數(shù)學(xué)學(xué)案：學(xué)習(xí)導(dǎo)航函數(shù)函數(shù)的表示方法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第二章函數(shù)2。1函數(shù)2。1.1函數(shù)-2。1。2函數(shù)的表示方法自主整理1.函數(shù)的概念設(shè)集合A是一個(gè)非空的數(shù)集，對(duì)A內(nèi)任意數(shù)x,按照確定的法則f,都有唯一確定的數(shù)值y與它對(duì)應(yīng),則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個(gè)函數(shù),記作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自變量,自變量的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;如果自變量取值a，則由法則f確定的值y稱(chēng)作函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作y=f（a)或y|x=a.所有函數(shù)值構(gòu)成的集合｛y|y=f(x),x∈A}叫做函數(shù)的值域。2。兩個(gè)函數(shù)的相等函數(shù)的定義含有三個(gè)要素,即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f.當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。3.區(qū)間(1)在數(shù)軸上，區(qū)間可以用一條以a,b為端點(diǎn)的線(xiàn)段來(lái)表示(如下表）。用實(shí)心點(diǎn)表示端點(diǎn)包括在區(qū)間內(nèi)，用空心點(diǎn)表示端點(diǎn)不包括在區(qū)間內(nèi)。定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間［a,b］｛x｜a〈x〈b｝開(kāi)區(qū)間(a，b){x|a≤x〈b}半開(kāi)半閉區(qū)間[a，b)｛x|a〈x≤b｝半開(kāi)半閉區(qū)間(a,b](2)無(wú)窮區(qū)間的概念：關(guān)于—∞,+∞作為區(qū)間的一端或兩端的區(qū)間稱(chēng)為無(wú)窮區(qū)間，它的定義和符號(hào)如下表：｛x|x≥a｝［a，+∞）{x｜x〉a｝（a，+∞）｛x|x≤a｝（-∞,a］｛x｜x<a｝（-∞，a）R(—∞，+∞)取遍數(shù)軸上所有值4。映射的概念設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)A內(nèi)任意一個(gè)元素x,在B中有一個(gè)且僅有一個(gè)元素y與x對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f是集合A到集合B的映射。這時(shí),稱(chēng)y是x在映射f的作用下的象,記作f(x).于是y=f（x),x稱(chēng)作y的原象，映射f也可記為f:A→B，x→f（x)。其中A叫做映射f的定義域（函數(shù)定義域的推廣)，由所有象f（x）構(gòu)成的集合叫做映射f的值域，通常記作f（A）.5.常用的函數(shù)表示法(1）列表法:通過(guò)列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表來(lái)表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法；（2）圖象法：就是用函數(shù)圖象來(lái)表達(dá)函數(shù)關(guān)系；（3）解析法：如果在函數(shù)y=f（x）(x∈A）中，f(x)是用代數(shù)式(或解析式)來(lái)表達(dá)的，則這種表達(dá)函數(shù)的方法叫做解析法（也稱(chēng)公式法)。6。分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同的取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).高手筆記1。(1)“y=f(x）”中的“f”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示,如“y=g（x)"；(2）函數(shù)符號(hào)“y=f(x）”中的f(x）表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,是一個(gè)數(shù),而不是f乘x。2。對(duì)應(yīng)法則可以有多種形式給出，可以是解析法,可以是列表法和圖象法，不管是哪種形式，都必須是確定的,且使集合A中的每一個(gè)元素在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng).3.函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng),若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種對(duì)應(yīng)就叫映射.A到B的映射與B到A的映射是截然不同的.4。