2024年新高考地區(qū)數學地市選填壓軸題好題匯編（二十四）（解析版）

2024年新高考地區(qū)數學名校地市選填壓軸題好題匯編（二十四）

一、單選題

1.（2024.廣東.一模）已知集合同=1-；,-；,；,；,2,3卜若且互不相等，則使得指數函數

,對數函數），=log,x,哥函數），=一中至少有兩個函數在（0,+8）上單調遞增的有序數對5也c）的個

數是（）

A.16B.24C.32D.48

【答案】B

【解析】若y="和），=1%工在（0,內）上單調遞增，），=x，在（0,+8）上單調遞減，

則有A，C；=4個;

若y="和），=/在（0,”）上單調遞增，y=log,x在（0,+<?）上單調遞減,

則有C；?C?（3；=8個;

若y=log,x和y=xc在（0,+oo）上單調遞增，y=/在（0,”）上單調遞減,

則有C；C；C=8個;

若？="、y=logE和尸/在（0,+⑹上單調遞增，則有A，C；=4個;

綜上所述：共有4+8+8+4=24個.

故選：B.

2.（2024?廣東江門?一模）物理學家本?福特提出的定律：在〃進制的大量隨機數據中，以“開頭的數出現

的概率為乙（〃）=1/〃子.應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤.若

之匕）（〃）=普冬（我N）則上的值為（）

v

念l+log25

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

80AilX：4-2211

【解析】Z^oW^o?^o（^l）+-^o（8O）=lg—+lg—++喘=底,

lg8l41g3

Iog81lg421g2....

而riJ4<=一3=-^-=2lg3=lgo9,故&=9.

l+^g25J空［+姮

lg2Ig2

故選：C.

3.（2024.廣東.模擬預測）在正三棱錐A-BCD中，△8CQ的邊長為6,側棱長為8,E是48的中點，則

異面直線C￡與8。所成角的余弦值為（）

A3后小例「2V17V17

A?--------o?------L?

68341734

【答案】A

【解析】依題意，記8c的中點為尸，連接。尸,記正△8CO的中心為。，連接AO,

因為在正三棱錐A-4C。中，AO_L底面BC。,

在正△BCD中，DF工BC,在平面3c。中過z軸_L底面BCD，則AOHz軸，

以r點為原點，建立空間直角坐標系，如圖，

因為在正三棱錐A-8CD中，的邊長為6,側棱長為8,

所以/?=立8=立乂6=3百，

22

2

則。。=20尸=4?！?275，AO=JAD，-OD2=J64-12=2萬,

故6（-3,0,0）,（7（3,0,0）,0（0,3"0）,0仙6,0）,4位,6,2炳），

則E1半點，CE=",東向BD=（3,3>/3,0）,

CEBD3x/34

cosCE,BD=

所以\CE\\BD68，

+13x79+27

則異面直線CE與80所成角的余弦值為組.

68

故選:A.

4.（2024?天津濱海新?一模）已知拋物線G：y2=2〃*〃>0）的焦點為尸，準線與x軸的交點為后線段

“被雙曲線G丁4=叱°八。）頂點三等分'且兩曲線c，a的交點連線過曲線c的焦點八則

雙曲線的離心率為（）

「vri

A.近L■-----。?警

B普3

【答案】D

【解析】求得拋物線的焦點和準線，可得石廠的長度，由題意可得〃=6”，求出兩曲線交點坐標，代入雙

曲線方程可得a,b的關系，利用離心率公式可求得結果.拋物線V=2px的焦點為尸喙0）,準線方程為

x=-§,E(-g。),

\EF\=pt

因為線段4'被雙曲線￡：，*1（。＞。，〃＞。）頂點三等分，所以2a=g即〃=6”,

因為兩曲線C-C2的交點連線過曲線G的焦點凡所以兩個交點為名,〃）、（§-〃），

將(4,〃)代入雙曲線—-yy—1得-，2-與"-1,

2crb“4a“b~

叱e36片36a2,g、i-36/,^b'9

所以一；-------=1.所以9———=1,所以|4|r二一,

4/h2b,(T2

所以雙曲線。2的離心率e=￡

a

故選:D

5.（2024.湖南.二模）已知函數/（6=sin（s）+Gcos（s）,若沿工軸方向平移/（戈）的圖象，總能保證平

移后的曲線與直線y=l在區(qū)間［0,山上至少有2個交點，至多有3個交點，則正實數。的取值范圍為

)

