第02講 等差數(shù)列及其前n項和（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第02講等差數(shù)列及其前n項和（10類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第19題,17分等差數(shù)列通項公式的基本量計算數(shù)列新定義2024年新Ⅱ卷，第12題,5分等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和無2024年全國甲卷，第4題,5分等差數(shù)列通項公式的基本量計算利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算等差數(shù)列前n項和的基本量計算無2023年新I卷，第7題,5分由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)充分條件與必要條件的判定2023年新I卷，第20題,12分等差數(shù)列通項公式的基本量計算利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算等差數(shù)列前n項和的基本量計算無2023年新Ⅱ卷，第18題,12分利用定義求等差數(shù)列通項公式等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和分組(并項)-奇偶項求和2022年新I卷，第17題,10分利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項利用與關(guān)系求通項或項累乘法求數(shù)列通項裂項相消法求和2022年新Ⅱ卷，第3題,5分等差數(shù)列通項公式的基本量計算數(shù)學(xué)新文化已知斜率求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第17題,10分等差數(shù)列通項公式的基本量計算等比數(shù)列通項公式的基本量計算數(shù)列不等式能成立(有解)問題2021年新I卷，第17題,10分利用定義求等差數(shù)列通項公式求等差數(shù)列前n項和由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)分組(并項)-奇偶項求和2021年新Ⅱ卷，第17題,10分等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和解不含參數(shù)的一元二次不等式2020年新I卷，第14題,5分求等差數(shù)列前n項和無2020年新Ⅱ卷，第15題,5分求等差數(shù)列前n項和無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.理解等差數(shù)列的概念2掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4.理解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系及等差數(shù)列通項公式與前n項和的關(guān)系5.熟練掌握等差數(shù)列通項公式與前n項和的性質(zhì)【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過構(gòu)造為等差數(shù)列，求通項公式及前n項和。需綜合復(fù)習(xí)知識講解等差數(shù)列的定義從第二項開始，后一項與前一項的差為同一個常數(shù)，這個數(shù)列是等差數(shù)列，這個常數(shù)是等差數(shù)列的公差，用表示數(shù)學(xué)表達式通項公式，，，等差數(shù)列通項公式與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列為一次函數(shù)等差中項若，，三個數(shù)成等差數(shù)列，則，其中叫做，的等差中項等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)（1）若，或（2）若，為等差數(shù)列，則，仍為等差數(shù)列等差數(shù)列前n項和或等差數(shù)列前n項和與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列前項和公式是無常數(shù)項的二次函數(shù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，，……仍成等差數(shù)列為等差數(shù)列推導(dǎo)過程：（一次函數(shù)）為等差數(shù)列證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法（1）（為常數(shù)）為等差數(shù)列（2）通項公式：（一次函數(shù)），前項和：（無常數(shù)項的二次函數(shù)）（3）若，則，，三個數(shù)成等差數(shù)列考點一、等差數(shù)列的項、公差及通項公式的求解1．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以，又，所以公差．故選：C2．（2022·河南南陽·三模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則該數(shù)列的公差為.【答案】3【分析】由已知，利用等差數(shù)列通項公式列方程求公差即可.【詳解】設(shè)公差為d，則，又，則，可得.故答案為：33．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）若等差數(shù)列滿足，則（

）A．3 B． C．1 D．【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由通項公式寫出和，都代入中，化簡即可求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，因為，可得，所以有，解得，故選：B.4．（2024·山東·二模）已知數(shù)列．求：(1)數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列的前項和的最大值．【答案】(1)；(2)28【分析】（1）根據(jù)題目條件得到是以13為首項，為公差的等差數(shù)列，求出通項公式；（2）求出通項公式，解不等式，得到數(shù)列從第5項開始小于0，從而得到數(shù)列的前4項和最大，利用求和公式求出答案.【詳解】（1）由，可知，所以數(shù)列是以13為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，令，解得，令，解得，即數(shù)列從第5項開始小于0，所以數(shù)列的前4項和最大，最大值為．1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，且，則首項（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式直接求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，且，所以，所以.故選：A2．（2024·四川雅安·三模）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．21 B．24 C．27 D．29【答案】A【分析】由等差中項的性質(zhì)、以及等差數(shù)列基本量的計算得公差，進一步即可得解.【詳解】在等差數(shù)列中，若，即則公差，所以.故選：A.3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在公差為的等差數(shù)列中，，則（