區(qū)間和數(shù)軸是緊密聯(lián)系在一起的,在識(shí)別和使用區(qū)間符號(hào)時(shí)都不能脫離開(kāi)數(shù)軸。區(qū)間端點(diǎn)值的取舍是很容易出錯(cuò)的地方,一定要準(zhǔn)確判斷是該用小括號(hào)還是中括號(hào),正確書(shū)寫(xiě)。在用數(shù)軸表示時(shí)也要注意實(shí)心點(diǎn)和空心點(diǎn)的區(qū)別.對(duì)于某些不能用區(qū)間表示的集合就仍用集合符號(hào)表示。5.對(duì)于分段函數(shù)問(wèn)題，一般要分別轉(zhuǎn)化成在定義域內(nèi)的每一個(gè)區(qū)間上來(lái)解決。要明確分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不是多個(gè)函數(shù)，只是這個(gè)函數(shù)較為特殊，不像一般的函數(shù)可以用一個(gè)解析式表示，而只能分段表示.分段函數(shù)的畫(huà)法要領(lǐng)是根據(jù)各段上的函數(shù)解析式,分段畫(huà)出各段的圖象。6。若y=f（u),u=g(x),x∈(a,b），u∈（m，n），那么y=f［g（x)］稱(chēng)為復(fù)合函數(shù),u稱(chēng)為中間變量,它的取值范圍是g（x)的值域與(m，n)的交集。名師解惑1。如何理解構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域?求值域有幾種常用的方法?剖析：（1）解決一切函數(shù)問(wèn)題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：①自然型:指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍(如:分式函數(shù)的分母不為零,偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，等等);②限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn),因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽,不容易注意,或者即使注意到，在解題時(shí)卻忘記用到;③實(shí)際型:解決函數(shù)的綜合問(wèn)題與應(yīng)用問(wèn)題時(shí),應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。（2)求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題,中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問(wèn)題.求法主要有以下幾種：①配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù))；②判別式法(轉(zhuǎn)化為二次方程);③不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì))；④函數(shù)法(運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）.2.函數(shù)有哪幾種表示法？各有什么優(yōu)點(diǎn)和不足？剖析:（1）表示函數(shù)有三種方法：解析法,列表法，圖象法?，F(xiàn)實(shí)生活中如：商場(chǎng)各種商品與其價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系就是用列表法表示的;房地產(chǎn)公司出售的商品房,總價(jià)格與面積之間的函數(shù)關(guān)系就是用解析式來(lái)表示的；工廠(chǎng)每月的產(chǎn)量與月份之間的函數(shù)關(guān)系是用圖表來(lái)表示的。(2）表示函數(shù)的三種方法的優(yōu)點(diǎn)與不足，分別說(shuō)明如下。①用解析式表示函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)明扼要、規(guī)范準(zhǔn)確.可以利用函數(shù)的解析式求自變量x=a時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，還可利用函數(shù)的解析式列表、描點(diǎn)、畫(huà)函數(shù)的圖象,進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì),又可利用函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),分析和發(fā)現(xiàn)自變量與函數(shù)間的依存關(guān)系,猜想或推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)（如對(duì)稱(chēng)性、增減性等），探求函數(shù)的應(yīng)用等.