A.B.C.D.[2,4)

【答案】A

71

【解析】由f（r）=sin（〃）T）+?。ù螈倭傻茫?（x）=2sin<yx+—

3

若沿x軸方向平移，考慮其任意性，不妨設得到的函數網力=斕1（5+夕）.

令g(x)=l，即sin?x+e)=5，.re[O,7t],取z=<wx+。，則/版加+村.

依題意知，sinz=；在6〃加+向上至少有2解，至多有3解,

則須使區(qū)間“，即+］的長度在兀到,之間，即兀碗〈春Q

0224，解得2V@＜鼻.

故選：A.

6.(2024?湖南?二模)過點P(TO)的動直線與圓C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)交于A8兩點：在線段AB

?j2

上取一點Q,使得國［+畫［=忸@，已知線段|00的最小值為灰，則。的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】圓心。儂2),半徑為2,則圓C與“軸相切,設切點為M?。)，

則|PM|=a+1,則1PM|2=|E4||PB|=(a+1)2,

設A8的中點為。，連接CO，則C。_LA3,

令圓心C到直線A3的距離為d,則0Wd<2,|尸4|+|2例=|2。|-|4)|+|2。|+|40=2|2。|,

112八“1_2|PA||P4|_(〃+1)2_(〃+1)2

山網+網=西’得I2尸照+|叫="C|2_1=&+1)2+4-心，

(。+1/Ind(。+1)2II-

因此標R中小標FKT而園的最小值為反

所以N=—=J2，則。=1.

J(a+l)-+4

7.(2024.高三.浙江寧波.階段練習)如圖1.水平放置的直三棱柱容器ABC-ABC中，AC1AR.

AB=AC=2,現往內灌進一些水，水深為2.將容器底面的一邊A8固定于地面上，再將容器傾斜，當傾斜

到某一位置時，水面形狀恰好為三角形ABC,如圖2,則容器的高〃為()

Cl

圖1圖2

A.3B.4C.4夜D.6

【答案】A

【解析】在圖1中水的體積V=gx2x2x2=4,

1114

在圖2中水的體積”展.的「@柿G=^2X2X人工，

4

所以一力=4n力=3.

3

故選：A

8.（2024.江西?高考真題）已知匕、K是橢圓的兩個焦點，滿足崢?摩=0的點M總在橢I用內部，則橢

圓離心率的取值范圍是

A.（0,1）B.

【答案】C

【解析】設橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為“Ac.因為M￡-M5=0所以點M的軌跡為以原點為圓

心，半徑為。的圓.與因為點M在橢圓的內部，所以所以MV〃2=/-C2,所以

2c2<a2：.e2,所以ee（0,4）,故選C.

22

9.（2024?高二?湖北鄂州?階段練習）已知雙曲線，-*=1（4>0,。>0）的焦距為2c,過右焦點且垂直于x

軸的直線與雙曲線交于A,△兩點設A.△到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為4和4,且囿-&|?C,

則雙曲線的離心率的取值范圍為

()

A.

【答案】C

【解析】由題意可知，直線4B經過雙曲線的右焦點，且垂直于x軸，不妨設A（c、,y。），

代入橢圓方程4-其=1，又02=1+從，所以=必，

a~b~a

所以吟[8f任取雙曲線的一條漸近線為直線法+緲=0,

由點到直線的距闋公式可得點A到漸近級的距離4=卜,"1=竺女

點6到漸近線的距離&J。一"L上斗

所以|4一4|=_加個=今=^_,因為|4一出|<。，

所以手WC,因C>0,所以乃*。2,即2k2一。2）（/,

所以c242a2,所以二W2,

a-

因為雙曲線離心率￡>i,所以i<￡w&,

aa

所以雙曲線的離心率的取值范圍為（1,垃].

