《自動控制原理》課件第八章

第八章非線性控制系統(tǒng)分析

8.1非線性系統(tǒng)的基本概念8.2描述函數(shù)法8.3相平面法8.4Matlab應(yīng)用實例

8.1非線性系統(tǒng)的基本概念

8.1.1典型非線性特性

控制系統(tǒng)中含有本質(zhì)非線性環(huán)節(jié)，如果這些本質(zhì)非線性特性能用簡單的折線來描述，則稱為典型非線性特性。

1.飽和特性

飽和特性是一種常見的非線性特性，如圖8-1所示。其數(shù)學(xué)表達式為圖8-1飽和非線性特性

2．死區(qū)特性

死區(qū)又稱不靈敏區(qū)，如圖8-2所示。其輸入與輸出之間關(guān)系的表達式為式中，Δ為死區(qū)范圍；k為線性段的斜率。當(dāng)輸入信號小于Δ時，對系統(tǒng)來說，雖然有輸入但無輸出，只有當(dāng)|x|＞Δ時才有輸出，這時，輸出與輸入之間為線性關(guān)系。死區(qū)特性常見于許多控制設(shè)備與控制裝置中，如測量元件的不靈敏區(qū)，伺服電機的死區(qū)電壓(啟動電壓)。當(dāng)死區(qū)很小，對系統(tǒng)性能產(chǎn)生不良影響不大時，可以忽略不計，一般情況下要考慮死區(qū)對系統(tǒng)性能的影響。在工程實踐中，有時為了提高系統(tǒng)的抗干擾能力，會人為地引入或增大死區(qū)。圖8-2死區(qū)非線性特性

3.間隙特性

間隙特性也是實際系統(tǒng)中常見的一種非線性特性，如圖8-3所示。間隙常存在于齒輪傳動機構(gòu)中，由于加工精度和裝配上的限制，不可避免地造成齒輪嚙合中的間隙。間隙特性可以由主動齒輪帶動從動齒輪的運轉(zhuǎn)來說明。比如，當(dāng)主動齒輪運動方向改變時，從動齒輪仍保持原有位置，一直到全部間隙被消除，從動齒輪的位置才開始改變。

間隙非線性數(shù)學(xué)表達式為

圖8-3間隙非線性特性間隙非線性特性表現(xiàn)出正向與反向特性不是重疊在一起，而是在輸入-輸出曲線上出現(xiàn)閉合環(huán)路，又稱滯環(huán)特性。這類特性表示，當(dāng)系統(tǒng)處于靜止，輸入信號開始作用且輸入信號小于間隙b時，輸出為零。只有當(dāng)x＞b后，輸出才隨輸入而做線性變化。當(dāng)輸入反向時，其輸出則保持在方向發(fā)生變化時的輸出值上，直到輸入反向運動2b后，輸出才線性變化。除了齒輪傳動中的齒隙外，電磁元件的磁滯、液壓傳動中的油隙均用于這類特性。

4．摩擦特性

通常執(zhí)行機構(gòu)由靜止?fàn)顟B(tài)開始運動時，必須克服機構(gòu)中的靜摩擦力矩(或靜摩擦力)。運動后，又要克服機構(gòu)中的動摩擦力矩(或動摩擦力)。一般情況下，靜摩擦力矩大于動摩擦力矩，摩擦非線性特性如圖8-4所示。其中M1為靜摩擦力矩，動摩擦力矩M2可表示為圖8-4摩擦非線性特性

5．繼電器特性

繼電器工作的輸入-輸出特性稱為繼電器特性。圖8-5(a)所示為理想的繼電器特性。對于實際的繼電器，當(dāng)流經(jīng)繼電器線圈中的電流大到某一數(shù)值時，電磁吸力才能使繼電器銜鐵吸合，因而繼電器一般都有死區(qū)特性，如圖8-5(b)所示。由于繼電器的吸合電壓一般都大于釋放電壓，故繼電器具有滯環(huán)特性，如圖8-5(c)所示。實際上，繼電器既有死區(qū)又有滯環(huán)的特性，如圖8-5(d)所示，它們的數(shù)學(xué)表達式可表示為

(1)理想繼電器特性：

y＝Msignx圖8-5繼電器非線性特性

(2)具有死區(qū)的繼電器特性(3)具有滯環(huán)的兩位置繼電器特性:(4)具有死區(qū)和滯環(huán)的三位置繼電器特性:8.1.2非線性系統(tǒng)的特點

1.穩(wěn)定性

在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，也即只取決于系統(tǒng)特征方程根的分布，而和初始條件、外加作用沒有關(guān)系。

非線性系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，除了和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)大小有關(guān)以外，還與初始條件和外加作用有關(guān)。系統(tǒng)對某些初始狀態(tài)的擾動可以是穩(wěn)定的，而對另一些初始狀態(tài)的擾動則是不穩(wěn)定的。對外加擾動而言，當(dāng)外加擾動很小時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但對大的擾動可能變?yōu)椴环€(wěn)定。

2.運動形式

線性系統(tǒng)運動的動態(tài)過程的形式與起始偏差或外作用大小無關(guān)。如系統(tǒng)具有復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，則其響應(yīng)始終是振蕩形式。但非線性系統(tǒng)的時域響應(yīng)，如階躍響應(yīng)的形狀與輸入信號大小及系統(tǒng)初始條件大小有關(guān)，其中當(dāng)輸入信號較小時，其響應(yīng)曲線可能具有單調(diào)特性；而輸入信號較大時，該曲線可能振蕩收斂或發(fā)散。即使運動形式相同，其超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間也會不同。

