2024北京鐵二中高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京鐵二中高二（上）期中數(shù)學(xué)（試卷滿分150分考試時長120分鐘）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.點(diǎn)與點(diǎn)的對稱中心是（） A. B. C. D.2.圓與圓的位置關(guān)系為A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離3.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.4.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)是（）A. B. C. D.5.設(shè)為直線與圓的兩個交點(diǎn)，則A. B. C. D.6.設(shè)是橢圓上的點(diǎn)．若是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則等于A.4 B.5 C.8 D.107.直線2x﹣3y+1=0的一個方向向量是（）A.（2，﹣3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（3，2）8.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.9.已知直線，與直線，，則直線，關(guān)于軸對稱的充要條件是（）A. B. C. D.10.如圖所示，正方體的棱長為2，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線垂直B.直線與平面平行C.三棱錐的體積為D.直線與平面所成的角為第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.圓的圓心到直線：的距離12.已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為F（，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．13.類比平面上直線的“一般式”方程，可以研究空間中平面的“一般式”方程，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的“一般式”方程為，則平面的一個法向量可以是______.14.若不同兩點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，則線段的垂直平分線的斜率為__________，圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為__________．15.已知直線（為常數(shù)）和圓，給出下列四個結(jié)論：①直線與圓一定相交；②若直線與圓有兩個不同交點(diǎn)M，N，則；③存在直線，圓關(guān)于直線對稱；④若直線與圓有兩個不同交點(diǎn)，，則的直線有且只有兩條.其中所有正確結(jié)論的序號是____________.答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求直線的一般式方程；（2）求直線的一般式方程及點(diǎn)的坐標(biāo).17.如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，，.（1）求點(diǎn)到直線的距離（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.18.圖1是棱長為2的正方體，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，截去三棱柱和三棱柱得到如圖2的四棱柱，，分別是，的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，的平面交于點(diǎn)．（1）求線段的長；（2）求平面與平面夾角的余弦值．19.如圖，已知等腰三角形中，是的中點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)所在直線與軌跡的另一個交點(diǎn)為，當(dāng)面積最大且在第一象限時，求.20.如圖，已知橢圓過點(diǎn)，焦距為；斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn)，且直線PM，PN均不與軸垂直.（1）求橢圓的方程；（2）若，求MN的方程；（3）記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，證明：為定值.21.已知A0,3和是橢圓，上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）若過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程；（3）過中點(diǎn)的動直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)使得.若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】C【分析】由中點(diǎn)的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】點(diǎn)與點(diǎn)的對稱中心是的中點(diǎn)，所以對稱中心的坐標(biāo)為，故選：C2.【答案】B【詳解】【分析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．3.【答案】A【分析】由題意設(shè)直線方程為，根據(jù)點(diǎn)在直線上求參數(shù)即可得方程.【詳解】由題設(shè)，令直線方程為，所以，可得.所以直線方程為.故選：A.4.【答案】A【分析】由橫坐標(biāo)不變，縱、豎坐標(biāo)變成相反數(shù)可得．【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)是，故選：A．5.【答案】D【詳解】試題分析：直線與圓的交點(diǎn)弦長可由兩種方法得到:①求出圓心到直線的距離,所以直徑②直線與圓聯(lián)立方程,由弦長公式來求得.故選D.考點(diǎn)：直線與圓的交點(diǎn)弦長6.【答案】D【詳解】試題分析：因為橢圓的方程為，所以，由橢圓的的定義知，故選D．考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、橢圓的定義．7.【答案】D【詳解】由題意可得：直線2x﹣3y+1=0的斜率為k=，所以直線2x﹣3y+1=0的一個方向向量=（1，），或（3，2）故選D．8.【答案】A【分析】先求出，，再求橢圓的離心率.【詳解】解：因為，所以，則，，所以，又因為，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)；利用橢圓方程求、；利用橢圓方程求離心率，是基礎(chǔ)題9.【答案】C【分析】根據(jù)斜率相反，縱截距相等列式化簡可得．【詳解】直線，關(guān)于軸對稱，則斜率是相反數(shù)，縱截距相等，則，，即.故選：C．10.【答案】B【分析】A選項根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對于B，D建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷即可，對于C，利用體積公式求解即可．