第二十七章 相似（7類題型突破）

第二十七章相似題型一成比例線段【例1】（2023上·吉林長春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（

）A． B．C． D．，，，鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·陜西西安·九年級(jí)陜西師大附中?？计谥校┫铝虚L度的四組線段中，是成比例線段的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）已知線段，，，是成比例線段，其中，，，則的值是（

）A．6 B．4 C．8 D．103．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，74．（2023上·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知四個(gè)數(shù)，，，成比例，則的值是（

）A． B． C． D．5．（2023上·江蘇常州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若線段a，b，c，d是成比例線段，且，，，則（

）A． B．8 C．2 D．36．（2023上·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線段，，如果線段是線段和的比例中項(xiàng)，那么線段的長度是（

）A． B．8 C．9 D．107．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校考期中）下列各組線段中，長度成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，8．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．，，， B．，，，；C．，．，； D．，，，9．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)咸陽彩虹學(xué)校?？计谥校┮阎?，，4，是一組成比例線段，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．10．（2023上·上海崇明·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在比例尺是的地圖上測得A、B兩點(diǎn)間的距離為2厘米，那么兩地的實(shí)際距離為千米．11．（2023上·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線段，則線段a和b的比例中項(xiàng)為．題型二平行線分線段成比例定理【例2】（2023上·甘肅張掖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，中，D、E分別在上，，若，求的長．

鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）中，D、E分別是邊、上的點(diǎn)，下列各式中，能判斷的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明在練習(xí)本上畫出直線，直線m，n分別與直線a，b，c交于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，則下列比例式錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．3．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，直線AC和DF被直線、、所截，，，，則的長為（

）A．7 B． C． D．4．（2023上·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，直線m分別交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n分別交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若，，則DF的長為（

）A． B． C．6 D．5．（2023上·四川遂寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知直線，，分別交直線于點(diǎn)、、，交直線于點(diǎn)、、，且．若，，，則（

）

A． B．6 C．3 D．56．（2023上·廣西來賓·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是某商店售賣的花架簡圖，其中，，，，則長為（

）．A． B． C．50 D．307．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，直線，與這三條平行線分別交于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，，若，，，則的長等于．8．（2023上·山東東營·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，，則的長度為．

9．（2023上·湖南株洲·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)圖象的兩支上（在第一象限），連接交軸于點(diǎn)．點(diǎn)D，E在函數(shù)圖象上，軸，軸，連接．若，的面積為9，四邊形的面積為14，則的值為．

10．（2023上·上海奉賢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線段、、c（如圖），求作線段，使．（不要求寫作法）

11．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，直線m、n與a、b、c分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．若，．求的長．12．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中、已知，，，，求的長．13．（2023上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，且，，，求的長．

14．（2023上·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，．

(1)尺規(guī)作圖：作直線交于點(diǎn)E；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求的長．題型三相似多邊形的性質(zhì)和判定【例3】（1）（2023上·安徽安慶·九年級(jí)安徽省安慶市外國語學(xué)校校考期中）如圖，四邊形四邊形，，，，則.

（2）（2023上·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）一塊矩形綢布的寬，長，按照?qǐng)D中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，那么a的值應(yīng)當(dāng)是．

鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·湖南岳陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中，正確命題的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．底邊相等的兩個(gè)等腰三角形相似 D．對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形相似2．（2023上·上海奉賢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中真命題是（

）A．四個(gè)內(nèi)角都相等的兩個(gè)四邊形一定相似 B．所有菱形都一定相似C．所有的等邊三角形都相似 D．一條線段只有一個(gè)黃金分割點(diǎn)3．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知矩形中，，下面四個(gè)矩形中與矩形相似的是（）A．

B．

C．

D．

4．（2023上·北京通州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．任意兩個(gè)矩形一定相似 B．任意兩個(gè)菱形一定相似C．任意兩個(gè)等腰直角三角形一定相似 D．任意兩個(gè)平行四邊形一定相似5．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，將一個(gè)矩形紙片沿，的中點(diǎn)，的連線對(duì)折，若對(duì)折后的矩形與原矩形相似，則（

）

A． B． C． D．6．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形四邊形，若，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把一個(gè)矩形紙片分割成三個(gè)全等的小矩形紙片，若小矩形紙片與原矩形紙片相似，則原矩形紙片的長與寬之比為（

）A． B． C． D．8．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)校考期中）四邊形是一張矩形紙片，將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則矩形的面積為（）A． B． C． D．9．（2023上·福建泉州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）開本指書刊幅面的規(guī)格大小，如圖，將一張矩形印刷用紙對(duì)折后可以得到2開紙，再對(duì)折得到4開紙，以此類推可以得到8開紙、16開紙……這些開本紙都是相似的圖形，則這些相似的矩形的長與寬的比值是．

10．（2023上·廣西來賓·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形四邊形，若，則．（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）某小區(qū)有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路，使得小路內(nèi)外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由．12．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形的邊上任取一點(diǎn)O（不與點(diǎn)A、B重合）連接、，分別取的中點(diǎn)、、、，連接、、，四邊形與四邊形相似嗎？為什么？

題型四相似三角的判定【例4】（1）（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)，在線段上，，，求證：．

（2）（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的的網(wǎng)格中，和的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．求證：．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列條件中，不能判定與相似的是（）A．，，；B．，，，，；C．，；D．，2．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，是的平分線，與交于點(diǎn)M，，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在和中，已知，則添加下列條件能判定和相似的是（）A． B． C． D．4．（2023上·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，D，E分別是的邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，B，C均不重合），添加下列一個(gè)條件，不能判定與相似的是（

）

A． B． C． D．5．如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定的是（）

A． B． C． D．6．（2023上·福建泉州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下列圖形中，與已知三角形相似的三角形是(

)

A．

B．

C．

D．

7．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，、分別是的、上的點(diǎn)，則下列條件不能判定與相似的是（

）

A． B．C． D．8．（2023上·江蘇常州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知，請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得．

9．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在和中，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使得．（填一個(gè)即可）

