2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)評價二第一章空間向量與立體幾何1.1.2空間向量的數(shù)量積運算含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGE二空間向量的數(shù)量積運算(15分鐘30分)1．已知向量a，b是平面α內(nèi)的兩個不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個方向向量，則c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】選B.當(dāng)a與b不共線時，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；當(dāng)a與b為共線向量時，由c·a＝0，c·b＝0，不能推出l⊥α.若l⊥α，則肯定有c·a＝0，c·b＝0，故選項B符合題意．2．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2) C．－eq\f(1,2) D．0【解析】選D.因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OC,\s\up6(→))|·coseq\f(π,3)－|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·coseq\f(π,3)＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.3．已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a－3b|等于________．【解析】因為|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b＝1－6×cos60°＋9＝7，所以|a－3b|＝eq\r(7).答案：eq\r(7)4．已知向量a，b滿意：|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a與2b－a相互垂直，則a與b的夾角為________．【解析】因為a與2b－a垂直，所以a·(2b－a)＝0，即2a·b－|a|2所以2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0，所以4eq\r(2)cos〈a，b〉－4＝0，所以cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2)，又〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，所以a與b的夾角為eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)5．如圖，已知線段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D與A在α的同側(cè)，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D兩點間的距離．【解析】因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝12＋2×(2×2·cos90°＋2×2·cos120°＋2×2·cos90°)＝8，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，即A，D兩點間的距離為2eq\r(2).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3bA．eq\r(97)B．97C．eq\r(61)D．61【解析】選C.|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b|b|cos60°＝97－12×2×3×eq\f(1,2)＝61.所以|2a－3b|＝eq\r(61).2．設(shè)向量a，b滿意|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b等于()A．1 B．2 C．3 D．5【解析】選A.|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2將上面兩式左、右兩邊分別相減得4a·b＝4，所以a·b3．A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿意eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，M為BC的中點，則△AMD是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定【解析】選C.因為M是BC的中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，所以AM⊥AD，所以△AMD是直角三角形．4．在正方體ABCD-A1B1C1D1①(＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2；②·(＝0；③與的夾角為60°.其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．0【解析】選B.如圖所示．由(＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2(·eq\o(AD,\s\up6(→))＋·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2，知①正確；由·()＝·()＝·＝0，知②正確；與的夾角為120°，故③不正確．二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．設(shè)a，b，c是隨意的非零空間向量，且它們互不共線，給出下列命題，其中正確的是()A．(a·b)c－(c·a)b＝0B．|a|－|b|<|a－b|C．(b·a)c－(c·a)b肯定不與c垂直D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b【解析】選BD.依據(jù)向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)，可知a·b和c·a是實數(shù)，而c與b不共線，故(a·b)c與(c·a)b不肯定相等，故A錯誤；因為[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以當(dāng)a⊥b，且a⊥c或b⊥c時，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b與c垂直，故C錯誤；易知BD正確．6．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，下列向量的數(shù)量積能為0的有(A．· B．·eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))· D．·eq\o(BC,\s\up6(→))【解析】選ABC.對于選項A，當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1所以AD1⊥B1C，此時有＝0；對于選項B，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，易得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此時·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0；對于選項C，由長方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·＝0.對于選項D，由于與eq\o(BC,\s\up6(→))不行能垂直，所以·eq\o(BC,\s\up6(→))不行能為0.三、填空題(每小題5分，共10分)7．如圖，已知△ABC在平面α內(nèi)，∠BAC＝90°，DA⊥平面α，則直線CA與DB的位置關(guān)系是________．【解析】eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0＋0＝0，所以eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(DB,\s\up6(→))，即CA⊥DB.答案：垂直8．如圖，空間四邊形的各邊和對角線長均相等，E是BC的中點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝__________，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))________eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).(填“<”“＝”或“>”)【解析】由題易知AE⊥BC，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，而eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|·cos120°<0，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).答案：0<四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知在三棱錐O-ABC中，M，N，P，Q分別為BC，AC，OA，OB的中點，若AB＝OC，求證：PM⊥QN.【證明】設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.因為P，M分別為OA，BC的中點，所以eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)[(b－a)＋c].同理，eq\o(QN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)[(b－a)－c].所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|b－a|2－|c|2)).因為AB＝OC，即|b－a|＝|c|.所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(QN,\s\up6(→))，即PM⊥QN.10．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，＝c.(1)試用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．【解析】(1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝＝eq\f(1,3)＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(c－a)＋a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)因為(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×eq\f(1,2)＋2×1×1×eq\f(1,2)＝5，所以|a＋b＋c|＝eq\r(5)，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|a＋b＋c|＝eq\f(\r(5),3)，即MN＝eq\f(\r(5),3).【創(chuàng)新遷移】1．已知空間向量a，b，c滿意a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________．【解析】因為a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.答案：－132．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為eq\r(2).(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥B