第五章 二次函數(shù)（壓軸10題專練）

第五章二次函數(shù)（壓軸題專練）一、特殊三角形問題1．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，直線與軸交于點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)為拋物線上的點，連接交直線于，當(dāng)是中點時，求點的坐標(biāo)；(3)在直線上，當(dāng)為直角三角形時，求出點的坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)點E為B點左側(cè)x軸上一動點（不與原點O重合），點Q為拋物線上一動點，是否存在以為斜邊的等腰直角？若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A，B，拋物線經(jīng)過點A，B，并與x軸交于另一點C，其頂點為P．

(1)求a，k的值．(2)求的面積．(3)拋物線的對稱軸上是否存在一點N，使是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．二、特殊四邊形問題4．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)；(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．5．已知拋物線，坐標(biāo)平面內(nèi)點，點，B是該拋物線上的一個動點，是平面上一點．(1)無論t取何值，該拋物線都過一個定點，請求出這個定點；(2)當(dāng)且四邊形是平行四邊形時，求y關(guān)于x的關(guān)系式；(3)當(dāng)四邊形是平行四邊形時，每任取一個t的值，y都有對應(yīng)的最大值，求這些最大值中的最小值．三、面積問題6．如圖，拋物線的頂點為，與軸交于點，與軸交于點、．

(1)求此拋物線的解析式；(2)設(shè)是直線上方該拋物線上除點外的一點，且與的面積相等，求點的坐標(biāo)；(3)在直線上方，拋物線上找一點，使得的面積最大，則點的坐標(biāo)為________；(4)設(shè)是拋物線上一點，且為直角三角形，則點的橫坐標(biāo)為________．7．已知拋物線交軸于和，交軸于．

(1)求拋物線的解析式；(2)若為拋物線上第二象限內(nèi)一點，求使面積最大時點的坐標(biāo)；(3)是拋物線的頂點，為拋物線上的一點，當(dāng)時，請直接寫出點的坐標(biāo)；角度問題8．已知二次函數(shù)過點、和三點．(1)求拋物線函數(shù)表達(dá)式；(2)將二次函數(shù)向右平移個單位，得到一條新拋物線，若順次連接新拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點所得三角形的面積為4，試求k的大小；(3)M、N、P是拋物線上互不重合的三點，已知M，N的橫坐標(biāo)分別是m，，點M與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求的度數(shù)．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，且，與軸交于點，拋物線的頂點為，對稱軸與軸交于點．

(1)求該拋物線的解析式，并直接寫出頂點的坐標(biāo)；(2)如圖1，點在線段上，作等腰，使得，且點落在直線上，若滿足條件的點有且只有一個，求點的坐標(biāo)．(3)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸相交于，兩點．①求的度數(shù)；②設(shè)直線與拋物線相交于兩點（點在點的左側(cè)），當(dāng)直線與直線相交所成的一個角為時，求點的坐標(biāo)．10．已知拋物線過點，交軸于，兩點（點在點左側(cè)），交軸于點，且對于任意實數(shù)，恒有成立．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上，是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)若，，三點都在拋物線上且總有，請直接寫出的取值范圍．

第五章二次函數(shù)（壓軸題專練）一、特殊三角形問題1．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，直線與軸交于點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)為拋物線上的點，連接交直線于，當(dāng)是中點時，求點的坐標(biāo)；(3)在直線上，當(dāng)為直角三角形時，求出點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過，兩點，列方程組，解之即可得到答案；（2）令，則，求得，作，垂足為，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)點橫坐標(biāo)為，得到方程，求得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是得到答案；（3）求得，設(shè)，分兩種情況①當(dāng)時，②當(dāng)時，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過，兩點，，解得：，拋物線的解析式是；（2）解：令，則，，如圖，作，垂足為，

則，，，，又是中點，，，，設(shè)點橫坐標(biāo)為，則，解得：，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)是：，；（3）解：令，則，，，設(shè)，，，①當(dāng)時，