3.自激振蕩

在線性系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象通常是衰減的或者是發(fā)散的，而介于兩者間的臨界等幅振蕩，其振幅與初始條件有關(guān)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)稍有變化，或者衰減，或者發(fā)散，其等幅振蕩是難以保持的。但是，對于非線性系統(tǒng)，由于振蕩的振幅將受到非線性特性的限制，完全可能產(chǎn)生具有一定頻率和振幅的穩(wěn)態(tài)振蕩，它們的波形一般是非正弦的，但接近于正弦，它們的出現(xiàn)和自激振蕩幅值可能與初始條件和輸入信號的幅度大小有關(guān)。

自激振蕩問題是研究非線性系統(tǒng)的重要內(nèi)容之一，對工程實踐有很大的意義。在通常情況下，系統(tǒng)正常工作時，不希望產(chǎn)生自振，必須設(shè)法抑制它。但在有的情況下，為使系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，卻特意地引入自激振蕩。

4.頻率響應(yīng)

對于線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號為正弦信號時，其穩(wěn)態(tài)輸出也是同頻率的正弦函數(shù)。但對于非線性系統(tǒng)，輸入是正弦信號時，穩(wěn)態(tài)輸出通常是非正弦周期函數(shù)，甚至還會出現(xiàn)諧波振蕩或階躍諧振現(xiàn)象。8.1.3非線性系統(tǒng)的研究方法

1．描述函數(shù)法

這是一種頻域分析方法。在一定的條件下，用非線性元件輸出的基波信號代替在正弦信號作用下的非正弦輸出，使非線性元件近似為一個線性環(huán)節(jié)，這樣可以用線性系統(tǒng)的理論來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩，可以確定自激振蕩的頻率和幅值，以及尋找消除自激振蕩的方法。

2．相平面法

相平面法是在x－x坐標(biāo)系中繪制相軌跡圖，來研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性。這種方法只適用于二階系統(tǒng)?！?/p>

3．計算機求解法

利用計算機直接求非線性微分方程的解，來分析復(fù)雜的非線性系統(tǒng)的性質(zhì)是一種有效的方法。

4．李雅普諾夫第二方法

根據(jù)非線性系統(tǒng)動態(tài)方程的特性，用某些相關(guān)方法求出李雅普諾夫函數(shù)V(x)，然后根據(jù)V(x)和V(x)的性質(zhì)去判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

本章只討論用描述函數(shù)法和相平面法對非線性系統(tǒng)的分析?！?/p>

8.2描述函數(shù)法

8.2.1描述函數(shù)的基本概念

設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入為

x(t)＝Asinωt

一般情況下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出y(t)是非正弦周期信號。將y(t)用傅氏級數(shù)表示為

式中

對于奇(斜)對稱的非線性特性，有A0＝0，同時僅考慮基波分量時，則輸出為

y1(t)=A1cosωt+B1sinωt=Y1sin(ωt+j1)

式中仿照線性環(huán)節(jié)頻率特性的概念，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(A)定義為非線性環(huán)節(jié)輸出的基波分量與正弦輸入的復(fù)數(shù)比，即

一般地，N(A)是輸入信號的幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)，但是，如果在非線性元件中不包含儲能元件，那么N(A)只是輸入信號幅值的函數(shù)。

這樣一種僅取非線性環(huán)節(jié)輸出中的基波(把非線性環(huán)節(jié)等效為一個線性環(huán)節(jié))而忽略高次諧波的方法叫做諧波線性化法。

為了計算某個非線性裝置的描述函數(shù)，其輸出波形必須借助于傅里葉級數(shù)來確定和分析，然后可以把得出的描述函數(shù)用于系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析。描述函數(shù)分析法特別有助于用來預(yù)示輸出中的極限環(huán)振蕩的幅值和頻率。

最后指出，這種方法只適用于單個的非線性元件，如果有兩個以上的非線性元件，則必須把它們合并為一個模塊，否則第二個元件的輸入就不會是正弦波。8.2.2典型非線性特性的描述函數(shù)

1．死區(qū)特性

在具有死區(qū)的元件中，當(dāng)輸入在死區(qū)的幅值范圍內(nèi)時就沒有輸出。圖8-6所示為死區(qū)非線性特性及其輸入、輸出波形。

設(shè)死區(qū)非線性元件的輸入為

x(t)＝Asinωt

如圖8-6所示的特性，當(dāng)0≤ωt≤π時，輸出為圖8-6死區(qū)特性及其輸入、輸出波形因為輸出y(t)是周期的奇函數(shù)，其傅里葉展開式僅有正弦項，所以輸出的基波分量為

y1(t)＝B1sinωt

式中即因此Δ＝Asinf1f1=arcsin(D/A)

根據(jù)描述函數(shù)的定義，可求出具有死區(qū)特性的描述函數(shù)為

2．飽和特性

圖8-7所示為飽和特性及其輸入和輸出波形。顯然，當(dāng)A＜a時，輸入與輸出之間是線性關(guān)系；當(dāng)A≥a時，輸出將受到飽和限制。

如圖8-7所示的情況，當(dāng)0≤ωt≤π時，輸出為同理，由于飽和特性是單值奇對稱的，因此，An＝0(n＝0，1，…)，j＝0，并且a＝Asin1或?qū)懗蒮1＝arcsin(a/A)。于是，可求得圖8-7飽和特性及其輸入和輸出波形由此可得飽和特性的描述函數(shù)(8-1)

3．間隙特性

圖8-8所示為間隙特性及其輸入、輸出波形。當(dāng)A＜b時，輸出為零。

圖8-8中給出了A＞b的情況，當(dāng)0≤ωt≤π時，輸出為式中，f1＝π－arcsin(1－2b/A)，k為線性段斜率。因為間隙特性是多值函數(shù)，它在正弦信號x(t)＝Asinωt的作用下的輸出y(t)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，所以A1和B1都存在。圖8-8間隙特性及其輸入、輸出波形