10．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)安徽省安慶市外國語學(xué)校校考期中）如圖，線段、是的兩條高．求證：．

11．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)校考期中）在銳角三角形中，點(diǎn)、分別在邊、上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，，，求的長．題型五相似三角形的性質(zhì)【例5】（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊上，相交于點(diǎn)O，，．

(1)如果，求的長;(2)如果的面積為2，求的面積.鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，邊，高，邊長為x的正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上，則正方形邊長x為（）

A． B． C． D．2．（2023上·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩個(gè)相似三角形的相似比是，則這兩三角形面積的比是（

）A． B． C． D．3．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，若，則的長為（

）．

A．1.5 B．2 C．3 D．44．（2023上·陜西西安·九年級(jí)陜西師大附中校考期中）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)E，且．已知，則的長是．

5．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將一張三角形彩紙按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊上，記為點(diǎn)F，折痕為．已知，，若以點(diǎn)C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長是（）

A． B． C．或4 D．或46．（2023上·湖南岳陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，．已知，，則的長是．

7．（2023上·四川遂寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是一張銳角三角形的紙板，是上的高，，，從這張紙板上如圖剪下一個(gè)矩形，且，則剪下的這個(gè)矩形的周長為．

8．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，是的角平分線，交線段于點(diǎn)E，，，，則的面積為．

9．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在等邊中，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，連接．

（1）當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)，的長為；（2）若點(diǎn)P移動(dòng)到使時(shí)，的長為．10．（2023上·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，D、E在、上，，，求的長．

11．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)，分別在，上，，．

(1)求證：(2)作于點(diǎn)，，，求的長．12．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，與相交于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，，，求的長．13．（2023上·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，．(1)求證：；(2)如果的面積為10，則四邊形的面積為______．14．（2023上·上海奉賢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在為等腰梯形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)沿著直線翻折得到聯(lián)結(jié)，分別于、相交于點(diǎn)F、G．

(1)求證：、互相平分；(2)若，求的比．15．（2023上·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等腰三角形中，，D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（不與B、C重合）在邊上取一點(diǎn)E，使．

(1)求證：；(2)設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍16．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，點(diǎn)也停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，與相似？

17．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是的角平分線，延長至D，使得．

(1)求證：；(2)若，，，求長．18．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分，．

(1)求證：；(2)若求的長．19．（2023上·福建寧德·九年級(jí)福鼎市第一中學(xué)?？计谥校┰谥校?，，如圖1，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到，其中D是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，E是點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，求線段的長；(3)連接，，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由．題型六相似三角形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用【例6】（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谥校垘煾涤幸粔K如的銳角三角形木料，其中，高，張師傅想把它加工成矩形零件，使一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊、上，與交于點(diǎn)H．

(1)當(dāng)點(diǎn)P恰好為中點(diǎn)時(shí)，______；(2)當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求出這個(gè)零件的邊長；(3)若這個(gè)零件的邊．則這個(gè)零件的長、寬各是多少？鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）人字梯也稱折梯，是平面上方空間工作的一種登高工具，因其使用時(shí)左右的梯桿及地面構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，看起來像一個(gè)“人”字，因而把它形象地稱為“人字梯”，如圖所示．圖是其工作示意圖，已知，拉桿，．若米，則兩梯桿跨度，之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)寧波市海曙外國語學(xué)校?？计谥校榱藴y量河寬，有如下方法：如圖，取一根標(biāo)尺橫放，使，并使點(diǎn)，，和點(diǎn)，，分別在同一條直線上，量得米，米，米，則河寬的長度為（

）米．

A．24 B．30 C．32 D．403．（2023上·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一斜坡長，高為，將重物從坡底A推到坡上高度是的M出處停下，則斜坡的長度為米．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小明的身高是，他的影長是．同一時(shí)刻古塔的影長是，則古塔的高是．5．（2023上·福建寧德·九年級(jí)福鼎市第一中學(xué)?？计谥校┬←愅瑢W(xué)準(zhǔn)備測量學(xué)校教學(xué)樓的高度．如圖，她在與教學(xué)樓底部A同一個(gè)水平的地面上放一面平面鏡，鏡子與教學(xué)樓的距離為24米，然后在射線上調(diào)整自己與鏡子的距離，直到剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，此時(shí)她與鏡子的距離為3米，若小麗的眼睛距離地面高度為米，請(qǐng)你幫小麗利用這些數(shù)據(jù)求出教學(xué)樓的高度．6．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明欲測量一座信號(hào)發(fā)射塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到自己影子的頂端正好與塔的影子的頂端重合，此時(shí)他距離該塔20米（米）．已知小明的身高是1.8米（米），他的影長是2米（米），點(diǎn)E在AC上，且，．求信號(hào)發(fā)射塔的高度．

（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考期中）如圖，小明在某一時(shí)刻測得米長的竹竿豎直放置時(shí)影長米，在同一時(shí)刻旗桿的影長不全落在水平地面上，有一部分落在樓房的墻上，他測得落在地面上影長為米，留在墻上的影長米，求旗桿的高度．

8．（2023上·湖南常德·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在一次測量操場旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小剛拿一根高的竹竿直立在離旗桿的點(diǎn)C處，然后走到點(diǎn)D處，這時(shí)目測到旗桿頂部A與竹竿頂部E恰好在同一直線上，又測得C，D兩點(diǎn)間的距離為，小剛的目高（眼睛到底面的距離）為，則旗桿的高度為（