不足之處是有些變量與函數(shù)關(guān)系很難或不能用解析式表示，求x與y的對(duì)應(yīng)值需要逐個(gè)計(jì)算、有時(shí)比較繁雜.②列表法的優(yōu)點(diǎn)是能鮮明地顯現(xiàn)出自變量與函數(shù)值之間的數(shù)量關(guān)系,于是一些數(shù)學(xué)用表應(yīng)運(yùn)而生.如用立方表、平方根表分別表示函數(shù).商店職員也制作售價(jià)與數(shù)量關(guān)系的計(jì)價(jià)表，方便收款.列表法的缺點(diǎn)是只能列出部分自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，難以反映函數(shù)變化的全貌。③用圖象表示函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀(guān)，清晰呈現(xiàn)函數(shù)的增減變化、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)、最大（或?。┲档刃再|(zhì)。圖象法的不足之處是所畫(huà)出的圖象是近似的、局部的,觀(guān)察或由圖象確定的函數(shù)值往往不夠準(zhǔn)確.由于以上表示函數(shù)的三種方法具有互補(bǔ)性，因此在實(shí)際研究函數(shù)時(shí),通常是三種方法交替使用.3。如何理解映射?為什么說(shuō)映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)?剖析：(1)理解映射的概念，必須注意以下幾點(diǎn)：①方向性，“集合A到集合B的映射"與“集合B到集合A的映射”往往不是同一個(gè)映射;②非空性，集合A、B必須是非空集合;③唯一性,對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素,集合B中都是唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng),這是映射的唯一性,也可以說(shuō)“在集合B中",A中任一元素的象必在集合B中,也叫映射的封閉性.④存在性,就是說(shuō)對(duì)集合A中任何一個(gè)元素，集合B中都有元素和它對(duì)應(yīng),這是映射的存在性。（2)映射也是兩個(gè)集合A與B元素之間存在的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系.說(shuō)其是一種特殊的映射，就是因?yàn)樗辉试S存在“一對(duì)一”與“多對(duì)一”這兩種對(duì)應(yīng)，而不允許存在“一對(duì)多”的對(duì)應(yīng)。映射中對(duì)應(yīng)法則f是有方向的,一般來(lái)說(shuō)從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射是不同的.講練互動(dòng)【例題1】下列各組中的兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是…（)A.f(x)=x，g（x)=B。f（n）=2n+1（n∈Z）,g(n）=2n-1（n∈Z）C。f（x）=x—2，g(t)=t-2D。f(x）=，g(x)=1+x解析：兩個(gè)函數(shù)相同必須有相同的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則。A中兩函數(shù)的值域不同；B中雖然定義域和值域都相同，但對(duì)應(yīng)法則不同;C中盡管表示自變量的兩個(gè)字母不同，但兩個(gè)函數(shù)的三個(gè)要素是一致的，因此它們是同一函數(shù)；D中兩函數(shù)的定義域不同。答案：C綠色通道給定兩個(gè)函數(shù)，要判斷它們是否是同一函數(shù),主要看兩個(gè)方面:一看定義域是否相同；二看對(duì)應(yīng)法則是否一致。只有當(dāng)兩函數(shù)的定義域相同且對(duì)應(yīng)法則完全一致時(shí),兩函數(shù)才可稱(chēng)為同一函數(shù)。只要三者中有一者不同即可判斷不是同一個(gè)函數(shù),比如上面對(duì)A的判斷即屬此。變式訓(xùn)練1。判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，并說(shuō)明理由.（1）y=x—1，x∈R與y=x-1，x∈N;（2）y=與y=；（3）y=1+與u=1+;(4)y=x2與y=x；(5）y=2｜x|與y=分析：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù),應(yīng)著眼于兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則的比較，而求定義域時(shí)應(yīng)讓原始的解析式有意義，而不能進(jìn)行任何非等價(jià)變換，對(duì)應(yīng)法則的判斷需判斷它的本質(zhì)是否相同而不是從表面形式上下結(jié)論.解:（1)不同，因?yàn)樗鼈兌x域不同。