間隙特性的描述函數(shù)為它與輸入頻率無關(guān)，而僅取決于輸入的幅值，但j≠0，N(A)為復(fù)數(shù)。顯然，其輸出的基波分量滯后于輸入。

4．繼電器特性

設(shè)有某死區(qū)滯環(huán)繼電器元件的非線性特性及其輸入、輸出波形如圖8-9所示。

圖8-9中給出了A＞h的情況，當(dāng)0≤ωt≤π時，輸出為式中，f1＝arcsin(h/A)，f2＝π－arcsin(mh/A)。因為死區(qū)滯環(huán)繼電特性是多值函數(shù)，它在正弦信號x(t)＝Asinωt的作用下的輸出y(t)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，所以A1和B1都不等于零。圖8-9繼電器特性及其輸入、輸出波形死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為取h＝0，得理想繼電特性的描述函數(shù)為取m＝1，得死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為取m＝－1，得滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為表8-1給出了常見的典型非線性特性的描述函數(shù)。8.2.3組合非線性特性的描述函數(shù)

兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)的系統(tǒng)如圖8-10所示。當(dāng)輸入為x(t)＝Asinωt時，兩個環(huán)節(jié)輸出的基波分別為輸入信號乘以各自的描述函數(shù)，即總的輸出基波分量為

y(t)＝y(tǒng)1(t)＋y2(t)＝[N1(A)＋N2(A)]Asinωt總的描述函數(shù)為

N(A)＝N1(A)＋N2(A)即若干個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總的描述函數(shù)等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。圖8-10兩個非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)圖8-11(a)所示的非線性特性，可分解為圖8-11(b)所示的兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)，則圖8-11(a)非線性特性的描述函數(shù)為圖8-11非線性特性的分解

2.串聯(lián)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

串聯(lián)非線性環(huán)節(jié)總的描述函數(shù)不等于每個非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積，應(yīng)當(dāng)根據(jù)串聯(lián)后系統(tǒng)的輸入-輸出非線性特性，建立等效的非線性特性，再求出等效非線性特性的描述函數(shù)，即為串聯(lián)系統(tǒng)的總的描述函數(shù)。

圖8-12(a)所示為具有死區(qū)非線性特性和具有死區(qū)繼電器相串聯(lián)的系統(tǒng)。根據(jù)y和x的輸入-輸出特性可知，其等效的非線性特性是具有死區(qū)的繼電器特性，如圖8-12(b)所示。

當(dāng)h＝Δ時，則s＝h＝Δ；當(dāng)h＞Δ時，則s＝h；當(dāng)h＜Δ時，則有Δ＝K(s－h(huán))，即s＝h＋Δ/k。等效非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為

圖8-12兩個非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)圖8-13非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖對于具有較復(fù)雜的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，在用描述函數(shù)法進行分析時，要簡化成圖8-13所示的非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)。

圖8-14(a)所示的線性局部反饋包圍非線性環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖可簡化成如圖8-14(b)所示的結(jié)構(gòu)圖。圖8-15(a)所示的非線性局部反饋包圍線性環(huán)節(jié)可簡化成圖8-15(b)所示的結(jié)構(gòu)圖。圖8-14線性局部反饋包圍非線性環(huán)節(jié)圖8-15非線性局部反饋包圍線性環(huán)節(jié)8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)

1．非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件

應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)時，要求元件和系統(tǒng)必須滿足以下條件：

(1)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)需要簡化成只有一個非線性環(huán)節(jié)N(A)和一個線性部分G(s)相串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)，參見圖8-13。

(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜態(tài)曲線是奇對稱的，即

y＝f(x)＝－f(－x)

因而，在正弦信號作用下，非線性元件輸出的平均值，即直流分量等于零。

(3)非線性元件的靜態(tài)特性不是時間t的函數(shù)，即非儲能元件。

(4)系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通特性，這樣，非線性元件輸出的高次諧波通過線性部分后被大大地削弱，使用描述函數(shù)法得到的分析結(jié)果比較準(zhǔn)確。

以上條件滿足時，可以將非線性環(huán)節(jié)近似當(dāng)作線性環(huán)節(jié)來處理，把其描述函數(shù)當(dāng)作其頻率特性，借用線性系統(tǒng)頻域法中的奈氏判據(jù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

設(shè)非線性系統(tǒng)滿足上面四個條件，其結(jié)構(gòu)圖如圖8-13所示，圖中G(s)的極點均在左半s平面，則閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+N(A)G(jω)=0或(8-2)式中－1/N(A)叫做非線性特性的負倒描述函數(shù)。通常又將－1/N(A)曲線稱為負倒特性曲線，表8-1列出了常見非線性特性的負倒特性曲線，其中箭頭方向表示幅值A(chǔ)增大的方向。這里，我們將它理解為廣義(－1，j0)點。由奈氏判據(jù)Z＝P－2N

可知，當(dāng)G(s)在右半s平面沒有極點時，P＝0，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求Z＝0，意味著G(jω)曲線不能包圍－1/N(A)曲線，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可以得出判定非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的推廣奈氏判據(jù)，其內(nèi)容如下：

當(dāng)G(s)在右半s平面沒有極點時，若G(jω)曲線不包圍－1/N(A)曲線(如圖8-16(a)所示)，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若G(jω)曲線包圍－1/N(A)曲線(如圖8-16(b)所示)，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定；若G(jω)曲線與－1/N(A)曲線有交點(如圖8-16(c)所示)，則在交點處必然滿足式(8-2)，對應(yīng)非線性系統(tǒng)的等幅周期運動。如果這種等幅運動能夠穩(wěn)定地持續(xù)下去，便是系統(tǒng)的自振。圖8-16非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3．自振的分析與計算