）

A． B． C． D．9．（2023上·福建泉州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀下列材料，回答問題：任務(wù)：測量福建閩江河的一條支流的寬度．工具：米長的標(biāo)桿和米長的標(biāo)桿，皮尺（有刻度）等．小康所在的數(shù)學(xué)興趣小組利用皮尺、標(biāo)桿測出了閩江河的一條支流的寬度，測量過程如下：（1）小康站在河岸的一端點(diǎn)B處立了一根米長的標(biāo)桿（）；（2）小明站河岸的另一端點(diǎn)D處，立了另一根米長的標(biāo)桿（）；（3）小英在點(diǎn)A處測得點(diǎn)A，B，D恰好在同一條直線上，點(diǎn)A，C，E恰好在同一條直線上；（4）小康利用皮尺測出米．求解過程：∵，，∴．∵，∴，∴．∵米，米，米，設(shè)，∴①，解得②，答：閩江河的一條支流寬度為※※※米．(1)補(bǔ)全小康求解過程中①②缺失的內(nèi)容．(2)小康求得閩江河的一條支流的寬度用到的幾何知識(shí)是______．(3)請(qǐng)你利用皮尺等工具，并利用相似三角形的知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)與材料不同的測量方案，畫出圖形，并簡要說明一下（不必計(jì)算）．10．（2023上·廣東茂名·九年級(jí)校考期中）綜合與實(shí)踐主題：利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)測量建筑物的高度．素材：平面鏡、標(biāo)桿、皮尺等測量工具．步驟1：如圖，站在B處，位于點(diǎn)B正前方3米點(diǎn)C處有一平面鏡，通過平面鏡剛好可以看到建筑物的頂端M的像，此時(shí)測得眼睛到地面的距離為1.5米；步驟2：在F處豎立了一根高2米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)D、標(biāo)桿頂點(diǎn)E和建筑物頂端M在一條直線上，此時(shí)測得為6米，為4米．猜想與計(jì)算：已知，點(diǎn)N、C、B、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)N、C之間存在障礙物，無法直接測量．請(qǐng)根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)：

(1)直接寫出平面鏡到建筑物的距離與建筑物高度之間的數(shù)量關(guān)系；(2)計(jì)算建筑物的高度（平面鏡大小忽略不計(jì)）．11．（2023上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小斌想用學(xué)過的知識(shí)測算河的寬度．在河對(duì)岸有一棵高米的樹，樹在河里的倒影為，且，小斌在岸邊調(diào)整自己的位置，當(dāng)站在點(diǎn)B處時(shí)恰好看到岸邊點(diǎn)C和倒影頂點(diǎn)H在一條直線上，點(diǎn)C到水面的距離米，小斌的眼睛與地面的距離為米，米，，，，，，視線與水面的交點(diǎn)為D，請(qǐng)你根據(jù)以上測量方法及數(shù)據(jù)，求出河的寬度．題型七圖形的位似【例7】（2023上·遼寧沈陽·九年級(jí)沈陽市南昌初級(jí)中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）?？计谥校┤鐖D，正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求畫圖和解答下列問題：(1)以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，畫出的中心對(duì)稱圖形．(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在原點(diǎn)的另一側(cè)畫出的位似三角形，與的位似比為；(3)的面積_________．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．（2023上·吉林長春·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形．若，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東深圳·深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)分別為，若以原點(diǎn)為位似中心，相似比為2，將放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．4．（2023上·湖南永州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，與是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

5．（2023上·四川遂寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1）．

(1)以點(diǎn)為位似中心，在第一象限畫出的位似圖形，使與的位似比為；(2)若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______．6．（2023上·湖南常德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，兩個(gè)相似圖形和，若，則．7．（2023上·福建寧德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．

(1)畫圖：以點(diǎn)為位似中心將向右側(cè)放大兩倍；(2)若內(nèi)有一點(diǎn)，則放大后點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是____________．7．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)?？计谥校┤鐖D，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．

(1)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的；(2)以原點(diǎn)為位似中心在第二象限內(nèi)畫一個(gè)，使它與位似，且相似比為；(3)若內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．8．（2023上·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)在網(wǎng)格中畫出，使與關(guān)于軸對(duì)稱；(2)在網(wǎng)格中畫出，使是的位似圖，且位似中心為點(diǎn)，位似比值為；(3)寫出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2023上·江蘇常州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，且每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求完成如圖畫圖．（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）

(1)在圖1中，以為邊，畫出，使，C為格點(diǎn)；(2)在圖2中，以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中畫出，使與位似，且位似比，點(diǎn)D、E為格點(diǎn)．10．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在的網(wǎng)格中，已知和點(diǎn)．(1)以點(diǎn)為位似中心，位似比為2，畫出的位似圖形；(2)寫出的各頂點(diǎn)坐標(biāo)．11．（2023上·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)以原點(diǎn)為位似中心，在第一象限內(nèi)將縮小得到，相似比為，請(qǐng)畫出；(2)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（______，______）；(3)求出的面積．12．（2023上·福建泉州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．

(1)作出關(guān)于軸對(duì)稱的．(2)將沿著軸的負(fù)方向平移2個(gè)單位長度，再沿著軸的正方向向上平移2個(gè)單位長度得到，請(qǐng)作出．(3)在軸的左側(cè)以為位似中心，作的位似三角形，使得，并分別寫出點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，的坐標(biāo)．

第二十七章相似題型一成比例線段【例1】（2023上·吉林長春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（

）A． B．C． D．，，，【答案】D【分析】根據(jù)成比例線段的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、由，可知這一組線段不成比例，所以A不符合題意；B、由，可知這一組線段不成比例．所以B不符合題意；C、由，可知這一組線段不成比例．所以C不符合題意；D、由，可知這一組線段成比例．所以D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了成比例線段的判斷，理解定義是解題的關(guān)鍵，即如果四條線段a，b，c，d滿足，那么這四條線段稱為比例線段．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·陜西西安·九年級(jí)陜西師大附中校考期中）下列長度的四組線段中，是成比例線段的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了成比例線段的定義，根據(jù)最大線段最小線段其他兩條線段的乘積，那么這些線段是成比例線段，據(jù)此進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：A、∵，∴長分別為的四條線段是成比例線段，符合題意；B、∵，∴長分別為的四條線段不是成比例線段，不符合題意；C、∵，∴長分別為的四條線段不是成比例線段，不符合題意；D、∵，∴長分別為的四條線段不是成比例線段，不符合題意；故選A．2．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）已知線段，，，是成比例線段，其中，，，則的值是（

