2025屆高考數學一輪復習第二章函數的概念及基本初等函數I第三節(jié)函數的奇偶性及周期性學案理含解析

PAGE第三節(jié)函數的奇偶性及周期性[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.結合詳細函數，了解函數奇偶性的含義.2.會運用函數圖象理解和探討函數的奇偶性.3.了解函數周期性、最小正周期的含義，會推斷、應用簡潔函數的周期性.以理解函數的奇偶性、會用函數的奇偶性為主，其中與函數的單調性、周期性交匯的問題仍將是2024年高考考查的熱點．題型以選擇題、填空題為主，中等偏上難度，分值為5分到10分.1.邏輯推理2.數學抽象3.數學運算‖學問梳理‖1．函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數假如對于函數f(x)的定義域內隨意一個x，都有eq\x(1)f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于eq\x(2)y軸對稱奇函數假如對于函數f(x)的定義域內隨意一個x，都有eq\x(3)f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于eq\x(4)原點對稱?常用結論(1)函數奇偶性的幾個重要結論①假如一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么肯定有f(0)＝0.②假如函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集．④奇函數在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性．(2)有關對稱性的結論①若函數y＝f(x＋a)為偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．若函數y＝f(x＋a)為奇函數，則函數y＝f(x)關于點(a，0)中心對稱．②若對于R上的隨意x都有f(x)＝f(2a－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數f(x)關于點(a，b)中心對稱．2．函數的周期性(1)周期函數對于函數y＝f(x)，假如存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有eq\x(5)f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期假如在周期函數f(x)的全部周期中eq\x(6)存在一個最小的正數，那么這個eq\x(7)最小正數就叫做f(x)的最小正周期．?常用結論定義式f(x＋T)＝f(x)對定義域內的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數f(x)的周期為T＝|a－b|；若在定義域內滿意f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)(a>0)，則f(x)為周期函數，且T＝2a為它的一個周期．對稱性與周期的關系：(1)若函數f(x)的圖象關于直線x＝a和直線x＝b對稱，則函數f(x)必為周期函數，2|a－b|是它的一個周期．(2)若函數f(x)的圖象關于點(a，0)和點(b，0)對稱，則函數f(x)必為周期函數，2|a－b|是它的一個周期．(3)若函數f(x)的圖象關于點(a，0)和直線x＝b對稱，則函數f(x)必為周期函數，4|a－b|是它的一個周期．‖基礎自測‖一、疑誤辨析1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)函數y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數．()(2)偶函數圖象不肯定過原點，奇函數的圖象肯定過原點．()(3)假如函數f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數．()(4)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱．()(5)若T是函數的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數的周期．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、走進教材2．(必修1P35例5改編)下列函數中為偶函數的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2－x答案：B3．(必修4P46A10改編)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當x∈[－1，1)時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________．答案：1三、易錯自糾4．設奇函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數，且f(1)＝0，則不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集為()A．{x|－1<x<0或x>1}B．{x|x<－1或0<x<1}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|－1<x<0或0<x<1}解析：選D由題意，得f(－x)＝－f(x)，∵x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0.奇函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數，從而函數f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)的大致圖象如圖所示：則不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集為{x|－1<x<0或0<x<1}，故選D．5．已知定義在R上的偶函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，且f(1)＝0，則不等式f(x－2)≥0的解集是__________．解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)6．若函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0<x<1時，f(x)＝4x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)＝________．解析：因為函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋2))＋f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋0＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－4eq\s\up6(\f(1,2))＝－2.答案：－2eq\a\vs4\al(考點一\a\vs4\al(函數奇偶性的推斷與應用))|題組突破|1．(2025屆山東青島二模)下列函數是偶函數的是()A．f(x)＝xsinx B．f(x)＝x2＋4x＋4C．f(x)＝sinx＋cosx D．f(x)＝log3(eq\r(x2＋1)＋x)解析：選A選項A、B、C、D中函數的定義域均為R.對于選項A，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝(－x)(－sinx)＝xsinx＝f(x)，所以函數是偶函數；對于選項B，f(－x)＝x2－4x＋4≠f(x)，所以函數不是偶函數；對于選項C，f(－x)＝sin(－x)＋cos(－x)＝－sinx＋cosx≠f(x)，所以函數不是偶函數；對于選項D，f(－x)＝log3(eq\r(x2＋1)－x)＝log3eq\f(1,\r(x2＋1)＋x)＝－log3(eq\r(x2＋1)＋x)＝－f(x)，所以函數是奇函數，不是偶函數．故選A．2．已知函數y＝f(x)＋x是偶函數，且f(2)＝1，則f(－2)＝()A．－1 B．1C．－5 D．5解析：選D設F(x)＝f(x)＋x，由已知函數y＝f(x)＋x是偶函數，得F(x)＝F(－x)，即f(x)＋x＝f(－x)－x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，∴f(－2)＝f(2)＋2×2＝5.3．(2025屆貴陽摸底)若f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)是奇函數，則a＝________．解析：解法一：因為函數f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，即a－eq\f(2,2－x＋1)＝－a＋eq\f(2,2x＋1)?a＝eq\f(1,2x＋1)＋eq\f(1,2－x＋1)＝eq\f(1,2x＋1)＋eq\f(2x,2x＋1)＝1.解法二：因為函數f(x)是奇函數且x∈R，所以f(0)＝0，即a－eq\f(2,1＋1)＝0?a＝1.