數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航第一講四直角三角形的射影定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1．能知道正射影（射影)的概念,會(huì)畫出點(diǎn)和線段的射影．2．能學(xué)會(huì)射影定理,并能解決有關(guān)問題.1．射影從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影．一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正射影之間的線段，叫做這條線段在這條直線上的正射影．點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱為射影．2．射影定理文字語言直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩條直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)符號(hào)語言在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，則CD2＝BD·AD;AC2＝AD·AB;BC2＝BD·BA圖形語言作用確定成比例的線段名師點(diǎn)撥（1）勾股定理：AC2＋BC2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2，BD2＋CD2＝BC2。(2）面積關(guān)系：AC·BC＝AB·CD＝2S△ABC，eq\f（S△ACD,S△CBD)＝eq\f（AD,BD）＝eq\f（AC2,BC2）.思考1在直角三角形中,我們已經(jīng)學(xué)過三邊之間的一個(gè)重要關(guān)系式，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么AC2＋BC2＝AB2，這一結(jié)論被稱為勾股定理，同樣是在直角三角形中,勾股定理和射影定理有什么聯(lián)系？如何說明這種聯(lián)系？提示:在Rt△ABC中,∠C＝90°,CD是AB上的高，應(yīng)用射影定理,可以得到AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·AB＝（AD＋BD）·AB＝AB2.由此可見，利用射影定理可以證明勾股定理．過去我們是用面積割補(bǔ)的方法證明勾股定理的，現(xiàn)在我們又用射影定理證明勾股定理，而且這種方法簡(jiǎn)潔明快，比面積法要方便得多．將兩者結(jié)合起來，在直角三角形的六條線段中,應(yīng)用射影定理、勾股定理，就可從任意給出的兩條線段中，求出其余四條線段的長(zhǎng)度．思考2射影定理的證明．提示：①利用三角函數(shù)證明直角三角形的射影定理在Rt△ACD和Rt△ABC中，cosA＝eq\f（AD，AC)＝eq\f（AC,AB），∴AC2＝AD·AB。在Rt△CBD和Rt△ABC中，cosB＝eq\f（BD,BC)＝eq\f（BC,AB)，∴BC2＝BD·AB。在Rt△ACD和Rt△CBD中，∠A＝∠BCD，∴tanA＝tan∠BCD,即eq\f（CD，AD）＝eq\f(BD，CD）,∴CD2＝AD·BD。②利用勾股定理證明直角三角形的射影定理在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，AB＝AD＋BD，∴(AD＋BD）2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2AD·BD＋BD2＝AC2＋BC2,即2AD·BD＝(AC2－AD2)＋(BC2－BD2）．∵AC2－AD2＝CD2,BC2－BD2＝CD2，∴2AD·BD＝2CD2，∴CD2＝AD·BD.在Rt△ACD中，AC2