）A．6 B．4 C．8 D．10【答案】B【分析】本題主要考查了成比例線段．根據(jù)題意可得，再把，，代入，即可．【詳解】解：∵線段，，，是成比例線段，∴，∵，，，∴，解得：．故選：B3．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，7【答案】C【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案，最小數(shù)和最大數(shù)相乘，另外兩數(shù)相乘，看它們的積是否相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、∵，∴四條線段不成比例；B、∵，∴四條線段不成比例；C、∵，∴四條線段成比例；D、∵，∴四條線段不成比例．故選：C．4．（2023上·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知四個(gè)數(shù)，，，成比例，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了比例線段，利用成比例的定義得到，然后根據(jù)比例性質(zhì)求即可，解題的關(guān)鍵是理解比例線段的定義，利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積．【詳解】由題意得，，∴，∴，故選：．5．（2023上·江蘇常州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若線段a，b，c，d是成比例線段，且，，，則（

）A． B．8 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)四條線段成比例，列出比例式，再把，，代入計(jì)算即可．【詳解】解：線段a，b，c，d是成比例線段，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，掌握比例線段的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6．（2023上·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線段，，如果線段是線段和的比例中項(xiàng)，那么線段的長度是（

）A． B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)線段的比例中項(xiàng)的定義得到，再代值求解即可．【詳解】解：∵線段b是線段a和c的比例中項(xiàng)，∴，∵，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的比例中項(xiàng)，能根據(jù)定義正確列出a、b、c的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．7．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校考期中）下列各組線段中，長度成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【分析】本題考查線段成比例的知識(shí)．四條線段成比例，根據(jù)線段的長短關(guān)系，從小到大排列，判斷中間兩項(xiàng)的積是否等于兩邊兩項(xiàng)的積，相等即成比例．【詳解】解：A、由于，所以不成比例，不符合題意；B、由于，所以不成比例，不符合題意；C、由于，所以不成比例，不符合題意；D、由于，所以成比例，符合題意．故選：D．8．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．，，， B．，，，；C．，．，； D．，，，【答案】B【分析】本題考查的是成比例的線段的判定，先把每個(gè)選項(xiàng)的四條線段按照從小到大的順序排列，再判斷四條線段是否成比例即可．【詳解】解：A．，故該選項(xiàng)不符合題意；B．，故該選項(xiàng)符合題意；C．，故該選項(xiàng)不符合題意；D．，故該選項(xiàng)不符合題意；故選B．9．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)咸陽彩虹學(xué)校?？计谥校┮阎?，，4，是一組成比例線段，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)成比例線段的概念，則可得，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，即可求得與b的關(guān)系．【詳解】∵是一組成比例線段，故選：D．【點(diǎn)睛】如果四條線段a、b、c、d滿足，則稱、、、為成比例線段，注意在中，比例外項(xiàng)是和，比例內(nèi)項(xiàng)是和c．10．（2023上·上海崇明·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在比例尺是的地圖上測得A、B兩點(diǎn)間的距離為2厘米，那么兩地的實(shí)際距離為千米．【答案】10【分析】本題考查了比例線段，比例尺的定義，根據(jù)比例尺=圖上距離實(shí)際距離，依題意列出比例式，即可求得實(shí)際距離．【詳解】解：設(shè)這兩地的實(shí)際距離是x厘米，則：解得：，1000000厘米=10千米．故答案為：10．11．（2023上·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線段，則線段a和b的比例中項(xiàng)為．【答案】6【分析】本題考查了比例中項(xiàng)的概念，即“當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng)”，設(shè)線段a和b的比例中項(xiàng)為c，列出比例式即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)線段a和b的比例中項(xiàng)為c，∵，∴，∴，解得：，又∵線段不能是負(fù)數(shù)，∴舍去，∴，故答案為：6．題型二平行線分線段成比例定理【例2】（2023上·甘肅張掖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，中，D、E分別在上，，若，求的長．

【答案】/【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）中，D、E分別是邊、上的點(diǎn)，下列各式中，能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線被第三條線段所截，對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行逐項(xiàng)判斷即可．掌握“如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三條邊”是解題的關(guān)鍵．【詳解】

A選項(xiàng)：由可得，但不能得到；B選項(xiàng)：由不一定得到；C選項(xiàng)：由可得；D選項(xiàng)：由不一定得到．故選：C2．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明在練習(xí)本上畫出直線，直線m，n分別與直線a，b，c交于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，則下列比例式錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，找出對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．【詳解】A.，，結(jié)論正確，故不符合題意；B.，，結(jié)論正確，故不符合題意；C.線段不是直線m，n上的線段，與不一定相等，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；D.，，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：C．3．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，直線AC和DF被直線、、所截，，，，則的長為（

）A．7 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例得出比例式代入即可．【詳解】解：，，，．故選B．4．（2023上·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，直線m分別交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n分別交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若，，則DF的長為（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)得，進(jìn)行計(jì)算即可得，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：A．5．（2023上·四川遂寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知直線，，分別交直線于點(diǎn)、、，交直線于點(diǎn)、、，且．若，，，則（

）

A． B．6 C．3 D．5【答案】B【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是先由，運(yùn)用平行線分線段成比例的內(nèi)容可得；再結(jié)合，，求解．【詳解】解：，，即，解得．故選B．6．（2023上·廣西來賓·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是某商店售賣的花架簡圖，其中，，，，則長為（

）．A． B． C．50 D．30【答案】D【分析】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．由，利用平行線分線段成比例，可求出的長．【詳解】解：，，即，，的長是．故選：D．7．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，直線，與這三條平行線分別交于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，，若，，，則的長等于．【答案】【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算，得到答案，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得：，故答案為：．8．（2023上·山東東營·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，，則的長度為．

【答案】3【分析】根據(jù)，，判斷出，再根據(jù)，，得出，，便可求解了．【詳解】解：，，四邊形是平行四邊形，，，，，，又，又，，，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握這些基本知識(shí)是解此題的關(guān)鍵．9．（2023上·湖南株洲·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)圖象的兩支上（在第一象限），連接交軸于點(diǎn)．點(diǎn)D，E在函數(shù)圖象上，軸，軸，連接．若，的面積為9，四邊形的面積為14，則的值為．