）A．1或2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項列式求解即得.【詳解】在等差數(shù)列中，則，整理得，所以.故選：D4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列基本量的計算可得公差，進而即可得解；（2）直接由等比數(shù)列求和公式以及錯位相減法即可運算求解.【詳解】（1）因為是方程的兩個根，且為遞增等差數(shù)列，所以，公差，所以.（2）由(1)知，所以，①，②①-②得，所以，.考點二、等差中項的應(yīng)用1．（23-24高二下·北京懷柔·期中）若，，成等差數(shù)列，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用等差中項，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以，解得，故選：B.2．（重慶·高考真題）在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=A．-1 B．0 C．1 D．6【答案】B【詳解】在等差數(shù)列中，若，則，解得，故選B.1．（23-24高二上·上海寶山·期末）與的等差中項為．【答案】3【分析】根據(jù)等差中項的定義求解．【詳解】與的等差中項為．故答案為：3.2．（24-25高二上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）等差數(shù)列的前三項依次為，，，則x的值為．【答案】【分析】根據(jù)等差中項知識即可求解.【詳解】等差數(shù)列的前三項依次為，，，，則.故答案為：.3．（江西·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝．【答案】35【詳解】因為{an}，{bn}都是等差數(shù)列,所以也成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21,a5＋b5成等差數(shù)列，因而a5＋b5＝.考點三、等差數(shù)列的性質(zhì)1．（江西·高考真題）已知等差數(shù)列，若，則.【答案】【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和題設(shè)條件，求得，結(jié)合，即可求解.【解答】因為等差數(shù)列中，滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，又由.故答案為：.2．（北京·高考真題）在等差數(shù)列中，已知，那么等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】設(shè)首項為，公差為，由已知有，所以可得的值．【詳解】解：為等差數(shù)列，設(shè)首項為，公差為，由已知有，，即．故選：A．3．（2024·河南鄭州·一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（

）A．19 B．22 C．25 D．27【答案】A【分析】依題意由等差數(shù)列性質(zhì)計算可得，利用等差中項計算可得，可求出.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，由可得，所以可得，又可得，所以.故選：A1．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，若，則（

）．A．7 B．12 C．16 D．24【答案】B【分析】觀察數(shù)列下標(biāo)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解．【詳解】在等差數(shù)列中，若，則，所以，所以．故選：B2．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，若，則.【答案】24【分析】由等差中項的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為在等差數(shù)列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案為：243．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則.【答案】【分析】由等差數(shù)列前項和公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由，得，則.故答案為：.考點四、等差數(shù)列前n項和的求解1．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.2．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結(jié)合等差中項的性質(zhì)可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.3．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.4．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號去絕對值，結(jié)合運算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當(dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得；綜上所述：.5．（2021·全國·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項公式為：.(2)由數(shù)列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.1．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，公差，為其前項和，若，則（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求出，利用等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)得到答案.【詳解】，.故選：B.2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項和記為，若，，則（

）A．51 B．102 C．119 D．238【答案】B【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出公差，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】等差數(shù)列中，，，即，所以，則.故選：B.3．（23-24高三上·陜西漢中·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出的公差為，利用等差數(shù)列通項公式和前項和公式求解即可；（2）由（1）判斷出前六項為正，后四項為負，進而利用前項和公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，解得，，故.（2）由（1）知，，，，，．4．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量求得和公差，即可寫出通項公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式求得，再解不等式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題可得：，解得，故.（2）根據(jù)（1）中所求可得，由，則可得，即解得（舍去）或，故的最小值為.5．（2024·貴州六盤水·三模）已知為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)若恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意建立方程求出等差數(shù)列的首項與公差，從而可求解；（2）先求出等差數(shù)列的前n項和，再將恒成立問題參變分離，接著利用數(shù)列的單調(diào)性求出最值，從而得解．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則根據(jù)題意可得，解得，則．（2）由（1）可知運用等差數(shù)列求和公式，得到，又恒成立，則恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，則，則；則，故，故實數(shù)λ的取值范圍為．考點五、等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)1．（遼寧·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．63 B．36 C．45 D．27【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)，列式求解.【詳解】由等差數(shù)列的項和的性質(zhì)可知，成等差數(shù)列，即，，成等差數(shù)列，所以，所以.即.故選：C2．（全國·高考真題）等差數(shù)列前項的和為，前項的和為，則它的前項的和為（