故選:C.

10.（2024?高一?廣東深圳?期末）已知拋物線C:y'=2px（〃>o）的焦點為“，斜率為k的直線/經過點”，

并且與拋物線C交于44兩點，與y軸交于點M,與拋物線的準線交于點N,若AF=2MN，則攵=（）

A.75B.V2c.±V2D.士退

【答案】D

【解析】當A在第一象限時，

設注線與方軸的交點為尸，過A作準線的垂線，垂足為4,

因為OM〃尸N,且。為P尸的中點，

所以OM為三角形PFN的中位線，即歸M|=|MV|,

所以A*=2MN=FN，又根據拋物線的定義卜可=|44],

所以14vl=2|A耳=2|A4],

所以在直角二角形AA'N中，Z4zAV=6（T,

所以乙4&=60,此時k=J5,

根據對稱性，當A在第四象限時，k=$

11.（2024?湖北?一模）設直線/：x+y-l=0,一束光線從原點。出發(fā)沿射線y=6（x20）向直線/射出,

經/反射后與大軸交于點再次經x軸反射后與〉軸交于點N.若MN=叵,則攵的值為（）

6

A.-B.-C.~D.2

232

【答案】B

【解析】如圖，設點O關于直線/的對稱點為A（x，y）,

A+A_I=0

22》

則得，

U,i=1

Ax(-i)=-i

,xi

由題意知）=日（1之0）與直線/不平行，故女工-1,

1

即'J____0

由,得"1,p

k1&+i4+1,

y=----

-k+\

1

故直線"的斜率為kAf,="一

I

--------1

k+\

直線AP的直線方程為：y-l=1（A-l）,

K

令5=0得x=l-3故加（1一隊0）,

令X=（）得），=1-!，故由對稱性可得1，

kIk）

叫MN卜姮得（一）2+1.（立即（人口12仙生旦

6\A36、k）、k）36

解得&+:1=；13，得&=2三或&=3'

k632

若心■!，則第二次反射后光線不會與y軸相交，故不符合條件.

故V,

故選：B

12.（2024?湖北?二模）能被3個半徑為1的圓形紙片完全覆蓋的最大的圓的半徑是（）

A2x/6口#r25/3八MJ

32332

【答案】C

【解析】要求出被完全覆蓋的最大的圓的半徑，由圓的對稱性知只需考慮三個圓的圓心構成等邊三角形的情

況，

設三個半徑為1的圓的圓心分別為4,。2,0”設被覆蓋的圓的圓心為0,如圖，

設圓。1與02交于A,B,。。交于H,AB交圓Q于C，顯然。為正、。1。2。3的中心,

設oq=oo2=oq=x,則(4”=等,?！?]

OA=OH+HA=|+^l-(y-x)2=1(x+V4-3x2)，又℃=。。.+℃='+!>OA，

II-----x/4-^r2一3r

因此圓。的最大半徑為04,令/㈤=：*+?37）,求導得。（x）=7J廠

22V4-3x2

由f'（x）=o,得戶立，當0＜x＜J時，八x）＞0,當且＜1＜亞時,ruxo,

3333

因此/（外在（0當上單調遞增，在哼手）上單調遞減，/（%=娉）=咨

所以被完全覆蓋的最大的圓的半徑為亞，

3

此時，3=。2。3=。3旦=1，即圓。1、圓。2、圓Q中的任一圓均經過另外兩圓的圓心.