【答案】9【分析】如圖，延長，交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，而軸，軸，可得，的面積是5，設(shè)，，則，，，利用面積可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解題即可．【詳解】解：如圖，延長，交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，而軸，軸，∴，∵的面積為9，四邊形的面積為14，∴的面積是5，

設(shè)，，∴，，∴，，，，∴，，整理得：，，∵，，∴，∴，∴，則③，把③代入②得：，∴，即④，把③代入①得：⑤，把④代入⑤得：；故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，平行線分線段成比例的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形面積，熟練的利用方程思想解題是關(guān)鍵．10．（2023上·上海奉賢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線段、、c（如圖），求作線段，使．（不要求寫作法）

【答案】見解析【分析】先作，再在的邊上依次截取，，在邊上截取，連接，作，角的一邊交于，可得，可得，從而得到線段即為所求作的線段．【詳解】解：∵，∴．作圖如下：

線段就是所求的線段x．【點(diǎn)睛】本題考查的是作一條線段等于已知線段，作一個(gè)角等于已知角，平行線的判定，比例的基本性質(zhì)，平行線分線段成比例，熟練的利用平行線分線段成比例并應(yīng)用于作圖是解本題的關(guān)鍵．11．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，直線m、n與a、b、c分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．若，．求的長．【答案】9【分析】本題考查了平行線分線段成比例．熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．由，可得，由，可得，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，解得，，∴的長為9．12．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中、已知，，，，求的長．

【答案】【分析】本題主要考查平行線段分線段成比例，由題意得到即可求出的值，得到答案．【詳解】解：，，，，．13．（2023上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，且，，，求的長．

【答案】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例．根據(jù)平行線分線段成比例，可得，即可求解．【詳解】解：，．∵，，，∴．14．（2023上·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，．

(1)尺規(guī)作圖：作直線交于點(diǎn)E；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖以及平行線分線段成比例．（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可作答；（2）根據(jù)平行線分線段成比例即可作答．【詳解】（1）如圖所示，

直線即為所求；（2）由作圖可知，又∵，∴．∴．∵，∴．題型三相似多邊形的性質(zhì)和判定【例3】（1）（2023上·安徽安慶·九年級(jí)安徽省安慶市外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，四邊形四邊形，，，，則.

【答案】【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等求解即可．【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴，，∵，∴，故答案為：．（2）（2023上·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）一塊矩形綢布的寬，長，按照?qǐng)D中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，那么a的值應(yīng)當(dāng)是．

【答案】【分析】根據(jù)裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，構(gòu)建方程，即可求解．【詳解】解：∵裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，∴，解得：（負(fù)值舍去）．故答案為：鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·湖南岳陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中，正確命題的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．底邊相等的兩個(gè)等腰三角形相似 D．對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形相似【答案】A【分析】本題主要考查了相似多邊形的判定，解題的關(guān)鍵在于熟知兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)角分別相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、∵所有正方形的四個(gè)角都是90度，對(duì)應(yīng)邊成比例，∴所有的正方形都相似，故原命題正確，符合題意；B、∵所有的菱形其四個(gè)角不一定對(duì)應(yīng)相等，∴所有的菱形不一定都相似，原命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似，原命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、對(duì)角線相等的兩個(gè)矩形不一定相似，例如長方形和正方形的對(duì)角線相等，但是它們不相似，原命題錯(cuò)誤，不符合題意；故選A．2．（2023上·上海奉賢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中真命題是（

）A．四個(gè)內(nèi)角都相等的兩個(gè)四邊形一定相似 B．所有菱形都一定相似C．所有的等邊三角形都相似 D．一條線段只有一個(gè)黃金分割點(diǎn)【答案】C【分析】本題考查相似圖形的判定，根據(jù)相似三角形以及相似多邊形的判定，對(duì)比每個(gè)選項(xiàng)，看能否舉出反例即可得出答案．【詳解】解：A、四個(gè)內(nèi)角都相等的兩個(gè)四邊形，但是四條邊不一定成比例，原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；B、菱形的四條邊都對(duì)應(yīng)成比例，但是四個(gè)內(nèi)角不一定對(duì)應(yīng)相等，原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；C、所有的等邊三角形三個(gè)角都等于，三個(gè)角都相等，原命題是真命題，本選項(xiàng)符合題意；D、一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意．故選：D．3．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知矩形中，，下面四個(gè)矩形中與矩形相似的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】驗(yàn)證對(duì)應(yīng)邊是否成比例即可判斷．【詳解】解：A：，符合題意；B：，不符合題意；C：，不符合題意；D：，不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定．熟記定理內(nèi)容即可．4．（2023上·北京通州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．任意兩個(gè)矩形一定相似 B．任意兩個(gè)菱形一定相似C．任意兩個(gè)等腰直角三角形一定相似 D．任意兩個(gè)平行四邊形一定相似【答案】C【分析】根據(jù)相似圖形的定義分別判斷后即可確定正確選項(xiàng)．【詳解】A、兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似；B、兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似；C、兩個(gè)等腰直角三角形對(duì)應(yīng)角相等，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等，故一定相似；D、兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似圖形的判定，注意相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．5．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，將一個(gè)矩形紙片沿，的中點(diǎn)，的連線對(duì)折，若對(duì)折后的矩形與原矩形相似，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)相似矩形得到，推出，由此得到答案，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，∴，∵對(duì)折后的矩形與原矩形相似，∴，∴，∴，∴，∴．故選：A．6．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形四邊形，若，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等求得答案即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD∽四邊形，，∴．∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為，，，∴．故選：C．7．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把一個(gè)矩形紙片分割成三個(gè)全等的小矩形紙片，若小矩形紙片與原矩形紙片相似，則原矩形紙片的長與寬之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，設(shè)原矩形紙片的長為x，寬為y，則小矩形紙片的長為y，寬為，根據(jù)題意得，進(jìn)行計(jì)算即可得，分清楚對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)原矩形紙片的長為x，寬為y，則小矩形紙片的長為y，寬為，∵小矩形紙片與原矩形紙片相似，∴，，，故選：C．8．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)?？计谥校┧倪呅问且粡埦匦渭埰瑢⑵浒慈鐖D所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則矩形的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求得，進(jìn)而根據(jù)矩形的面積等于矩形的面積減去2個(gè)正方形的面積，即可求解．【詳解】解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設(shè)的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴，∴矩形的面積為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023上·福建泉州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）開本指書刊幅面的規(guī)格大小，如圖，將一張矩形印刷用紙對(duì)折后可以得到2開紙，再對(duì)折得到4開紙，以此類推可以得到8開紙、16開紙……這些開本紙都是相似的圖形，則這些相似的矩形的長與寬的比值是．

