第三章 圓（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

第3章圓（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、單選題1．下列命題中不正確的是（）A．圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸B．圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心C．圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等D．平分弦的直徑一定垂直于這條弦2．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．8 D．163．設(shè)⊙的半徑是r，點(diǎn)O到直線l的距離是d，若⊙與l有一個(gè)公共點(diǎn)，則r與d之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．已知一個(gè)扇形的半徑長(zhǎng)是，圓心角為，則這個(gè)扇形的面積為（

）A． B．C． D．5．如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BOC=40°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．30° D．20°6．如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點(diǎn)，∠ADC＝106°，則∠CAB等于（）A．10° B．14° C．16° D．26°7．如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，P是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP＝2，則OP等于（

）A． B． C． D．8．如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角的度數(shù)是（

）A．72° B．60° C．48° D．36°9．如圖，⊙的弦、交于點(diǎn)．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A． B．C． D．無(wú)法確定10．如圖，等腰內(nèi)接于，直徑，D是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，且交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①平分；②；③當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大；④當(dāng)，四邊形的面積為．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．設(shè)的半徑為，點(diǎn)在直線上，已知，那么直線與的位置關(guān)系是．12．如圖，正六邊形內(nèi)接于，，則邊心距的長(zhǎng)為．13．如圖，點(diǎn)，，均在的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，過(guò)，，三點(diǎn)的外接圓除經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)外還能經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)數(shù)為．14．如圖，在中，為直徑，，，則．

15．如圖，為的外接圓，，，則半徑長(zhǎng)為．

16．如圖，直徑AB為6的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B′，則圖中陰影部分的面積是．17．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是．18．如圖，是以為圓心，半徑為4的圓的兩條弦，，且點(diǎn)在內(nèi).點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).則的長(zhǎng)度的最大值為.三、解答題19．已知：如圖，⊙O中弦．求證：AD=BC．20．如圖，⊙O的直徑AB為10厘米，弦AC為6厘米，∠ACB的平分線交⊙O于D．（1）連AD，BD，判斷△ABD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求弦CD的長(zhǎng)．21．操作題：如圖，⊙O是ABC的外接圓，AB=AC，P是⊙O上一點(diǎn)．（1）請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，分別畫出圖①和圖②中∠P的平分線；（2）結(jié)合圖①，說(shuō)明你這樣畫的理由．22．如圖，在中，，以底邊為直徑的交兩腰于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）當(dāng)是等邊三角形，且時(shí)，求的長(zhǎng)．23．如圖，⊙O是△ABD的外接圓，AB為直徑，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，連接OC，BC分別交AD于點(diǎn)F，E．（1）求證：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長(zhǎng)．24．如圖，為的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑長(zhǎng)．25．根據(jù)題意求各圖中陰影部分的面積．（1）如圖1，在中，，，以A為頂點(diǎn)，為半徑畫弧，交于D點(diǎn)．（2）如圖2，已知扇形的圓心角為，半徑為2．（3）如圖3，是的直徑，弦，，．（4）如圖4，半徑為，圓心角為的扇形中、分別以、為直徑作半圓．26．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，則∠E=．（請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示）（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)AE，AF，若AC是⊙O的直徑．求∠AED的度數(shù)．