）A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，求解即可.【詳解】利用等差數(shù)列的性質(zhì)：成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選：C.3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，若，則．【答案】【分析】由等差數(shù)列前項和公式計算的等量關(guān)系，代入所求即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，，，則，故答案為：.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和分別為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及求和公式可得結(jié)果.【詳解】因為為等差數(shù)列的前項和，所以可設(shè)，（等差數(shù)列前項和的二級結(jié)論）同理因為為等差數(shù)列的前項和，所以可設(shè)．又，所以，即，整理得，解得．不妨設(shè)，則，則，故，故選：D．5．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項和分別為，滿足，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】因為數(shù)列均為等差數(shù)列，可得，且，又由，可得．因此.故選：A．1．（陜西·高考真題）等差數(shù)列的前項和為，若則等于A．12 B．18 C．24 D．42【答案】C【分析】數(shù)列每2項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為6，計算得到答案.【詳解】第一個2項和為2，第二個2項和為8，則每2項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為6，第三個2項和為14，則，故選：C.【點睛】本題考查了等差數(shù)列和的性質(zhì)，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則的值為（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前項和公式，即可求解.【詳解】由，得①，因為，，所以，即②，①②兩式相加，得，即，所以，所以，解得.故選：B.3．（2024·陜西咸陽·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．30 B．58 C．60 D．90【答案】D【分析】借助等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)計算即可得.【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，故、、、、亦為等差數(shù)列，由，，則，故，，，即有，，.故選：D.4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則．【答案】【分析】根據(jù)設(shè)出的二次形式，由此求得，即可化簡得到結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列和的前n項和分別為和，故可設(shè)，所以，所以.故答案為：.5．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若對任意正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】C【分析】運用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前項和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得，.故選：C.考點六、等差數(shù)列通項公式與前n項和的關(guān)系1．（全國·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差是d，如果它的前n項和，那么（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由與的關(guān)系即可求得數(shù)列通項，由等差數(shù)列的定義可求得公差.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合的情況，故，所以，，故公差.故選：C2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C3．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎黜椌鶠檎龜?shù)的數(shù)列的前項和為，且為等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為正整數(shù)，記集合的元素個數(shù)為，求數(shù)列的前50項和.【答案】(1)(2)2500【分析】（1）由為等差數(shù)列，得到，且，再利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求解；（2）根據(jù)題意，由，得到，即，從而求解.【詳解】（1）解：為等差數(shù)列，，且，當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，，則，由，故，所以是首項為1，公差均為1的等差數(shù)列，故.（2）由，即，即，所以，所以的前50項和為.1．（2023·四川達州·統(tǒng)考二模）已知是數(shù)列前n項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記，分別為數(shù)列的前n項和與前n項積，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，當(dāng)時，求出，檢驗當(dāng)時成立，即可求出通項公式；（2）由（1）得出，可知為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求出，再將數(shù)列每一項相乘，底數(shù)相同指數(shù)相加，指數(shù)為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，計算出指數(shù)，求出，即可求出．【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴的通項公式為；（2）∵，，∴，∴，，∴．2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系，結(jié)合累乘法即可求出數(shù)列的通項公式；（2）分和利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時，，所以時，，又時，，得，也滿足上式．故．（2）由（1）可知：．記，設(shè)數(shù)列的前項和．當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上：3．（湖南·高考真題）已知數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）;(2)【詳解】試題分析:(1)題目已知之間的關(guān)系,令,利用,即可求的的值,令,利用與前n項和之間的關(guān)系即可得到,令檢驗首項即可得到的通項公式.(2)把(1)得到的通項公式代入可以得到是由等比數(shù)列,數(shù)列之和,才用分組求和法,首先利用等比數(shù)列前n項和公式求的等比數(shù)列的前n項和,再利用對數(shù)列進行分組即可求的數(shù)列的前n項和(1)當(dāng)時,;當(dāng)時,檢驗首項符合,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)可得,記數(shù)列的前項和為,則故數(shù)列的前項和為考點：數(shù)列前項和等差數(shù)列等比數(shù)列分組求和法考點七、等差數(shù)列通項公式與前n項和的最值1．（2024·山東泰安·三模）已知為等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得，得到和，進而求得答案.【詳解】設(shè)的公差為，因為，，可得，解得，所以，可得，所以當(dāng)時，取得最小值.故選：D.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列的前項和，若，，則當(dāng)取最小值時，（