【詳解】對于A，為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,2,，,2,，,2,，,0,，對于B，設(shè)平面的法向量為，則，取，因為，所以，所以，因為在平面外，所以直線與平面平行，所以B正確；對于C，因為，所以三棱錐的體積為，所以C錯誤；對于D，因為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以D錯誤．故選：B．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】3【詳解】試題分析：因為圓心坐標(biāo)為(1,2)，所以圓心到直線的距離為．考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離．12.【答案】【詳解】依題意可得，橢圓焦點(diǎn)在軸上且．因為長軸長是短軸長的2倍，所以，則，所以，解得，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為13.【答案】（答案不唯一）【分析】由題意直接寫出平面的一個法向量即可.【詳解】由題意可知，平面的法向量可以是或，故答案為：（答案不唯一）14.【答案】①.；②.【分析】由斜率公式可得,由兩直線垂直則斜率之積為-1即可求出與線段垂直的直線的斜率，再由兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為,由直線的點(diǎn)斜式方程求出線段的垂直平分線的方程為，再結(jié)合點(diǎn)關(guān)于線對稱的點(diǎn)的求法求出對稱圓的圓心坐標(biāo)即可得解.【詳解】解:因為、的坐標(biāo)分別為，，且、為不同兩點(diǎn),則或,即,由直線的斜率為,則線段的垂直平分線的斜率為-1,又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則線段的垂直平分線的方程為,即,設(shè)圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心坐標(biāo)為,則,解得,即圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中垂線方程及圓關(guān)于直線的對稱圓的求法，重點(diǎn)考查了圓與直線的位置關(guān)系，屬中檔題.15.【答案】①②③④【分析】由直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)判斷①，求出弦長的最大值最小值可判斷②，由圓的直徑所在直線都是圓的對稱軸判斷③，由弦長為求得，可判斷D．【詳解】由直線的方程為知直線過定點(diǎn)，圓心為，半徑為2，，即定點(diǎn)在圓C內(nèi)，因此直線與圓C不一定相交，①正確；當(dāng)直線過圓心時，弦長為最大值，當(dāng)與垂直時，弦長最小，且最小值為，②正確；當(dāng)直線過圓心時，圓關(guān)于直線對稱，③正確；由，解得，④正確．故選：①②③④．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）由兩直線垂直得到直線斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線方程.（2）由傾斜角關(guān)系得到直線斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程，聯(lián)立直線方程組，解出交點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】∵，∴且，∴，∵，∴直線：，即【小問2詳解】∵，∴，∴方程，令，則，∴A-2,0，∴，∴，∴直線：聯(lián)立方程，解得即17.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等腰三角形腰上的高即可求出點(diǎn)到直線的距離.（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量及面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）利用向量法可求出點(diǎn)P到平面的距離．【小問1詳解】三棱錐中，平面，平面，則，又，，，則，，，于是等腰腰上的高，由，分別是棱，的中點(diǎn)，得，是的中位線，所以點(diǎn)到直線的距離為.【小問2詳解】依題意：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，又，，分別是棱，，的中點(diǎn)，，得，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】由（2）知，，點(diǎn)P到平面的距離，所以點(diǎn)P到平面的距離為.18.【答案】（1）（2）．【分析】（1）先根據(jù)平面的性質(zhì)，確定點(diǎn)的位置，再求的長度.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的余弦值.【小問1詳解】方法一：在圖1中延長與相交于，延長與相交于，延長與相交于，連接交于，如圖所示，由∽，得，求得．方法二：在圖1中過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖所示，易知．【小問2詳解】在圖2中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，平面即平面，則，設(shè)面的法向量，有，令，則，，設(shè)面的法向量為，有，令，則，．則面與面的夾角的余弦值是．19.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式利用化簡整理可得點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）求出面積最大時點(diǎn)，可得的直線方程為，再由弦長公式可得結(jié)果.【小問1詳解】易知，即，整理可得，即點(diǎn)的軌跡的方程為【小問2詳解】如下圖所示:由題意可得，當(dāng)?shù)骄嚯x最大時，即縱坐標(biāo)最大時滿足題意，此時；所以所在直線方程為圓心到直線的距離可得.20.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由弦長公式求得的方程；（3）將韋達(dá)定理代入中計算結(jié)果為定值．【小問1詳解】由橢圓過點(diǎn)，焦距為，得，解得，故橢圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去得，由，得，則．，解得或，當(dāng)時，直線的方程為；當(dāng)時，直線經(jīng)過點(diǎn)，不符合題意，舍去．所以當(dāng)時，的方程為．【小問3詳解】證明：直線，均不與軸垂直，所以，，則且，所以，所以為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21.【答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，然后解方程得到橢圓方程，最后求離心率即可；（2）根據(jù)坐標(biāo)得到直線的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離和的面積列方程得到，最后分和兩種情況求解即可；（3）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，然后利用韋達(dá)定理得到，最后根據(jù)恒成立列不等式求解即可.【小問1詳解】將點(diǎn)A0,3和代入橢圓方程可得，解得，所以橢圓的方程為，所以離心率.【小問2詳解】由題意得，，所以直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，所以，整理得，當(dāng)時，聯(lián)立，無解，所以不