第06講 平面向量中的范圍與最值問題（高階拓展、競賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第06講平面向量中的范圍與最值問題（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）平面向量中的范圍與最值范圍問題是向量問題中的命題熱點和重難點，綜合性強，體現(xiàn)了高考在知識點交匯處命題的思想，常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活?；绢}型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，在復(fù)習(xí)過程中要注重對基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法。由于數(shù)量積和系數(shù)的范圍在前兩節(jié)已學(xué)習(xí)，本講主要圍繞向量的模和夾角的范圍與最值展開學(xué)習(xí)。本講內(nèi)容難度較大，需要綜合學(xué)習(xí)。知識講解模長的范圍及最值與向量的模有關(guān)的問題,一般都會用到，結(jié)合平面向量及最值范圍等基本知識可求解。夾角的范圍及最值類別幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))結(jié)合平面向量的模長、夾角公式及最值范圍等基本知識可求解。考點一、模長的范圍及最值問題1．（浙江·高考真題）已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是A．1 B．2 C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由于垂直，不妨設(shè)，，，則，，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．考點：平面向量數(shù)量積的運算．2．（湖南·高考真題）已知是單位向量，.若向量滿足（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，，做出圖形可知，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反且時，取到最大值；最大值為；當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同且時，取到最小值；最小值為.3．（四川·高考真題）已知正三角形的邊長為，平面內(nèi)的動點滿足，，則的最大值是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：甴已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上點與點距離平方的，，故選B．考點：1.向量的數(shù)量積運算；2.向量的夾角；3.解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題.1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】B【分析】由，得，可得，由，當(dāng)?shù)忍柍闪r可得最小值.【詳解】為單位向量，有，得，由，得，有，所以，，，，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時“”成立，如取時，可使“”成立.所以.故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是由已知條件得，這樣就能得到.2．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，，則的最小值是.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理求解長度，進而可判斷點的軌跡為以為直徑的圓，進而根據(jù)三點共線求解最值.【詳解】

令，，，中點為，中點為，為中點，由，得，即，即，所以，即有，即、,故，由，即，即有，故點的軌跡為以為直徑的圓，由，，故，則，故當(dāng)、、三點共線，且點在點、之間時，最小，此時，故.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用平面向量的幾何意義得到各向量所表示的有向線段的關(guān)系，從而將問題化為點到圓上的點的距離的最小值問題，由此得解.3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為.【答案】【分析】令，利用向量模的計算公式把表示成t的函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可.【詳解】因向量與共線，令，則，而向量，為單位向量，且，于是得

