第01講 任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第01講任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第4題,5分三角函數(shù)的化簡、求值同角三角函數(shù)基本關(guān)系用和、差角的余弦公式化簡、求值2024年新I卷，第13題,5分同角三角函數(shù)基本關(guān)系用和、差角的正切公式化簡、求值2023年新I卷，第6題,5分三角函數(shù)求值余弦定理解三角形、已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)、切線長問題2023年新Ⅱ卷，第16題,5分特殊角的三角函數(shù)值由圖象確定正(余)弦型函數(shù)解析式2021年新I卷，第6題,5分正、余弦齊次式的計(jì)算三角函數(shù)求值二倍角的正弦公式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5-11分【備考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化2.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，并能利用三角函數(shù)的定義解決相關(guān)問題3..理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系+商數(shù)關(guān)系），夠利用公式化簡求值4.能借助單位圓的對稱性利用三角函數(shù)定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，能夠運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決相關(guān)問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查三角函數(shù)化簡求值或特殊角求三角函數(shù)值，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考知識講解角的定義平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的的圖形叫做角；射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時的射線叫做角的終邊角的分類按照角終邊的位置可分為（象限角和軸線角）按照選擇方向可分為（正角（逆時針選擇）、負(fù)角（順時針選擇）和零角（不旋轉(zhuǎn)））象限角第Ⅰ象限角：，或，第Ⅱ象限角：，第Ⅲ象限角：，第Ⅳ象限角：，或，軸線角終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負(fù)半軸上：，終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負(fù)半軸上：，終邊落在軸上：，，終邊落在軸上：，終邊落在坐標(biāo)軸上：，，終邊落在上：，終邊落在上：，或：，β，α終邊相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關(guān)于x軸對稱?β＝－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關(guān)于y軸對稱?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.終邊相同的角與終邊相同的角的集合為：，角度與弧度的關(guān)系，扇形的弧長、周長及面積公式角度制弧度制弧長公式面積公式周長公式是扇形的半徑，是圓心角的度數(shù)是扇形的半徑，是圓心角弧度數(shù)，是弧長三角函數(shù)的定義，正弦線：，余弦線：，正切線：三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．特殊角的三角函數(shù)值度弧度00100100101不存在0不存在0 兩角互余的三角函數(shù)關(guān)系互余，，已知，則：兩角互補(bǔ)的三角函數(shù)關(guān)系互補(bǔ)，，，已知，則：，常見三角不等式若，則；若，則..同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：推導(dǎo)公式：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)類型或，，或，，或，，誘導(dǎo)方法：奇變偶不變，符號看象限奇偶指的是或中的奇偶，若為奇數(shù)，變函數(shù)名；，若為偶數(shù)，不變函數(shù)名；，，象限指的是原函數(shù)名的象限，再判斷符號規(guī)定：無論角多大，看作第一象限角（銳角）誘導(dǎo)公式，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，考點(diǎn)一、扇形的弧長及面積計(jì)算1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面面積是（

）A．π B．2π C．3π D．4π2．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（

）A． B． C． D．3．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南長沙·一模）“會圓術(shù)”是我國古代計(jì)算圓弧長度的方法，它是我國古代科技史上的杰作，如圖所示是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點(diǎn)，在上，，則的弧長的近似值的計(jì)算公式：.利用上述公式解決如下問題：現(xiàn)有一自動傘在空中受人的體重影響，自然緩慢下降，傘面與人體恰好可以抽象成傘面的曲線在以人體為圓心的圓上的一段圓弧，若傘打開后繩長為6米，該圓弧所對的圓心角為，則傘的弧長大約為（

）A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米3．（2024·山東濰坊·三模）如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點(diǎn)，切點(diǎn)處有一個標(biāo)志，該圓沿軸向右滾動，當(dāng)圓滾動到與出發(fā)位置時的圓相外切時(記此時圓心為)，標(biāo)志位于點(diǎn)處，圓與軸相切于點(diǎn)，則陰影部分的面積是（

）

A．2 B．1 C． D．考點(diǎn)二、定義法求三角函數(shù)值1．（全國·高考真題）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則=A． B． C． D．2．（全國·高考真題）已知α是第四象限角，cosα＝，則sinα等于（

）A． B．－C． D．－3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸．若是角終邊上一點(diǎn)，且，則．1．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江金華·三模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.若為角終邊上的一點(diǎn)，則．考點(diǎn)三、三角函數(shù)值的大小比較1．（北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)P在其中一段上，角以為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是A． B．C． D．2．（2023·貴州遵義·三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．1．（新疆喀什·期末）如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．2．（22-23高一下·北京延慶·期中）設(shè)，，，則A． B． C． D．3．（21-22高一下·河南南陽·階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系之平方關(guān)系1．（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·全國·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2023·全國·高考真題）若，則．4．（2020·全國·高考真題）已知，且，則（

）A． B．C． D．1．（2024·新疆·三模）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系之商數(shù)關(guān)系（含弦切互化）1．（2024·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．7 C． D．3．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知為第一象限角，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1考點(diǎn)六、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用1．（2024·四川自貢·三模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（22-23高一上·北京·期末）已知，且，化簡并求的值.4．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)化簡；(2)若，求?的值；(3)若，求的值.1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·三模）已知，則（

）A． B．1 C． D．33．（22-23高一下·甘肅天水·期末）化簡4．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知．(1)求的值；(2)已知，求.1．（2024·上海奉賢·三模）在中，“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分永件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件2．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）集合中的最大負(fù)角為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中《方田》一章給出了計(jì)算弧田面積的公式：弧田面積（弦矢+矢）.弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，且，半徑等于的弧田，按照上述給出的面積公式計(jì)算弧田面積是（

）A． B． C． D．5．（2022·廣東·一模）為解決皮尺長度不夠的問題，實(shí)驗(yàn)小組利用自行車來測量A，B兩點(diǎn)之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點(diǎn)A，前輪上與點(diǎn)A接觸的地方標(biāo)記為點(diǎn)C，然后推著自行車沿AB直線前進(jìn)（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點(diǎn)B接觸.經(jīng)觀測，在前進(jìn)過程中，前輪上的標(biāo)記點(diǎn)C與地面接觸了10次，當(dāng)前輪與點(diǎn)B接觸時，標(biāo)記點(diǎn)C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離約為（

）（參考數(shù)值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m6．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．27．（2024·廣東茂名·一模）已知，則（

）A． B． C． D．8．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．9．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為.10．（22-23高一下·黑龍江齊齊哈爾·開學(xué)考試）已知，，(1)化簡；(2)若為第三象限角，且，求的值.1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是（）A． B．C． D．2．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·山東濟(jì)南·三模）若，則（

）A．1 B． C．2 D．4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知，，則（）A． B． C． D．5．（2024·河北·三模）已知點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．7．（2024·江西·二模）已知，求（

）A． B． C． D．8．（2024·湖南邵陽·三模）（多選）下列說法正確的有（

）A．若角的終邊過點(diǎn)，則角的集合是B．若，則C．若，則D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是9．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知，則．10．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為百米.1．（2024·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C．