27.2 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 同步練習(xí)

27.2圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系一、單選題1．下圖中是圓心角的是（

）A． B． C． D．2．若C、D為半圓AB上三等分點(diǎn),那么CD:AB為(

)A．2∶ B．1∶ C．2∶1 D．1∶23．下列四個(gè)命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等； ②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等； ④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．真命題的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，在一個(gè)圓內(nèi)有、、，若+=，則AB+CD與EF的大小關(guān)系是（）

A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF5．在中，AB，CD為兩條弦，下列說法：①若，則；②若，則；③若，則弧AB=2弧CD；④若，則.其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖,AB是⊙O的直徑,CD是AO的垂直平分線,EF是OB的垂直平分線,則下列結(jié)論正確的是

(

)A．== B． C． D．7．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧BAD的中點(diǎn)，連接CD、CB、OD，CD與AB交于點(diǎn)F．若∠AOD＝100°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°8．在⊙O中，C是的中點(diǎn)，D是上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），則（

）A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DBC．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定9．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分線交⊙O于P，則當(dāng)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置（）A．隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而變化 B．不變C．在使PA=OA的劣弧上 D．無(wú)法確定10．如圖，在半徑為6的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn)，sinD=,則BC的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．二、填空題11．120°的圓心角是360°的分之一，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的分之一．12．如圖，OA，OB，OC，OD是⊙O的半徑，（1）如果∠AOB＝∠COD，那么，=，∠AOC∠BOD；（2）如果AB＝CD，那么=，；（3）如果=，那么，，．13．如圖，在兩個(gè)同心圓中，為60°，則的度數(shù)為．14．如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦DE，使CD=CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是．15．如圖,D、E分別是⊙O的半徑OA、OB上的點(diǎn),CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,則弧AC與弧CB弧長(zhǎng)的大小關(guān)系是.16．如圖所示，已知C為的中點(diǎn)，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，則CD＝．17．如圖，A、B、C、D為⊙O上的點(diǎn)，且．若∠COD=40°，則∠ADO=度．18．如圖，在平行四邊形ABCO中，∠C＝60°，點(diǎn)A，B在⊙O上，點(diǎn)D在優(yōu)弧上，DA＝DB，則∠AOD的度數(shù)為．三、解答題19．如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，且AB＝CD，求證：BM＝DM．20．如圖，在⊙O中，弦AD與BC交于點(diǎn)E，且AD＝BC，連接AB、CD．求證：（1）AB＝CD；（2）AE＝CE．21．已知：如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OE、OF交于點(diǎn)C、D，AC＝BD，求證：（1）OC＝OD：（2）．22．如圖，過的直徑上兩點(diǎn)，分別作弦，．求證：（1）；（2）．23．如圖在⊙O中，D、E分別是半徑OA、OB的中點(diǎn)，C是⊙O上一點(diǎn)，CD=CE．(1)求證：；(2)若∠AOB=120°，CD=2，求半徑OA的長(zhǎng)．24．如圖，⊙O的弦AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．(1)如圖1，若為120°，為50°，求∠E的度數(shù)；(2)如圖2，若AE＝DE，求證：AB＝CD．25．已知：如圖，、是的兩條弦，，點(diǎn)、分別在弦、上，且，，聯(lián)結(jié)、．(1)求證：；(2)當(dāng)為銳角時(shí)，如果，求證：四邊形為等腰梯形．26．如圖，在⊙O上依次有A、B、C三點(diǎn)，BO的延長(zhǎng)線交⊙O于E，，過點(diǎn)C作CD∥AB交BE的延長(zhǎng)線于D，AD交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）連接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求的長(zhǎng)．27．如圖，AD是⊙O的直徑．（1）如圖①，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則∠B1的度數(shù)是°，∠B2的度數(shù)是°；（2）如圖②，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，分別求∠B1，∠B2，∠B3的度數(shù)；（3）如圖③，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圓周2n等分，請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示∠Bn的度數(shù)（只需直接寫出答案）．28．材料：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，……(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知內(nèi)接于，D是的中點(diǎn)，依據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為__________；(3)如圖4，已知等腰內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)E，的周長(zhǎng)為，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．