）A．9 B．10 C．10或11 D．11【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知，即．又，故，則，，則，則當(dāng)取最小值時，.故選：B．3．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．B．C．當(dāng)時，取最大值D．當(dāng)時，的最小值為27【答案】ABD【分析】由等差中項的性質(zhì)判斷AB；由A和等差數(shù)列的前n項和判斷C；由等差數(shù)列的前n項和和等差中項判斷D.【詳解】A：首項為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，所以，若，則一定大于零，不符合題意，所以，，故A正確；B：由A可知，，故B正確；C：由A可知，因為，，可知，故，取最大值，故C錯誤；D：，，故D正確.故選：ABD.4．（2024·黑龍江吉林·二模）已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項的和，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題意可得，從而可求出，即可判斷A；再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式即可判斷BCD.【詳解】因為，所以，所以，所以，又因為，所以，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：在等差數(shù)列中，求的最?。ù螅┲档姆椒ǎ海?）利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和最?。ù螅唬?）借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解.5．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．【詳解】（1）因為，即①，當(dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時，．【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達式；法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．1．（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數(shù)列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)條件，可得數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，可判斷得解.【詳解】在等差數(shù)列中，，由，可得，，，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以使得前n項的和最大的n值為8.故選：B.2．（上?！じ呖颊骖}）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，是其前n項和，且，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值【答案】C【分析】由可判斷B；由，分析可判斷A；由可判斷C；由，可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A正確；而C選項，，即，可得，又由且，則，必有，顯然C選項是錯誤的.∵，，∴與均為的最大值，故D正確；故選：C3．（2024·遼寧·二模）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項的和.且，，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與均為的最大值 D．滿足的n的最小值為14【答案】BCD【分析】由可判斷A錯誤；由A可得B正確；由，可得C正確；由等差中項和前項和的性質(zhì)可得D正確.【詳解】A：因為，所以，所以，故A錯誤；B：由A的解析可得B正確；C：因為，，所以與均為的最大值，故C正確；D：因為，由，，故D正確；故選：BCD.4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，，，若，，則（

）A．有最小值，無最小值 B．有最小值，無最大值C．無最小值，有最小值 D．無最大值，有最大值【答案】AD【分析】先利用等差數(shù)列的通項公式求得基本量，從而得到，利用它們的表達式進行分析即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，得，解得，，，當(dāng)時，有最小值無最大值，而，易得，，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，有最大值，無最小值.故選：AD.5．（全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，．

（1）求的通項公式；

（2）求，并求的最小值．【答案】（1）；（2），最小值為–16．【分析】（1）方法一：根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式即得結(jié)果；（2）方法二：根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）[方法一]：【通性通法】【最優(yōu)解】公式法設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，解得：，所以．[方法二]：函數(shù)+待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列通項公式為，易得，由，即，即，解得：，所以．（2）[方法1]：鄰項變號法由可得．當(dāng)，即，解得，所以的最小值為，所以的最小值為．[方法2]：函數(shù)法由題意知，即，所以的最小值為，所以的最小值為．【整體點評】（1）方法一：直接根據(jù)基本量的計算，利用等差數(shù)列前n項和公式求出公差，即可得到通項公式，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的函數(shù)形式特征，以及等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，用待定系數(shù)法解方程組求解；（2）方法一：利用等差數(shù)列前n項和公式求，再利用鄰項變號法求最值；方法二：利用等差數(shù)列前n項和公式求，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值．考點八、等差數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化1．（2024·遼寧·三模）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.說的是，有996斤棉花要贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止……，根據(jù)這些信息第三個孩子分得（

