2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第六節(jié)雙曲線課時規(guī)范練理含解析新人教版

PAGE第六節(jié)雙曲線[A組基礎(chǔ)對點(diǎn)練]1．雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點(diǎn)是(0，3)，則k的值是()A．1 B．－1C．eq\f(\r(65),3) D．－eq\f(\r(6),3)解析：kx2－eq\f(ky2,8)＝1，焦點(diǎn)在y軸上，c＝3，解得k＝－1.答案：B2．雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1的漸近線方程是()A．y＝±eq\f(9,4)x B．y＝±eq\f(4,9)xC．y＝±eq\f(3,2)x D．y＝±eq\f(2,3)x解析：雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1中，a＝3，b＝2，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x.答案：C3．雙曲線eq\f(x2,36－m2)－eq\f(y2,m2)＝1(0＜m＜3)的焦距為()A．6 B．12C．36 D．2eq\r(36－2m2)解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6，雙曲線的焦距為12.答案：B4．(2024·山東滕州模擬)已知雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線的左支上有一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是MF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|NO|等于()A．eq\f(2,3) B．1C．2 D．4解析：由雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1，知a＝5，由雙曲線定義|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，∴|NO|＝eq\f(1,2)|MF1|＝4.答案：D5．(2024·湖南永州模擬)焦點(diǎn)是(0，±2)，且與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1有相同的漸近線的雙曲線的方程是()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－eq\f(x2,3)＝1C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2解析：由已知，雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，且為等軸雙曲線，故選D.答案：D6．(2024·河北石家莊模擬)若雙曲線M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P為雙曲線M上一點(diǎn)，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，則雙曲線M的離心率為()A．3 B．2C．eq\f(5,3) D．eq\f(5,4)解析：P為雙曲線M上一點(diǎn)，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝10，則雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4).答案：D7．若a>1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D．(1，2)解析：依題意得，雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\f(1,a2))，因?yàn)閍>1，所以e∈(1，eq\r(2)).答案：C8．(2024·四川彭州模擬)設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線依次與雙曲線C的左、右支交于點(diǎn)P、Q，若|PQ|＝2|QF|，∠PQF＝60°，則該雙曲線的離心率為()A．eq\r(3) B．1＋eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)解析：∠PQF＝60°，因?yàn)閨PQ|＝2|QF|，所以∠PFQ＝90°，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，連接F1P，F(xiàn)1Q(圖略)，由對稱性可知，四邊形F1PFQ為矩形，且|F1F|＝2|QF|，|QF1|＝eq\r(3)|QF|，故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F|,|QF1|－|QF|)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.答案：B9．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦點(diǎn)為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為________________．解析：因?yàn)閑＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，F(xiàn)2(5，0)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝110．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(2eq\r(2)，1)，其一條漸近線方程為y＝eq\f(1,2)x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．解析：設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8m＋n＝1，,\r(－\f(m,n))＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝－1.))則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.答案：eq\f(x2,4)－y2＝111．已知雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3m)＝1的一個焦點(diǎn)是(0，2)，橢圓eq\f(y2,n)－eq\f(x2,m)＝1的焦距等于4，則n＝________．解析：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)是(0，2)，所以焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的方程為eq\f(y2,－3m)－eq\f(x2,－m)＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以橢圓方程為eq\f(y2,n)＋x2＝1，且n>0，橢圓的焦距為4，所以c2＝n－1＝4或c2＝1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去).答案：512．雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線上一點(diǎn)，若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝________．解析：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，即2c＝2eq\r(5)a，所以cos∠AF2F1＝eq\f(|F1F2|2＋|AF2|2－|AF1|2,2|F1F2||AF2|)＝eq\f(20a2＋4a2－16a2,2×2\r(5)a×2a)＝eq\f(\r(5),5).答案：eq\f(\r(5),5)[B組素養(yǎng)提升練]1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D．[eq\r(5)，＋∞)解析：∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，則由題意得eq\f(b,a)>2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))>eq\r(1＋4)＝eq\r(5).答案：C2．(2024·貴州貴陽檢測)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(diǎn)(2，1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))解析：依題意，留意到題中的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，且“右”區(qū)域是不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＜\f(b,a)x，,y＞－\f(b,a)x))所確定，又點(diǎn)(2，1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1＜eq\f(2b,a)，即eq\f(b,a)＞eq\f(1,2)，因此題中的雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞)).答案：B3．(2024·河北唐山模擬)已知P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c，求△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)．解析：如圖所示，內(nèi)切圓圓心M到各邊的距離分別為|MA|，|MB|，|MC|，切點(diǎn)分別為A，B，C，由三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)則有|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，所以|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，所以|AF1|＝a＋c，則|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.因?yàn)镸的橫坐標(biāo)和A的橫坐標(biāo)相同，所以M的橫坐標(biāo)為a.4．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為y＝eq\r(3)x，右焦點(diǎn)F到直線x＝eq\f(a2,c)的距離為eq\f(3,2).(1)求雙曲線C的方程；(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B，D兩點(diǎn)，已知A(1，0)，若eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝1，證明：過A，B，D三點(diǎn)的圓與x軸相切．解析：(1)依題意有eq\f(b,a)＝eq\r(3)，c－eq\f(a2,c)＝eq\f(3,2)，因?yàn)閍2＋b2＝c2，所以c＝2a，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3.所以雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中點(diǎn)為M，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,x2－\f(y2,3)＝1，))得2x2－2mx－m2－3＝0，所以x1＋x2＝m，x1x2＝－eq\f(m2＋3,2).又因?yàn)閑q\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1.所以m＝0(舍)或m＝2.所以x1＋x2＝2，x1x2＝－eq\f(7,2)，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(x1＋x2,2)＝1.因?yàn)閑q\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0.所以AD⊥AB，所以過A，B，D三點(diǎn)的圓以點(diǎn)M為圓心，BD為直徑．因?yàn)辄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，所以MA⊥x軸，所以過A，B，D三點(diǎn)的圓與x軸相切．5．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2eq\r(13)，橢圓的長半軸長與雙曲線實(shí)半軸長之差為4，離心率之比為3∶7.(1)求橢圓和雙曲線的方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點(diǎn)，求cos∠F1PF2的值．解析：(1)由題知c＝eq\r(13)，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，雙曲線方程為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m＝3.則b＝6，n＝