第05講 新高考新結(jié)構(gòu)命題下的數(shù)列解答題綜合訓練（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第05講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的數(shù)列解答題綜合訓練（15類核心考點精講精練）在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。當前的高考試題設(shè)計，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：三考題目設(shè)計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實際水平。三重強調(diào)對學生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計的題目，引導學生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數(shù)，無法提前預知。數(shù)列版塊作為一個重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學生入手。同樣不能忽視的是，解三角形版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據(jù)試題的實際情況調(diào)整教學策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點，結(jié)合具體的導數(shù)解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導數(shù)解答題綜合訓練指南，以期在新高考中取得更好的成績?？键c一、構(gòu)造等差數(shù)列1．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列的前項和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡，可得，由等差數(shù)列的定義得證；（2）由（1）求出，再由累乘法求解.【詳解】（1）由，得．所以，即，整理得，上式兩邊同時除以，得．又，所以，即，所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）知，．所以．所以．2．（2024·全國·模擬預測）已知正項數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題，利用累乘法即可求解，進而可得，進而可證等差；（2）由（1）得，由裂項求和即可求解.【詳解】（1）由題可得，所以當時，，易知滿足，所以.所以，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，所以.所以.3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知數(shù)列的前項的積記為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分類討論與兩種情況，利用遞推式求得與，從而得證；（2）利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）因為，當時，，即，易知，則，當時，，所以，即，故數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，則，所以.4．（2024·湖南·模擬預測）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法，先求得，進而求得.（2）利用裂項求和法求得.【詳解】（1）由得：，∵，所以數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；（2），所以.5．（2024·新疆·一模）非零數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前項和．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）對已知條件因式分解可得，根據(jù)等差數(shù)列定義可證；（2）利用累乘法求得，然后由裂項相消法可得.【詳解】（1）由，得對于恒成立，所以，即，所以，而，故，所以數(shù)列是以1為公差，為首項的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，即，整理得，由累乘法得，即，又，所以，則，所以.考點二、構(gòu)造等比數(shù)列1．（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列的首項為3，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.【答案】(1)證明見解析(2)，數(shù)列不是等比數(shù)列【分析】（1）化簡變形為，結(jié)合定義即可證明；（2）由即可判斷.【詳解】（1）由，，得，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，所以所以數(shù)列不是等比數(shù)列.2．（2024·安徽合肥·模擬預測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項和，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由得出，再計算，將代入，即可證明；（2）由（1）得，得出為公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得出，代入，再裂項得，即可求得數(shù)列的前n項和．【詳解】（1）因為，所以，即所以（為常數(shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）由（1）知，即.所以，所以為公比為的等比數(shù)列，又，所以，因為，所以，所以數(shù)列的前項和為：．3．（2024·四川綿陽·模擬預測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，．(1)求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．(2)若數(shù)列的前m項和，求m的值，【答案】(1)證明見解析，(2)7【分析】（1）利用數(shù)列中與的關(guān)系，得，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，可求數(shù)列的通項公式．（2）利用裂項相消求數(shù)列的前m項和，由求m的值.【詳解】（1）因為，所以當時，，解得．當時，，則，整理得，故，，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．所以（2），數(shù)列的前m項和，則，則，則，解得，故m的值為7．4．（2024·全國·模擬預測）記為數(shù)列的前項和，已知，．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若，數(shù)列的最大項為，求的值．【答案】(1)證明見解析，(2)或【分析】（1）由，兩式相減可得，該式可化為，即可證明并求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得，后，可作差比較大小，或者作商，進一步分析即可.【詳解】（1）因為，①所以，②②①，得，即，所以，又，所以，所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列．所以，所以．（2）由（1）知，，所以，．解法一

，當時，，即；當時，，即；當時，，即．所以，且，所以數(shù)列的最大項為，故的值為或．解法二