【答案】【分析】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)．設(shè)16開的紙的長為a，寬為b，則8開的紙的長為，寬為a，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到，然后整理求解．【詳解】解：設(shè)16開的紙的長為a，寬為b，則8開的紙的長為，寬為a，∵這兩種長方形相似，∴，∴，∴，∴，或（舍去），∴這些相似的矩形的長與寬的比值．故答案為：．10．（2023上·廣西來賓·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形四邊形，若，則．【答案】/度【分析】此題考查相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，由四邊形相似得到，由四邊形內(nèi)角和即可求出答案，正確理解相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴，又∵，∴，故答案為：．11．（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）某小區(qū)有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路，使得小路內(nèi)外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由．【答案】不能，見解析【分析】設(shè)小路寬為x米，則小路的外邊緣圍成的矩形的長為米，寬為米，將兩個(gè)矩形的長與寬分別相比，得，解方程即可求解．【詳解】設(shè)小路寬為x米，則小路的外邊緣圍成的矩形的長為米，寬為米，將兩個(gè)矩形的長與寬分別相比，得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，即寬度為0米的小路不存在，∴做不到．【點(diǎn)睛】通過本題的探索可以發(fā)現(xiàn)：把一個(gè)矩形的長和寬同時(shí)增加或減小相同的長度，所得矩形與原來矩形一定不相似，因?yàn)椋╝、b、c都是正數(shù)）．12．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形的邊上任取一點(diǎn)O（不與點(diǎn)A、B重合）連接、，分別取的中點(diǎn)、、、，連接、、，四邊形與四邊形相似嗎？為什么？

【答案】四邊形四邊形，見解析【分析】根據(jù)三角形的中位線定理證明兩個(gè)多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等、對(duì)應(yīng)角相等即可得到答案．【詳解】解：四邊形四邊形，理由如下：證明：、是、的中點(diǎn)，，，，同理，，，，，同理，，，四邊形四邊形．

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握相似多邊形的判定定理、靈活運(yùn)用三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．題型四相似三角的判定【例4】（1）（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)，在線段上，，，求證：．

【答案】見解析【分析】此題考查相似三角形的判定，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等即可證明，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵，，，．（2）（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的的網(wǎng)格中，和的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分別求得各邊長，利用相似三角形的判定定理“三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似”即可證明結(jié)論成立．【詳解】解：觀察圖形得，，根據(jù)勾股定理，得，，，∴．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列條件中，不能判定與相似的是（）A．，，；B．，，，，；C．，；D．，【答案】D【分析】本題考查的是直角三角形相似的判定，根據(jù)相似三角形的判定方法逐一分析各選項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：如圖，

∵，，，∴，∴，故A不符合題意；∵，，，，，∴，∴，∴；故B不符合題意；如圖，

∵，，∴，∴即，∴；故C不符合題意；∵，，有一組角相等但是兩邊不是對(duì)應(yīng)成比例，故兩個(gè)三角形不相似．故選D．2．（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，是的平分線，與交于點(diǎn)M，，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟練的結(jié)合角平分線的含義，利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，故②符合題意；∴，∵是的平分線，∴，∴，；故①④符合題意；與只有一組角相等，無法證明相似，∴故③不符合題意；故選C．3．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在和中，已知，則添加下列條件能判定和相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定定理解題即可．【詳解】解：∵，∴．A、，對(duì)應(yīng)的兩角相等，可以證明，故本選項(xiàng)符合題意；B、，不是對(duì)應(yīng)角，不可以證明，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，不是對(duì)應(yīng)邊成比例，不可以證明，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，不是夾角的對(duì)應(yīng)邊成比例，不可以證明，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．4．（2023上·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，D，E分別是的邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，B，C均不重合），添加下列一個(gè)條件，不能判定與相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，判定與相似，故A不符合題意；B、由，判定與相似，故B不符合題意；C、兩三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，但夾角不一定相等，不能判定與相似，故C符合題意；D、由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，判定與相似，故D不符合題意；故選：C．5．如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定的是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)得出，再由相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【詳解】解：∵，∴．A、∵，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵與的大小無法判定，∴無法判定，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023上·福建泉州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下列圖形中，與已知三角形相似的三角形是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定．根據(jù)圖示知該三角形是含和的直角三角形，所以由相似三角形的判定定理進(jìn)行判定即可．【詳解】解：A、根據(jù)圖示知，該直角三角形的一個(gè)角為，所以它們不是相似三角形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由圖示知，該直角三角形有一個(gè)角為，由“兩組角對(duì)應(yīng)相等”證得相似．故本選項(xiàng)正確；C、由圖示知，該直角三角形的一個(gè)角為，與已知三角形的對(duì)應(yīng)角不相等，所以它們不是相似三角形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由圖示知，該三角形為等腰直角三角形，所以它們不是相似三角形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．7．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，、分別是的、上的點(diǎn)，則下列條件不能判定與相似的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐個(gè)分析判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴，故該選項(xiàng)正確，符合題意；B．∵，∴，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C．∵條件，，不能判定與相似，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．∵，∴，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·江蘇常州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得．

【答案】（答案不唯一）【分析】再添加一組角可以利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來進(jìn)行判定．【詳解】解：添加條件，理由如下：∵，添加，∴，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的幾個(gè)判定定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在和中，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使得．（填一個(gè)即可）