27.2圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系一、單選題1．下圖中是圓心角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓心角的概念：圓心角是指在中心為O的圓中,過弧AB兩端的半徑構(gòu)成的∠AOB,稱為弧AB所對(duì)的圓心角進(jìn)行判斷.【解析】解：A、不是圓心角，故不符合題意；B、不是圓心角，故不符合題意；C、是圓心角，故符合題意；D、不是圓心角，故不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角的概念，掌握頂點(diǎn)在圓心的角叫作圓心角是解題的關(guān)鍵．2．若C、D為半圓AB上三等分點(diǎn),那么CD:AB為(

)A．2∶ B．1∶ C．2∶1 D．1∶2【答案】D【分析】根據(jù)圓心角定理可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，則△OCD為等邊三角形，即CD等于半徑.【解析】∵C、D為半圓AB上三等分點(diǎn),∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，∴△OCD為等邊三角形，則CD=OC=AB.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等.3．下列四個(gè)命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．真命題的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解析】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧不一定相等，故原說法錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，正確，是真命題，符合題意；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，真命題有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了真假命題的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)，難度不大．4．如圖，在一個(gè)圓內(nèi)有、、，若+=，則AB+CD與EF的大小關(guān)系是（）

A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF【答案】D【分析】在弧EF上取一點(diǎn)M，使，推出，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AB＝FM，CD＝EM，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出FM＋EM＞FE即可．【解析】如圖，在弧EF上取一點(diǎn)M，使，

則，所以AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，F(xiàn)M+EM＞EF，所以AB+CD＞EF，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能正確作輔助線是解題的關(guān)鍵．5．在中，AB，CD為兩條弦，下列說法：①若，則；②若，則；③若，則弧AB=2弧CD；④若，則.其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解答即可.【解析】①若，則，正確；②若，則，故不正確；③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正確；④若，則，錯(cuò)誤.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì).6．如圖,AB是⊙O的直徑,CD是AO的垂直平分線,EF是OB的垂直平分線,則下列結(jié)論正確的是

(

)A．== B．C． D．【答案】A【分析】如圖，連接AD，OD，DF，OF，BF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)易證DF=DF=BF，再根據(jù)“在同圓或等圓中，所對(duì)的弦相等的兩段弧是等弧”即可判斷.【解析】如圖，連接AD，OD，DF，OF，BF，∵CD是AO的垂直平分線,EF是OB的垂直平分線,∴DF=CE=AB，AD=OD，OF=BF，∴DF=DF=BF，則==.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，等弧的判定，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).7．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧BAD的中點(diǎn)，連接CD、CB、OD，CD與AB交于點(diǎn)F．若∠AOD＝100°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠BOD，再根據(jù)點(diǎn)C為弧BAD的中點(diǎn)，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠ABC的度數(shù)．【解析】∵∠AOD＝100°，∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°，∵點(diǎn)C為弧BAD的中點(diǎn)∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140°∵OC=OB∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20°故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知圓心角、弧的關(guān)系．8．在⊙O中，C是的中點(diǎn)，D是上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），則（

