第04講 平面向量系數(shù)和（等和線、等值線）問(wèn)題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第04講平面向量系數(shù)和（等和線、等值線）問(wèn)題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（5類核心考點(diǎn)精講精練）

平面向量與代數(shù)、幾何融合考查的題目綜合性強(qiáng)，難度大，考試要求高。平面向量是有效連接代數(shù)和幾何的橋梁，已成為高考數(shù)學(xué)的一個(gè)命題熱點(diǎn)。近年，高考、?？贾杏嘘P(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)，往往要通過(guò)建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點(diǎn)共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問(wèn)題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時(shí)也為相關(guān)問(wèn)題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用知識(shí)講解如圖，為所在平面上一點(diǎn)，過(guò)作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點(diǎn)的位置分幾種情況來(lái)考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時(shí)，則射線與無(wú)交點(diǎn)，由知，存在實(shí)數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時(shí)，（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過(guò)作，交射線于兩點(diǎn)，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點(diǎn)共線可知：存在使得：所以（ii）當(dāng)在左側(cè)時(shí)，射線的反向延長(zhǎng)線與有交點(diǎn)，如圖1作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時(shí)，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過(guò)對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來(lái)刻畫。因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來(lái)刻畫相似比，在圖中，過(guò)作邊的垂線，設(shè)點(diǎn)在上的射影為，直線交直線于點(diǎn)，則(的符號(hào)由點(diǎn)的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍考點(diǎn)一、“x+y”或“λ+μ”型綜合1．（全國(guó)·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【法一：系數(shù)和】分析：如圖，由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)故選.【法二：坐標(biāo)法】【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.2，（衡水中學(xué)二模）邊長(zhǎng)為2的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為1，圓心在線段(含短點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，是圓上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量，則的取值范圍是（）分析:如圖，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最小值；同理，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最大值.綜上可知.在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為()解：如圖所示：過(guò)作的垂線，垂足為，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，高線最長(zhǎng)，即如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是____________解：連接因?yàn)檎呅危蓪?duì)稱性知道，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，在上射影最小為；當(dāng)與重合時(shí)，在上射影最大為；則設(shè)則則如圖在直角梯形中，，，，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，且與直線相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)則的取值范圍是____________解：設(shè)圓與直線相切于點(diǎn)，過(guò)作于，作直線，且直線與圓相切與，連，則過(guò)圓心，且，由圖可知，對(duì)圓內(nèi)任意一點(diǎn)在直線上的射影長(zhǎng)度滿足：，又，所以而，所以3．在中，，，，M是外接圓上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M的坐標(biāo)為，由，可得利用正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)即得解.【詳解】以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)B作軸又當(dāng)時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)乘運(yùn)算和正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及直角三角形問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.4．（22-23高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)在該三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，若（，為實(shí)數(shù)），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，再結(jié)合余弦定理，面積公式可求出、、邊上高，內(nèi)切圓半徑，最后根據(jù)平行線等比關(guān)系即可求解.【詳解】，由在內(nèi)切圓上，故，假設(shè)，由于，，則，且為上一點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，由平行線等比關(guān)系可得，要使，即與之間的比例最小，則在內(nèi)切圓的最高點(diǎn)，如圖所示，由，因?yàn)椋?，設(shè)邊上高為，內(nèi)切圓半徑為，由，所以，，可得的最小值為，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵的地方是轉(zhuǎn)化得到，令，觀察到分母的系數(shù)相加為1，則可得到為上一點(diǎn)，再結(jié)合平行線等比關(guān)系以及圖象可得到比例最小的具體位置5．（22-23高一下·廣東珠海·期末）在中，，，，是的外接圓上的一點(diǎn)，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理與勾股定理得是直角三角形，進(jìn)而可以建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得向量的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得的表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，由余弦定理得，所以，則，所以，故以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