）斤棉花？A．99 B．116 C．133 D．150【答案】A【分析】先將問題情境轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型解決，其中996為其前項的和，為其公差，再由等差數(shù)列的通項公式及其前項和公式求解即可.【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得：，解得：，所以．故選：A2．（2024·北京延慶·一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石)塊，則上層有扇形石板塊．【答案】【分析】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差為，，設(shè)每層有環(huán)，則，，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出，再求出即可.【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差，，設(shè)每層有環(huán)，則，，所以，即，即，解得或（舍去），所以，則，即上層有扇形石板塊.故答案為：．3．（2024·內(nèi)蒙古·三模）假設(shè)在某種細菌培養(yǎng)過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經(jīng)過14小時的培養(yǎng)，則可分裂成的細菌的個數(shù)為.【答案】/131072【分析】設(shè)經(jīng)過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出的通項公式，再證得是與首相和公差均為的等差數(shù)列，即可求出的通項公式，進而求出答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，.又，，所以，，則，所以，所以是首項和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：.1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）“孫子定理”又稱“中國剩余定理”，最早可見于我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，該定理是中國古代求解一次同余式組的方法，它凝聚著中國古代數(shù)學(xué)家的智慧，在加密?秘密共享等方面有著重要的應(yīng)用.已知數(shù)列單調(diào)遞增，且由被2除余數(shù)為1的所有正整數(shù)構(gòu)成，現(xiàn)將的末位數(shù)按從小到大排序作為加密編號，則該加密編號為（

）A．1157 B．1177 C．1155 D．1122【答案】A【分析】由題意可知，求出，即可求解.【詳解】由題可知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，得，，所以的末位數(shù)依次為，故加密編號為1157.故選：A.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）《算學(xué)啟蒙》是元代著名數(shù)學(xué)家朱世杰的代表作之一．《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，可以利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題．現(xiàn)有143根相同的圓形小木棍，小軍模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比它上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（

）A．2 B．9 C．11 D．13【答案】ACD【分析】設(shè)該“等腰梯形垛”最上面一層有根木棍，共有層，由等差數(shù)列的前項和可得，分類討論，或，解方程即可得出答案.【詳解】設(shè)該“等腰梯形垛”最上面一層有根木棍，共有層，則，即．因為，所以或或，解得或或.故選：ACD．3．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點（第一段圓?。?，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時，“蚊香”的長度為.

【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得：每段圓弧的圓心角為，半徑滿足，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和求和公式分析運算.【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，設(shè)第段圓弧的半徑為，則可得，故數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列，則，則“蚊香”的長度為.故答案為：.考點九、等差數(shù)列奇偶項的和1．（21-22高二上·上海徐匯·期末）設(shè)等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，則其奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式解決即可.【詳解】由題知，奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項，奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，所以奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比為，故選：D2．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項，奇數(shù)項之和為60，偶數(shù)項之和為54，則．【答案】10【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項，所以奇數(shù)項和為，偶數(shù)項和為，故，解得.故答案為：103．（2023·重慶·二模）已知等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項和公差的方程，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，則，所以，因為，即，則，等差數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項有15項，所以，得，所以.故選：B4．（23-24高二上·江蘇連云港·期末）已知數(shù)列的前項和為，且，，，則（