，令，解得；令，解得；令，解得．因為，所以，且，所以數(shù)列的最大項為，故的值為或．5．（2024·全國·模擬預測）數(shù)列的前項和滿足．(1)令，求的通項公式；(2)令，設(shè)的前項和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，當時，解得，當時，，可得，當時，，即當時，，即可得解；（2）由（1）知，，求和即可.【詳解】（1）因為，所以當時，，解得；當時，，兩式相減得，即．所以當時，，即當時，，且，所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由（1）知，則，所以．因為，所以．考點三、等差數(shù)列前n頂和1．（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習）等差數(shù)列中，已知是其前項和，,求與【答案】，.【分析】先利用等差數(shù)列的前項和公式求出公差；再利用等差數(shù)列的通項公式求出，利用等差數(shù)列的前項和公式求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，.，，即，解得.，.即，.2．（23-24高三上·遼寧·階段練習）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進而得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得到數(shù)列為遞增數(shù)列，且，得到或時，取得最小值，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）知，可得數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以當時，；當時，；當時，，所以，當或時，取得最小值，即，所以，故的最小值為.3．（23-24高二上·甘肅金昌·階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的最小值及取得最小值時n的值．【答案】(1)(2)當時，最小，最小值為-26【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后寫通項即可；（2）方法一：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求最小值即可；方法二：根據(jù)前項和的函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，得，，解得，，所以．（2）方法一：由知是遞增數(shù)列，當時，；當時，．所以，所以當時，最小，最小值為．方法二：，又，所以當時，最小，最小值為-26.4．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)求使成立的n的取值集合.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用公式法列方程組求得等差數(shù)列的首項和公差，從而得到數(shù)列的通項公式；（2）代入等差數(shù)列前n項和公式，列出關(guān)于n的不等式，解出n的取值范圍，又因為n為正整數(shù)，從而得到n的取值集合.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為，所以，則.①又因為，所以，得，②聯(lián)立①②，解得，，即數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，所以，即為，當時，，解得（舍）或（舍）；當時，，解得，所以，所以滿足條件的的取值集合為.5．（2023·山西·模擬預測）已知等差數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，且，若，求的最小值.【答案】(1)(2)10【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后利用公式構(gòu)建基本量的方程求解即可.（2）先將等差數(shù)列的通項代入,得到數(shù)列的通項,再求和,解不等式即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得，故.（2）由（1）可得，則，所以,則數(shù)列是是等差數(shù)列，故.因為，所以，所以，所以或.因為，所以的最小值是10.考點四、等比數(shù)列前n項和1．（23-24高三上·河南·階段練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求解；（2）分組求和方法求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，所以，解得，，所以的通項公式.（2）由（1）知，所以.2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知等比數(shù)列的公比，記其前項和為，且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)求的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差中項，結(jié)合等比數(shù)列基本量計算可得，進而可求解通項，（2）根據(jù)等比求和公式得，即可由分組求和求解.【詳解】（1）因為成等差數(shù)列，所以，得，即，解得，所以.（2）由（1）知，所以，則.3．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）在數(shù)列中，且滿足（且）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）變形得到，得到結(jié)論；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到，進而利用分組求和可得.【詳解】（1）（且），（且），，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，故，.4．（20-21高一下·貴州黔東南·階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出等差數(shù)列的公差，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；（2）求出等比數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，所以，，所以，.（2）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，所以，，，因此，.5．（23-24高二上·北京·期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，設(shè)，且是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求的通項公式和前項和.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列定義求解；（2）先寫出數(shù)列的通項公式，再分組求和即可求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，即，設(shè)等差數(shù)列公差為，因為，，所以，即.（2）因為，所以,由（1）可得，設(shè)前項和為，.考點五、裂項相消求和1．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的各項均不小于1，前項和為是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用前項和與通項公式之間的關(guān)系判定是等差數(shù)列，再求通項公式即可.（2）對需要求和的數(shù)列先進行化簡，再利用裂項相消法求和即可.【詳解】（1）由，得．因為是公差為1的等差數(shù)列，所以．當時，．兩式相減，得，所以，又，所以，則，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）可知，，則，所以數(shù)列的前項和．