專項01 二次函數(shù)的應(yīng)用

專項01二次函數(shù)的應(yīng)用類型一二次函數(shù)應(yīng)用中的面積最值問題1.【一題多變】用總長為60m的籬笆圍成一個矩形場地,矩形面積S(m2)隨矩形一邊長l(m)的變化而變化.當(dāng)l是多少時,場地的面積S最大?S最大是多少?[變式1]如圖,用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長32m,這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大?最大面積是多少?[變式2]如圖,用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18m,這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?類型二二次函數(shù)應(yīng)用中的利潤最值問題2.某商店試銷一種新商品,新商品的進價為30元/件,經(jīng)過一段時間的試銷發(fā)現(xiàn),每月的銷售量會因售價的調(diào)整而不同.令每月銷售量為y件,售價為x元/件,每月的總利潤為Q元.(1)當(dāng)售價在40~50元時,每月銷售量都為60件,則此時每月的總利潤最多是多少元?(2)當(dāng)售價在50~70元時,每月銷售量與售價的關(guān)系如圖所示,則當(dāng)該商品售價x是多少元/件時,該商店每月獲利最大?最大利潤是多少元?(3)若4月份該商品的總利潤為1218元,則該商品售價與當(dāng)月的銷售量各是多少?3.(2022江蘇揚州寶應(yīng)一模)在“鄉(xiāng)村振興”行動中,某村辦企業(yè)開發(fā)了一種有機產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本為每盒30元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每盒的售價是60元(每盒售價最低為60元)時,每天可以銷售500盒,每漲價1元,每天少銷售10盒.(1)設(shè)每盒產(chǎn)品的售價是x元(x是整數(shù)),每天的利潤是w元,求w關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)每盒售價定為多少元時,可使當(dāng)天獲得最大銷售利潤?最大銷售利潤是多少?(3)現(xiàn)在該企業(yè)打算回報社會,每銷售1盒贈a元(a>5)給村級經(jīng)濟合作社,物價部門要求該產(chǎn)品銷售定價每盒不得超過75元,該企業(yè)在嚴(yán)格執(zhí)行物價部門的定價前提下欲使每天贈后的日銷售利潤隨產(chǎn)品售價的增大而增大,求a的取值范圍.類型三二次函數(shù)應(yīng)用中的拋物線形問題4.某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭,噴出的水柱為拋物線,在距水池中心3米處達到最高,高度為5米,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖所示,以水平方向為x軸,噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系.(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式;(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅站立時,必須在離水池中心多少米以內(nèi)?

專項01二次函數(shù)的應(yīng)用答案全解全析1.解析矩形場地的周長是60m,一邊長為lm,所以其鄰邊長為(30-l)m,所以S=l(30-l),即S=-l2+30l(0<l<30).所以當(dāng)l=-b2a=?302×(?1)=15時,S有最大值,最大值為4ac?b[變式1]解析設(shè)矩形菜園面積為Sm2,垂直于墻的邊長為xm,則平行于墻的一邊長為(60-2x)m.由題意得S=x(60-2x)=-2x2+60x.∵墻長32m,∴0<60-2x≤32,即14≤x<30.∵S=-2x2+60x=-2(x-15)2+450,∴當(dāng)x=15,60-2x=30時,S最大=450.答:這個矩形的長為30m、寬為15m時,菜園的面積最大,最大面積是450m2.[變式2]解析設(shè)矩形菜園面積為Sm2,與墻平行的一邊長為x米,則與墻垂直的邊長為60?x∴S=60?x2·x=?1∵0<x≤18,-12<0,∴當(dāng)x=18,60?x2=21時,答:這個矩形的長為21m、寬為18m時,菜園的面積最大,最大面積是378m2.2.解析(1)由題意得,當(dāng)40≤x≤50時,Q=60(x-30)=60x-1800.∵60>0,∴Q隨x的增大而增大,∴當(dāng)x=50時,Q最大=1200.答:此時每月的總利潤最多是1200元.(2)當(dāng)50≤x≤70時,設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),由題圖知圖像過點(50,60)和(70,20),∴50∴y=-2x+160(50≤x≤70).∴Q=(x-30)y=(x-30)(-2x+160)=-2x2+220x-4800=-2(x-55)2+1250(50≤x≤70).∵-2<0,∴當(dāng)x=55時,Q最大=1250.答:當(dāng)該商品售價是55元/件時,該商店每月獲利最大,最大利潤是1250元.∵當(dāng)40≤x≤50時,Q最大=1200<1218;當(dāng)50≤x≤70時,Q最大=1250>1218,∴售價x應(yīng)在50與70之間.令-2(x-55)2+1250=1218,解得x1=51,x2=59.當(dāng)x=51時,y=-2x+160=-2×51+160=58;答:該商品售價為51元/件或59元/件,當(dāng)月的銷售量為58件或42件.3.解析(1)w=(x-30)[500-10(x-60)]=-10x2+1400x-33000.故w關(guān)于x的函數(shù)解析式為w=-10x2+1400x-33000.(2)w=-10x2+1400x-33000=-10(x-70)2+16000,∵-10<0,∴當(dāng)x=70時,w最大,最大為16000.答:當(dāng)每盒售價定為70元時,可使當(dāng)天獲得最大銷售利潤,最大銷售利潤是16000元.(3)設(shè)每天捐贈后的利潤為w'元,則w'=(x-30-a)[500-10(x-60)]=-10x2+(1400+10a)x-(33000+1100a),∴-1400+10a?20∵60≤x≤75,每天贈后的日銷售利潤隨產(chǎn)品售價的增大而增大,∴70+12a≥75,解得a≥10∵x-30-a>0,60≤x≤75,∴a<30,∴a的取值范圍是10≤a<30.4.解析(1)設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y=a(x-3)2+5(a≠0),由題圖可知,點(8,0)在函數(shù)圖像上,將(8,0)代入y=a(x-3)2