第3章圓（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、單選題1．下列命題中不正確的是（）A．圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸B．圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心C．圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等D．平分弦的直徑一定垂直于這條弦【答案】D【分析】利用圓的對(duì)稱性、圓周角定理及垂徑定理分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解析】解：、圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸，正確，不符合題意；、圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心，正確，不符合題意；、同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等，正確，不符合題意；、平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于這條弦，錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及垂徑定理．2．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理得出CM=DM，再由已知條件得出圓的半徑為5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，從而得出CD．【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CM=DM，∵AM=2，BM=8，∴AB=10，∴OA=OC=5，在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，∴CM==4，∴CD=8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理，掌握定理的內(nèi)容并熟練地運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3．設(shè)⊙的半徑是r，點(diǎn)O到直線l的距離是d，若⊙與l有一個(gè)公共點(diǎn)，則r與d之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離可知直線與圓的位置關(guān)系，從而可確定答案．【解析】∵⊙與l有一個(gè)公共點(diǎn)∴若⊙與l恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則d=r；若⊙與l有兩個(gè)公共點(diǎn)，則d<r故故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵清楚圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系決定直線與圓的位置關(guān)系．要注意的是：圓與直線有一個(gè)公共點(diǎn)包含恰有一個(gè)和有兩個(gè)的情形，否則易出錯(cuò)．4．已知一個(gè)扇形的半徑長(zhǎng)是，圓心角為，則這個(gè)扇形的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接求解即可．【解析】解：由扇形的面積公式可得，這個(gè)扇形的面積為故選B【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BOC=40°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】D【分析】先利用圓周角定理證明：再利用平行線的性質(zhì)可得答案.【解析】解：∠BOC=40°，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，平行線的性質(zhì)，掌握同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半是解題的關(guān)鍵.6．如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點(diǎn)，∠ADC＝106°，則∠CAB等于（）A．10° B．14° C．16° D．26°【答案】C【分析】連接BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，則可計(jì)算出∠BDC＝16°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠CAB的度數(shù)．【解析】解：如圖，連接BD，∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，∴∠CAB＝∠BDC＝16°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．7．如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，P是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP＝2，則OP等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)O作OC⊥AB于C，根據(jù)垂徑定理求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出OC，根據(jù)勾股定理求出OP即可．【解析】解：過(guò)O作OC⊥AB于C，則∠OCP＝∠ACO＝90°，∵OC⊥AB，OC過(guò)O，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，∵BP＝2，∴PC＝BC＋BP＝6，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝，在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分弦．8．如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角的度數(shù)是（

）A．72° B．60° C．48° D．36°【答案】A【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計(jì)算公式：計(jì)算即可．【解析】解：∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴五邊形ABCDE的中心角∠COD的度數(shù)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式：是解題的關(guān)鍵．9．如圖，⊙的弦、交于點(diǎn)．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A． B．C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，同弧或者等弧所對(duì)是圓周角是圓心角的一半，三角形的外角和，即可．【解析】∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，同弧或者等弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系．10．如圖，等腰內(nèi)接于，直徑，D是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，且交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①平分；②；③當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大；④當(dāng)，四邊形的面積為．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】證明，由圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)即可證明①②正確；當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，即可證明③正確；作，交延長(zhǎng)線于M，證明，利用勾股定理以及三角形面積公式，可得四邊形的面積，可得④錯(cuò)誤，即可．【解析】解：∵等腰內(nèi)接于圓O，且為直徑，∴，∴，即平分；故①正確；∵，∴，∵，∴；故②正確；∵為直徑，∴，∵，∵，∴要使四邊形的周長(zhǎng)最大，要最大，∴當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，此時(shí)，，故③正確；作，交延長(zhǎng)線于M，∵，∴，∵A、C、B、D四點(diǎn)共圓，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得：，∵，∴；∵，∴；∵直徑，，，∴，，∴，四邊形的面積為，故④錯(cuò)誤；綜上，①②③正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．二、填空題11．設(shè)的半徑為，點(diǎn)在直線上，已知，那么直線與的位置關(guān)系是．【答案】相切或相交/相交或相切【分析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，由條件可知點(diǎn)在上，則可知直線與相切或相交，即可得到答案，由條件判斷出點(diǎn)在圓上是解題的關(guān)鍵．【解析】解：，，，點(diǎn)在直線上，，直線與相切或相交，故答案為：相切或相交．12．如圖，正六邊形內(nèi)接于，，則邊心距的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，連接，證明是等邊三角形，得出，由垂徑定理求出，再由勾股定理求出即可．【解析】解：連接，，∵六邊形為正六邊形，，，是等邊三角形，，，，，故答案為：．13．如圖，點(diǎn)，，均在的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，過(guò)，，三點(diǎn)的外接圓除經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)外還能經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)數(shù)為．【答案】5【分析】本題考查過(guò)不在同一直線上三點(diǎn)的圓，熟練掌握?qǐng)A上各點(diǎn)到圓心的距離相等得出其外接圓是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，分別作、的中垂線，兩直線的交點(diǎn)為，以為圓心、為半徑作圓，則即為過(guò)，，三點(diǎn)的外接圓，由圖可知，還經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、、、這5個(gè)格點(diǎn)，故答案為：5．14．如圖，在中，為直徑，，，則．