）A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DBC．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定【答案】C【分析】欲求AC+CB和AD+DB的大小關(guān)系，需將這些線段構(gòu)建到同一個(gè)三角形中，然后利用三角形的三邊關(guān)系解題．【解析】解：如圖；以C為圓心，AC為半徑作圓，交BD的延長(zhǎng)線于E，連接AE、CE；∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB；∵∠DAC＝∠CBE，∴∠DAC＝∠CEB；∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；∴AD＝DE；∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，∴AC+BC＞BD+AD；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，涉及三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．9．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分線交⊙O于P，則當(dāng)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置（）A．隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而變化B．不變C．在使PA=OA的劣弧上D．無(wú)法確定【答案】B【分析】因?yàn)镃P是∠OCD的平分線，所以∠DCP=∠OCP，所以∠DCP=∠OPC，則CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA=PB．從而可得出答案．【解析】解：連接OP，∵CP是∠OCD的平分線，∴∠DCP=∠OCP，又∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC，∴∠DCP=∠OPC，∴CD∥OP，又∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴，∴PA=PB．∴點(diǎn)P是線段AB垂直平分線和圓的交點(diǎn)，∴當(dāng)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P不動(dòng)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，以及平行線的判定和性質(zhì)，在同圓或等圓中，等弧對(duì)等弦．10．如圖，在半徑為6的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn)，sinD=,則BC的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)BC與OA交于E點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，得到=，繼而得到∠COA=∠AOB，根據(jù)，得出銳角∠D=30°，再同一段弧其所對(duì)圓心角是其所對(duì)應(yīng)圓周角的兩倍，得到∠COA=2∠D，∠COA=60°=∠AOB，再得到∠OCB=∠OBC=30°，因?yàn)椤螼EC=180°-∠OCB-∠COA=90°，可知△OEC是直角三角形，利用特殊角即可求出CE，再同理求出BE，即可求出BC．【解析】設(shè)BC與OA交于E點(diǎn)，∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，∴=，∴圓心角∠COA=∠AOB，∵，∴銳角∠D=30°，∵同一段弧其所對(duì)圓心角是其所對(duì)應(yīng)圓周角的兩倍，即∠COA=2∠D，∴∠COA=60°=∠AOB，又∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠OEC=180°-∠OCB-∠COA=90°，即△OEC是直角三角形，∵OC=6，∠OCB=∠OBC=30°，∴CE=OC=，同理可求出BE=，∴BC=CE+EB=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、圓心角與圓周角的關(guān)系、解直角三角形等知識(shí)．依據(jù)得到∠D=30°再得到∠COA=2∠D，∠COA=60°=∠AOB是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題11．120°的圓心角是360°的分之一，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的分之一．【答案】三三【分析】根據(jù)題意可知由于圓周角為360°，則圓心角是120°的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的120°÷360°=，所以所對(duì)的弧長(zhǎng)是相應(yīng)的圓的周長(zhǎng)的，據(jù)此解答即可．【解析】解：120°÷360°=，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的，答：120°的圓心角是360°的三分之一，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的三分之一．故答案為：三；三．【點(diǎn)睛】本題考查圓的弧長(zhǎng)和圓心角，注意掌握在同一個(gè)圓中，扇形的圓心角與360度的比等于弧長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)的比．12．如圖，OA，OB，OC，OD是⊙O的半徑，（1）如果∠AOB＝∠COD，那么，=，∠AOC∠BOD；（2）如果AB＝CD，那么=，；（3）如果=，那么，，．【答案】AB=CD，，，=，，∠AOB=∠COD，AB＝CD，∠AOB＝∠COD，=【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等進(jìn)行解答．【解析】（1）∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD，=，∠AOC=∠BOD；（2）∵AB=CD，∴=，∠AOB=∠COD；（3）∵=，∴AB=CD，∠AOB=∠COD，=．故答案為AB=CD，，，=，，，∠AOB=∠COD，AB=CD，∠AOB=∠COD，=【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．13．如圖，在兩個(gè)同心圓中，為60°，則的度數(shù)為．