2．（2024·山西臨汾·二模）已知數(shù)列滿足．(1)計算，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由，可得，可得，法一：可得為常數(shù)列，可求數(shù)列的通項公式；法二：可得，利用累乘法可求數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，進而由裂項相消法可求的前項和.【詳解】（1）由題可知，，令，，得；令，得．由已知，可得，兩式相減得．解法一：整理得：．又滿足上式．從而對均成立．因此為常數(shù)列，即有，故．解法二：整理得：．又滿足上式．故．即．當時符合上式，故．（2）由（1）可知，所以．因此=.3．（2024·四川·模擬預測）已知為正項數(shù)列的前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的前10項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知與的關(guān)系求通項公式，用退位作差，再利用平方差公式進行化簡，最后對時進行檢驗，得到數(shù)列是等差數(shù)列，從而寫出通項公式；（2）根據(jù)得到，觀察數(shù)列通項公式特點，裂項，進而得到前10項和.【詳解】（1）由題意知：，即，當時，，兩式相減，可得，因為，可得．又因為，當時，，即，解得或（舍去），所以（符合），從而，所以數(shù)列表示首項為3，公差為2的等差數(shù)列．所以數(shù)列的通項公式為．（2）由題意得，所以，所以.4．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項數(shù)列的前項和為，，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，可證明數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列，得到，利用得到的通項公式；（2）由（1）知，，化簡可得，利用分組求和以及裂項相消即可求出數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，由，即，解得：，所以，則數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列；所以，則，當時，，當時，滿足條件，所以的通項公式為（2）由（1）知，，所以，故，即5．（23-24高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足：（）．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)（），數(shù)列前項和為，試比較與的大小并證明．【答案】(1)，（）(2)，證明見解析【分析】（1）結(jié)合前項和與通項公式的關(guān)系分和兩種情況求解即可；（2）先驗證，再討論時，，進而根據(jù)裂項求和法得.【詳解】（1）①，（）②，①－②得（），∴（），當時，，不滿足上式，∴，（）（2）當時，，，當時，，∵，∴綜上所述，．考點六、錯位相減求和1．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項和為且滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)通項與前項和之間的關(guān)系，作差可得，即可利用等比數(shù)列的定義求解，（2）根據(jù)錯位相減法求和以及分組求解，結(jié)合等差等比數(shù)列求和求解.【詳解】（1）時，，即.又，也符合，所以時，，即.又，所以，所以，所以數(shù)列成等比數(shù)列.（2）由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，則，所以，所以.2．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由得到，再利用與的關(guān)系求解；（2）由（1）得到，再利用錯位相減法求解.【詳解】（1）解：因為關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，即，當時，，又當時，，符合上式，所以．（2）由（1）得，則，①，②①②得，，故．3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）記為數(shù)列的前項和．已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用前項和和通項公式之間的關(guān)系求解即可.（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）當時，若，則，兩式相減得，化簡得，而，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，（2）由上問得，故，，兩式相減得，，即，所以，故4．（2024·四川涼山·二模）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公比即可求出通項公式.（2）由（1）求出，再利用錯位相減法求和即得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，即，而，因此，解得，所以.（2）由（1）知，，則，則，于是，兩式相減得，即.5．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（），數(shù)列滿足．(1)求，的通項公式．(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，得到是等比數(shù)列，得到，再由對數(shù)的運算性質(zhì)，求得；（2）由（1）得，分類討論，結(jié)合乘公比錯位相減求和，即可求解.【詳解】（1）解：當時，，所以，因為，當時，可得，兩式相減，得，所以，所以，又因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．（2）解:由（1）得，當時，，則，兩式相減得，

所以，當時，，綜上可知，數(shù)列的前項和.考點七、周期與類周期求和1．（2023高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前2023項和S．【答案】1013【分析】先得到數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，然后將每連續(xù)三項合并在一起求和（并項求和法）.【詳解】因為，且，所以，，，…，由，故數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，所以.故答案為：1013.2．（2023高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足（為實數(shù)），，求．【答案】【分析】考慮不動點方程，即，該方程無實數(shù)解，故該數(shù)列具有周期性，結(jié)合結(jié)構(gòu)特點可以聯(lián)想兩角和的正切函數(shù)進行構(gòu)造求解．【詳解】不動點方程，變形得到，方程無解，故該數(shù)列具有周期性，可變形為．結(jié)合，設(shè)（其中），則，∴，即．∴，即，則數(shù)列的周期是6．∵，∴．3．（2024·福建福州·模擬預測）已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；(2)求數(shù)列的前2024項和．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用和差角的余弦公式，結(jié)合構(gòu)造法推理即可.（2）由（1）求出數(shù)列的通項，再結(jié)合余弦函數(shù)的周期性，利用分組求和法求和即可.【詳解】（1）依題意，，則化為，而，則，因此，所以數(shù)列為常數(shù)列.