，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最小值為.故答案為：4．（2024·上海長寧·二模）已知平面向量滿足：，若，則的最小值為．【答案】2【分析】先利用和證明，再解不等式得到，從而有，再驗證，，時，即得到的最小值是2.【詳解】由于，且，故有，所以，記，則有，從而或，即或.總之有，故，即.存在，，時條件滿足，且此時，所以的最小值是2.故答案為：2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于的最小值問題，我們先證明，再給出一個使得的例子，即可說明的最小值是2，論證不等關(guān)系和舉例取到等號兩個部分都是證明最小值的核心，缺一不可.5．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，，，，，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，滿足，，，又，即，由橢圓的定義可知點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，，所以該橢圓方程為，而，即，即，這表明了點在圓上面運動，其中點為圓心，為半徑，又，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，故只需求的最大值即可，因為點在橢圓上面運動，所以不妨設(shè)，所以，所以當(dāng)且三點共線時，有最大值.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是將向量問題轉(zhuǎn)換為圓錐曲線中的最值問題來做，通過數(shù)學(xué)結(jié)合的方法巧妙的將幾何問題融入代數(shù)方法，從而順利得解.6．（21-22高一下·浙江·階段練習(xí)）已知，，．若，則的最小值為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，畫出圖形，確定點C的位置，再利用向量模的幾何意義，借助對稱思想求解作答.【詳解】令，依題意，，而，則，因，則有點C在半徑為1，所含圓心角為的扇形的弧上，如圖，因，則表示直線上的點Q與直線上的點P間距離，、分別是點C到點Q，P的距離，因此，表示三點Q，P，C兩兩距離的和，作點C關(guān)于直線OA對稱點N，關(guān)于直線OB對稱點M，連MN交OA，OB分別于點F，E，連FC，EC，ON，OM，則有，令，則，，于是得，而，由余弦定理得，因此，，對于直線上任意點Q、直線上任意點P，連接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，則，，當(dāng)且僅當(dāng)點Q與F重合且點P與點E重合時取“=”，從而得，所以的最小值為.故選：D【點睛】思路點睛：已知幾個向量的模，探求向量問題，可以借助向量的幾何意義，作出符合要求的圖形，數(shù)形結(jié)合求解作答.考點二、夾角的范圍及最值問題1．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為.【答案】/【分析】先求得的表達式，再利用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值.【詳解】，令，則，所以，當(dāng)，即時，取得最小值，且最小值為．故答案為：2．（2022·上海奉賢·一模）設(shè)平面上的向量滿足關(guān)系，又設(shè)與的模均為1且互相垂直，則與的夾角取值范圍為.【答案】【分析】用與表示出向量，利用平面向量數(shù)量積結(jié)合夾角公式求出即可計算作答.【詳解】當(dāng)時，由得：，因與的模均為1且互相垂直，即有，則，，則有，而，于是得，又，則，所以與的夾角取值范圍為.故答案為：【點睛】思路點睛：用向量基本定理解決問題，利用已知的不共線的兩個向量為基底，將問題中的向量用該基底表示出，再通過向量的運算來解決.3．（22-23高三上·江西·階段練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量線性運算和數(shù)量積的定義和運算律可化簡已知等式得到，，根據(jù)向量夾角公式，結(jié)合推導(dǎo)出的等式可化簡得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值.【詳解】，即，；，即，；設(shè)向量與所成夾角為，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；又，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量夾角最值的求解問題，解題關(guān)鍵是能根據(jù)向量夾角的計算公式，將向量夾角的余弦值表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可得到夾角的最大值.1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知非零向量與的夾角為銳角，為在方向上的投影向量，且，則與的夾角的最大值是．【答案】【詳解】先通過向量的定義得到，從而，通過求出，再求出，利用表示夾角，進而利用基本不等式求最值.【分析】因為為在方向上的投影向量，且與的夾角為銳角，所以，故．因為，且，所以．設(shè)，則，故．又．設(shè)與的夾角為，所以．因為（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所以，即，故．又，所以．故與的夾角的最大值是．故答案為：.【點睛】方法點睛：平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決．2．（21-22高三上·浙江溫州·期末）已知平面向量滿足，，向量滿足，當(dāng)與的夾角余弦值取得最小值時，實數(shù)的值為.【答案】【詳解】由得，又，則由，可知，即向量滿足，且夾角為取，，，分別是線段，的中點，則,，由可知，點在直線上.又與的夾角為要使得最大，則取圓過點、且與直線相切于點，此時取得最大，由切割線定理得，又，則有，，解之得故答案為：【點睛】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．3．（2021·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足：，則，對于任意，向量與向量所成角的最小值為．【答案】【分析】由題意得：，根據(jù)數(shù)量積公式及題意，代入數(shù)據(jù)，即可求得答案；設(shè)向量與向量所成角為，根據(jù)求夾角公式，令,計算可得，令，（），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求得最值，即可求得的最大值，即可得答案.【詳解】由題意得：=.因為設(shè)向量與向量所成角為，所以，當(dāng)時，夾角才可能最小，令（），則，令，（），則，所以當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，所以，所以，即.所以向量與向量所成角的最小值為.故答案為：；.【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握求模，求夾角的方法，并靈活應(yīng)用，難點在于，需結(jié)合導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，求得最值，當(dāng)最大時，角度最小，考查分析理解，計算化簡的能力，屬中檔題.一、單選題1．（2023·江西九江·一模）已知、為單位向量，則向量與夾角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，即可得到，，再根據(jù)夾角公式得到，最后利用換元及基本不等式計算可得.【詳解】設(shè)，則，，則，令，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，所以向量與夾角的最大值為．故選：A．2．（2023·北京·模擬預(yù)測）平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，則，設(shè)，，，根據(jù)均值不等式計算最值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)，，則，設(shè)，，，，當(dāng)，即時等號成立，故，當(dāng)最小時，最大，故與夾角的正弦值的最大值為.故選：B3．（2023·安徽安慶·二模）已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積運算律及題設(shè)可得，注意等號成立條件，結(jié)合已知不等條件求范圍，即可得最小值.【詳解】由有，即，前一個等號成立條件為，整理得.由于，所以，于是夾角為的最小值為.故選：C4．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）已知平面向量，，滿足，，，，則的最大值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，即點四點共圓，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【詳解】設(shè)，由，，，則，所以，又，所以，即點四點共圓，要使最大，即為圓的直徑，在中，由余弦定理可得，即，又由正弦定理可得，即的最大值為，故選：A5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，為非零向量，且，，若的最小值為，則的值為（