【答案】60°【分析】根據(jù)圓心角定理可得∠AOB=60°，即∠COD=60°，則的度數(shù)為60°.【解析】∵為60°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=60°，則的度數(shù)為60°.故答案為60°.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角定理：圓心角的度數(shù)和它們對(duì)的弧的度數(shù)相等．14．如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦DE，使CD=CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是．【答案】105°．【分析】連接OD、OE，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出∠AOD=35°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解析】解：連接OD、OE，∵的度數(shù)為35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，∴的度數(shù)是105°．故答案為105°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．15．如圖,D、E分別是⊙O的半徑OA、OB上的點(diǎn),CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,則弧AC與弧CB弧長(zhǎng)的大小關(guān)系是.【答案】相等【分析】根據(jù)直角三角形的判定定理HL，可得出△COD≌△COE，則∠COD=∠COE，再根據(jù)在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧也相等得出結(jié)論．【解析】∵CD⊥OA、CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵CD=CE，CO=CO，∴△COD≌△C0E，∴∠COD=∠COE，∴=.故答案為相等.【點(diǎn)睛】考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16．如圖所示，已知C為的中點(diǎn)，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，則CD＝．【答案】2【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間關(guān)系求出∠AOC=∠BOC，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出OM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算CM的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理得出CD=2CM，代入求出即可．【解析】解：連接OC，∵C為的中點(diǎn)，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，∴OM＝ON＝n，∴CM＝＝，∵CM⊥OA，即OM⊥CD，由垂徑定理得：CD＝2CM＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間關(guān)系、垂徑定理，角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是求出CM的長(zhǎng)和得出CD=2CM．17．如圖，A、B、C、D為⊙O上的點(diǎn)，且．若∠COD=40°，則∠ADO=度．【答案】30【分析】先根據(jù)圓心角定理可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．【解析】解：∵，，∴，∴，又，∴，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A心角定理是解題關(guān)鍵．18．如圖，在平行四邊形ABCO中，∠C＝60°，點(diǎn)A，B在⊙O上，點(diǎn)D在優(yōu)弧上，DA＝DB，則∠AOD的度數(shù)為．【答案】150°【分析】連接OB，先由平行四邊形的性質(zhì)得∠OAB＝∠C＝60°，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠OBA＝∠OAB＝60°，則∠AOB＝60°，然后證，即可得出∠AOD＝∠BOD＝150°．【解析】解：連接OB，如圖所示：∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴∠OAB＝∠C＝60°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵DA＝DB，∴，∴∠AOD＝∠BOD＝（360°﹣60°）＝150°，故答案為：150°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形以及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形以及圓的有關(guān)性質(zhì)．三、解答題19．如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，且AB＝CD，求證：BM＝DM．【答案】詳見解析【分析】連接BD,根據(jù)AB＝CD得到＝，再根據(jù)公共弧得到＝，再得到∠D＝∠B，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解.【解析】證明：連接BD．∵AB＝CD∴＝∴－＝－，即＝∴∠D＝∠B∴BM＝DM【點(diǎn)睛】此題主要考查圓周角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓的基本性質(zhì).20．如圖，在⊙O中，弦AD與BC交于點(diǎn)E，且AD＝BC，連接AB、CD．求證：（1）AB＝CD；（2）AE＝CE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）欲證明AB=CD，只需證得＝；（2）連接AC，由＝得出∠ACB=∠CAD，再由等角對(duì)等邊即可證的AE＝CE.【解析】證明：（1）∵AD＝BC∴＝∴－＝－即＝∴AB＝CD（2）連接AC∵＝∴∠ACB＝∠DAC∴AE＝CE【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角、弧、弦間的關(guān)系，注意（2）中輔助線的作法是求解（2）的關(guān)鍵.21．