第05講 新高考新結構命題下的數(shù)列解答題綜合訓練（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第05講新高考新結構命題下的數(shù)列解答題綜合訓練（15類核心考點精講精練）在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。當前的高考試題設計，以“三維”減量增質為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：三考題目設計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實際水平。三重強調對學生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對新高考新結構試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數(shù)，無法提前預知。數(shù)列版塊作為一個重要的考查領域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學生入手。同樣不能忽視的是，解三角形版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據試題的實際情況調整教學策略。本文基于新高考新結構試卷的特點，結合具體的導數(shù)解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導數(shù)解答題綜合訓練指南，以期在新高考中取得更好的成績。考點一、構造等差數(shù)列1．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列的前項和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項積．2．（2024·全國·模擬預測）已知正項數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前n項和.3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知數(shù)列的前項的積記為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和.4．（2024·湖南·模擬預測）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和.5．（2024·新疆·一模）非零數(shù)列滿足，且．(1)設，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設，求的前項和．考點二、構造等比數(shù)列1．（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列的首項為3，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.2．（2024·安徽合肥·模擬預測）設數(shù)列的前n項和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項和，求．3．（2024·四川綿陽·模擬預測）設數(shù)列的前n項和為，．(1)求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．(2)若數(shù)列的前m項和，求m的值，7．4．（2024·全國·模擬預測）記為數(shù)列的前項和，已知，．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若，數(shù)列的最大項為，求的值．5．（2024·全國·模擬預測）數(shù)列的前項和滿足．(1)令，求的通項公式；(2)令，設的前項和為，求證：．考點三、等差數(shù)列前n頂和1．（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習）等差數(shù)列中，已知是其前項和，,求與2．（23-24高三上·遼寧·階段練習）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)求的最小值.3．（23-24高二上·甘肅金昌·階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的最小值及取得最小值時n的值．4．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)求使成立的n的取值集合.5．（2023·山西·模擬預測）已知等差數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，且，若，求的最小值.考點四、等比數(shù)列前n項和1．（23-24高三上·河南·階段練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知等比數(shù)列的公比，記其前項和為，且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)求的前項和.3．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）在數(shù)列中，且滿足（且）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．4．（20-21高一下·貴州黔東南·階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項和.5．（23-24高二上·北京·期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，設，且是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求的通項公式和前項和.考點五、裂項相消求和1．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的各項均不小于1，前項和為是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)求數(shù)列的前項和．2．（2024·山西臨汾·二模）已知數(shù)列滿足．(1)計算，并求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．3．（2024·四川·模擬預測）已知為正項數(shù)列的前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的前10項和．4．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項數(shù)列的前項和為，，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．5．（23-24高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足：（）．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設（），數(shù)列前項和為，試比較與的大小并證明．考點六、錯位相減求和1．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項和為且滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.2．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，關于的方程有兩個相等的實數(shù)根．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）記為數(shù)列的前項和．已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和．4．（2024·四川涼山·二模）設等比數(shù)列的前n項和為，，．(1)求；(2)設，求數(shù)列的前n項和．5．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（），數(shù)列滿足．(1)求，的通項公式．(2)求數(shù)列的前項和．考點七、周期與類周期求和1．（2023高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前2023項和S．2．（2023高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足（為實數(shù)），，求．6．3．（2024·福建福州·模擬預測）已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；(2)求數(shù)列的前2024項和．4．（22-23高三上·貴州遵義·階段練習）已知數(shù)列滿足，，．(1)求，，，并寫出一個符合題意的的通項公式（不需要證明）；(2)設，記為數(shù)列的前項和，求．5．（22-23高三上·山東青島·期中）已知正項數(shù)列滿足，且，.(1)已知，求的通項公式；(2)求數(shù)列的前2023項和.考點八、奇偶并項求和1．（2024·福建莆田·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且成等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．2．（2024·河北石家莊·二模）已知數(shù)列滿足(1)寫出;(2)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(3)若，求數(shù)列的前項和.3．（2024·湖南·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，且.