，，解得：，（舍去），當(dāng)時，，；②當(dāng)時，

，，解得：，當(dāng)時，，；綜上所述：點的坐標(biāo)為或．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)點E為B點左側(cè)x軸上一動點（不與原點O重合），點Q為拋物線上一動點，是否存在以為斜邊的等腰直角？若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)，分兩種情況討論：①當(dāng)點E在x軸負(fù)半軸上時，②當(dāng)點E在x軸正半軸上時，分別畫出圖形，求出點E的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：將、代入函數(shù)：中，得，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：存在．理由如下：∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴設(shè)，①當(dāng)點E在x軸負(fù)半軸上時，如圖1，過點E作x軸的垂線l，再分別過點C和點Q作垂線l的垂線，分別交l于點M和點N，

圖1∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，即，解得或（舍去），∴，∴點E的坐標(biāo)為；②當(dāng)點E在x軸正半軸上時，如圖2，過點E作x軸的垂線l，再分別過點C和點Q作垂線l的垂線，分別交I于點M和點N，

圖2同理可得，∴，，∴，解得（舍去），∴，∴點E的坐標(biāo)為．綜上所述，點E的坐標(biāo)為．3．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A，B，拋物線經(jīng)過點A，B，并與x軸交于另一點C，其頂點為P．

(1)求a，k的值．(2)求的面積．(3)拋物線的對稱軸上是否存在一點N，使是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為或．【分析】（1）由條件可先求得A、B坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得a、k的值；（2）先求解C，P的坐標(biāo)，可得的長，再利用三角形的面積公式計算即可；（3）可設(shè)N點坐標(biāo)為，可分別表示出、、的長，由勾股定理可得到關(guān)于n的方程，可求得N點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：在中，令，∴，解得，令，可求得，∴，，分別代入，可得，解得；（2）由（1）得：，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為：，當(dāng)時，則，解得：，，∴，∴，∴；（3）∵的對稱軸為直線，設(shè)N點坐標(biāo)為，而，，則，，且，

當(dāng)為以為斜邊的直角三角形時，由勾股定理可得，∴，解得或，即N點坐標(biāo)為或，綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為或．二、特殊四邊形問題4．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)；(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)或或或；(3)存在，，或，或，或或【分析】（1）將，代入，求出,即可得出答案；（2）分別以點為頂點、以點為頂點、當(dāng)以點為頂點，計算即可；（3）拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，求出，，，分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線．【詳解】（1）解：（1）∵，兩點在拋物線上，∴解得，，∴拋物線的解析式為：；（2）令，∴，由為等腰三角形，如圖甲，

當(dāng)以點為頂點時，，點與原點重合，∴；當(dāng)以點為頂點時，，是等腰中線，∴，∴；當(dāng)以點為頂點時，∴點D的縱坐標(biāo)為或，∴綜上所述，點D的坐標(biāo)為或或或．（3）存在，理由如下：拋物線的對稱軸為：直線，設(shè)，，∵，則，，，∵以為頂點的四邊形是菱形，∴分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線，當(dāng)以為對角線時，則，如圖1，

∴，解得：，∴或∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點重合，當(dāng)時，∴，解得：，∴當(dāng)時，∴，解得：，∴以為對角線時，則，如圖2，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與中點重合，∴，解得：，∴；當(dāng)以為對角線時，則，如圖3，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點重合，∴，解得：∴，綜上所述，符合條件的點P、Q的坐標(biāo)為：，或，或，或或5．已知拋物線，坐標(biāo)平面內(nèi)點，點，B是該拋物線上的一個動點，是平面上一點．(1)無論t取何值，該拋物線都過一個定點，請求出這個定點；(2)當(dāng)且四邊形是平行四邊形時，求y關(guān)于x的關(guān)系式；(3)當(dāng)四邊形是平行四邊形時，每任取一個t的值，y都有對應(yīng)的最大值，求這些最大值中的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)1．【分析】（1）將代入，可得，即可求解；（2）將代入可得，根據(jù)四邊形是平行四邊形可得，代入拋物線解析式，即可求解；（3）根據(jù)四邊形是平行四邊形可得，代入拋物線解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最大值與的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將代入，可得，即拋物線恒過定點；（2）將代入可得，∵四邊形是平行四邊形，，，∴點的坐標(biāo)為：因為B是該拋物線上的一個動點，則，化簡可得：；（3）∵四邊形是平行四邊形，，，∴點的坐標(biāo)為：因為B是該拋物線上的一個動點，則，化簡可得：∵，開口向下∴時，取值最大值，最大值為：則最大值中的最小值為1．三、面積問題6．如圖，拋物線的頂點為，與軸交于點，與軸交于點、．