）A． B．C． D．為奇數(shù)時，【答案】ABD【分析】由題設(shè)有，討論的奇偶性，結(jié)合等差數(shù)列定義、前n項和公式判斷各項正誤.【詳解】由，則，兩式作差，得，，當(dāng)為奇數(shù)，是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，即；，當(dāng)為偶數(shù)，是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，即；所以，A對，，B對；，C錯；為奇數(shù)時，，D對.故選：ABD5．（2023·山東威?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)當(dāng)為偶數(shù)時,;當(dāng)為奇數(shù)時,;【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得，進而根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解，(2)數(shù)列的前項的和分奇偶求和,先求，又，，，是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，再求奇數(shù)項和即可.【詳解】（1）由得時，兩式相減得,整理得因為，所以,所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列在中令解得所以.（2）當(dāng)時，又，，...，是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以，故．所以當(dāng)時，又，，...，是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以，故．所以當(dāng)為偶數(shù)時,;當(dāng)為奇數(shù)時,;1．（22-23高一下·四川·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【分析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】奇數(shù)項共有項，其和為，∴．偶數(shù)項共有n項，其和為，∴．故選：B．2．（2021·山東濟南·二模）已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為，所有偶數(shù)項之和為，則該數(shù)列的中間項為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題可設(shè)等差數(shù)列共有項，然后通過即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列共有項，則，，中間項為，故，，故選：B.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的前40項和為.【答案】【分析】根據(jù)題中遞推式可求得，，即的奇數(shù)項為首項為1公差為5的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為3公差為5的等差數(shù)列，再利用分組并項求和從而可求解.【詳解】因為，，又，所以，即，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，5為公差的等差數(shù)列；同理，由知，數(shù)列的偶數(shù)項是以3為首項，5為公差的等差數(shù)列．所以前40項和為．故答案為：.4．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時，有.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由題可知，從而數(shù)列為等差數(shù)列；（2）根據(jù)的奇偶性可得，從而可得.【詳解】（1）證明：由題易知數(shù)列的各項都不為0，當(dāng)時，，∴.∴數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，∴.，，…，其中.∴當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，∴.5．（21-22高三上·湖北·期中）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且.(1)求，；(2)設(shè)，求數(shù)列的前8項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意，將原式化簡得，當(dāng)時，求得，當(dāng)時，由和的關(guān)系得出，由等差數(shù)列的定義可知是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求出，；（2）根據(jù)題意，化簡得，從而得出，代入計算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）解：由原式可得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，兩式作差可得：，所以，又因為，則，所以，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，，∴，；（2）解：，即，所以，即數(shù)列的前8項和.考點十、等差數(shù)列的證明1．（2021·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【分析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為∴，∴，∴當(dāng)時，當(dāng)時，，滿足，∴的通項公式為，∴∴是等差數(shù)列.【點睛】在利用求通項公式時一定要討論的特殊情況.2．（2021·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因為，所以，所以．在中，當(dāng)時，．故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時顯然成立．假設(shè)當(dāng)時成立，即．那么當(dāng)時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式；1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可證明；（2）根據(jù)（1）問，求出數(shù)列的通項公式，從而求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消求和法求得【詳解】（1）證明：令，又，則有，又，所以所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列（2）由（1）知，，又，所以，所以，所以2．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)數(shù)列的每一項均為正數(shù)，，數(shù)列的前n項和為，當(dāng)時，求n的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)2024．【分析】（1）由與等差數(shù)列的定義，可證結(jié)論成立.（2）先利用裂項求和法求，再解不等式可得n的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以（常數(shù)），故數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，得所以，當(dāng)時，即，所以n的最小值為2024．一、單選題1．（2024·山西運城·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，則，又，則，解得，所以.故選：C2．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，，則（