故選：c

13.(2024.高三?浙江嘉興.期末)已知正實數，，4c滿足/-〃=21nf>0,7'-2〃=(〃+4)'，則()

b

A.0<c<b<\<aB.0<b<c<\<a

C.0<c<b<a<]D.0<ZJ<C<6/<1

【答案】A

【解析】因由lnf>0可得：則

bb

由/-8=21n：化簡得：a2-2\na=b-2\nb,分別設函數/(x)=f-21nx,g(x)=x-2lnx,

b

由f，(x)=2(fl),。>0),則當0cv]時,/V)<0,當x>l時，/V)>0,

X

則f⑴在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增,故/("1nm=〃1)=1.

又g[x)=三心,(”>0)，則當0cx<2時,gXx)<0,當X>2時,g'(x)>0,

X

則雇工)在(0,2)上遞減;在(2,+。)上遞增,故g(x"產g(2)=2-2加2.

由f(x)—g(x)=f-x=x(x-l),則0<x<l時，/(x)vg(x);x=l時，f(/)=g(x)；x〉l時，

f(x)>g(x).函數/(力與g(x)的圖象如圖.

令"a)=/())=z.由于則\<a,排除C,D：

由于a>l,7'一2'=（a+4）'>5"則

?'

令（|J,其在R上單調遞增.由于0<。<1,則0=/?（0）</?（〃）</瑁）=1,

則有夕/<1，即C-b<0得

綜上，0<c<b<i<a.

故選:A.

14.（2024?高二?北京西城?期末）在直角坐標系xO），內，圓。:（工一2尸+（），-2）2=1,若直線/:x+y+m=0

繞原點。順時針旋轉90后與圓C存在公共點，則實數機的取值范圍是（）

A.[-忘，忘]B.[-4-72,-4+72]

C.[-2-V2,-2+x/2]D.[-2+及,2+0]

【答案】A

【解析】連接OP，設NPOx=e（即以X軸正方向為始邊，OP為終邊的角），

由題意對于直線l：x+y+m=0上任意一點P（x,y）,存在a=Qf+y=OwR，使得P（acose,asin0）,

則直線/：x+y+m=0繞原點。順時針旋轉90后，點P（acose,〃sin。）對應點為

71

qacos即q(asine,-acos。)，

2

因為P(acos6Msin。)在直線/:X+/+=0上,所以滿足acose+asin8+m=0

設再=asin％=-acos0,所以-y+芭+機=0,

即[（asin，,-48S6）所在直線方程為4:x-），+〃?=（）,

而圓C:（x-2）2+（y-2）2=1的圓心，半徑分別為（2,2）,r=l,

若直線/：x+），+機=0繞原點。順時針旋轉90后與圓C存在公共點，

所以圓心C（2,2）到直線/,:x-y+m=0的距離d=裳4r=1,解得一出《m<夜.

故選:A.

15.（2024.山東青島.一模）已知4-2,0）,3（2,0）,設點。是圓/+/]上的點，若動點Q滿足:

QPPB=0,8T翁篇,則。的軌跡方程為（)

22222

AA.X2--=,1rB?.-X--y*2=1,C.—X"+y2=1,D.—X+—V=1.

33.562

【答案】A

圓/+)，2=1,圓心為原點O,半徑/=1,

連接AQ,延長8尸交AQ于點C,連接OP,

因為NPQ8=NPQC|=LPQ_L5C,所以QB=QC,且P為8C中點，。尸|4C,OP=^AC

因此，|例一|。即=|。4|—|霓=|4。=2|0日=2,

點。在以A山為焦點的雙曲線上，設雙曲線方程為

可知C=2"/+Z?=c?=4,由%二|04|-同目=2,得a=l,故6=3,

雙曲線方程為f一亡=1.

3

故選：A.