(1)求此拋物線的解析式；(2)設(shè)是直線上方該拋物線上除點外的一點，且與的面積相等，求點的坐標(biāo)；(3)在直線上方，拋物線上找一點，使得的面積最大，則點的坐標(biāo)為________；(4)設(shè)是拋物線上一點，且為直角三角形，則點的橫坐標(biāo)為________．【答案】(1)(2)(3)(4)或或或【分析】（1）設(shè)頂點式,然后把點坐標(biāo)代入可求出，從而得到拋物線解析式；（2）易得直線解析式為,利用三角形面積公式可判斷,過作，交拋物線所得交點既為所求點.再求出直線解析式為，然后解方程組得點坐標(biāo)；（3）設(shè)點M的橫坐標(biāo)為，過點作于點,設(shè)交直線與點,用表示出的長,計算的面積，利用二次函數(shù)的最值即可得出結(jié)論.（4）分三種情況:①時,②時,③時,分別求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為,把代入拋物線解析式得:,解得,∴拋物線解析式為,即；（2）當(dāng)時,,解得,∴,∵點,∴設(shè)直線解析式為，把,,代入得，解得，∴直線解析式為,∵是直線上方該拋物線上除點外的一點,∴,過作，交拋物線所得交點既為所求點.

∵,設(shè)直線解析式為,∴,解得,∴直線解析式為,解方程組得或∴；（3）設(shè)點M的橫坐標(biāo)為，過點作于點,設(shè)交直線與點,如圖,

∵是直線上方拋物線上一點，∴,∴.∵,∴.∴.∴，，時，的面積最大為，此時，點的坐標(biāo)為，故答案為：；（4）設(shè),∵,∴,,,①當(dāng)時,,

∴∴∴,解得與重合,舍去)或;∴點的橫坐標(biāo)為；②當(dāng)時,,∴∴∴,解得(與重合,舍去)或,∴點的橫坐標(biāo)為；③時,,

∴∴,∴或,解得(與重合,舍去)或或，∴點E的橫坐標(biāo)為或綜上所述，為直角三角形，點的橫坐標(biāo)為或或或．故答案為：或或或7．已知拋物線交軸于和，交軸于．

(1)求拋物線的解析式；(2)若為拋物線上第二象限內(nèi)一點，求使面積最大時點的坐標(biāo)；(3)是拋物線的頂點，為拋物線上的一點，當(dāng)時，請直接寫出點的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）如圖，過點作軸交于點，求出直線的解析式，設(shè)，，由表示出對應(yīng)的面積，即可求解；（3）先求出點D的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到，由此求出，據(jù)此求出點P的坐標(biāo)即可；【詳解】（1）解：把和代入，得：，解得，拋物線解析式為；（2）解：如圖，過點作軸交于點，

拋物線解析式為，，，設(shè)直線解析式為，則，解得：，設(shè)直線解析式為，設(shè)，，，，∵，當(dāng)時，有最大值，當(dāng)時，的面積最大，此時點的坐標(biāo)為；（3）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線頂點D的坐標(biāo)為，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，當(dāng)時，則，解得或；當(dāng)時，則，解得或；∴點P的坐標(biāo)為或或或；