，易得，則，，設(shè)的坐標(biāo)為，則，又，所以，則，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，利用向量的線性運(yùn)算法則得到的關(guān)系式，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)得解.考點(diǎn)二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型綜合已知是內(nèi)一點(diǎn),且,點(diǎn)在內(nèi)(不含邊界),若,則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)槭莾?nèi)一點(diǎn),且，所以為的重心在內(nèi)(不含邊界),且當(dāng)與重合時(shí),最小,此時(shí)所以,即當(dāng)與重合時(shí),最大,此時(shí)所以,即因?yàn)樵趦?nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間,即.已知為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________答案:【解析】如圖,取中點(diǎn)為,顯然,當(dāng)與重合時(shí),取最小值1.將平行移動(dòng)至與相切處,為切點(diǎn)時(shí),取最大值.延長(zhǎng)交于,易知.由等和線及平行截割定理,.所以的最大值為.故的取值范圍是.若點(diǎn)在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______【解析】令,則,即,其中.由知點(diǎn)在線段上,如下圖:由于在中,,且點(diǎn)在線段上(含端點(diǎn),因此,其中是邊上的高.可得.可得.所以,.再由可知.設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別是,點(diǎn)是內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則的取值范圍是_________解:如圖,取中點(diǎn),則此時(shí)的等和線為平行于的直線顯然,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),最小為1,當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),最大,由于,所以,于是的最大值為所以的取值范圍是.1．在矩形ABCD中，，，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【分析】可根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)圖形設(shè)，且，則又可用表示為：所以根據(jù)平面向量基本定理得到：，所以，最大值為1，所以的最大值為．【詳解】如圖，設(shè)，，則：；又；；；的最大值為．故選B．【點(diǎn)睛】考查共線向量基本定理，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的最大值，以及平面向量基本定理．2．（2023·安徽淮南·一模）已知是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線與，交于點(diǎn)，且，，，則的最小值是A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)三點(diǎn)共線得到，也就是，再利用得到，最后利用基本不等式求的最小值.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，因?yàn)?，所以，又為重心，故，而不共線，所以，也即是.，由基本不等式可以得到：，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒(méi)有積為定值或和為定值，則需要對(duì)給定的代數(shù)式變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu).求最值時(shí)要關(guān)注取等條件的驗(yàn)證.3．已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)可知O為的重心；根據(jù)點(diǎn)M在內(nèi)，判斷出當(dāng)M與O重合時(shí)，最??；當(dāng)M與C重合時(shí)，的值最大，因不含邊界，所以取開區(qū)間即可．【詳解】因?yàn)槭莾?nèi)一點(diǎn)，且所以O(shè)為的重心在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，最小，此時(shí)所以，即當(dāng)M與C重合時(shí)，最大，此時(shí)所以，即因?yàn)樵趦?nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了向量在三角形中的線性運(yùn)算，特殊位置法的應(yīng)用，屬于難題．4．（22-23高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）在中，，，過(guò)的外心O的直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn))分別交線段于，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得，外接圓的半徑，設(shè)，，，根據(jù)，結(jié)合和三點(diǎn)共線，得到，進(jìn)而求得，利用基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)，即可求得取值范圍.【詳解】因?yàn)橹?，，由余弦定理可得，即，且，設(shè)，則，，所以，同理可得，，解得，所以，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，因?yàn)?，所以，所以，同理可得，所以所以，設(shè)，可得，令，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；又由，，可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.故選：B.考點(diǎn)三、“x-y”或“λ-μ”型綜合如圖,已知為銳角三角形的外心,,且,求的取值范圍？解:作圓的直徑,則點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng).于是.其中.考慮到問(wèn)題涉及的代數(shù)式為,為了利用向量分解的系數(shù)和的幾何意義,將條件轉(zhuǎn)化為.此時(shí)可知連接向量的終點(diǎn)與向量的終點(diǎn)的直線即等系數(shù)和線,于是.依次作出其余等系數(shù)和線,可得的取值范圍是.1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最小值為（