等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項和數(shù)列的通項；(2)若，求數(shù)列的前項和.4．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求的前項和，并證明．5．（2023·山東·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，設．(1)求的通項公式，并證明：；(2)設，求數(shù)列的前項和．考點九、數(shù)列與不等式1．（2024·河北秦皇島·二模）已知等比數(shù)列的前項和為，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求證：.2．（2024·江蘇·三模）設數(shù)列的前項的和為.(1)若是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，求；(2)若，求證：.3．（23-24高二下·福建福州·期中）記數(shù)列的前項和，．(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，證明：．4．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知為數(shù)列的前n項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設為數(shù)列的前n項和，求證：．5．（2024·天津·模擬預測）數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，，．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)的前n項和，求證：．考點十、數(shù)列與極限、放縮1．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和．(1)求的通項公式；(2)證明：．2．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)若，證明：的前項和.3．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，證明：．4．（23-24高三上·河北·期末）設為數(shù)列的前項和，已知為等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，設，記為數(shù)列的前項和，證明：．5．（2021·貴州貴陽·模擬預測）數(shù)列中，，，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（1）求使成立的的取值范圍；（2）若，求的表達式；（3）若，求.考點十一、數(shù)列與參數(shù)綜合1．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．2．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.3．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足.①求數(shù)列的前n項和；②若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設為數(shù)列的前項和.若對任意的恒成立，求k的取值范圍.5．（2024·天津·二模）設是等差數(shù)列，其前項和，是等比數(shù)列，且，，.(1)求與的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和；(3)若對于任意的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.考點十二、數(shù)列與三角綜合1．（2022·江西贛州·一模）設正項數(shù)列的前項和為，已知.(1)求的通項公式；(2)記，是數(shù)列的前項和，求.2．（2024·浙江臺州·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)求（只需寫出數(shù)值，不需要證明）；(2)若數(shù)列的通項可以表示成的形式，求，.3．已知數(shù)列的通項公式（1）求證：；（2）設數(shù)列的前項和為，求證：．4．數(shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集的特殊函數(shù)，具有函數(shù)的性質特征，有些周期性的數(shù)列和三角函數(shù)緊密相連.記數(shù)列2，，，2，，，2，，-1，…為，三角形式可以表達為，其中，，.（1）記數(shù)列的前n項和為，求，，及；（2）求數(shù)列的三角形式通項公式.5．已知函數(shù)，方程在上的解按從小到大的順序排成數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，數(shù)列的前項和為，求的表達式．考點十三、數(shù)列與概率綜合1．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）某商場擬在周末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該游戲進行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費者甲第次獲勝的概率為，數(shù)列的前項和，且的實際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．(1)求消費者甲第2次獲勝的概率；(2)證明：為等比數(shù)列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎．2．（2024·全國·模擬預測）某商場為促銷設計了一項回饋客戶的抽獎活動，抽獎規(guī)則是：有放回地從裝有大小相同的4個紅球和2個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵40元的獎券，抽到黑球則獎勵20元的獎券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵20元的獎券．記顧客甲第n次抽獎所得的獎券數(shù)額的數(shù)學期望為．(1)求及的分布列；(2)寫出與的遞推關系式，并證明為等比數(shù)列；(3)若顧客甲一共有6次抽獎機會，求該顧客所得的所有獎券數(shù)額的期望值．（參考數(shù)據：）3．（2023高三·全國·專題練習）某工廠在2020年的“減員增效”中對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領取工資的100％，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年工資的領取工資．該廠根據分流人員的技術特長，計劃創(chuàng)辦新的經濟實體，該經濟實體預計第一年屬投資階段，第二年每人可獲得b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎上遞增50％，如果某人分流前工資收入為每年a元，分流后進入新經濟實體，第n年的收入為元．(1)求的通項公式．(2)當時，這個人哪一年的收入最少？最少為多少？(3)當時，是否一定可以保證這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入？4．（23-24高二下·陜西西安·期末）某品牌女裝專賣店設計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都有一次隨機摸球的機會.已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記該顧客第次摸球抽中獎品的概率為．(1)求的值；(2)探究數(shù)列的通項公式，并求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程．5．（2024·山東泰安·模擬預測）在足球比賽中，有時需通過點球決定勝負．(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將(也稱為守門員)也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲?乙?丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外人中的人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接?。浀诖蝹髑蛑扒蛟诩啄_下的概率為，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。键c十四、數(shù)列與導數(shù)綜合1．已知函數(shù)．（1）若，求a的值；（2）設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．3．已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調性；（2）當時，證明:；（3）試比較與，并證明你的結論．4．（22-23高二下·四川成都·期末）已知函數(shù)．(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項和．證明：．5．（2024·廣西來賓·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，其中為數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設m為正整數(shù)，若存在首項為1且公比為正數(shù)的等比