前已述及，若G(jω)曲線與－1/N(A)曲線相交，則系統(tǒng)將產(chǎn)生自振。為對自振的產(chǎn)生過程有更深入的理解，下面從信號的角度進一步分析自振產(chǎn)生的條件。在圖8-13所示的非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自振，則意味著系統(tǒng)中有一個正弦信號在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為

x(t)＝Asinωt

則非線性環(huán)節(jié)輸出信號的基波分量為

y1(t)＝|N(A)|Asin[ωt＋∠N(A)]

而線性部分的輸出信號為

c(t)＝|G(jω)N(A)|Asin[ωt＋∠N(A)＋∠G(jω)]根據(jù)系統(tǒng)中存在自振的假設(shè)，r(t)＝0，故

x(t)＝－c(t)

即

Asinωt＝－|G(jω)N(A)|Asin[ωt＋∠N(A)＋∠G(jω)]

所以

|G(jω)N(A)|＝1，∠N(A)＋∠G(jω)＝－π

以上兩式就是系統(tǒng)產(chǎn)生自振的條件，這兩個條件歸納起來也就是式(8-2)。

自振也存在一個穩(wěn)定性問題，因此必須進一步研究自振的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)受到擾動作用偏離了原來的周期運動狀態(tài)，當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)能夠重新收斂于原來的等幅振蕩狀態(tài)，則稱為穩(wěn)定的自振；反之，則稱為不穩(wěn)定的自振。判斷自振的穩(wěn)定性可以從上述定義出發(fā)，采用擾動分析的方法。以圖8-16(c)為例，G(jω)曲線與－1/N(A)曲線有兩個交點M1和M2，這說明系統(tǒng)存在兩個自振點。對于M1點，若受到干擾使振幅A增大，則工作點將由M1點移至a點。由于此時a點不被G(jω)曲線包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定，振蕩衰減，振幅A自動減小，工作點將沿－1/N(A)曲線又回到M1點；反之亦然。所以M1點是穩(wěn)定的自振。用同樣的方法可知，M2點是不穩(wěn)定的自振。按照下述準(zhǔn)則來判斷自振的穩(wěn)定性是極為簡便的：在復(fù)平面上自振點附近，當(dāng)振幅值A(chǔ)增大的方向沿－1/N(A)曲線移動時，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)進入穩(wěn)定區(qū)，則該交點代表的是穩(wěn)定的自振；反之，若沿－1/N(A)曲線振幅A增大的方向是從穩(wěn)定區(qū)進入不穩(wěn)定區(qū)，則該交點代表的是不穩(wěn)定的自振。對于穩(wěn)定的自振，其振幅和頻率是確定的，并可以通過測量得到。計算時，振幅可由－1/N(A)曲線的自變量A的大小來確定，而振蕩頻率由G(jω)曲線的自變量ω確定。對于不穩(wěn)定的自振，由于實際系統(tǒng)不可避免地存在擾動，因此這種自振蕩是不可能持續(xù)的，僅是理論上的臨界周期運動，在實際系統(tǒng)中是測量不到的。值得注意的是，由前面推導(dǎo)自振產(chǎn)生的條件時可知，對于穩(wěn)定的自振，計算所得到的振幅和頻率是圖8-13中非線性環(huán)節(jié)的輸入信號x(t)＝Asinωt的振幅和頻率，而不是系統(tǒng)的輸出信號c(t)。例8-1

具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖8-17(a)所示，試確定其自振的幅值和頻率。

圖8-17例8-1非線性控制系統(tǒng)解理想繼電器特性的描述函數(shù)為當(dāng)A＝0時，－1/N(A)＝0；當(dāng)A＝∞時，－1/N(A)＝－∞。因此－1/N(A)曲線就是整個負實軸。由線性部分的傳遞因數(shù)G(s)可得求G(jω)曲線與－1/N(A)曲線的交點。令I(lǐng)m[G(jω)]＝0，得2－ω2＝0，故交點處的ω=

rad/s，將ω=代入G(jω)的實部，得所以由此求得自振的幅值為A＝2.1，而振蕩頻率為ω=

rad/s。例8-2

設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖8-18(a)所示，其中死區(qū)繼電器特性的參數(shù)為h＝1、M＝3。圖8-18例8-2非線性控制系統(tǒng)

(1)計算自振的振幅和頻率。

(2)為消除自振，繼電器特性參數(shù)應(yīng)如何調(diào)整。

解

(1)死區(qū)繼電器特性的負倒描述函數(shù)為當(dāng)A＝1時，－1/N(A)＝－∞；當(dāng)A＝∞時，－1/N(A)＝－∞。其極值發(fā)生在A=處，此時－1/N(A)＝－π/6。－1/N(A)曲線是負實軸上(－∞，－π/6]這一段，為清楚起見，在圖上用兩條直線來表示，如圖8-16(b)所示。線性部分的頻率特性為令I(lǐng)m[G(jω)]＝0，得G(jω)與－1/N(A)曲線的交點處的ω=

rad/s，將ω=代入G(jω)的實部，得令解得A1＝1.11，A2＝2.3，分別對應(yīng)圖8-18(b)中點M1和點M2。

(2)為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振，可通過調(diào)整繼電器特性的死區(qū)參數(shù)h來實現(xiàn)，此時，應(yīng)使－1/N(A)的極值小于G(jω)曲線與負實軸的交點坐標(biāo)，即由此求得h≥4/π若調(diào)整h＝1.5，則－1/N(A)的極值為－π/4。顯然，這時兩條曲線不相交，從而保證系統(tǒng)不產(chǎn)生自振。同樣道理，也可以在不改變繼電器特性參數(shù)的情況下，通過減小G(jω)的傳遞系數(shù)，使G(jω)曲線與負實軸的交點右移，以便消除自振。