）A． B．1 C．-1 D．【答案】C【解析】以A為原點(diǎn)，直線AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得的坐標(biāo)的參數(shù)形式，再由用坐標(biāo)表示，這樣就可表示為的三角函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變換可求得其最小值．【詳解】以A為原點(diǎn)，直線AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線，圓C與直線BD相切，所以圓C的半徑，圓C的方程為，設(shè)點(diǎn)，即，又，∴，所以.即時(shí)，取得最小值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用兩種不同方法表示，從而把表示為參數(shù)的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)知識(shí)求得最小值．考點(diǎn)四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型綜合1．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐標(biāo)系，將由點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后數(shù)形結(jié)合求解【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤,y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，解得，故，即，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)時(shí)，取最小值2，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，取得最大值.故選：B2．（2022春·安徽六安·高三階段練習(xí)）在直角梯形中，，∥，，、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上變動(dòng)，（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是．【答案】【分析】如圖以為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可表示出的坐標(biāo)，可列出關(guān)于的不等式組，表示出，利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)，從而可求得結(jié)果【詳解】如圖以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，設(shè)，因?yàn)樗?，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故答案為?．（2023·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可表達(dá)出，進(jìn)而用輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】分別以所在直線為軸，軸，方向?yàn)檎较蚪⒅苯亲鴺?biāo)系，知,設(shè)，由得：，即,則，由可得：，則，故.則的取值范圍是

.故選：C考點(diǎn)五、系數(shù)和（等和線）的綜合應(yīng)用1．如圖所示，△ABC中，AC＝3，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，且PN＝2PM，則△ABC面積的最大值為．【答案】5【分析】根據(jù)題意設(shè)作為該平面的一組基底，根據(jù)向量運(yùn)算的三角形法則及共線向量定理分別表示出，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再設(shè)PM＝2t，求得PN，PA，PB，設(shè)△APN的面積為x，運(yùn)用余弦定理和面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值可得x的最大值，進(jìn)而得到所求△ABC的面積的最大值．【詳解】設(shè)則,,∵A、P、M和B、P、N分別共線，∴存在實(shí)數(shù)λ、μ，使故.而∴，解得，故即AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2，設(shè)PM＝t，則PN＝2t，PA＝4t，PB＝3t，t＞0，設(shè)△APN的面積為x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，可得cosα＝＝，sinα＝，則當(dāng)，即t＝時(shí)，x取得最大值，而△ABP的面積為x，△BPM的面積為，則△ABC的面積為，則△ABC的面積的最大值為×＝5．故答案為：5．2．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.已知為線段的中點(diǎn)，設(shè)為中間小正方形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界）.若，則的取值范圍為.【答案】【分析】由題意，利用平面向量基本定理，數(shù)形結(jié)合與臨界值法，即可求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，由可知，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，可知.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，可知.故的取值范圍為.故答案為：3．（2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則；為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，軸上點(diǎn)滿足，，則的最小值為．【答案】4【分析】第一空：利用橢圓與雙曲線的定義及性質(zhì)，結(jié)合圖形建立方程，求出，在利用余弦定理建立關(guān)于離心率的齊次方程解出即可；第二空：由為的內(nèi)心，得出角平分線，利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平面向量得出及，代入中利用基本不等式求最值即可.【詳解】①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義：，由橢圓的定義：，可得：，又，由余弦定理得：，即，整理得：，所以：；②為的內(nèi)心，所以為的角平分線，則有，同理：，所以，所以，即，因?yàn)椋?，故，為的?nèi)心，三點(diǎn)共線，即為的角平分線，則有，又，所以，即，因?yàn)椋?，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：4，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：離心率的求解方法，（1）直接法：由題意知道利用公式求解即可；（2）一般間接法：由題意知道或利用的關(guān)系式求出，在利用公式計(jì)算即可；（3）齊次式方程法：建立關(guān)于離心率的方程求解.1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則．【答案】【分析】根據(jù)余弦定理可求解余弦，即可根據(jù)同角關(guān)系求解正切，進(jìn)而運(yùn)用定理4的結(jié)論，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，由余弦定理可得，由以及為銳角，可得，故．同理，．于是．接下來(lái)證明定理4：O是（非直角三角形）的垂心．證明：O是（非直角三角形）的垂心，由定理4得，故，化簡(jiǎn)得．所以．故答案為：2．（22-23高二下·廣東汕尾·期末）如圖，在中，點(diǎn)D在線段上，且，E是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（不含點(diǎn)A），且（）．若，且，則的面積的最大值為．

【答案】【分析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，得到，設(shè)，所以，根據(jù)三點(diǎn)共線，求得，得到，得到，延長(zhǎng)于，使得，延長(zhǎng)于點(diǎn)，使得，結(jié)合相似，求得得到為等腰三角形，且，得出，進(jìn)而取得的面積的最大值.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，設(shè)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，所以所以，所以，所以，所以，延長(zhǎng)于，使得，延長(zhǎng)于點(diǎn)，使得，如圖所示，則，且相似比為，所以,所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以為等腰三角形，且，所以，因?yàn)椋裕?所以的面積的最大值為.