16.(2024?山東青島?一模)VxeR,fW+/(x+3)=1-+3),/(T)=0,則”2024)的值為()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【解析】由題意知WxeR,fW+fix+3)=1-f(x)f(x+3),/(-1)=(),

令戶—1,則/(T)+/(2)=1-fWf3=1

顯然=時'T+/(x+3)=l+/(x+3)不成立，故八幻~1,

,I-/U)

1--------------------

故山+3)=出，則…==

\+f（.x）

即6為函數八幻的周期，

貝iJf(2024)=/(337x6+2)=/(2)=l,

故選：B

17.(2024?山東聊城?一模)已知P是圓C:,d+y2=i外的動點，過點。作圓。的兩條切線，設兩切點分別為

A,B,當?的值最小時，點尸到圓心C的距離為（）

A.</2B.</zC.&D.2

【答案】A

【解析】設P（x,y）,則|。修=歷了，

則PAPB=（PO+O4）（PO+O8）=|PO1+PO（OA+OB）+O/VOB,

0408=|?|OqcosNAOB=cos/AOB=cos2ZPOA=2cos2NPOA-1

|0P「爐+產

P0OA=PO-OB=\PO\\OA|COS（180°-ZPOA）=-|PO||O/\|COSZPOA

故PA.尸6=./+>2—2+、2、-122」(丁+)，2)(,2、］-3=2五一3,

JT+y「7J

當且僅當f+)J=F-,即V+y2=應時，等號成立，

x+y7

故當PAPB的值最小時，點尸到圓心C的距離為啦.

故選:A.

18.(2024?山東聊城?一模)在三棱柱A8C?AMG中，點。在楂8片上，且△A￡)G所在的平面將三棱柱

ABC-AMG分割成體積相等的兩部分，點M在棱AG上，且AM=2MG，點N在直線3用上，若MN〃平

面AQG，則第=()

/Vo,

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】如圖，連接A%，則匕TAG二3匕父-A81cl?

又叢DC所在的平面將三棱柱ABC-A&G分割成體積相等的兩部分，

所以匕-QB1G=/匕BC-AB1G匕BC-ABjG=%匕8。-人“?

即匕-f>SG=耳匕-48￡，

即％,陽-“4，設到平面A8與A的距離為d,

則%-4鳩=3S'RD鳳."，%-M用

所以S"邛=gs八四，所以。為的中點，

在A4上取點E，使得AE=2AE,連接硒、EM，

因為AM=2MG，所以EM〃4G，又EMQ平面ADC「AQu平面AZ)C，

所以EM〃平面AOG，

又MN〃平面4QG，EMcMN=M,EM,MNu平面EMN,

所以平面EMM/平面A/)G，

又平面EMNQ平面A叫％=EN,平面ADC】c平面ABB}A.=AD,

所以AD//EN,又AEHND,所以四邊形A￡WE為平行四邊形，

所以N￡>=人石=工八4所以6N=B1D-ND=工BB]-LBB]

33236

所以處=6

1NB、

故選：D

19.（2024?山東煙臺一模）在平面直角坐標系xQy中，點A（-l,0）,8（2,3）,向量=+〃OB，且

〃?一〃一4=0.若P為橢圓/+,=］上一點，則附|的最小值為（）

J__O

A.-VioB.MC.-VioD.2M

55

【答案】A

【解析】設點。（乂》）,由4（T,0）,B（2,3）及oc=〃［04+〃o/?,得（x,），）=（—〃?+2〃,3〃），

x=-m+2,2

即＜而〃2—〃-4=0,'肖去"?，〃得：3x-j+12=0,

y=3n

設橢圓爐+2_=1上的點P(cosa4sin6),夕wR,

八八八,|3cose-4sin6+l2|l2-4sin(O+Q)3

則點P到直線3x-)，+12=。的距離"='-----產------——1=-----其中銳角。由［ane=正確

定，

當sin（e+0）=i時，所，而|PC|24,所以|尸cj的最小值為:國.