答案：1?名師點津應用函數奇偶性可解決的3類問題(1)判定函數奇偶性①定義法②圖象法③性質法設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(2)求函數解析式中參數的值利用待定系數法求解，依據f(x)±f(－x)＝0得到關于待求參數的恒等式，由系數的對等性得參數的值或方程(組)，進而得出參數的值．(3)利用函數的奇偶性求值首先推斷函數解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后結合已知條件通過化簡、轉換求值．eq\a\vs4\al(考點二\a\vs4\al(函數周期性的推斷及應用))|題組突破|4．已知定義在R上的奇函數f(x)滿意f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，且f(1)＝2，則f(2015)＝________．解析：∵f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，∴f(x＋3)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)．∴f(x)是以3為周期的周期函數，則f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：－25．函數y＝f(x)滿意對隨意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數y＝f(x－1)的圖象關于點(1，0)對稱，f(1)＝4，則f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值為________．解析：∵函數y＝f(x－1)的圖象關于點(1，0)對稱，∴f(x)是R上的奇函數．又f(x＋2)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4.答案：4?名師點津函數周期性問題的求解策略(1)推斷函數的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題．(2)依據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決詳細問題時，要留意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期．eq\a\vs4\al(考點\a\vs4\al(函數性質的綜合應用——多維探究))函數的奇偶性、周期性以及單調性是函數的三大性質，在高考中經常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調性相結合，而周期性常與抽象函數相結合，并以結合奇偶性求函數值為主，多以選擇題、填空題形式出現．常見的命題角度有：(1)單調性與奇偶性結合；(2)周期性與奇偶性結合；(3)單調性、奇偶性與周期性結合．●命題角度一單調性與奇偶性結合【例1】(2024年全國卷Ⅲ)設f(x)是定義域為R的偶函數，且在(0，＋∞)上單調遞減，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))>f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))>f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))C．f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))>f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))D．f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))>f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))[解析]∵f(x)是定義域為R的偶函數，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＝f(log34)．∵log34>log33＝1，0<2eq\s\up12(－\f(3,2))<2eq\s\up12(－\f(2,3))<20＝1，∴0<2eq\s\up12(－\f(3,2))<2eq\s\up12(－\f(2,3))<log34.∵f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，∴f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))>f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))，故選C．[答案]C●命題角度二周期性與奇偶性結合【例2】(2025屆四川五校聯考)已知定義在R上的奇函數f(x)滿意f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0，1]時，f(x)＝2x＋lnx，則f(2019)＝________．[解析]由f(x)＝f(x＋4)得f(x)是周期為4的函數，故f(2019)＝f(4×505－1)＝f(－1)．又f(x)為奇函數，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋ln1)＝－2.[答案]－2●命題角度三單調性、奇偶性與周期性結合【例3】已知函數f(x)的定義域為R，且滿意下列三個條件：①對隨意的x1，x2∈[4，8]，當x1<x2時，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函數．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，則a，b，c的大小關系正確的是()A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．c<b<a[解析]由①得，f(x)在[4，8]上單調遞增；由②得，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是周期為8的周期函數，所以c＝f(2017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③得，f(x)的圖象關于直線x＝4對稱，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．結合f(x)在[4，8]上單調遞增可知，f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c.故選B．[答案]B?名師點津函數性質綜合問題的求解方法(1)函數單調性與奇偶性結合．留意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性．(2)函數周期性與奇偶性結合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．(3)解決函數的奇偶性、周期性、單調性的綜合問題通常先利用周期性轉化到自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解．|跟蹤訓練|1．(2025屆石家莊質檢)下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝|x|－1C．y＝lgx D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)解析：選BA中函數y＝eq\f(1,x)不是偶函數且在(0，＋∞)上單調遞減，故A錯誤；B中函數滿意題意，故B正確；C中函數不是偶函數，故C錯誤；D中函數不滿意在(0，＋∞)上單調遞增，故D錯誤．故選B．2.(2025屆四川達州模擬)定義在R上的偶函數f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上單調遞減，設a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，則a，b，c的大小關系是()A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>b解析：選D∵偶函數f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，∴函數的周期為2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函數f(x)在[－1，0]上單調遞減，∴a>c>b，故選D．eq\a\vs4\al(考點\a\vs4\al(函數性質的創(chuàng)新探究應用))【例】已知函數f(x)(x∈R)滿意f(－x)＝2－f(x)，若函數y＝eq\f(x＋1,x)與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do8(i＝1))(xi＋yi)＝()A．0 B．mC．2m D．4m[解析]y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，其圖象如圖，關于點(0，1)對稱．又f(－x)＝2－f(x)