【點(diǎn)睛】解決向量在平面幾何中的應(yīng)用問(wèn)題的兩種方法：（1）坐標(biāo)法，把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示出來(lái)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決；（2）基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來(lái)，然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則?運(yùn)算律和性質(zhì)求解.3．（20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）已知△ABC中，，若點(diǎn)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出臨界點(diǎn)的位置，進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评砼c運(yùn)算，即可求出實(shí)數(shù)x的取值范圍.【詳解】解：如圖所示，在線段BD上取一點(diǎn)G，使得，設(shè)DC=3a，則DG=a，BC=5a，BG=a；過(guò)點(diǎn)G作GH∥DE，分別交DF?AE于K?H，連接FH，則點(diǎn)K?H為臨界點(diǎn)；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是().故答案為：().

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出臨界點(diǎn)的位置.1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在正方形中，與交于點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），，則的最小值為.【答案】【詳解】解法一：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?，從而，所以，設(shè)，則，所以，從而在上↘，在上↗，故，所以的最小值為.解法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，從而，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，結(jié)合可解得：，所以的最小值為.解法三：，設(shè)，則，如圖，設(shè)，則三點(diǎn)共線，因?yàn)椋?，即，從而，所以，?dāng)在上（不含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，顯然，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，容易驗(yàn)證滿足的點(diǎn)在上，所以的最小值為.

2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)P是(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)平面向量基本定理及向量共線定理即可求解.【詳解】當(dāng)點(diǎn)P位于B點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于G，H，則，且，，，所以.故答案為：.3．（22-23高一下·四川眉山·階段練習(xí)）已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與兩邊相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)，，則的最小值為．【答案】4【分析】根據(jù)三角形重心及加法、數(shù)乘運(yùn)算得到，由向量共線的推論得，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)，又共線，如下圖，則，即，故，而，則，

所以，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以目標(biāo)式最小值為4.故答案為：44．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若，則2x＋2y的最大值為

【答案】【分析】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)，，把用表示，由和的范圍，求2x＋2y的最大值.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，

設(shè)，則，等邊三角形邊長(zhǎng)為2，則外接圓半徑為，當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí),，∵，∴設(shè)，則，當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí),有最大值,，，∴，，∴.即2x＋2y的最大值為.故答案為：5．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，為邊上不同于，的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足.若，則的最小值為.

【答案】/0.4【分析】根據(jù)題意，得，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，將化為的函數(shù)求最小值即可.【詳解】根據(jù)題意，得.因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，設(shè)，則，所以，所以，所以有，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：6．（22-23高一下·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，．則的取值范圍為．

【答案】【分析】建立坐標(biāo)系，討論，，，四種情況，求出的范圍.【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，正方形的邊長(zhǎng)為1，則，

∵．當(dāng)時(shí)，有且，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有且，∴，當(dāng)時(shí)，有且，∴，當(dāng)時(shí)，有且，∴，綜上，，故答案為：7．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，,又，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，，即，解得，,因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最大值為.故答案為：.8．（23-24高一下·天津·期中）如圖，在中，與BE交于點(diǎn)，，則的值為；過(guò)點(diǎn)的直線分別交于點(diǎn)設(shè)，則的最小值為.