故選：A

20.（2024?山東濟寧?一模）已知雙曲線力＞0）的左、右焦點分別為《，鳥，過片的直線

artr

與）'軸相交于“點，與雙曲線C在第一象限的交點為〃，若F1M=2MP,￡尸-6尸=0,則雙曲線C的離

心率為（）

A.V2B.C.地D.75+1

2

【答案】D

【解析】

設NP片鳥=e,e為銳角,

因為片M=2M0,F\PF?P=Q,所以|P用=飄耳|,

33r

?.?|明='”用對小f又小—in。,

cos。

：.\PFtf+\PF2f^FlF2ft

9c,+4c°sin2。=4c2,

4cos-0

:.9+16siir<9cos;=16cos?0,

二9+16(1-cos2e)cos?3=16cos20,

.?.9—16COS40=0,

.?.cos2^=^,/.cos<9=—(負值舍去)，「.。二、)。，

42

3Vr-

.??I明1=1|MF.|==辰，|P瑪|=2csin。=c,

???雙曲線。的離心率八條滯法=高=即.

故選：D.

21.(2024?山東濟寧?一模)設函數/(x)定義域為R,7(2x-l)為奇函數，2)為偶函數，當xe[0,l]

時，/U)=x2-1,貝1/(2023)—/：2。24)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】因為函數/(X)定義域為R,42"-1)為奇函數,所以/(2.r—l)=-/(-2.r-l),所以函數因”)關于點

(—1,0)中心對稱，且〃-1)=0,

因為/5-2)為偶函數，所以/。-2)=/(-4-2),所以函數/3關于直線x=—2軸對稱，

又因為/(x)=—/(-2—x)=—/(-2+x)=-[-f(-4+x)],所以函數/⑶的周期為4,

因為當XG[0,1]時，〃為="：

所以/(2023)=/(4x506—l)=/(—l)=0,/(2024)=/(4x5()6)=/(0)=-1,

所以f(2023)-/(2024)=l.

故選：C.

22.(2024?山東淄博?一模)已知耳，人是橢圓和雙曲線的公共焦點，P,Q是它們的兩個公共點，且P,

22

Q關于原點對稱，/尸居Q=?2乃，若橢圓的離心率為6,雙曲線的離心率為貝Ue-+3總e的最小值

3e；+l優(yōu)+3

是()

A2+百口1+6r2&n46

3333

【答案】A

【解析】如圖，設橢圓的長半軸長為q,雙曲線的實半軸長為由,

則根據橢圓及雙曲線的定義得:儼口+儼閭=%,伊可|一|%1二%，

Cirrid_____2兀

|W戶4+%|K|=4一％，設內伺=2c,NV/Q=彳,

根據橢圓與雙曲線的對稱性知四邊形MQ鳥為平行四邊形,則/月夕行=冷，

則在△尸耳乃中，由余弦定理得，4o2=(%+%)2+m一生)2-2(《+生)(4一%)。嗚，

J

彳七簡得+3〃；=4c*,即!+W=4,

e\e2

\

tlIe；3e；1313f1,3

則否+=T一+F一=n一+飛——+i+--+1X-

q+1-+31+13+1_L+13+1164)6

eie2\e\e2)

4+1+4+,+

=-x4+-^——+—^---->-x4+2——x—----

6-+1-+,6\—+1—+1

=，X(4+2@=^L

加TP1

111

當且僅當《6時等號成立，

13〃324+9石,

—+—=4-8-3x/3-37>

＜紇

故選：A.

23.(2024?廣東茂名?一模)若儀€但,當，6tan住+a]+4cos住-a)=5cos2a,則sin2a=()

(44)14JU)

24c12廠7r1

A.—B.—C.—D.一

2525255

【答案】C

【解析】令l=；+a,/e償"得a=f-;，則6tanf+4coscT)=5COS(2'—/，

即6tanr+4sinr=5sin2/=10sinroosr,整理得(5ssf+3)(cos/-l)=0,Ji.cosr<0,

3(兀、7

那么cosf=一二，則sin2a=sin2z——=-cos2r=1-2cos21=—.

5\2J25

故選:C.