(2）不同，前者的定義域是x≥2或x≤—2，后者的定義域是x≥2。(3)相同，定義域均為非零實(shí)數(shù),對(duì)應(yīng)法則都是自變量取倒數(shù)后加1.（4）不同,定義域是相同的,但對(duì)應(yīng)法則不同.(5)相同，將y=2｜x｜利用絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值結(jié)果就是y=【例題2】設(shè)f，g都是由A到A的映射，其對(duì)應(yīng)法則(從上到下）如下表:表1映射f的對(duì)應(yīng)法則原象123象231表2映射g的對(duì)應(yīng)法則原象123象213試求f［g（1）］,g［f（2)],f｛g［f(3)］｝.分析：此題是將映射的概念和復(fù)合函數(shù)的求值相結(jié)合的一道典型的例題,解答此題首先要弄清f［g（x)］的含義和映射中原象和象的關(guān)系，然后再按照有關(guān)定義解題.解：∵g（1)=2,f（2）=3，∴f［g（1）］=f(2）=3。又∵g（3）=3，∴g［f(2)］=g（3）=3.∵f(3)=1，g(1）=2，∴f{g［f（3)］｝=f［g（1）］=f(2)=3.綠色通道讀懂對(duì)應(yīng)法則f和g的含義是解題的關(guān)鍵，要弄清在法則f和g的作用下,集合A中的元素在集合A中的象是什么，要掌握象與原象的定義.變式訓(xùn)練2。下列各圖中表示的對(duì)應(yīng)，其中能構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)是…（）圖2—1-1A.4B。3C.2解析：所謂映射，是指多對(duì)一或一對(duì)一的對(duì)應(yīng)且A中每一個(gè)元素都必須參與對(duì)應(yīng).只有圖（3)所表示的對(duì)應(yīng)符合映射的定義，即A中的每一個(gè)元素在對(duì)應(yīng)法則下,B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng).圖(1)不是映射,因A中的元素c沒(méi)有參與對(duì)應(yīng)，即違背A中的任一元素都必須參與對(duì)應(yīng)的原則。圖（2)、圖（4)不是映射,這兩個(gè)圖中集合A中的元素在B中有多個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),不滿(mǎn)足A中的任一元素在B中有且僅有唯一元素與之對(duì)應(yīng)的原則.綜上,可知能構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)為1。答案：D3。(2007山東濟(jì)寧二模,理10)已知A={a,b，c｝,B=｛-1，0,1｝,函數(shù)f:A→B滿(mǎn)足f(a）+f(b)+f(c）=0，則這樣的函數(shù)f(x)有（）A.4個(gè)B.6個(gè)C。7個(gè)D.8個(gè)解析:對(duì)f（a),f（b),f（c)的值分類(lèi)討論.當(dāng)f（a)=-1時(shí)，f(b)=0,f(c)=1或f(b）=1，f（c）=0，即此時(shí)滿(mǎn)足條件的函數(shù)有2個(gè);當(dāng)f（a）=0時(shí)，f（b）=—1，f（c)=1或f(b)=1,f(c）=-1或f(b)=0,f（c）=0,即此時(shí)滿(mǎn)足條件的函數(shù)有3個(gè)；當(dāng)f（a）=1時(shí),f（b)=0，f（c)=—1或f（b）=—1，f（c）=0,即此時(shí)滿(mǎn)足條件的函數(shù)有2個(gè)。綜上所得,滿(mǎn)足條件的函數(shù)共有2+3+2=7(個(gè)）.故選C.答案：C【例題3】求下列函數(shù)的值域:（1）y=x2—2x—1，x∈[0，3］；（2）y=；(3）y=;(4）y=|x—1｜+｜x—2|.分析:求二次函數(shù)的值域一般要數(shù)形結(jié)合,先配方找出對(duì)稱(chēng)軸,再考查給定區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，利用二次函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)的單調(diào)性，求出給定區(qū)間上的最大值和最小值,即可得到函數(shù)的值域.除數(shù)形結(jié)合之外,求函數(shù)的值域的方法還有逐步求解法、判別式法、分離常數(shù)法和利用有界性等。絕對(duì)值函數(shù)通常先化為分段函數(shù).解:（1)將原式變形，得y=（x-1)2-2,此函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,由于x∈［0，3］，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值-2.根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性知，x=3比x=0時(shí)的值要大,∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值2.