式．（2）當(dāng)x＝2時(shí)，求y的值．（3）若點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在該函數(shù)的圖象上，且y1＞y2，試判斷x1，x2的大小關(guān)系．【答案】（1）y＝6x；（2）12；（3）．【分析】（1）利用正比例函數(shù)的定義得到y(tǒng)﹣3＝k（2x﹣1），然后把已知的對(duì)應(yīng)值代入求出k，從而得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)解析式；（2）把x＝2代入（1）中的解析式中計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；（3）利用6＞6，可得到，的大小關(guān)系．解：（1）設(shè)y﹣3＝k（2x﹣1），把x＝1，y＝6代入得6﹣3＝k（2×1﹣1），解得k＝3，則y﹣3＝3（2x﹣1），所以y與x之間的函數(shù)解析式為y＝6x；（2）由（1）知，y＝6x∴當(dāng)x＝2x時(shí)，y＝6＝12；（3）∵，而，∴∴【點(diǎn)撥】本題綜合考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該函數(shù)的解析式舉一反三：【變式】（2020·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知正比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有.（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m取最大整數(shù)時(shí)，畫(huà)出該函數(shù)圖象.【答案】（1）的取值范圍是；（2）該正比例函數(shù)為，圖象見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)正比例的性質(zhì)可得出m-1＜0，從而得出m的取值范圍；

（2）由（1）得出m的值，再代入得出解析式，畫(huà)出圖象即可．解：（1）正比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有.的取值范圍是.（2）取最大整數(shù)0，該正比例函數(shù)為，圖象如圖所示：【點(diǎn)撥】本題考查了正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小．4、（2019·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－5，3），（1）求的值；（2）判斷隨的增大如何變化；（3）如果這條直線上點(diǎn)B的橫坐標(biāo)＝4，那么它的縱坐標(biāo)的值是多少？【答案】（1）；（2）隨的增大而減??；（3）【分析】（1）設(shè)這個(gè)正比例函數(shù)的解析式是y=kx，再將A（－5，3）代入求得k即可；（2）判斷k的值，即可得到答案；（3）把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入解析式，即可求出縱坐標(biāo)的值.解：(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－5，3），∴3＝－5∴＝，∴直線的解析式為.（2）∵＝＜0，∴隨的增大而減小.（3）∵B點(diǎn)在直線上，＝4，∴＝.【點(diǎn)撥】本題考查了正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì).舉一反三：【變式】（2018·廣東河源市·正德中學(xué)八年級(jí)月考）已知y與x成正比例，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝12.(1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)解析式；(2)求當(dāng)y＝36時(shí)x的值；(3)判斷點(diǎn)(－7，－10)是否是函數(shù)圖象上的點(diǎn)．【答案】（1）y=3x；（2）x=12；（3）點(diǎn)（-7，-10）不是函數(shù)圖象上的點(diǎn).【分析】根據(jù)y與x成正比例，設(shè)出關(guān)系式，將x=4，y=12代入即可確定函數(shù)解析式；將y=36代入函數(shù)解析式即可求出x的值;將x=-7代入函數(shù)解析式求出y的值,看是否和-10相等.解：（1）設(shè)y=kx（k≠0），當(dāng)x=4時(shí)，y=12，∴4k=12，解得：k=3，∴y與x之間的函數(shù)解析式為y=3x；（2）由（1）得y=3x，當(dāng)y=36時(shí)，3x=36，解得：x=12；（3）當(dāng)x=-7時(shí)，y=3×（-7）=-21≠-10.則點(diǎn)（-7，-10）不是函數(shù)圖像上的點(diǎn).【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．類(lèi)型三、正比函數(shù)綜合練習(xí)5、（2019·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在第三象限，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且的面積為3.（1）求正比例函數(shù)的解析式；（2）在軸上能否找到一點(diǎn)，使的面積為5？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【分析】（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得正比例函數(shù)的解析式；（2）利用三角形的面積公式求得OP=5，然后根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：如圖：（1）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且的面積為3，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵正比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：.∴正比例函數(shù)的解析式是：.（2）∵的面積為5，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)OP=x，則，∴，∴.∵如圖，點(diǎn)P在x軸上，則點(diǎn)P可以在原點(diǎn)的左邊或右邊，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)撥】本題考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)、待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式．注意點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè)．舉一反三：【變式】（2020·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)B，C分別在直線和上，點(diǎn)A，D是x軸上兩點(diǎn).（1）若此正方形邊長(zhǎng)為2，k=_______.（2）若此正方形邊長(zhǎng)為a，k的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若會(huì)發(fā)生變化，求出a的值.【答案】（1）；（2）k的值不會(huì)發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由邊長(zhǎng)可得AB，進(jìn)而根據(jù)y=2x求出OA，得到OD，再根據(jù)邊長(zhǎng)為2得到CD，代入y=kx中即可；（2）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)a，運(yùn)用正方形的性質(zhì)表示