角度問題8．已知二次函數(shù)過點、和三點．(1)求拋物線函數(shù)表達(dá)式；(2)將二次函數(shù)向右平移個單位，得到一條新拋物線，若順次連接新拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點所得三角形的面積為4，試求k的大小；(3)M、N、P是拋物線上互不重合的三點，已知M，N的橫坐標(biāo)分別是m，，點M與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（1）將、和三點代入，求出a、b、c的值即可得出拋物線函數(shù)表達(dá)式；（2）先寫出原拋物線向右平移個單位后得到的新拋物線的表達(dá)式，將新拋物線與y軸的交點坐標(biāo)用含有k的式子表示出來．由平移前A、B兩點的坐標(biāo)可求出的長，由于左右平移不改變拋物線與x軸兩個交點之間的距離，根據(jù)新拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點所得三角形的面積為4，分兩種情況：新拋物線與y軸的交點坐標(biāo)大于0和小于0，進(jìn)行計算即可．（3）由于M，N的橫坐標(biāo)分別是m，，因此點M，N的坐標(biāo)分別為，．由于點M與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，由此可得P的坐標(biāo)為．分三種情況討論：①當(dāng)點P在N點的右側(cè)時，過點N作于點D，將ND、DP用含有m的式子表示出來，求出的值，即可知的度數(shù)．②當(dāng)點P在M，N兩點之間時，③當(dāng)點P在M，N兩點的左側(cè)時解法同方法①．【詳解】（1）將、和三點代入，得，

解得，所以拋物線函數(shù)表達(dá)式為；（2）因為，所以將二次函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到一條新拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，整理得

，所以新拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為．∵、，，∵左右平移不改變拋物線與x軸兩個交點之間的距離，所以新拋物線與x軸的兩個交點之間距離為4．當(dāng)時，由題意可得．解得，（舍去）．當(dāng)時，由題意可得．解得，（舍去）．所以k的大小為或；（3）因為M，N的橫坐標(biāo)分別是m，，所以點M，N的坐標(biāo)分別為，．又因為點M與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，而拋物線的對稱軸為直線．所以可得點P的坐標(biāo)為．①如圖，當(dāng)點P在N點的右側(cè)時，過點N作于點D，

在中，，．所以，所以．所以．

②當(dāng)點P在M，N兩點之間時，同理可得．所以．

③當(dāng)點P在M，N兩點的左側(cè)時，．所以的大小為或．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，且，與軸交于點，拋物線的頂點為，對稱軸與軸交于點．

(1)求該拋物線的解析式，并直接寫出頂點的坐標(biāo)；(2)如圖1，點在線段上，作等腰，使得，且點落在直線上，若滿足條件的點有且只有一個，求點的坐標(biāo)．(3)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸相交于，兩點．①求的度數(shù)；②設(shè)直線與拋物線相交于兩點（點在點的左側(cè)），當(dāng)直線與直線相交所成的一個角為時，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)；頂點的坐標(biāo)為(2)(3)①；②或【分析】（1）由可設(shè))，)，代入拋物線解析式即得到關(guān)于、的二元方程，解方程求出即求得拋物線解析式，配方即得到頂點的坐標(biāo)．（2）以點為圓心，長為半徑的，由于滿足即點在上且點在直線上的點有且只有一個，即與直線只有一個公共點，所以直線與相切于點．由得點、坐標(biāo)可知直線與夾角為，為等腰直角三角形，．設(shè)點縱坐標(biāo)為，用表示和的長并列得方程即可求的值．由于點在線段上，故的值為負(fù)數(shù)，舍去正數(shù)解．（3）①取點，連接，過點作軸，于點，則，進(jìn)而證明是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；②依題意，直線過定點，得出，，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得出直線的解析式為或，聯(lián)立拋物線，解方程組，根據(jù)點在點的左側(cè)，取舍方程組的解即可．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于，兩點，且，設(shè)，則，，∴

，解得：，∴，，∴拋物線解析式為，∴頂點的坐標(biāo)為；（2）如圖，過點作于點，以點為圓心、為半徑作圓

，點在上有且只有一個點在上又在直線上與直線相切于點，由，當(dāng)，則，即，，由得：，，，，，即，，為等腰直角三角形，,設(shè)，，，,，解得：，舍去，點坐標(biāo)為，；（3）①如圖所示，取點，連接，過點作軸，于點

由，當(dāng)時，，則，，則關(guān)于軸對稱，點在軸上，∴∴由得：，，，則，在