∴這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)閇-2，2].（2）易知x≥2,∴≥0?！鄖=+3≥3.∴這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞).（逐步求解法）（3）先分離常數(shù),y=。①解法一（逐步求解法）：∵x2+1≥1,∴0<≤1?！?〉1≥-2?！鄖∈［-2,1）。解法二(判別式法）：兩邊同乘x2+1并移項(xiàng)，得（y—1）x2+y+2=0.又由①可知y<1,∴Δ=—4（y—1)(y+2）≥0。∴y∈［—2,1）.解法三(利用有界性）:∵y≠1，易得x2=.又∵x2≥0,∴≥0?！鄖∈[-2,1）.（4)原函數(shù)可化為y=由圖2—1-2可知y∈[1,+∞).圖2-1—2綠色通道求值域一定要注意定義域的限制,一定要在定義域的范圍內(nèi)求函數(shù)的值域。當(dāng)然,求值域一定要根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)確定.如果我們抓住了這些解決問(wèn)題的關(guān)鍵，求這類(lèi)問(wèn)題就能得心應(yīng)手.變式訓(xùn)練4.函數(shù)y=-x2+4x+5(1≤x≤4）的值域是…（)A.［5,8］B。［1，8]C.［5,9］D.[8，9］解析:y=—x2+4x+5=—（x—2)2+9(x∈［1，4]).∴當(dāng)x=2時(shí),y最大=9;當(dāng)x=4時(shí)，y最小=5?！嗪瘮?shù)值域?yàn)椋鹹|5≤x≤9}。答案：C【例題4】圖2—1—3是一個(gè)電子元件在處理數(shù)據(jù)時(shí)的流程圖：圖2-1—3（1）試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式;（2)求f(-3)、f（1）的值;（3）若f(x）=16，求x的值。分析:本題是一個(gè)分段函數(shù)問(wèn)題，當(dāng)輸入值x≥1時(shí),先將輸入值x加2再平方得輸出值y;當(dāng)輸入值x<1時(shí),則先將輸入值x平方再加2得輸出值y.解：（1)y=(2)f（—3)=（-3）2+2=11；f（1)=(1+2)2=9。（3)若x≥1,則(x+2）2=16,解得x=2或x=-6（舍去）。若x〈1，則x2+2=16，解得x=（舍去）或x=.綜上，可得x=2或x=.綠色通道通過(guò)實(shí)例,了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)并能簡(jiǎn)單應(yīng)用是新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求.對(duì)于分段函數(shù)來(lái)說(shuō),給定自變量求函數(shù)值時(shí),應(yīng)根據(jù)自變量所在的范圍利用相應(yīng)的解析式直接求值；若給定函數(shù)值求自變量,應(yīng)根據(jù)函數(shù)每一段的解析式分別求解,但應(yīng)注意要檢驗(yàn)該值是否在相應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi).變式訓(xùn)練5。(2007山東蓬萊一模，理13）設(shè)函數(shù)f(n)=k（k∈N＊),k是π的小數(shù)點(diǎn)后的第n位數(shù)字，π=3.1415926535…，則等于____________。解析：由題意得f（10)=5,f（5）=9,f(9)=3，f（3）=1，f(1）=1，…，則有=1。答案：1【例題5】已知函數(shù)f(x+1)=x2-1，x∈［—1，3］，求f(x）的表達(dá)式。分析:函數(shù)是一類(lèi)特殊的對(duì)應(yīng)，已知函數(shù)f(x+1)=x2-1，即知道了x+1的象是x2—1,求出x的象，即是f(x)的表達(dá)式.求解f(x）的表達(dá)式本題可用“配湊法”或“換元法”。解法一(配湊法）：∵f(x+1)=x2-1=（x+1)2-2(x+1)，∴f（x)=x2-2x.又x∈［—1，3］時(shí)，（x+1）∈[0,4］，∴f(x)=x2—2x，x∈[0,4］.解法二（換元法)：令x+1=t,則x=t-1，且由x∈［-1,3］知t∈［0，4］,∴由f（x+1)=x2—1,得f（t）=(t—1）2—1=t2—2t，t∈［0，4］?！鄁（x）=(x-1）2-1=x2—2x,x∈［0,4]。綠色通道已知函數(shù)f[g（x）]的表達(dá)式，求f(x）的表達(dá)式,解決此類(lèi)問(wèn)題一般有兩種思想方法，一種是用配湊的方法，一種是用換元的方法.所謂“配湊法”即把已知的f［g(x)]配湊成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,而后將g(x）全用x取代，化簡(jiǎn)得要求的f(x）的表達(dá)式;所謂“換元法"即令已知的f［g(x)］中的g(x)=t,由此解出x,即用t的表達(dá)式表示出x,后代入f[g（x)］,化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)式。需要注意的是,無(wú)論是用“配湊法”