）．A． B． C．4 D．【答案】D【分析】由數(shù)量積的定義和模長公式對平方可得，當(dāng)時，取得最小值，可求出，即可求出的值,【詳解】因為，，由題意得，所以當(dāng)時，取得最小值，由得，所以．故選：D．6．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，若，且，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】令，，根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形將已知條件轉(zhuǎn)化，得到，然后數(shù)形結(jié)合求的最大值.【詳解】如圖:令，，則，故.因為，所以，記的中點為，所以點在以為直徑的圓上.設(shè)，連接，因為，所以點在直線上.因為，所以，即，所以.結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，即取得最大值，且.故選：D【點睛】思路點睛：向量中有關(guān)最值的求解思路：一是形化，利用向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題；二是數(shù)化，利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值、不等式的解集、方程有解等問題.7．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知非零平面向量，，滿足，，若與的夾角為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一利用絕對值三角不等式得到，然后求的最小值即可；解法二

設(shè)，，，易得，則的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，連接，然后又，，三點共線且在，中間時，取得最小值求解.【詳解】解法一

由題可得，，所以要求的最小值，需求的最小值.因為，與的夾角為，所以的最小值為，所以，即的最小值為，解法二

如圖，設(shè)，，，則，.由，知，點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，連接，結(jié)合圖形可知，當(dāng)，，三點共線且在，中間時，取得最小值.由正弦定理得：，所以，故的最小值為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)與的夾角為，由的最小值為而得解.8．（2021·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，且，若向量滿足，則的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】設(shè)，，，，根據(jù)條件，借助平面圖形得到點的軌跡，即可得到結(jié)果．【詳解】如圖，設(shè)，，，，連接，，則由可知四邊形為矩形，則.由，可得，連接，則，所以點在以點為圓心，4為半徑的圓上，所以的最大值為.故選：B.【點睛】對于向量模的最值或者范圍的問題，我們往往采取數(shù)形結(jié)合的方式進行解決.首先我們要根據(jù)題目的條件將幾個向量的起點平移到同一點，作出圖形，最后根據(jù)所求向量的條件得出終點的軌跡.二、填空題9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量滿足，對任意的的最小值為，則與的夾角為．【答案】【分析】利用模的計算得到恒成立，判斷出取等號的條件，即可求出與的夾角.【詳解】因為向量滿足，所以向量滿足.設(shè)與的夾角為所以因為任意的的最小值為，所以恒成立，配方后可得：恒成立，所以當(dāng)時，取得最小值3，此時，解得：.又因為，所以.因為，所以.故答案為：.10．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足且，當(dāng)向量與向量的夾角最大時，向量的模為．【答案】【分析】由可平方求得，利用向量夾角公式可化簡得到，采用換元法，令，結(jié)合基本不等式可求得，根據(jù)取等條件可確定.【詳解】，，，即；設(shè)向量與向量的夾角為，，令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；當(dāng)最大時，最小，此時，解得：.故答案為：.11．（2023·上海閔行·二模）已知單位向量，若對任意實數(shù)，恒成立，則向量的夾角的最小值為.【答案】/60o【分析】把兩邊平方得到關(guān)于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的條件以及兩向量夾角的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】，是單位向量，由得：，依題意，不等式對任意實數(shù)恒成立，則，解得，而，則，又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，所以向量，的夾角的取值范圍為.則向量的夾角的最小值為.故答案為：.12．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知單位向量，向量與不共線，且，則的最大值為．【答案】2【分析】由，則，方法一：利用正弦定理可得，當(dāng)時，可求得結(jié)果；方法二：作出△ABC的外接圓，當(dāng)AC為圓的直徑，即時，可求.【詳解】法1：設(shè)，，則，如圖所示．因為，所以在△ABC中，，，由正弦定理，得即，得，當(dāng)時，．法2：設(shè)，，則，作出△ABC的外接圓，如圖所示．因為，所以，因為，當(dāng)AC為圓的直徑，即時，．故答案為：213．（2023·上海楊浦·二模）已知非零平面向量、、滿足，，且，則的最小值是【答案】【分析】由向量的運算，數(shù)量積與模長的關(guān)系，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】解：如圖，，，則，，已知，即，所以，取BD的中點O，則有，而，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知則，所以，當(dāng)A，O，C三點共線時取等號，記向量的夾角為，則，同理，由，可得，則，當(dāng)，即時取等號，所以，即的最小值是，故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的綜合運用，關(guān)鍵點在于利用三角形的三邊關(guān)系得到不等式，進而利用數(shù)量積求模長.14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量，，且滿足，若為平面單位向量，則的最大值【答案】【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求出與的夾角，根據(jù)條件，可設(shè)，再設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積公式，以及三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)得出，即可求出結(jié)果.【詳解】解：，設(shè)與的夾角為，，，又，則，不妨設(shè)，再設(shè)，則，即，所以的最大值為.故答案為：.15．（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測）已知向量，，滿足，，，則的最大值是.【答案】/【分析】設(shè)，，由得到點是的重心，結(jié)合得到是直角三角形，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值.【詳解】