8.3相平面法

8.3.1相平面的基本概念

設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列微分方程來描述：(8-3)式中，f(x，x)是x和x的線性函數(shù)或非線性函數(shù)。若令x＝x1，x

＝x2，則式(8-3)又可以改寫成兩個一階的聯(lián)立方程：···可得(8-4)這是一個以x1為自變量、以x2為因變量的一階微分方程。因此對方程式(8-3)的研究，可以用研究方程式(8-4)來代替，即方程式(8-3)的解既可用x與t的關(guān)系來表示，也可用x2與x1的關(guān)系來表示。實際上，如果把方程式(8-3)看做一個質(zhì)點的運動方程，則x1(t)代表質(zhì)點的位置，x2(t)代表質(zhì)點的速度。用x1、x2描述方程(8-3)的解，也就是用質(zhì)點的狀態(tài)來表示該質(zhì)點的運動。在物理學(xué)中，狀態(tài)又稱為相。因此，我們把由x1—x2即(x－x)所組成的平面坐標(biāo)系稱為相平面，系統(tǒng)的一個狀態(tài)則對應(yīng)于相平面上的一個點。當(dāng)t變化時，系統(tǒng)狀態(tài)在相平面上移動的軌跡稱為相軌跡。而與不同初始狀態(tài)對應(yīng)的一簇相軌跡所組成的圖像叫做相平面圖。利用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法稱為相平面法?！?/p>

例如，二階線性系統(tǒng)當(dāng)ζ＝0時的齊次微分方程式為根據(jù)式(8-4)，上式又可以化成對上式積分，得相軌跡方程:式中，

是由初始條件x0、x0決定的常數(shù)。當(dāng)x0、x0取不同值時，式(8-5)在相平面上表示一簇同心的橢圓，如圖8-19(a)所示。而圖8-19(b)則是用x與t的關(guān)系表示的方程式(8-5)的解。顯然，兩者所反映的系統(tǒng)的狀態(tài)是相同的。所以，完全可以用相軌跡來表示系統(tǒng)的動態(tài)過程?！ぁD8-19二階線性系統(tǒng)ζ＝0時的解8.3.2相平面圖的繪制

繪制相平面圖可以用解析法、圖解法和實驗法。

1．解析法

解析法一般用于系統(tǒng)的微分方程比較簡單或可以分段線性化的情況。應(yīng)用解析法求取相軌跡方程時一般有兩種方法：一種是對式(8-4)直接進行積分。顯然，這只有在上述方程可以進行積分時才能運用。另一種方法是先求出x和x對t的函數(shù)關(guān)系，然后消去t，從而求得相軌跡方程。下面舉例加以說明。

例8-3

具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖8-20(a)所示，試繪制當(dāng)輸入r(t)＝0時系統(tǒng)的相平面圖。·圖8-20例8-3非線性系統(tǒng)解系統(tǒng)中線性部分的輸入和輸出的關(guān)系為非線性元件的輸入和輸出的關(guān)系為

y＝bsign(e)＝bsign(－c)故系統(tǒng)的微分方程為

(1)在c＜0的區(qū)域，系統(tǒng)的方程為由式(8-4)，系統(tǒng)的方程又可寫成設(shè)初始條件為c(0)＝c0，c(0)＝c0，則對上式進行積分，得該區(qū)的相軌跡方程為··(2)在c≥0的區(qū)域，系統(tǒng)的方程為同理可得該區(qū)的相軌跡方程為由以上兩相軌跡方程可繪制出系統(tǒng)的相平面圖如圖8-20(b)所示。圖中相平面被分為兩個區(qū)域，每個區(qū)域內(nèi)的相軌跡為一組拋物線。

2．圖解法

目前比較常用的圖解法有兩種：等傾線法和δ法。下面介紹等傾線法。等傾線法的總體思想是采用直線近似。如果我們能用簡便的方法確定出相平面中任意一點相軌跡的斜率，則該點附近的相軌跡便可用過這點的相軌跡切線來近似。

設(shè)系統(tǒng)的微分方程式為

式中，dx/dx表示相平面上相軌跡的斜率。若取斜率為常數(shù)，則上式可改寫成·(8-6)例8-4

二階線性系統(tǒng)的微分方程式為試用等傾線法繪制其相軌跡。解由微分方程式可得由式(8-6)得等傾線方程為或所以等傾線是過相平面原點的一簇直線。當(dāng)ζ＝0.5、ωn＝1時的等傾線分布圖如圖8-21所示。圖8-21例8-4在ζ=0.5、ωn=1時的相軌跡

3．實驗法

對一個實際的系統(tǒng)，如果把x和x直接測量出來，并分別送入一個示波器的水平和垂直信號的輸入端，便可在示波器上直接顯示出系統(tǒng)的相軌跡曲線，還可以通過x-y記錄儀記錄下來。用實驗的方法，不僅可以求得一條相軌跡，并且還可以多次地改變初始條件而獲得一系列的相軌跡，從而得到完整的相平面圖。這對于非線性系統(tǒng)的分析和研究是極為方便的?！?.3.3相平面上的奇點和奇線

1．奇點

奇點是相平面圖上的一類特殊點。所謂奇點，就是指相軌跡的斜率dx/dx＝0/0的點，因此可以有無窮多條相軌跡經(jīng)過該點。由于在奇點處dx/dt＝0、dx/dt＝0，這表示系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，故奇點亦稱為平衡點。