【答案】（或）【分析】本題考查了相似三角形的判定定理．熟練掌握有兩組角分別對(duì)應(yīng)相等的三角形相似是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有兩組角分別對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：由題意知，添加，∵，∴，即，∵，∴．10．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)安徽省安慶市外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，線段、是的兩條高．求證：．

【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，根據(jù)三角形高的定義得到，進(jìn)而根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵線段、是的兩條高，∴，∴，又∵，∴．11．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)?？计谥校┰阡J角三角形中，點(diǎn)、分別在邊、上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）此題主要考查相似三角形的判定，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得到，再根據(jù)，即可得到，又因?yàn)?，即可證明.（2）此題主要考查相似三角形的性質(zhì)，直接根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比即可求解.【詳解】（1）證明：于點(diǎn),于點(diǎn)又為公共角（2）解：,于點(diǎn),于點(diǎn),,題型五相似三角形的性質(zhì)【例5】（2023上·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊上，相交于點(diǎn)O，，．

(1)如果，求的長;(2)如果的面積為2，求的面積.【答案】(1)16(2)6【分析】（1）證明，證明且得到的值，再證明，通過即可解答；（2）本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，當(dāng)和以為底時(shí)，高相同，即可通過解題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，；（2）解：當(dāng)和以為底時(shí)，高相同，，根據(jù)（1）可得，，，，的面積為．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，邊，高，邊長為x的正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上，則正方形邊長x為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由正方形的性質(zhì)得出平行線，證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)列方程求解．由正方形的性質(zhì)得，可證，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求的值．【詳解】解：如圖，

，，，即，解得．故選：A．2．（2023上·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩個(gè)相似三角形的相似比是，則這兩三角形面積的比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】相似三角形的面積比等于相似比的平方，據(jù)此進(jìn)行求解即可，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是，相似三角形的面積比等于相似比的平方，∴這兩三角形面積的比是，故選：D3．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，若，則的長為（

）．

A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)，求出，進(jìn)而得到，即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故選C．4．（2023上·陜西西安·九年級(jí)陜西師大附中校考期中）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)E，且．已知，則的長是．

【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，通過證明，得到，由此求出是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，即，，∴，∴，即，∴，又∵，∴，故答案為：．5．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將一張三角形彩紙按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊上，記為點(diǎn)F，折痕為．已知，，若以點(diǎn)C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長是（）

A． B． C．或4 D．或4【答案】D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)折疊性質(zhì)得到，設(shè)，則，兩個(gè)三角形相似，分三種情況，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可得到的長，找到邊長之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵沿折疊，和F重疊，∴，設(shè)，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，解得：，即；當(dāng)，，∵，∴，解得：，即；當(dāng)時(shí)，同理可得，故或4，故選：D．6．（2023上·湖南岳陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，．已知，，則的長是．

【答案】6【分析】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題意得，掌握相似三角形的判定方法及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，又∵，，則，∴，∴．故答案為：67．（2023上·四川遂寧·九年級(jí)校考期中）如圖，是一張銳角三角形的紙板，是上的高，，，從這張紙板上如圖剪下一個(gè)矩形，且，則剪下的這個(gè)矩形的周長為．

【答案】72【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由四邊形是矩形，是的高，得到，，進(jìn)而得到，由此得到；根據(jù)矩形的長是寬的2倍，可設(shè)，則，，進(jìn)而利用比例式即可求出矩形的長和寬，由此即可得到矩形的周長．【詳解】解：四邊形為矩形，，，，．，，，．設(shè)，則，，，，，，，，，，矩形的周長為，故答案為：72．8．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，是的角平分線，交線段于點(diǎn)E，，，，則的面積為．

【答案】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作于點(diǎn)G，則根據(jù)勾股定理可得的長，由題意易得，然后可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作于點(diǎn)G，如圖所示：

設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，∴，解得：，∴，∵是的角平分線，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．9．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在等邊中，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，連接．

（1）當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)，的長為；（2）若點(diǎn)P移動(dòng)到使時(shí)，的長為．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解；（2）證明，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)P是中點(diǎn)時(shí)，，∵是等邊三角形，∴，，∴，由勾股定理得：；∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴；在中，由勾股定理得：；故答案為：；（2）∵，，∴，∴，，∵，∴由得：，即，∵，∴．故答案為：．10．（2023上·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，D、E在、上，，，求的長．

【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，．11．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)，分別在，上，，．

(1)求證：(2)作于點(diǎn)，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)直角三角形中兩個(gè)銳角互余及等量代換得出，再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出，即可證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再由相似三角形的判定確定，由勾股定理得出，，再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出，設(shè)，則，利用勾股定理求解即可【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，即，解得：（負(fù)值舍去），即．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理解三角形，直角三角形的兩個(gè)銳角互余等，正確理解題意熟練掌握運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)校考期中）如圖，，與相交于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，（）利用已知條件推導(dǎo)出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到；（）先證明，得到，把這種關(guān)系代入到可得到，再通過可算出，解題的關(guān)鍵從圖形中找到相似三角形并利用它的性質(zhì)求解．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得，∴，∵，∴，∴，∴．13．（2023上·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，．(1)求證：；(2)如果的面積為10，則四邊形的面積為______．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)三角形面積關(guān)系等知識(shí)；在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）由題意得根據(jù)相似三角形的判定方法可得出結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)得出，求出三角形的面積，則可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，又∵，∴．（2）解：∵，∴，∵的面積為10，∴的面積為90，∴．14．（2023上·上海奉賢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在為等腰梯形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)沿著直線翻折得到聯(lián)結(jié)，分別于、相交于點(diǎn)F、G．

(1)求證：、互相平分；(2)若，求的比．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到，根據(jù)翻折性質(zhì)得到，從而證出，得出四邊形是平行四邊形，即可求證；（2）過點(diǎn)D作交于點(diǎn)M，得出是等邊三角形，，再證明，得出，即可求證【詳解】（1）證明：在等腰梯形中，∴．∵沿著直線翻折得到，∴．∴．∴．又．∴．∴四邊形是平行四邊形．∴、互相平分；（2）解：過點(diǎn)D作交于點(diǎn)M，