（2）由（1）知，，由，即是以6為周期的周期數(shù)列，令，所以數(shù)列的前2024項和.4．（22-23高三上·貴州遵義·階段練習）已知數(shù)列滿足，，．(1)求，，，并寫出一個符合題意的的通項公式（不需要證明）；(2)設(shè)，記為數(shù)列的前項和，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入求出，依次代入求出，看出數(shù)列的周期為3，寫出通項公式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，寫出的通項公式，并分組求和.【詳解】（1），，，可看出數(shù)列為周期為3的數(shù)列，故，理由如下：為周期為3的數(shù)列，當時，，當時，，當時，；（2）由第一問可知：，則，故.5．（22-23高三上·山東青島·期中）已知正項數(shù)列滿足，且，.(1)已知，求的通項公式；(2)求數(shù)列的前2023項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，從而得到，進而得到是以為首項，公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求解；（2）由可得，從而有，得到數(shù)列偶數(shù)項具有周期性，最后根據(jù)分組求和即可.【詳解】（1），，，，即，，即，是以為首項，公比為的等比數(shù)列，.（2），又，，，，即，，即數(shù)列偶數(shù)項具有周期性，，所以·考點八、奇偶并項求和1．（2024·福建莆田·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且成等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意利用分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運算求解.【詳解】（1）由題意可得：，即，且，解得，所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1）可得，可得，所以.2．（2024·河北石家莊·二模）已知數(shù)列滿足(1)寫出;(2)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(3)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，，(2)證明見解析(3)【分析】（1）由數(shù)列的遞推式，分別令，2，3，計算可得所求值；（2）推得，由等比數(shù)列的定義，可得證明；（3）求得，，由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【詳解】（1）由可得；；；（2）證明：由題可得，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；（3）由（2）可得，即，，，前項和，，兩式相減可得，化簡可得．3．（2024·湖南·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，且.等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項和數(shù)列的通項；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)（或）【分析】（1）根據(jù)題意分別求出數(shù)列的首項和公差，以及數(shù)列的首項和公比，進而可得出答案；（2）利用并項求和法求解即可.【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，又，所以解得，故，因為數(shù)列為各項為正的遞增數(shù)列，設(shè)公比為，且，因為，所以，得，又，所以，即，又，解得，從而，所以；（2）由（1）得，所以，所以數(shù)列的前項和為（或）.4．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求的前項和，并證明．【答案】(1)證明見解析；.(2)；證明見解析.【分析】（1）結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的概念即可證明并求得通項公式；（2）利用遞推公式將用得前項和來表示，即，進而利用等比數(shù)列的前項和公式即可求解；令，并用可得單調(diào)性，從而即可證明.【詳解】（1）證明：由題意可知，，所以數(shù)列是首項，公比為6的等比數(shù)列.于是.（2）由題意可知，，所以.又，令，，所以數(shù)列單調(diào)遞增，故，即.5．（2023·山東·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，設(shè)．(1)求的通項公式，并證明：；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；證明見解析(2)【分析】（1）求等差數(shù)列的基本量可得的通項公式，根據(jù)數(shù)列的迭代可得；（2）構(gòu)造法求出數(shù)列為等比數(shù)列且，用錯位相減法可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，即，解得，又因為，可得，所以，由數(shù)列滿足，可得，，，所以，因為，所以.（2）解：由（1）可知，因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，則，兩式相減，可得，所以.考點九、數(shù)列與不等式1．（2024·河北秦皇島·二模）已知等比數(shù)列的前項和為，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求出數(shù)列的通項，再根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合是等比數(shù)列，即可得解；（2）利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）因為數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，又，所以.當時，由，得，兩式相減得，又是等比數(shù)列，所以，所以，解得，所以，當時上式成立，所以；（2）由（1）知，所以，又，所以.2．（2024·江蘇·三模）設(shè)數(shù)列的前項的和為.(1)若是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，求；(2)若，求證：.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）由等差數(shù)列前n項和公式以及等比中項公式列出等量關(guān)系式并轉(zhuǎn)化成首項和公差來表示即可求解.（2）先由，進而由累乘法結(jié)合求出即可由得解.【詳解】（1）由題意知，故，解得，所以或.（2）因為①，所以②，所以由②①得，，所以時，，所以由得，所以，顯然也符合上式，所以，所以.3．（23-24高二下·福建福州·期中）記數(shù)列的前項和，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，作差得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義及通項公式計算可得；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求出，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）因為，當時，，則，故，即，當時，有，即，故是公差、首項均為的等差數(shù)列，故．（2）由（1）得，故，則．因為，故，又在上單調(diào)遞減，故隨的增大而增大，故，綜上，．4．