設(shè)，，，點是的重心，，．∴是直角三角形，又∵，即，以A為原點，AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則且，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故答案為：.16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知非零且不垂直的平面向量，滿足，若在方向上的投影與在方向上的投影之和等于，則，夾角的余弦值的最小值為．【答案】【分析】利用基本不等式求出，再根據(jù)向量投影求出，求出夾角的余弦值的最小值.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．設(shè)，的夾角為，則由題意得，易知，且，則，所以，所以，夾角的余弦值的最小值為．故答案為：17．（21-22高三上·浙江嘉興·期末）已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的模取值范圍是.【答案】【分析】以向量幾何意義去解題，數(shù)形結(jié)合的方法可以簡化解題過程.【詳解】如圖1，令，，，則，取AB中點M.由，可得，，所以，即C在以M為圓心、為半徑的圓上.由，當(dāng)O、M、C三點共線時（M在線段OC上），.由于O在以AB為弦的圓弧上，設(shè)圓心為G，由正弦定理可知，即，當(dāng)時，圓G半徑取得最大值.當(dāng)O、M、G三點共線（G在線段OM上），且時，取得最大值，此時，所以.如圖2，顯然當(dāng)O、M、C三點共線（點C在線段OM上），當(dāng)時，圓G半徑取得最小值.，即M、G兩點重合.取得最小值為2.則時，.故向量的模取值范圍是故答案為：18．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┰谄叫兴倪呅沃?，，是的中點，，若設(shè)，則可用，表示為；若的面積為，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的線性運算法則，以及向量數(shù)量積的運算公式以及模的運算公式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)向量的運算法則，可得，設(shè)，因為的面積為，可得，即，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：；.19．（2020·浙江溫州·三模）已知向量，滿足，，若存在不同的實數(shù)，使得，且則的取值范圍是【答案】【分析】設(shè)，變形（數(shù)量積的運算）得是方程的兩根，利用韋達定理求得，則可表示為的函數(shù)，由的范圍可得結(jié)論，在題中注意的范圍的確定．【詳解】，，設(shè)（），由得，整理得，同理，所以是方程的兩根，由得，時方程無解，故且，，，，所以，，所以，由且得的范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是設(shè)后通過數(shù)量積的運算把是方程的兩根，這樣可用韋達定理求得，從而求得目標(biāo)關(guān)于的函數(shù)，屬于難題．20．（2021·浙江金華·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，,,則的取值范圍是；已知向量是單位向量，若，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】（1）根據(jù)向量不等式可得，從而得到關(guān)于的不等式，即可得答案；（2）根據(jù)已知設(shè)出向量和向量，向量的坐標(biāo)，代入等式化簡，再利用距離的幾何意義可看成一個動點到兩個定點的距離之和，而所求的可看成是一個定點到線段的距離，由此可求得最值．【詳解】解：（1）由，，解得，又由，代入已知值可得，化簡可得：，解得.（2）因為是單位向量，且，設(shè)，設(shè)，則，因為，即，化簡得，，所以表示線段上的點到點的距離，所