四邊形是平行四邊形，則，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】該題主要考查了相似三角形判定和性質(zhì)“對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比”、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)“兩腰相等，兩底角相等”、翻折的性質(zhì)“翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等”、等邊三角形的判定和性質(zhì)“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”“等邊三角形三邊相等”等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是作平行線，構(gòu)建平行四邊形．15．（2023上·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等腰三角形中，，D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（不與B、C重合）在邊上取一點(diǎn)E，使．

(1)求證：；(2)設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍【答案】(1)見解析(2)，【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】（1）證明：，，，，，又，；（2）解：，，，，，，，由題意得：，．16．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，點(diǎn)也停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，與相似？

【答案】當(dāng)時(shí)，【分析】本題考查相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題．分和兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；分兩種情況：（1）若，，，解得．②若，，即，解得．，，當(dāng)時(shí)，．17．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是的角平分線，延長至D，使得．

(1)求證：；(2)若，，，求長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】本題考查了角平分線、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）由角平分線及，可得，從而可得；（2）由，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴．又∵，∴；（2）解：∵，，∴．∵，∴，即，∴．18．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分，．

(1)求證：；(2)若求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩腳對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得，又因?yàn)椋纯傻?；?）根據(jù)相似三角形的判定得，根據(jù)題意得，代入比例式即可解題．【詳解】（1）∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴或（舍去）．19．（2023上·福建寧德·九年級(jí)福鼎市第一中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，，如圖1，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到，其中D是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，E是點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，求線段的長；(3)連接，，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)是定值，定值為50【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而得出，，即可求證；（2）法一：過點(diǎn)A作于F，根據(jù)勾股定理求出，

用等面積法得出，則，再根據(jù)勾股定理得出，再根據(jù)三線合一得出，最后根據(jù)，即可求解；法二：過點(diǎn)A作于F，通過證明，得出，則；最后根據(jù)三線合一，即可得出；（3）設(shè)和相交于點(diǎn)G，和相交于點(diǎn)H，通過證明，得出

即可解答．【詳解】（1）證明：∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，，即，，∴；（2）解：法一：如圖，過點(diǎn)A作于F，∵，，，∴，

∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∵，∴，∴，∵∴，∵，∴，即∴；法二：如圖，過點(diǎn)A作于F，∵，∴，∵，∴，∴即∴；∵，∴．（3）解：如圖，設(shè)和相交于點(diǎn)G，和相交于點(diǎn)H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴

∵，∴∴是定值，定值為50．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，等腰三角形三線合一，旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．題型六相似三角形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用【例6】（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谥校垘煾涤幸粔K如的銳角三角形木料，其中，高，張師傅想把它加工成矩形零件，使一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊、上，與交于點(diǎn)H．

(1)當(dāng)點(diǎn)P恰好為中點(diǎn)時(shí)，______；(2)當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求出這個(gè)零件的邊長；(3)若這個(gè)零件的邊．則這個(gè)零件的長、寬各是多少？【答案】(1)60(2)這個(gè)零件的邊長為；(3)矩形的長為，寬為．【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．（1）根據(jù)，得到，利用相似三角形的性質(zhì)可得到答案；（2）設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)，得到，得到對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，，據(jù)此求解即可；（3）設(shè)矩形的寬為，則長為，然后根據(jù)相似三角形，列出比例關(guān)系式求解．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∵為中點(diǎn)，∴，，∴；故答案為：60；（2）解：∵四邊形為正方形，∴，，設(shè)正方形的邊長為，則，∵，∴，∴，∴，解得，答：這個(gè)零件的邊長為；（3）解：設(shè)矩形寬為，則長為，同理，∴，∴，解得，，故矩形的長為，寬為．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）人字梯也稱折梯，是平面上方空間工作的一種登高工具，因其使用時(shí)左右的梯桿及地面構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，看起來像一個(gè)“人”字，因而把它形象地稱為“人字梯”，如圖所示．圖是其工作示意圖，已知，拉桿，．若米，則兩梯桿跨度，之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，即，∴（米），故選：C．2．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)寧波市海曙外國語學(xué)校?？计谥校榱藴y量河寬，有如下方法：如圖，取一根標(biāo)尺橫放，使，并使點(diǎn)，，和點(diǎn)，，分別在同一條直線上，量得米，米，米，則河寬的長度為（

）米．

A．24 B．30 C．32 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得答案．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，∵米，米，米，∴米，∴．∴米，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·湖南懷化·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一斜坡長，高為，將重物從坡底A推到坡上高度是的M出處停下，則斜坡的長度為米．【答案】15【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，作于D，證，根據(jù)線段比例關(guān)系求出的值即可．【詳解】解：作于D，∴，∴，，，，故答案為：15．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小明的身高是，他的影長是．同一時(shí)刻古塔的影長是，則古塔的高是．【答案】48【分析】根據(jù)在同一時(shí)物體的高度和影長成正比，設(shè)出古塔高度即可列方程解答．【詳解】解：設(shè)古塔高度為，列方程得：，解得．故旗桿的高度為．故答案為：48．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．5．（2023上·福建寧德·九年級(jí)福鼎市第一中學(xué)?？计谥校┬←愅瑢W(xué)準(zhǔn)備測量學(xué)校教學(xué)樓的高度．如圖，她在與教學(xué)樓底部A同一個(gè)水平的地面上放一面平面鏡，鏡子與教學(xué)樓的距離為24米，然后在射線上調(diào)整自己與鏡子的距離，直到剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，此時(shí)她與鏡子的距離為3米，若小麗的眼睛距離地面高度為米，請(qǐng)你幫小麗利用這些數(shù)據(jù)求出教學(xué)樓的高度．【答案】教學(xué)大樓的高度是米【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)，，得出，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：∵由題意得，，，∴，∴，即，解得：，

答：教學(xué)大樓的高度是米．6．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明欲測量一座信號(hào)發(fā)射塔的高度，他站在該塔的