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知為數(shù)列的前n項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前n項和，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，可得：，兩式相減化為：，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．（2）由，利用錯位相減法即可得出．根據(jù)關(guān)于單調(diào)遞增，即可證明結(jié)論．【詳解】（1），，兩式相減，得，，又當時，，為等比數(shù)列，公比為，.（2）設(shè)，，則，兩式相減，得化簡得．，，，，關(guān)于單調(diào)遞增，，5．（2024·天津·模擬預測）數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，，．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)的前n項和，求證：．【答案】(1)，；(2)證明見詳解.【分析】（1）記數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，根據(jù)已知列方程組求解即可；（2）根據(jù)錯位相減法求和，記，判斷其單調(diào)性即可得證.【詳解】（1）記數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，，由題知，，解得，所以.由，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，則，，兩式相減得，所以，記，則，所以單調(diào)遞減，所以，且，所以，即.考點十、數(shù)列與極限、放縮1．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用和的關(guān)系，然后構(gòu)造一個等比數(shù)列求解即可；（2）利用進行放縮，然后用等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】（1）因為①．令得，解得．當時，②，由①②得，即又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故，所以．（2）因為，當時，，當時，．綜上，．2．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)若，證明：的前項和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）法一：利用已知數(shù)列得遞推式再列出下一個遞推式兩式相減并化簡即可判斷為等差數(shù)列進而求出通項公式；法二：利用已知數(shù)列得遞推式兩邊除以結(jié)合數(shù)列恒等式以及裂項相消法，求得通項公式；（2）先求得，并且推導出結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及不等式性質(zhì)即可證明出結(jié)果.【詳解】（1）法一：由①可得②②?①，可得整理可得，即，則為等差數(shù)列.又由①可得，，即所以公差，法二：對兩邊同除以可得，即設(shè)，則當時，，綜上，，又滿足，（2）證明：由可得，，兩邊同除以，可得，即，3．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）考查與的關(guān)系，借助與的關(guān)系的解題步驟①，②，③檢驗的思想方法進行求解即可.（2）先求出，再求和，當時對進行放縮變形即可求和證明出不等式.【詳解】（1）當時，；當時，①，②．①②得，因為不滿足上式，所以.（2）由（1），因為，所以，當時，；當時，，綜上，對任意的，.4．（23-24高三上·河北·期末）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知為等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，設(shè)，記為數(shù)列的前項和，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，得，等比數(shù)列的首項為1公比為2，可得通項；（2）由與的關(guān)系，求出的通項，通過放縮法證明不等式.【詳解】（1）為數(shù)列的前項和，，則有，所以，等比數(shù)列的公比為2，又，所以；（2）證明：由（1）知，，當時，，所以，所以，則，因此．5．（2021·貴州貴陽·模擬預測）數(shù)列中，，，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（1）求使成立的的取值范圍；（2）若，求的表達式；（3）若，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，由題中條件，得到，解，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題中條件，先得到是首項為，公比為的等比數(shù)列，進而可求出；（3）由等比數(shù)列的求和公式，分別討論，，三種情況，由無窮等比數(shù)列的極限，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）是公比為的等比數(shù)列，且由N)，有解得（2），，，，又是首項為，公比為的等比數(shù)列，（3）當時，，；當時，，；當時，即.綜上，.【點睛】思路點睛：求無窮等比數(shù)列前項和的極限時，一般需要利用分類討論的方法，討論公比的范圍，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，以及極限的運算法則，即可求出結(jié)果.考點十一、數(shù)列與參數(shù)綜合1．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）當時，求得，當時，得到，兩式相減化簡得到，結(jié)合疊加法，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得到，求得，解法1：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，結(jié)合基本不等式，即可求解；解法2：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：當時，，解得，當時，，兩式相減可得，，則，疊加可得，，則，而時也符合題意，所以數(shù)列的通項公式為．（2）解：由（1）知，可得，故；解法1：由，可得，即，即則，又由，當且僅當時取等號，故實數(shù)的取值范圍為．解法2：由，可得，當，即時，，則，故實數(shù)的取值范圍為．2．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，結(jié)合計算即可求解；（2）由（1）可得，利用裂項相消求和法可得，則，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【詳解】（1）由題意知：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，所以，整理得：，又當時，，因為滿足上式，所以，故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，可得，故；解法1：由，可得，即，則，又由，當且僅當即時取等號，故實數(shù)的取值范圍為.解法2：由，可得，當，即時，，則，故實數(shù)的取值范圍為.3．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足.①求數(shù)列的前n項和；②若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系求的通項公式；（2）①利用錯位相減求和即可；②設(shè)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，分n為偶數(shù)、為奇數(shù)討論可得答案.