2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)的概念及基本初等函數(shù)I第三節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性學(xué)案理含解析

PAGE第三節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.結(jié)合詳細(xì)函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和探討函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)推斷、應(yīng)用簡(jiǎn)潔函數(shù)的周期性.以理解函數(shù)的奇偶性、會(huì)用函數(shù)的奇偶性為主，其中與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯的問題仍將是2024年高考考查的熱點(diǎn)．題型以選擇題、填空題為主，中等偏上難度，分值為5分到10分.1.邏輯推理2.數(shù)學(xué)抽象3.數(shù)學(xué)運(yùn)算‖學(xué)問梳理‖1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)假如對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)x，都有eq\x(1)f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于eq\x(2)y軸對(duì)稱奇函數(shù)假如對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)x，都有eq\x(3)f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于eq\x(4)原點(diǎn)對(duì)稱?常用結(jié)論(1)函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論①假如一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么肯定有f(0)＝0.②假如函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集．④奇函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(2)有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論①若函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．若函數(shù)y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)中心對(duì)稱．②若對(duì)于R上的隨意x都有f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱．2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，假如存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有eq\x(5)f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中eq\x(6)存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)eq\x(7)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．?常用結(jié)論定義式f(x＋T)＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|；若在定義域內(nèi)滿意f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)(a>0)，則f(x)為周期函數(shù)，且T＝2a為它的一個(gè)周期．對(duì)稱性與周期的關(guān)系：(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和直線x＝b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個(gè)周期．(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個(gè)周期．(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)和直線x＝b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a－b|是它的一個(gè)周期．‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．()(2)偶函數(shù)圖象不肯定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象肯定過原點(diǎn)．()(3)假如函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)．()(4)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．()(5)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、走進(jìn)教材2．(必修1P35例5改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2－x答案：B3．(必修4P46A10改編)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1)時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________．答案：1三、易錯(cuò)自糾4．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集為()A．{x|－1<x<0或x>1}B．{x|x<－1或0<x<1}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|－1<x<0或0<x<1}解析：選D由題意，得f(－x)＝－f(x)，∵x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0.奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，從而函數(shù)f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)的大致圖象如圖所示：則不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集為{x|－1<x<0或0<x<1}，故選D．5．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，則不等式f(x－2)≥0的解集是__________．解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)6．若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝4x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)＝________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋2))＋f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋0＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－4eq\s\up6(\f(1,2))＝－2.答案：－2eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(函數(shù)奇偶性的推斷與應(yīng)用))|題組突破|1．(2025屆山東青島二模)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A．f(x)＝xsinx B．f(x)＝x2＋4x＋4C．f(x)＝sinx＋cosx D．f(x)＝log3(eq\r(x2＋1)＋x)解析：選A選項(xiàng)A、B、C、D中函數(shù)的定義域均為R.對(duì)于選項(xiàng)A，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝(－x)(－sinx)＝xsinx＝f(x)，所以函數(shù)是偶函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)B，f(－x)＝x2－4x＋4≠f(x)，所以函數(shù)不是偶函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C，f(－x)＝sin(－x)＋cos(－x)＝－sinx＋cosx≠f(x)，所以函數(shù)不是偶函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D，f(－x)＝log3(eq\r(x2＋1)－x)＝log3eq\f(1,\r(x2＋1)＋x)＝－log3(eq\r(x2＋1)＋x)＝－f(x)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)．故選A．2．已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝()A．－1 B．1C．－5 D．5解析：選D設(shè)F(x)＝f(x)＋x，由已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，得F(x)＝F(－x)，即f(x)＋x＝f(－x)－x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，∴f(－2)＝f(2)＋2×2＝5.3．(2025屆貴陽摸底)若f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)是奇函數(shù)，則a＝________．解析：解法一：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即a－eq\f(2,2－x＋1)＝－a＋eq\f(2,2x＋1)?a＝eq\f(1,2x＋1)＋eq\f(1,2－x＋1)＝eq\f(1,2x＋1)＋eq\f(2x,2x＋1)＝1.解法二：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)且x∈R，所以f(0)＝0，即a－eq\f(2,1＋1)＝0?a＝1.答案：1?名師點(diǎn)津應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的3類問題(1)判定函數(shù)奇偶性①定義法②圖象法③性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(2)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值利用待定系數(shù)法求解，依據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．(3)利用函數(shù)的奇偶性求值首先推斷函數(shù)解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后結(jié)合已知條件通過化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)換求值．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(函數(shù)周期性的推斷及應(yīng)用))|題組突破|4．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，且f(1)＝2，則f(2015)＝________．解析：∵f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，∴f(x＋3)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)．∴f(x)是以3為周期的周期函數(shù)，則f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：－25．函數(shù)y＝f(x)滿意對(duì)隨意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，f(1)＝4，則f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值為________．解析：∵函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，∴f(x)是R上的奇函數(shù)．又f(x＋2)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4.答案：4?名師點(diǎn)津函數(shù)周期性問題的求解策略(1)推斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(2)依據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決詳細(xì)問題時(shí)，要留意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用——多維探究))函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中經(jīng)常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．常見的命題角度有：(1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合；(2)周期性與奇偶性結(jié)合；(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合．●命題角度一單調(diào)性與奇偶性結(jié)合【例1】(2024年全國卷Ⅲ)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))>f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))>f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))C．f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))>f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))D．f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))>f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))[解析]∵f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＝f(log34)．∵log34>log33＝1，0<2eq\s\up12(－\f(3,2))<2eq\s\up12(－\f(2,3))<20＝1，∴0<2eq\s\up12(－\f(3,2))<2eq\s\up12(－\f(2,3))<log34.∵f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(2eq\s\up12(－\f(3,2)))>f(2eq\s\up12(－\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))，故選C．[答案]C●命題角度二周期性與奇偶性結(jié)合【例2】(2025屆四川五校聯(lián)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)＝2x＋lnx，則f(2019)＝________．[解析]由f(x)＝f(x＋4)得f(x)是周期為4的函數(shù)，故f(2019)＝f(4×505－1)＝f(－1)．又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋ln1)＝－2.[答案]－2●命題角度三單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合【例3】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿意下列三個(gè)條件：①對(duì)隨意的x1，x2∈[4，8]，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函數(shù)．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．c<b<a[解析]由①得，f(x)在[4，8]上單調(diào)遞增；由②得，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是周期為8的周期函數(shù)，所以c＝f(2017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③得，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對(duì)稱，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．結(jié)合f(x)在[4，8]上單調(diào)遞增可知，f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c.故選B．[答案]B?名師點(diǎn)津函數(shù)性質(zhì)綜合問題的求解方法(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．留意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性．(2)函數(shù)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．(3)解決函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化到自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．|跟蹤訓(xùn)練|1．(2025屆石家莊質(zhì)檢)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝|x|－1C．y＝lgx D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)解析：選BA中函數(shù)y＝eq\f(1,x)不是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；B中函數(shù)滿意題意，故B正確；C中函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D中函數(shù)不滿意在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤．故選B．2.(2025屆四川達(dá)州模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上單調(diào)遞減，設(shè)a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a(chǎn)>c>b解析：選D∵偶函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)的周期為2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函數(shù)f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減，∴a>c>b，故選D．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(函數(shù)性質(zhì)的創(chuàng)新探究應(yīng)用))【例】已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿意f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do8(i＝1))(xi＋yi)＝()A．0 B．mC．2m D．4m[解析]y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，其圖象如圖，關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱．又f(－x)＝2－f(x)