）A．130 B．260 C．320 D．520【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式計算即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列求和.故選：B.二、多選題3．（2024·云南·二模）記數(shù)列的前項和為為常數(shù).下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．存在常數(shù)A、B，使數(shù)列是等比數(shù)列 D．對任意常數(shù)A、B，數(shù)列都是等差數(shù)列【答案】ABC【分析】根據(jù)與的關(guān)系求得可判斷A；由可判斷B；取可得是公比為1的等比數(shù)列，可判斷C；當(dāng)時，根據(jù)等差數(shù)列定義驗證，可判斷D.【詳解】對于A，若，則，A正確；對于B，若，則，B正確；對于C，由得，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列，C正確；對于D，由上知，當(dāng)時，若，則，此時，數(shù)列不是等差數(shù)列，D錯誤.故選：ABC三、填空題4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）在等差數(shù)列中，，則的前19項和．【答案】76【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式，化簡表達式可得，再由等差數(shù)列的求和公式求得．【詳解】設(shè)的公差為d，則，即．故．故答案為：76.5．（2024·河南開封·三模）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則．【答案】20【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用等差數(shù)列前n項和公式即可求解.【詳解】由，，故答案為：20四、解答題6．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的公差不為零，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解，（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）由題意(1)由(1)(2)可得所以（2），，，故為等差數(shù)列，.7．（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.【詳解】（1）因為，，所以，解得或，因為，所以，則；（2）由（1）可得，所以.8．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)記是數(shù)列的前項和，證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，再用已知條件列出兩個方程并解出其中的參數(shù)；（2）直接求出，再用裂項法即可.【詳解】（1）設(shè)，則由已知有，.將第一個等式展開化簡可得，故由知.再代入第二個等式可得，解得，從而.故的通項公式是.（2）由于，故.9．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且也是等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的公差；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出公差，根據(jù)為等差，得到，求出公差；（2）得到，裂項相消法求和，得到答案.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則．因為是等差數(shù)列，所以為常數(shù)．，所以，解得（2）因為，所以．，故．10．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項為5，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前20項和.【答案】(1)數(shù)列的通項公式為；(2)數(shù)列的前20項和為.【分析】（1）根據(jù)等差中項求出，再根據(jù)求出公差，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，求出的通項公式；（2）先寫出，對為偶數(shù)的情況進行裂項，再用分組求和法求出.【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，且與的等差中項為5，所以，解得，因為，所以，解得，因為，所以，所以，故數(shù)列的通項公式為；（2）由題知，即所以，故數(shù)列的前20項和為.一、單選題1．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，其前n項和為，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，化簡條件，確定的正負，由此判斷數(shù)列的單調(diào)性，判斷充分性，再由數(shù)列的單調(diào)性推出，由此判斷的大小關(guān)系，判斷必要性，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，所以，即，所以為遞減數(shù)列，所以“”是“為遞減數(shù)列”的充分條件，若為遞減數(shù)列，則，所以，所以，所以“”是“為遞減數(shù)列”的必要條件，所以“”是“為遞減數(shù)列”的充分必要條件，故選：C.2．（2024·浙江·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意，分和兩種情況討論，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及充分條件、必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】當(dāng)時，，得；當(dāng)時，，得，所以“”是“”的充要條件，故選：C．二、多選題3．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項為【答案】BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件即可得到，即可判斷AC，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可判斷B，再由，或時，；時，即可判斷D,【詳解】根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當(dāng)時，最大，故A錯誤由，可得到，所以，，所以，故C錯誤；由以上可得：，，而，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當(dāng)，或時，；當(dāng)時，；由，所以中最小項為，故D正確.故選：BD.三、填空題4．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，若數(shù)列的前項的和為，則的的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件得，令，通過裂項相消求得，然后代入即可求解.【詳解】數(shù)列滿足①，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，②，由②①得，數(shù)列的所有奇數(shù)項，，數(shù)列的所有偶數(shù)項，，綜上，數(shù)列的通項公式為.記，所以數(shù)列的前項和為：，由得，即，因為,隨著的增大而增大，故當(dāng)時，剛好滿足，所以,的最小值為.故答案為：.5．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，記，分別為，的前項和，若，，則．【答案】【分析】根據(jù)已知條件得到關(guān)于、的二元一次方程組，解方程組，求出、，即可求出數(shù)列的通項公式，，由此可得數(shù)列的通項公式，分組求和即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，得①，由得②，聯(lián)立①②，，解得，所以．則，所以．故答案為：四、解答題6．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，已知是與的等差中項.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由是與的等差中項,可得，化簡得，可得，作差可得，則可得的通項公式；（2）由（1）得，，分組求，可得，可得，即可得證.