二、多選題

24.(2024?廣東江門?一模)已知曲線上：山+業(yè)1=1,則下列結論正確的是()

48

A.>隨著x增大而減小

B.曲線E的橫坐標取值范圍為[-2,2]

C.曲線E與直線y=-L4x相交，且交點在第二象限

D.〃(勺，九)是曲線E上任意一點，則|&與+為|的取值范圍為(0,4]

【答案】AD

【解析】因為曲線￡型+則=1,

48

當“20,)，之0時4+[=1,則曲線后為橢圓鳥+：=]的一部分：

4848

當x>0,〉，<。時工-工=1,則曲線E為雙曲線三-上=1的一部分，

4848

且雙曲線的漸近線為)，=±&x；

2222

當“<0,y>0時上一上二1,則曲線E為雙曲線工一上二1的一部分，

8484

且雙曲線的漸近線為)，=±后；

可得曲線的圖形如下所示:

由圖可知y隨著x增大而減小，故A正確；

曲線E的橫坐標取值范圍為R,故B錯誤；

因為-所以曲線E與直線y=-L4x相交，且交點在第四象限，故C錯誤;

因為I昌+%卜岳暮J，即點加（%%）到直線V2x+j=0的距離的&倍，

22

當直線&x+y+c=0與曲線?+1_=1（工20.），20）相切時,

xy,

---1---=1-

由，48,消去丁整理得4/+2夜CX+C2-8=0,

y/2x+y+c=0

貝必=（2"?）--16卜2-8）=0,解得c=4（舍去）或。=4

_H_4

又丘x+y=0與V2x+.y-4=0的距離一J（&）2+F-G，

所以2％=島=4,

Iimax

所以卜怎。+為|的取值范圍為（0,4],故D正確;

故選：AD

25.（2024.廣東江門.一模）已知函數/"）=sin2s，+三卜皿（2公r-gJTj+25/3cos26yx-\/3（＜y＞（））,則下

3

列結論正確的是（）

A.若/（%）相鄰兩條對稱軸的距離為（則/=2

B.當3=1,XE0,-j時，/（4）的值域為[-6,2]

C.當3=1時，的圖象向左平移9個單位長度得到函數解析式為）'=2cos2x+g

6616

D.若/(x)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則5?。＜8

O

【答案】BCD

【解析】/(-v)=sin2@x+])+sin(25-')+2Gcos%x-5/5

=sin2公vcos—+cos2^xsin—+sin2@xcos--cos2ssin—+x/3cos2cox

3333

z\

=$in2〃)x+\Aco*2〃)x=2sin2〃)x+一,

I3j

對于A,若/(x)相鄰兩條對稱軸的距離為(貝底=2、5二兀=葛,故。=1,A錯誤，

對于B,當＜y=l,f(x)=2sin(2.r+g,當XG0弓時，2x+ge，

則f(x)的值域為[-6,2],B正確，

對于C,當3=1,f(x)=2sin(2.r+1),

/(X)的圖象向左平移夕個單位長度得到函數解析式為

0

fx+—=2sin2^x+—1+—=2sin2x+—1=2cosf2x+—1,C正確，

I6JVV673J\3)\6)

對于D,當xe。，^時，+?，

.6」3|_363_

若f(x)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則27rW23?+gv3兀，解得5工。＜8,故D正確，

_6」63

故選：BCD

26.(2024?廣東?一模)已知正方體ABC。-A4GA的各個頂點都在表面積為3兀的球面上，點P為該球面

上的任意一點，則下列結論正確的是()