【詳解】（1）因為①，當時，，當時，②，得，即；因為符合，所以；（2）①，由（1）知，所以，，所以，兩式相減得，，所以；②，由①得，設(shè)，則數(shù)列是遞增數(shù)列.當n為偶數(shù)時，恒成立，所以；當n為奇數(shù)時，恒成立，所以即.綜上，的取值范圍是.4．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和.若對任意的恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）運用公式，已知求即可；（2）求出，后運用錯位相減求出，后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可解．【詳解】（1）①，且，當時，代入①得；當時，.②①-②得，整理得，因為，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，所以.（2），，③，④③-④得，所以，所以，且，化簡得，令，所以，所以的最大值為，所以.所以的取值范圍為.5．（2024·天津·二模）設(shè)是等差數(shù)列，其前項和，是等比數(shù)列，且，，.(1)求與的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；(3)若對于任意的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3).【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，求和公式以及等比數(shù)列的通項公式進行求解；（2）可以采取分組求和的方式，即將奇數(shù)項與偶數(shù)項的和分開求解，再利用錯位相減法以及裂項相消法分別求和；（3）對于求參數(shù)的范圍，一般可以采用分離參數(shù)的方法，對于求后面式子的最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行分析求解．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，又，，，由，，又，，，，，即，．（2）當為奇數(shù)時，，記，則有，，得：，，，當為偶數(shù)時，，記，，．（3）由與恒成立，可得恒成立，恒成立，即求的最大值，設(shè)，，單調(diào)遞增，又，，．考點十二、數(shù)列與三角綜合1．（2022·江西贛州·一模）設(shè)正項數(shù)列的前項和為，已知.(1)求的通項公式；(2)記，是數(shù)列的前項和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可求得的值，令，由可得出，兩式作差可推導出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式；（2）計算出，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】（1）解：當時，，所以，又，故；當時，，而，兩式相減得，整理得，因為，所以，故是以為公差的等差數(shù)列，從而.（2）解：，設(shè)，其中，所以.2．（2024·浙江臺州·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)求（只需寫出數(shù)值，不需要證明）；(2)若數(shù)列的通項可以表示成的形式，求，.【答案】(1)2(2)，.【分析】（1）先求出數(shù)列的周期，即可求出的值；（2）法一：由，，得到，解方程即可求出，；法二：：因為的周期為3，可求出，再由可求出.【詳解】（1），，，，，……，故數(shù)列的周期為3，.（2）法一：由，，得到，則，解得：，.法二：因為的周期為3，所以又由，則，即，則，即，因為，解得.3．已知數(shù)列的通項公式（1）求證：；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）設(shè)，則，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可證明，即．令，顯然，即可得出．（2）由于，可得，由（1）知，再利用“裂項求和”即可得出．【詳解】證明：（1）設(shè)，,則，令,則，，且當時，，故在區(qū)間上遞增，當時，在，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，因此在上，恒有即．令，顯然，故（2）由（1）知=，因為單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，當時，取最小值為，故設(shè)，則，故函數(shù)在單調(diào)遞減．因此，即當時，恒有,因為，所以．綜上可得：【點睛】裂項相消在使用過程中有一個很重要得特征，就是能把一個數(shù)列的每一項裂為兩項的差，其本質(zhì)就是兩大類型類型一:型，通過拼湊法裂解成；類型二：通過有理化、對數(shù)的運算法則、階乘和組合數(shù)公式直接裂項型；該類型的特點是需要熟悉無理型的特征，對數(shù)的運算法則和階乘和組合數(shù)公式．無理型的特征是，分母為等差數(shù)列的連續(xù)兩項的開方和，形如型，常見的有①；②對數(shù)運算本身可以裂解；③階乘和組合數(shù)公式型要重點掌握和．4．數(shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集的特殊函數(shù)，具有函數(shù)的性質(zhì)特征，有些周期性的數(shù)列和三角函數(shù)緊密相連.記數(shù)列2，，，2，，，2，，-1，…為，三角形式可以表達為，其中，，.（1）記數(shù)列的前n項和為，求，，及；（2）求數(shù)列的三角形式通項公式.【答案】（1），，，；（2）.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的周期性，可求，，；對進行分類討論同時結(jié)合數(shù)列的周期性可求；（2）把數(shù)列的前項代入，組成方程組求解.【詳解】（1）易知，所以，，.①當時，；②當時，；③當時，，所以，.（2）由（1）知數(shù)列周期為3，，所以，得，由數(shù)列前三項，知，由④-⑤，得，代入④式，得——⑦由⑥⑦，得，，由，知，又，得，于是可求得，所以.5．已知函數(shù)，方程在上的解按從小到大的順序排成數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求的表達式．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)得到,由及得即，方程在的解從小到大依次排列構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列．（Ⅱ）由于，所以利用“裂項相消法”求和即得．試題解析：（Ⅰ）,2分由及得∴4分方程在的解從小到大依次排列構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列∴．6分（Ⅱ）8分，10分．13分考點：1．和差倍半的三角函數(shù)；2．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；3．等差數(shù)列的通項公式；4．“裂項相消法”．考點十三、數(shù)列與概率綜合1．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）某商場擬在周末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該游戲進行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費者甲第次獲勝的概率為，數(shù)列的前項和，且的實際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．