【詳解】（1）由題意，得，即，即①，所以②，①-②，得，即.又，所以.由是與的等差中項，得當(dāng)時，，解得，所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故.（2）由（1）得，則，所以，所以，所以.7．（2024·福建廈門·三模）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，且為等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可得，利用與之間關(guān)系可證得數(shù)列通的項公式；（2）采用分組求和法，分別對奇數(shù)項和偶數(shù)項求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和裂項相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，即，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足上式，所以.（2）由（1）知則所以數(shù)列的前項和為.8．（2024·江蘇宿遷·三模）在數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足；①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；②若，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）變形得到，結(jié)合，故，從而得到；（2）①化簡得到，利用得到，同理可得，證明出是等差數(shù)列；②求出，結(jié)合，得到公差，得到通項公式，所以，裂項相消法求和證明出結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，因為，所以n=1時，，所以數(shù)列是各項為0的常數(shù)列，即，所以．（2）①由得所以①所以②②-①得：③所以④④-③得，所以即所以數(shù)列是等差數(shù)列．②當(dāng)時，由得，所以，又，故的公差為1，所以，所以，即．【點睛】方法點睛：常見的裂項相消法求和類型：分式型：，，等；指數(shù)型：，等，根式型：等，對數(shù)型：，且；9．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且對任意均有．(1)設(shè)，證明為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)已知，求．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）令，變形遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義即可得出證明；（2）由等差數(shù)列通項公式得出，再由累加法得出，結(jié)合賦值可得，即可得出通項公式；（3）分組求和得出，再由裂項相消法求出的前n項和.【詳解】（1）因為，，令，所以當(dāng)時，，即，所以，所以為等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，即，所以，，所以，，再由，令，可得，即，解得，所以，，當(dāng)時，，滿足上式.所以數(shù)列的通項公式為.（3）因為，所以，設(shè)，則，，所以，，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于利用等差數(shù)列通項公式及累加法求出后，表達式中的求值，首先對所求的式子中賦值得出，.其次要對原式恰當(dāng)賦值，聯(lián)立方程求出，具有很強的技巧性.10．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，其中為數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)m為正整數(shù)，若存在首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列（），對任意正整數(shù)k，當(dāng)時，都有成立，求m的最大值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列是等差數(shù)列，據(jù)此即可確定其通項公式；（2）求出，將原問題進行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值．【詳解】（1）因為，所以，由，得，則，，由，得，當(dāng)時，由，得，故整理得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差為，所以；（2）由（1）知，,因為數(shù)列為首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為q，所以，，因為，所以，其中，2，3，…，m．當(dāng)時，有；當(dāng)，3，，m時，有．設(shè)（），則，令，得，列表如下：x單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減因為，所以．所以，故，故，令（），則，令，則，當(dāng)時，，即，∴在上單調(diào)遞減，即時，，則，下面求解不等式，化簡得，令，則，由得，，∴在上單調(diào)遞減，又由于，，∴存在使得，所以，∴m的最大值為5．【點睛】方法點睛：等差數(shù)列的三種判定方法：（1）定義法：（常數(shù)）數(shù)列為等差數(shù)列；（2）等差中項法：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）通項公式法：（、為常數(shù)，）數(shù)列為等差數(shù)列.但如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法.1．（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D2．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故選：B3．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C4．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及前項和．【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為.【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式計算可得.(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時，，取，當(dāng)時，，取，即可證得題中的不等式；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前項和公式即可計算其前項和.【詳解】（1）由題意可得，解得，則數(shù)列的通項公式為，求和得.（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時，，取，則，即，當(dāng)時，，取，此時，據(jù)此可得，綜上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，則數(shù)列的公比滿足，當(dāng)時，，所以，所以，即，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列的通項公式為，其前項和為：.【點睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項公式和前項和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對學(xué)生探索新知識很有裨益.5．（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.6．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D7．（2022·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差．【答案】2【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.8．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的充分必要條件.故選：C.9．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】