數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【例1】根據(jù)歷次比賽或訓(xùn)練記錄，甲、乙兩射手在同樣的條件下進(jìn)行射擊,成績(jī)的分布列如下：射手8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲0。30。10。6乙0.20。50。3試比較甲、乙兩射手射擊水平的高低.解析：設(shè)甲、乙兩射手射擊一次所得的環(huán)數(shù)分別為X1，X2,則E（X1）=8×0.3+9×0。1+10×0。6=9.3,E（X2)=8×0.2+9×0。5+10×0.3=9。1，這就是說(shuō)射手甲射擊所得環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望比射手乙射擊所得環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望高,從而說(shuō)明甲的平均射擊水平比乙的稍高一點(diǎn).如果兩人進(jìn)行比賽，甲贏的可能性較大。溫馨提示離散型隨機(jī)變量的分布列具有的性質(zhì)pi≥0，i=1,2,…,n和=1。二、利用概率知識(shí)求隨機(jī)變量的分布列【例2】(2006山東高考,理20）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3,4,5的小球各2個(gè)。從袋中任取3個(gè)小球,按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分,每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字,求:（1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(3）計(jì)分介于20分到40分之間的概率。解：(1）方法一：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同"的事件記為A,則P(A)==.方法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B,則事件A和事件B是互斥事件,因?yàn)镻(B）==.所以P(A)=1—P(B)=1=.(2)由題意，ξ所有可能的取值為2，3,4,5。P(ξ=2）=；P（ξ=3)=;P(ξ=4)=；P（ξ=5）=。所以隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξ2345P因此ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=2×+3×+4×+5×=。(3)“一次取球所得計(jì)分介于20分到40分之間"的事件記為C,則P（C)＝P（ξ＝3或ξ=4)=P(ξ＝3）＋P(ξ=4)=。溫馨提示求隨機(jī)變量的分布列,首先弄清隨機(jī)變量所有可能的取值,進(jìn)而利用所學(xué)概率知識(shí),求取每個(gè)值的概率，并列出表格即得分布列。三、找到隨機(jī)變量的所有可能值并求每種取值的概率【例3】設(shè)一汽車(chē)在前進(jìn)途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口,汽車(chē)在每個(gè)路口遇到綠燈(允許通行)的概率為,遇到紅燈（禁止通行）的概率為。假定汽車(chē)只在遇到紅燈或到達(dá)目的地時(shí)才停止前進(jìn),ξ表示停車(chē)時(shí)已經(jīng)通過(guò)的路口數(shù),求：(1）ξ的概率分布列及期望Eξ；（2）停車(chē)時(shí)最多已通過(guò)3個(gè)路口的概率。解析：(1）ξ可能取的值是0，1，2，3，4,P（ξ=0）=，P(ξ=1)=·=，P（ξ=2)=（）2·=,P（ξ=3）=(）3·=，P（ξ=4)=（)4=,∴ξ的分布列是ξ01234PEξ=0+1×+2×+3×+4×=.（2)P（ξ≤3）=1—P（ξ=4）=1=.溫馨提示本題的關(guān)鍵是正確求出各隨機(jī)變量的概率值。各個(gè)擊破類(lèi)題演練1一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取4個(gè),求其中所含白球個(gè)數(shù)的期望。解析:根據(jù)題目知所含白球數(shù)X服從參數(shù)N=10，M=5，n=4的超幾何分布，則E（X)==2,所以從中任取4個(gè)球平均來(lái)說(shuō)會(huì)含有2個(gè)白球。變式提示1根據(jù)氣象預(yù)報(bào),某地區(qū)下個(gè)月有小洪水的概率為0。25,有大洪水的概率為0.01.設(shè)工地上有一臺(tái)大型設(shè)備,為保護(hù)設(shè)備有以下二種方案。方案1：運(yùn)走設(shè)備,此時(shí)需花費(fèi)3800元.方案2:建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)2000元.但圍墻無(wú)法防止大洪水，當(dāng)大洪水來(lái)臨，設(shè)備受損，損失費(fèi)為60000元.試比較哪一種方案好.解析：對(duì)于方案1，花費(fèi)為3800元,損失為0元,花費(fèi)與期望損失之和為3800元；對(duì)于方案2,花費(fèi)為2000元損失費(fèi)的分布列為損失費(fèi)（元）600000概率0。010。99期望損失為60000×0.1+0×0。99=600（元），所以花費(fèi)與期望損失之和為2000+600=2600（元)；比較二種方案，方案2的花費(fèi)與期望損失之和較小，故方案2好。類(lèi)題演練2一接待中心有A、B、C、D四部熱線(xiàn)電話(huà)。已知某一時(shí)刻電話(huà)A、B占線(xiàn)的概率均為0。5，電話(huà)C、D占線(xiàn)的概率均為0.4，各部電話(huà)是否占線(xiàn)相互之間沒(méi)有影響。假設(shè)該時(shí)刻有ξ部電話(huà)占線(xiàn),試求隨機(jī)變量ξ的概率分布和它的期望.ξ可能取的值是0，1，2，3,4。解析:ξ可能取的值是0，1,2，3，4,P（ξ=0）=0。52×0。62=0.09.P(ξ=1)=×0。52×0。62+×0.52×0。4×0.6=0.3.P（ξ=2)=×0。52×0。62+×0。52×0.4×0。6+×0。52×0.42=0.37。P(ξ=3）=×0.52×0.4×0。6+×0。52×0.42=0。2。P（ξ=4）=0.52×0.42=0。04。于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列為ξ01234P0.090.30。370.20。04所以Eξ=0×0。09+1×0.3+2×0。37+3×0.2+4×0.04=1.8.變式提示2已知X的分布列為X-101P設(shè)Y=2X+3，則EY的值為（）A。B。4C.-1解析：EX=+=，EY=E(2X+3)=2EX+3=+3=.答案：A類(lèi)題演練3已知隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P（X=1）=0.3，P（X=2）=0。7，則EX的值為（）A。0。6B.0.7C解析:EX=1×0。3+2×0.7=1。7.答案：D變式提升3袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取1個(gè)球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球?yàn)橹?求取球次數(shù)ξ的概率分