(1)求消費者甲第2次獲勝的概率；(2)證明：為等比數(shù)列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）應用全概率公式計算可得出；（2）計算得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；再結(jié)合分組求和計算判斷最少輪數(shù)即可.【詳解】（1）（2）,,,為等比數(shù)列,且公比為；.,因為單調(diào)遞增，當n為奇數(shù)時，，所以得獲獎至少要玩9輪.當n為偶數(shù)時，，得獎至少要玩10輪，所以平均至少要玩9輪才可能獲獎.2．（2024·全國·模擬預測）某商場為促銷設(shè)計了一項回饋客戶的抽獎活動，抽獎規(guī)則是：有放回地從裝有大小相同的4個紅球和2個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵40元的獎券，抽到黑球則獎勵20元的獎券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵20元的獎券．記顧客甲第n次抽獎所得的獎券數(shù)額的數(shù)學期望為．(1)求及的分布列；(2)寫出與的遞推關(guān)系式，并證明為等比數(shù)列；(3)若顧客甲一共有6次抽獎機會，求該顧客所得的所有獎券數(shù)額的期望值．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，分布列見解析(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意，直接求出和的可能取值，計算出概率，由期望公式求出；列出的分布列即可；（2）根據(jù)條件，得到，化簡可得，再由等比數(shù)列的定義證明即可；（3）代入（2）結(jié)論求出即可.【詳解】（1）依題意知，抽到一個紅球的概率為，抽到一個黑球的概率為，顯然的值為20，40，則，，所以，又的值為20，40，80，則，，，所以的分布列為204080P（2）依題意，當時，甲第次抽到紅球所得的獎券數(shù)額為，對應概率為，抽到黑球所得的獎券數(shù)額為20元，對應概率為，因此當時，，則，即，又，故數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列．（3）由（2）得，即，所以顧客甲抽獎6次，所得獎券數(shù)額的期望為．3．（2023高三·全國·專題練習）某工廠在2020年的“減員增效”中對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100％，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年工資的領(lǐng)取工資．該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)特長，計劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體，該經(jīng)濟實體預計第一年屬投資階段，第二年每人可獲得b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50％，如果某人分流前工資收入為每年a元，分流后進入新經(jīng)濟實體，第n年的收入為元．(1)求的通項公式．(2)當時，這個人哪一年的收入最少？最少為多少？(3)當時，是否一定可以保證這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入？【答案】(1)(2)這個人第三年的收入最少，為元(3)當時，這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入【分析】（1）根據(jù)題意得到時，，進而得到數(shù)列的通項公式；（2）由時，，結(jié)合基本不等式，即可求解；（3）由時，，結(jié)合基本不等式的等號成立的條件，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意得，當時，，當時，，所以（2）解：由，當時，，當且僅當，上式的等號成立，即，解得，所以這個人第三年的收入最少，最小值為元．（3）解：當時，，當且僅當且，上式等號成立，因此，等號不能取到，當時，這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入．4．（23-24高二下·陜西西安·期末）某品牌女裝專賣店設(shè)計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都有一次隨機摸球的機會.已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記該顧客第次摸球抽中獎品的概率為．(1)求的值；(2)探究數(shù)列的通項公式，并求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程．【答案】(1)，(2)，第二次，證明見解析【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解.（2）根據(jù)全概率公式分析得，再對分奇偶求解.【詳解】（1）記該顧客第次摸球抽中獎品為事件，依題意，，．.（2）因為，所以，所以，所以，又因為，則，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故．證明：當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，則隨著n的增大而減小，所以，．綜上，該顧客第二次摸球抽中獎品的概率最大.5．（2024·山東泰安·模擬預測）在足球比賽中，有時需通過點球決定勝負．(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將(也稱為守門員)也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲?乙?丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外人中的人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀诖蝹髑蛑扒蛟诩啄_下的概率為，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。敬鸢浮?1)分布列見解析，數(shù)學期望為；(2)①證明見解析；②.【分析】（1）解法一：由題意可得，然后根據(jù)二項分布的概率公式求解概率，從而可求出分布列和期望；解法二：的所有可能取值為，且在一次撲球中，撲到點球的概率，然后分別求出各自對應的概率，從而可求出分布列和期望；（2）①由題意可得第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，化簡變形后可證得結(jié)論；②分別表示出，化簡后與比較大小可得結(jié)論.【詳解】（1）解法一：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為，門將在前三次撲到點球的個數(shù)可能的取值為

易知，所以

故的分布列為：0123所以的數(shù)學期望．解法二：的所有可能取值為

在一次撲球中，撲到點球的概率，

所以

所以的分布列如下：0123所以的數(shù)學期望：（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，

則

即，又，

所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列．②由①可知，所以，