【答案】【分析】本題考查的是圓周角定理，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論．【解析】，，，，故答案為：．15．如圖，為的外接圓，，，則半徑長(zhǎng)為．

【答案】2【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得出，證明為等邊三角形，進(jìn)而求出直徑．【解析】解：連接、，如圖所示：

∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴半徑長(zhǎng)為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是連接半徑，證明三角形是等邊三角形．16．如圖，直徑AB為6的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B′，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【分析】根據(jù)陰影部分的面積＝以AB′為直徑的半圓的面積+扇形ABB′的面積﹣以AB為直徑的半圓的面積，即可求解．【解析】解：陰影部分的面積＝以AB′為直徑的半圓的面積+扇形ABB′的面積﹣以AB為直徑的半圓的面積＝扇形ABB′的面積，則陰影部分的面積是：，故答案為：6π．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．17．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是．【答案】35°/35度【分析】根據(jù)點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，可得∠AOB=70°，再由圓周角定理，即可求解．【解析】解：∵點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，∴，∴∠AOB=∠BOC，∵∠AOC＝140°，∴∠AOB=70°，∵∠AOB=2∠D，∴∠D=35°．故答案為：35°【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．18．如圖，是以為圓心，半徑為4的圓的兩條弦，，且點(diǎn)在內(nèi).點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).則的長(zhǎng)度的最大值為.【答案】【分析】連接OC，BD，OA，AC，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CA于點(diǎn)H，利用圓周角定理可及垂徑定理可得到∠AOC的度數(shù)，同時(shí)可證得CH=AH，再利用勾股定理求出AH的長(zhǎng)，從而可得到AC的長(zhǎng)，當(dāng)BD時(shí)直徑時(shí)，PN的值最大；再利用三角形的中位線定理可求出MN，PN的長(zhǎng)，然后可得到PN+MN的最大值．【解析】解：連接OC，BD，OA，AC，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CA于點(diǎn)H，∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，∵OA=OC，OH⊥AC，∴CH=AH，∠COH=∠AOH=60°，

∴∠HAO=30°∴OH=OA=×4=2，在Rt△AOH中，AH2+OH2=AO2∴；∴當(dāng)BD時(shí)直徑時(shí)，PN的值最大，∵點(diǎn)P，M，N分別是BC，AD，CD的中點(diǎn)，∴MN和PN分別是△ADC和△BCD的中位線，∴∴.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，三角形的中位線定理，熟練的掌握這些定理是解題的關(guān)鍵；三、解答題19．已知：如圖，⊙O中弦．求證：AD=BC．【答案】見解析【分析】先根據(jù)等弦所對(duì)的劣弧相等得到，從而得到，再由等弧所對(duì)的弦相等即可得到．【解析】證明：∵AB=CD，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧與弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等弦所對(duì)的劣弧相等，等弧所對(duì)的弦相等．20．如圖，⊙O的直徑AB為10厘米，弦AC為6厘米，∠ACB的平分線交⊙O于D．（1）連AD，BD，判斷△ABD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求弦CD的長(zhǎng)．【答案】（1）△ABD為等腰直角三角形；理由見解析；（2）CD＝7厘米．【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠ADB=90°，再由角平分線定義和圓周角定理得，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)A點(diǎn)作AH⊥CD于H，先由等腰直角三角形的性質(zhì)求出CH、AH的長(zhǎng)，再由勾股定理求出DH的長(zhǎng)，即可得出答案．【解析】解：（1）△ABD為等腰直角三角形；理由如下：如圖，連接AD、BD，∵AB為直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴，∴AD＝BD，∴△ABD為等腰直角三角形；（2）過(guò)A點(diǎn)作AH⊥CD于H，由（1）△ABD為等腰直角三角形，∴ADAB10＝5厘米；在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，∴AH＝CHAC6＝3厘米，在Rt△ADH中，DH4，∴CD＝CH+DH＝347．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．操作題：如圖，⊙O是ABC的外接圓，AB=AC，P是⊙O上一點(diǎn)．（1）請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺，分別畫出圖①和圖②中∠P的平分線；（2）結(jié)合圖①，說(shuō)明你這樣畫的理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用圓心角、弧、弦的關(guān)系，得出作法即可；（2）由AB=AC得到，再利用圓周角定理可得．【解析】解：（1）如圖①，連接AP，即為所求角平分線；如圖②，連接AO并延長(zhǎng)，與⊙O交于點(diǎn)D，連接PD，即為所求角平分線．（2）∵AB=AC，∴，∴∠APB=∠APC．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖以及圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理等知識(shí)，熟練利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．22．如圖，在中，，以底邊為直徑的交兩腰于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）當(dāng)是等邊三角形，且時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，再由弧、弦、圓周角之間的關(guān)系證得，即可得到結(jié)論；（2）連接OD、OE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理求出∠DOE，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解析】解：（1）證明：∵，∴，∴，∴，∴；（2）連接OD、OE，∵是等邊三角形，∴，∴，，∴，∴，∵，∴的半徑為，∴的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，弧、弦、圓周角之間的關(guān)系，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，熟記各性質(zhì)定理及弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．23．如圖，⊙O是△ABD的外接圓，AB為直徑，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，連接OC，BC分別交AD于點(diǎn)F，E．（1）求證：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）BD＝2.8【分析】（1）利用弧的中點(diǎn),等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．（2）利用勾股定理，三角形中位線定理，垂徑定理的推論計(jì)算即可．【解析】（1）證明：∵C是的中點(diǎn)，∴，∴∠ABC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；（2）解：連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝6，∵C是的中點(diǎn)，∴OC⊥AD，∴，∴，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，∴OF是△ABD的中位線，∴BD＝2OF＝2.8．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及其推論，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握垂徑定理，靈活運(yùn)用勾股定理和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．24．如圖，為的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)和判定，得出即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理即可求出直徑的長(zhǎng)，進(jìn)而求出半徑即可．【解析】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，即，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；