已知：如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OE、OF交于點(diǎn)C、D，AC＝BD，求證：（1）OC＝OD：（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）證明：連接OA，OB，證明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠OAC＝∠OBD．在△OAC與△OBD中，∵，∴△OAC≌△OBD（SAS）．∴OC＝OD．（2）∵△OAC≌△OBD，∴∠AOC＝∠BOD，∴．【點(diǎn)睛】此題考查同圓的半徑相等的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，相等的圓心角所對(duì)的弧相等的性質(zhì)，正確引出輔助線證明△OAC≌△OBD是解題的關(guān)鍵．22．如圖，過的直徑上兩點(diǎn)，分別作弦，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）連接OC、OF，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，等量代換得到∠BFC=∠ACF．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AMC=∠ANE．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）如圖，連接．，．．（2），．．又．．在和中，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖在⊙O中，D、E分別是半徑OA、OB的中點(diǎn)，C是⊙O上一點(diǎn)，CD=CE．(1)求證：；(2)若∠AOB=120°，CD=2，求半徑OA的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接OC，根據(jù)SSS證明△OCD≌△OCE，得出對(duì)應(yīng)角相等∠COD＝∠COE，由圓心角，弧，弦的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）連接AC，先證明△AOC是等邊三角形，再得出CD⊥OA，由三角函數(shù)求出OC，即可求得OA．【解析】（1）證明：連接OC，如圖所示：∵D、E分別是半徑OA、OB的中點(diǎn)，OA＝OB，∴OD＝OE，在△OCD和△OCE中，，∴△OCD≌△OCE（SSS），∴∠COD＝∠COE，∴；（2）連接AC，如圖所示：∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝∠COE＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC是等邊三角形，∵D是OA的中點(diǎn)，∴CD⊥OA，∴OC＝＝＝4，∴OA＝4．【點(diǎn)睛】考查的是圓心角，弧，弦的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是證明三角形全等和等邊三角形．24．如圖，⊙O的弦AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．(1)如圖1，若為120°，為50°，求∠E的度數(shù)；(2)如圖2，若AE＝DE，求證：AB＝CD．【答案】(1)∠E＝35°(2)見解析【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出答案；（2）先根據(jù)“ASA”證明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再結(jié)合已知條件得出答案即可.【解析】（1）連接AC，∵為120°，為50°，∴，，∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；（2）證明：連接AC、BD，∵，∴∠A＝∠D，在△ACE和△DBE中，，∴△ACE≌△DBE（ASA），∴BE＝CE，∵AE＝DE，∴AE-BE＝DE-CE，即AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)計(jì)算與證明，三角形全等的判定和性質(zhì)，正確理解圓心角、弧與弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25．已知：如圖，、是的兩條弦，，點(diǎn)、分別在弦、上，且，，聯(lián)結(jié)、．(1)求證：；(2)當(dāng)為銳角時(shí)，如果，求證：四邊形為等腰梯形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明即可；（2）由可得，可得，再證明OM∥AC即可．【解析】（1）∵、是的兩條弦，，∴在和中∴（SAS）∴；（2）∵∴∵∴∴∵∴∴，OM∥AC∴∴四邊形為等腰梯形．【點(diǎn)睛】本題考查圓的弧弦關(guān)系、全等三角形的證明、等腰梯形、相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是由弦得到．26．如圖，在⊙O上依次有A、B、C三點(diǎn)，BO的延長(zhǎng)線交⊙O于E，，過點(diǎn)C作CD∥AB交BE的延長(zhǎng)線于D，AD交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）連接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先根據(jù)圓的性質(zhì)得：∠CBD=∠ABD，由平行線的性質(zhì)得：∠ABD=∠CDB，根據(jù)直徑和等式的性質(zhì)得：，，由一組對(duì)邊平行且相等可得四邊形ABCD是平行四邊形，由AB=BC可得結(jié)論；（2）先設(shè)∠FOE=x，則∠AOF=3x，根據(jù)∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+（180-3x）=180，求出x的值，接著求所對(duì)的圓心角和半徑的長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得結(jié)論．【解析】（1）證明：∵，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直徑，∴，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵∠AOF＝3∠FOE，設(shè)∠FOE＝x，則∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形，∴OF＝AF＝3，∴的長(zhǎng)＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)，列方程求角的度數(shù)，證明三角形是等邊三角形是解題的突破點(diǎn)，屬于中考常考題型．