所以，故．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查二項分布的分布列和期望，考查等比數(shù)列的證明，第（2）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意用表示出，考查理解能力和計算能力，屬于較難題.考點十四、數(shù)列與導數(shù)綜合1．已知函數(shù)．（1）若，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）由原函數(shù)與導函數(shù)的關(guān)系可得x=a是在的唯一最小值點，列方程解得；（2）由題意結(jié)合（1）的結(jié)論對不等式進行放縮，求得，結(jié)合可知實數(shù)的最小值為.試題解析：（1）的定義域為.①若，因為，所以不滿足題意；②若，由知，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故x=a是在的唯一最小值點.由于，所以當且僅當a=1時，.故a=1.（2）由（1）知當時，.令得.從而.故.而，所以的最小值為.【名師點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出.本專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要有以下幾個角度：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.3．已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明:；（3）試比較與，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）求得，對的范圍分類討論即可求得的單調(diào)性．（2）將轉(zhuǎn)化成，證明恒成立，利用導數(shù)求得，問題得證．（3）由（2）可得：，整理得：，所以，整理得：利用即可得：，問題得解．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為：，①當時，，所以在上單調(diào)遞增

②當時，令，解得．當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增．綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當時，，要證明，即證，即證：.設(shè)，則，令得，.當時，，當時，.所以為極大值點，且在處取得最大值．所以，即．故.（3）證明：（當且僅當時等號成立），即,則有+,故：+【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及利用導數(shù)求函數(shù)的最值，還考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，考查放縮法證明不等式，還考查了裂項求和方法，考查計算能力，屬于難題．4．（22-23高二下·四川成都·期末）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項和．證明：．【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)．(3)證明見解析【分析】（1）求導，即可根據(jù)導函數(shù)的正負即可求解，（2）根據(jù)題意可得，即可由導數(shù)結(jié)合分類討論求解最值，進一步將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導即可求解最值求解，（3）根據(jù)（2）的求解可得不等式和，即可根據(jù)，得，由累加法以及裂項求和即可求證.【詳解】（1）當時，，故當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增．綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由題意，．①當時，在單調(diào)遞減，由，不合題意；②當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．由恒成立，得．即．令，恒成立，所以在單調(diào)遞減，且．故當，符合題意，當，不合題意．綜上，的取值范圍為．（3）由，得，且．由（2）可知，令，有可得，令可得即．由得即．兩邊取對數(shù)得，由上述不等式得于是，所以．當時，，不等式成立；當時，．即當時，不等式成立．綜上，得證．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).5．（2024·廣西來賓·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，其中為數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)m為正整數(shù)，若存在首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列（），對任意正整數(shù)k，當時，都有成立，求m的最大值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列是等差數(shù)列，據(jù)此即可確定其通項公式；（2）求出，將原問題進行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值．【詳解】（1）因為，所以，由，得，則，，由，得，當時，由，得，故整理得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差為，所以；（2）由（1）知，,因為數(shù)列為首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為q，所以，，因為，所以，其中，2，3，…，m．當時，有；當，3，，m時，有．設(shè)（），則，令，得，列表如下：x單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減因為，所以．所以，故，故，令（），則，令，則，當時，，即，∴在上單調(diào)遞減，即時，，則，下面求解不等式，化簡得，令，則，由得，，∴在上單調(diào)遞減，又由于，，∴存在使得，所以，∴m的最大值為5．【點睛】方法點睛：等差數(shù)列的三種判定方法：（1）定義法：（常數(shù)）數(shù)列為等差數(shù)列；（2）等差中項法：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）通項公式法：（、為常數(shù)，）數(shù)列為等差數(shù)列.但如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法.考點十五、數(shù)列與新定義綜合1．（2024·全國·模擬預測）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)所得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個正約數(shù)，即為，.(1)若，求的值；(2)當時，若為等比數(shù)列，求正整數(shù)；(3)記，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)約數(shù)的定義確定約數(shù)的個數(shù)即可；（2）結(jié)合約數(shù)的定義可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義推出，由此確定，（3）先證明，再證明，結(jié)合裂項相消法證明結(jié)論.【詳解】（1）時，因為，所以為8的所有正約數(shù)，故.（2）由題意可知.因為，依題意可知，所以，化簡可得，所以.因為，所以，因此可知是完全平方數(shù).由于是整數(shù)的最小非1因子，是的因子，且，所以，所以可寫為，經(jīng)檢驗該關(guān)系滿足條件，所以.（3）由題意知，所以.因為，所以.因為，所以.所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)約數(shù)定義分析其性質(zhì)，抓住，，，以及為質(zhì)數(shù)即可求解.2．（2024·江蘇泰州·模擬預測）數(shù)列的前n項和為，若存在正整數(shù)r，t，且，使得，同時則稱數(shù)列為“數(shù)列”．(1)若首項為3，公差為d的等差數(shù)列是“數(shù)列”，求d的值；(