【答案】4【分析】設(shè)，將分別代入，利用共線定理的推論列方程組求出，然后根據(jù)求解可得；將代入，根據(jù)共線可得，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)，令，因?yàn)椋?，所以，又與分別共線，所以，解得.因?yàn)?，所以，即，解得，?因?yàn)椋?/p>

所以，所以，因?yàn)楣簿€，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：4；.9．（21-22高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為曲邊區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)（含邊界），若，則的最大值為．【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得，，進(jìn)而根據(jù)線性規(guī)劃求截距最大或者根據(jù)三角換元法即可求解.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，；，；由是區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)，且，，，，，；，，，設(shè)，即，用線性區(qū)域的方法，平移直到于圓弧相切，與軸相交于,此時(shí)直線截距最大，切點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)；由于此時(shí)切線的斜率為此時(shí),由此，故,因此此時(shí)，即的最大值為，故答案為：.10．（22-23高三下·上海寶山·開學(xué)考試）如圖所示，，圓M與AB，AC分別相切于點(diǎn)D，E，AD=1，點(diǎn)P是圓M及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且，則的取值范圍是【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出圓M的方程，則點(diǎn)P在圓M內(nèi)或其圓周上，根據(jù)點(diǎn)P的范圍，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題.【詳解】如圖以A為原點(diǎn)直線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系：由題意，，，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為圓心M，在中，，，，圓M的半徑為；設(shè)，則P點(diǎn)圓M內(nèi)或圓周上，，，，由題意，，，，即是求z的取值范圍，也就是求z的最大值和最小值，根據(jù)幾何意義，當(dāng)直線與圓M相切時(shí)z取最值，.此時(shí)到直線的距離為，所以z的范圍為；故答案為：.11．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中，，且，，若，則.【答案】6【分析】連接,交于點(diǎn),求得，法一：由平面向量基本定理得利用求得；法二：根據(jù)等高線定理求解.【詳解】連接,交于點(diǎn),則,,法一：由平面向量基本定理得,法二：根據(jù)等高線定理可得故答案為：612．（22-23高二上·上海寶山·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓弧上運(yùn)動(dòng)（包含、兩個(gè)端點(diǎn)），，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)共線向量基本定理,設(shè),結(jié)合條件可求得的等量關(guān)系，根據(jù)M的位置可求得的范圍，同時(shí)根據(jù)基本不等式，求得的取值范圍，即可得的取值范圍。【詳解】設(shè)與相交于,且由，，三點(diǎn)共線可得即,所以又因?yàn)樗约串?dāng)時(shí)，,此時(shí)當(dāng)與(或)點(diǎn)重合時(shí),此時(shí),此時(shí)所以由基本不等式,可得當(dāng)或時(shí),當(dāng)x=1且y=1時(shí)，x+y=2，xy=1，則即【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理、向量共線基本定理的綜合應(yīng)用，注意向量線性運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題。13．（19-20高一上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，扇形的半徑為1，圓心角，點(diǎn)P在弧BC上運(yùn)動(dòng)，，則的最大值為.【答案】.【分析】如圖所示：作平行四邊形，分別在上，故，計(jì)算得到，，，得到答案.【詳解】如圖所示：作平行四邊形，分別在上，故.故，設(shè)，根據(jù)正弦定理：，，故，，故，其中，當(dāng)時(shí)，有最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和三角恒等變換的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.14．（22-230高三上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，已知正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)（x，），則的最大值為.【答案】【分析】設(shè)邊長(zhǎng)為1，，建立直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)用表示出，再利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)邊長(zhǎng)為1，，則，可得，由，可得，解得其中，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，其中解答中將平面向量問(wèn)題坐標(biāo)化，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力．15．（22-23高三·浙江·階段練習(xí)）已知，與所成角為，點(diǎn)P滿足，若，則的最大值為.【答案】【分析】可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)題設(shè)可得動(dòng)點(diǎn)在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn),則可用的三角函數(shù)表示,進(jìn)而求得最大值.【詳解】由題,如圖建系,,,,則,,因?yàn)?則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓內(nèi)（包括邊界）,則設(shè),因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以,所以的最大值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中基底向量的系數(shù)和的最值,考查坐標(biāo)法表示向量的應(yīng)用.16．（22-23高一下·重慶萬(wàn)州·期中）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，利用表示出，求出和，然后利用雙鉤函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，，設(shè)，則，所以，而，可得：，所以，設(shè)，由雙鉤函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，則，所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的基本定理的應(yīng)用，還涉及雙鉤函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.17．（21-22高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，D是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且，其中，則的最大值為