（2）解：連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形，掌握切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．25．根據(jù)題意求各圖中陰影部分的面積．（1）如圖1，在中，，，以A為頂點(diǎn)，為半徑畫弧，交于D點(diǎn)．（2）如圖2，已知扇形的圓心角為，半徑為2．（3）如圖3，是的直徑，弦，，．（4）如圖4，半徑為，圓心角為的扇形中、分別以、為直徑作半圓．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）cm2【分析】（1）陰影部分的面積等于三角形的面積-扇形的面積，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．（2）陰影部分的面積等于扇形的面積-三角形的面積，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．（3）首先證明OE=OC=OB，則可以證得△OEC≌△BED，則S陰影=S扇形OCB，利用扇形的面積公式即可求解．（4）假設(shè)出扇形半徑，再表示出半圓面積，以及扇形面積，進(jìn)而即可表示出兩部分P，Q面積相等．連接AB，OD，根據(jù)兩半圓的直徑相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出M部分的面積=S△AOD，利用陰影部分Q的面積為：S扇形AOB-S半圓-SM，故可得出結(jié)論．【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴∠A=45°，∴陰影部分的面積==；（2）過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，∵∠AOB=60°，OA=OB=2，∴△OAB為等邊三角形，∴AB=2，∴AC=BC=1，OC=，∴陰影部分的面積==；（3）如圖，記交于∵∠COB=2∠CDB=60°，又∵CD⊥AB，∴∠OCE=30°，CE=DE=，∴OE=OC=OB=，∴OE=BE，則在△OEC和△BED中，，∴△OEC≌△BED（SAS），∴陰影部分的面積=扇形OCB的面積=（4）設(shè)整個(gè)圖形分割成P，Q，M，M四個(gè)部分，面積分別為SP，SQ，SM，SM．∵扇形OAB的圓心角為90°，扇形半徑為2，∴扇形面積為（cm2），半圓面積為：（cm2），∴SQ+SM=SM+SP=（cm2），∴SQ=SP，連接AB，OD，∵兩半圓的直徑相等，∴∠AOD=∠BOD=45°，∴SM=S△AOD=×2×1=1（cm2），∴陰影部分Q的面積為：S扇形AOB-S半圓-SM=（cm2）．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟知三角形及扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．26．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，則∠E=．（請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示）（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交CD