奇點的求取可以從上述定義出發(fā)。設(shè)二階系統(tǒng)的微分方程為

··令x＝x1，x＝x2，上式又可寫成·對于一般情況，系統(tǒng)方程可寫成如下形式(8-7)式中，P、Q是x1、x2的解析函數(shù)。對于非線性系統(tǒng)，它們是x1和x2的非線性函數(shù)，在奇點處(8-8)由式(8-8)即可求出系統(tǒng)奇點的坐標(biāo)(x10，x20)。一般來說，對一個系統(tǒng)，奇點可能是一個，也可能是一個以上。奇點的分類是根據(jù)奇點附近相軌跡的特征來進行的，由于此時是研究奇點附近系統(tǒng)的運動狀態(tài)，因此可以用小偏差理論。將式(8-7)在奇點(x10，x20)附近展開成泰勒級數(shù)：

對上式取一次近似，同時考慮到P(x10，x20)＝Q(x10，x20)＝0，故得線性化方程組為討論簡便起見，設(shè)奇點就在坐標(biāo)原點，即x10＝x20＝0，并令

則式(8-7)可寫成消去x2，得或(8-9)式(8-9)為系統(tǒng)在奇點附近的線性化方程，而系統(tǒng)在奇點附近的運動狀態(tài)就由該式的兩個特征根決定。根據(jù)式(8-9)的特征根的分布情況，系統(tǒng)相應(yīng)的有六種奇點：穩(wěn)定節(jié)點、不穩(wěn)定節(jié)點、穩(wěn)定焦點、不穩(wěn)定焦點、鞍點和中心點，相應(yīng)的相平面圖等參見表8-2。例8-5

試繪制由下列方程描述的非線性系統(tǒng)的相平面圖：

解

(1)確定奇點。令x＝x1，x＝x2，則系統(tǒng)的方程又可寫成·根據(jù)奇點的定義，得解得系統(tǒng)有兩個奇點(0，0)和(－2，0)。

(2)確定奇點的類型。在奇點(0，0)附近，由式(8-9)可得系統(tǒng)的線性化方程為它的兩個特征根為－0.25±j1.39，由表8-2可得該奇點是穩(wěn)定焦點。在奇點(－2，0)附近，由于該奇點不在坐標(biāo)原點，故式(8-9)不能直接應(yīng)用，先進行坐標(biāo)變換。令y=x＋2，則此時系統(tǒng)的線性化方程為它有兩個特征根1.19和－1.69，因此奇點(－2，0)為鞍點。利用等傾線法，可作出系統(tǒng)的相平面圖如圖8-22所示。圖8-22例8-5的相平面圖

2．奇線

1)穩(wěn)定極限環(huán)

若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡都趨向于該環(huán)，這種極限環(huán)稱為穩(wěn)定極限環(huán)，如圖8-23(a)所示。從系統(tǒng)的運動狀態(tài)來看，這種穩(wěn)定極限環(huán)表示系統(tǒng)具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩狀態(tài)，即自振。

2)不穩(wěn)定極限環(huán)

若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡都離開該環(huán)，這種極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)，如圖8-23(b)所示。從系統(tǒng)的運動狀態(tài)來看，這種不穩(wěn)定極限環(huán)表示系統(tǒng)具有不穩(wěn)定的振蕩狀態(tài)，即小偏差時，相軌跡收斂于平衡點，系統(tǒng)穩(wěn)定；大偏差時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3)半穩(wěn)定極限環(huán)

如果在極限環(huán)附近，相軌跡的一側(cè)離開極限環(huán)，另一側(cè)趨向極限環(huán)，則這種極限環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán)，如圖8-23(c)、(d)所示。在圖8-23(c)中，從內(nèi)側(cè)出發(fā)的相軌跡趨向極限環(huán)，而從極限環(huán)外側(cè)出發(fā)的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，系統(tǒng)不穩(wěn)定。在圖8-23(d)中，從外側(cè)出發(fā)的相軌跡趨向于極限環(huán)，而從極限環(huán)內(nèi)側(cè)出發(fā)的相軌跡離開極限環(huán)，系統(tǒng)穩(wěn)定。圖8-23極限環(huán)的類型對實際非線性系統(tǒng)，可能存在極限環(huán)，也可能不產(chǎn)生極限環(huán)，也可能產(chǎn)生多個極限環(huán)。

圖8-16(c)所示系統(tǒng)就存在兩個極限環(huán)，即雙極限環(huán)，其中，M1點是穩(wěn)定極限環(huán)，M2點是不穩(wěn)定的極限環(huán)。當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)處于不穩(wěn)定的極限環(huán)內(nèi)部時，系統(tǒng)能穩(wěn)定地工作；當(dāng)初始狀態(tài)處于不穩(wěn)定的極限環(huán)的外部時，則系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩，這個自激振蕩由穩(wěn)定的極限環(huán)決定。

應(yīng)當(dāng)指出的是，線性二階系統(tǒng)無阻尼振蕩曲線(ζ＝0)在相平面上也是一條封閉曲線，但不是極限環(huán)，線性系統(tǒng)無阻尼振蕩的相軌跡與初始條件有關(guān)，有無窮多個封閉曲線。8.3.4非線性系統(tǒng)的相平面分析

1．具有死區(qū)持性的非線性控制系統(tǒng)

例8-6

設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-24所示，系統(tǒng)初始狀態(tài)為零。研究在r(t)＝R·1(t)作用下的相軌跡。

解由圖可列寫系統(tǒng)的微分方程如下：圖8-24具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)圖8-25具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)相軌跡

2．具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)