A.有無數個點P,使得AP//平面跳町

B.有無數個點尸，使得AP二平面8。&

C.若點Pw平面BCC￡,則四棱錐P-A8C。的體積的最大值為巫里

6

D.若點PG平面BCCe,則AP+PG的最大值為指

【答案】ACD

【解析】令正方體ABCO-A/CA的外接球半徑為「，4口2=加，，.=正，則648=1,

連接由四邊形ABGA是該正方體的對角面，得四邊形A8G"是矩形，

即有ADJ/8G，而BQu平面BZ)G，ARu平面BDC「則4DJ/平面8。6，

同理〃平面BDC,,又PIAD,=4,AB,,ARu平面ABR,

因此平面ABQ//平面B/)G，令平面"R板球面所得截面小圓為圓M,

對圓M上任意一點(除點A外)二勻有AP〃平面BDC1,A正確；

對「B,過A勺平面8OG垂直的直線AP僅有一條，這樣的P點至多一個，B錯誤；

對于C,平面3CCM截球面為圓心圓尺的半徑為YZ,則圓k上的點到底面48co的距離的最大值為正巴,

22

因此四棱錐P-A8CD的體積的最大值為匕1、巫巴=叵1,C正確：

326

對于D,顯然相/平面BCC4,在平面BCG與內建立平面直角坐標系,如圖，

八

g.X-,

B、/

令點P(當cos6,占sin6),而4(一;，-g),C](g,g),

因此AP=Jl+(￥cos〃+；)2+(4sind+g)2=^2+y^(sin6>+cos6>)，

PC=cos夕-g)?+G^sin?-g)2=(sin0+cos0)?令^^(si

Xn0+cos0)=x,

4尸+PG=12+x+Jl—x=J(j2+x+Jl—x)~4J2(J2+X)+[J1—x)=瓜,當且僅當x=-g取等號,

此時當sin0+cos0）=-；,即sin（O+：）=T因此”+蛆的最大值為好D正確.

故選：ACD

27.（2024?廣東?一模）已知偶函數〃幻的定義域為R,為奇函數，且/（幻在［?！簧蠁握{遞增，

則下列結論正確的是（）

A.B,僧＞°C./（3）＜0D.［竿）＞。

【答案】BD

【解析】因為/（x）為偶函數，所以f（r）=f（x）;

因為是R上的奇函數，所以"1）=0,

且半）的圖象是由/（］）的圖象向左平移2個單位得到的，所以的圖象關于（2，0）點對稱，進一

步得〃力的圖象美于點（1,0）中心對稱，即/。1）=/（IX）.

所以/5+2）=/（1+（1+力）=一〃1一（1+切=一/（一力=一""，所以/。+4）=-〃x+2）=/（x）.所以函數

〃力是周期函數，且周期為4;

又f（x）在［0』上單調遞增，所以在［0』上，有/（力＜0.

由圖可知：/1|）＞。,故A錯;/圖故B對；43）=0,故C錯；

等）=/（674+|）=/（4X168+2+?=/（2+|）＞0,故D對.

故選：BD

28.（2024?廣東?模擬預測）已知函數/（力的定義域為R/（x-l）是奇函數，/（1+1）為偶函數，當

*1_1

f（x）=-——則（）

''，3'+1

A./(r)的圖象關于直線工=1對稱B.7")的圖象關于點(TO)對稱

c./(x+6)=/(x)D.〃2021)二七

【答案】ABD

【解析】設g(x)=f(%T),因為g(%)是奇函數,

所以匕(一丫)=/(-x-l)=-g(x)=-/(x-l),即/(-l+.r)+/(-l-.r)=O,

即f(x)關于(TO)對稱,B正確;

設力(x)=/(x+l),因為為偶函數，所以九(一力=為(力,

g|J/(-x+l)=/(x+l),/(l+x)=/(l-x),所以“X)的關于直線X=1對稱,

A正確；

由f(x)關于(-1,0)對稱可得〃X)+/(-27)=0,由/(力的關于直線x=l對稱，

可得〃力="27),兩式聯立得f(2-x)+f(-2r)=o,令x=x+2得:

/(-x)+/(-4-x)=0,即f(x)+f(%-4)=0,令x=x-4,

得f(I)+f(x-8)=0,即f(%)=f(x-8),故/(%)的周期為8,

故"x+8)=/(x),C錯誤；

因為7=8,所以〃202l)=/(252x8+5)=/(5)=/(—3),

又“-l+x)+〃—1—力=0,令x=—2得/(—3)+〃1)=0,

〃1)=會?=(,所