例8-7

設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)如圖8-26所示，圖中T＝1，K＝4，e0＝M0＝0.2，系統(tǒng)初始狀態(tài)為零。分別研究系統(tǒng)在r(t)＝R·1(t)和r(t)＝V0t作用下的相軌跡。圖8-26具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)解取e(t)、e(t)作為狀態(tài)變量，按飽和特性分三個區(qū)域列寫微分方程式·(8-10)可知開關(guān)線e＝－e0和e＝e0將相平面分為負飽和區(qū)、線性區(qū)和正飽和區(qū)。下面分別研究系統(tǒng)在r(t)＝R·1(t)和r(t)＝V0t作用下的相軌跡。

(1)r(t)＝R·1(t)。整理式(8-10)得這里涉及在飽和區(qū)需要確定形如的相軌跡。由上式得相軌跡微分方程為故相軌跡無奇點，而等傾線方程e=－A/(1+αT)為一簇平行于橫坐標(biāo)的直線，其斜率k均為零。令α＝0得e＝－A，即為特殊的等傾線(k＝α＝0)?？梢姡嘬壽E在e<－e0區(qū)域漸近趨于e＝KM0的等傾線；在e>e0區(qū)域，漸近趨于e＝－KM0的等傾線。····在代入給定參數(shù)后求得線性區(qū)的奇點為原點，且為實奇點，其特征根為s1，2＝－0.5±j1.94，所以奇點為穩(wěn)定焦點。由零初始條件和輸入r(t)＝R·1(t)得，e(0)＝R，e(0)＝0。取R＝2繪制系統(tǒng)的相軌跡如圖8-27(a)所示，相軌跡最終趨于坐標(biāo)原點，系統(tǒng)穩(wěn)定。對應(yīng)的c(t)和e(t)曲線如圖8-27(b)所示?！D8-27r(t)=2·1(t)時具有飽和特性的非線性系統(tǒng)相軌跡當(dāng)V0＝1.2＞KM0時，線性區(qū)內(nèi)，相軌跡奇點(0.3，0)為穩(wěn)定焦點，且為虛奇點，飽和區(qū)的兩條特殊的等傾線均位于相平面的上半平面。系統(tǒng)的相平面圖如圖8-28(a)所示，起始于任何初始點的相軌跡將沿正飽和區(qū)的特殊相軌跡發(fā)散至無窮。

當(dāng)V0＝0.4＜KM0時，線性區(qū)內(nèi)，相軌跡奇點(0.1，0)為穩(wěn)定焦點，且為實奇點，負飽和區(qū)和正飽和區(qū)的兩條特殊的等傾線分別位于上半平面和下半平面。系統(tǒng)的相平面圖如圖8-28(b)所示，起始于任何初始點的相軌跡最終都收斂于(0.1，0)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1。當(dāng)V0＝0.8＝KM0時，線性區(qū)內(nèi)，相軌跡奇點(0.2，0)為穩(wěn)定焦點，為實奇點，且位于開關(guān)線e＝e0上，正飽和區(qū)的線性微分方程為Te＋e＝0。按線性系統(tǒng)相軌跡分析知，該區(qū)域內(nèi)的相軌跡是斜率為－1/T的直線，橫軸上大于e0的各點皆為奇點，起始于任何初始點的相軌跡最終都落在e＞e0的橫軸上，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差的大小取決于初始條件，相平面圖如圖8-28(c)所示。¨·圖8-28r(t)＝V0t時具有飽和特性的非線性系統(tǒng)的相平面圖

3．具有滯環(huán)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)

例8-8

具有滯環(huán)繼電特性的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-29,其中H(s)為反饋網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),r(t)＝0。分別研究系統(tǒng)在

(1)單位反饋H(s)＝1；

(2)速度反饋H(s)＝1＋τs(0＜τ＜T)

時的相軌跡。

解

(1)單位反饋H(s)＝1。根據(jù)滯環(huán)繼電特性劃分區(qū)間列寫微分方程如下：

(8-12)圖8-29具有滯環(huán)繼電特性的非線性系統(tǒng)由式(8-12)易知，三條開關(guān)線c＝h(c＞0)、c＝－h(huán)(c＜0)和－h(huán)＜c＜h(c＝0)將相平面劃分為左、右兩個區(qū)域。根據(jù)式(8-12)的分析結(jié)果，左區(qū)域內(nèi)存在一條特殊的相軌跡c＝KM0(k＝α＝0)，右區(qū)域內(nèi)亦存在一條特殊的相軌跡c＝－KM0(k＝α＝0)，所繪制的系統(tǒng)相平面圖如圖8-30(a)所示。橫軸上區(qū)間(－h(huán)，h)為發(fā)散段，即初始點位于該線段時，相軌跡運動呈向外發(fā)散形式，初始點位于該線段附近時也同樣向外發(fā)散；而由遠離該線段的初始點出發(fā)的相軌跡均趨向于兩條特殊的等傾線，即向內(nèi)收斂，故介于從內(nèi)向外發(fā)散和從外向內(nèi)收斂的相軌跡之間，存在一條閉合曲線ABCDA，構(gòu)成極限環(huán)。按極限環(huán)定義，該極限環(huán)為穩(wěn)定的極限環(huán)。因此在無外作用時，不論初始條件如何，系統(tǒng)最終都將處于自振狀態(tài)。而在輸入為r(t)＝R·1(t)條件下，仍有·····系統(tǒng)狀態(tài)e(t)、e(t)仍將最終處于自振狀態(tài)?？梢?，滯環(huán)特性惡化了系統(tǒng)的品質(zhì)，使系統(tǒng)處于失控狀態(tài)。·圖8-30具有滯環(huán)繼電特性的非線性系統(tǒng)相平面圖

(2)速度反饋H(s)＝1＋τs(0＜τ＜T)。滯環(huán)非線性特性對系統(tǒng)影響的定性分析和相平面法分析表明，滯環(huán)的存在導(dǎo)致了控制的滯后，為補償其不利影響，引入輸出的速度反饋，以期改善非線性系統(tǒng)的品質(zhì)。

加入速度反饋控制后，非線性系統(tǒng)在無輸入作用時的微分方程為(8-13)由滯環(huán)繼電特性可知，式(8-13)中的第二個條件只是在－h(huán)＜c＋τc＜h區(qū)域內(nèi)保持非線性環(huán)節(jié)輸出為KM0或－KM0的條件。設(shè)直線L1：c＋τ

c＝h，L2：c＋τc＝－h(huán)。當(dāng)相軌跡點位于第Ⅳ象限(c＜0)且位于L1上方以及L1上時····故當(dāng)相軌跡運動至A1點后，非線性環(huán)節(jié)的輸出仍將保持－KM0，系統(tǒng)仍將按H(s)＝1時的運動規(guī)律運動至A2點，此時，非線性環(huán)節(jié)輸出切換為KM0。當(dāng)相軌跡點位于第Ⅱ象限且位于L2下方以及L2上時的運動可仿照以上方法分析，由此可知，三條開關(guān)線c＞0且c＋τ

c＝h、··

c＜0且c＋τ

c＝－h(huán)和c＝0且－h(huán)＜c＜h將相平面劃分為左、右兩個區(qū)域，相平面圖如圖8-30(b)所示。與單位反饋時的開關(guān)線相比，引入速度反饋后，開關(guān)線逆時針旋轉(zhuǎn)，相軌跡將提前切換，使得系統(tǒng)自由運動的超調(diào)量減小，極限環(huán)減小，同時也減小了控制的滯后。由于開關(guān)線逆時針旋轉(zhuǎn)的角度j隨著速度反饋系數(shù)τ的增大而增大，因此當(dāng)0＜τ＜T時，系統(tǒng)性能的改善將隨著τ的增大愈加明顯。一般來說，控制系統(tǒng)可以允許存在較小幅值的自振，因而通過引入速度反饋來減小自振幅值具有重要的應(yīng)用價值?！ぁぁ?/p>

8.3.5由相軌跡求取系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線

畫在x－x相平面上的相軌跡，是以x作為x的函數(shù)的一種圖像，在這里時間信息沒有得到清晰的顯示。但如需要，可從相平面圖上求出x對時間t的函數(shù)x(t)。

對于小增量Δx和Δt，其平均速度為··或?qū)懗捎缮鲜娇汕蟮煤瘮?shù)x(t)由點A轉(zhuǎn)移到點B所需的時間ΔtAB，即只要ΔxAB＝xB－xA取得比較小，可以把xAB看做是x在A、B兩點處的平均值，即xAB＝(xA＋xB)/2。順序求出系統(tǒng)從A點轉(zhuǎn)移到B點，從B點轉(zhuǎn)移到C點，從C點轉(zhuǎn)移到D點……所需要的時間ΔtAB、ΔtBC、ΔtCD、…后，便可以得出系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線x(t)，如圖8-31所示。為使求得的時間解有足夠的準(zhǔn)確度，位移增量Δx必須選擇得足夠小，以便使x和t的相應(yīng)增量也相當(dāng)小。但Δx并非一定取常值，也可根據(jù)相軌跡的形狀確定其值的大小，在保證一定準(zhǔn)確度的前提下使作圖、計算的工作量減至最小。······圖8-31相平面圖上的時間信息8.3.6利用非線性特性改善系統(tǒng)的控制性能

如系統(tǒng)中實現(xiàn)變增益的控制系統(tǒng)，當(dāng)偏差信號較大時，有較大的開環(huán)增益，阻尼較小，系統(tǒng)有較大的快速性；而當(dāng)偏差較小時，開環(huán)增益較低，系統(tǒng)阻尼較大，動態(tài)特性平穩(wěn)。因此采用變增益非線性環(huán)節(jié)后，會使系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)特性。

如圖8-32所示變阻尼非線性系統(tǒng)，當(dāng)該系統(tǒng)能始終保持開環(huán)增益不變時，使系統(tǒng)在大偏差信號時有較小的阻尼，而在小偏差信號時有較大的阻尼，因此，該系統(tǒng)解決了高開環(huán)增益與良好動態(tài)特性之間的矛盾。圖8-32變阻尼非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

8.4Matlab應(yīng)用實例

1.Matlab語句應(yīng)用

例8-9

設(shè)具有滯環(huán)繼電器特性的非線性控制系統(tǒng)如圖8-33(a)所示。試用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解有滯環(huán)的繼電器環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為在復(fù)平面上分別繪制線性部分的ΓGH曲線和非線性部分的負倒描述函數(shù)－1/N(A)曲線。Matlab語句為：圖8-33例8-9圖>>g=zpk([]，[0，-1]，1)；

>>nyquist(g)；holdon；

>>h=1；M=5；

>>a=1:0.01:30；

>>x1=4*M*sqrt(1-(h./a).^2)./(pi.*a)；

>>y1=-4*M*h./(pi.*a.^2)；

>>z1=complex(x1，y1)；%N(A)

>>z2=-1./z1；%-1/N(A)

>>plot(z2)繪制的ΓGH曲線和－1/N(A)曲線如圖8-33(b)所示。由圖可得，ΓGH曲線與－1/N(A)曲線交于點(－0.262，－j0.1571)，在交點的鄰域，兩邊的運動基于奈氏穩(wěn)定判