第10講 卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競(jìng)賽適用）（核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用.求在曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)極值求參數(shù)由函數(shù)對(duì)稱(chēng)性求函數(shù)值或參數(shù)2023年全國(guó)乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題2022年新I卷，第22題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2022年全國(guó)乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用求在曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程(斜率利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2021年全國(guó)甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問(wèn)題2能用卡根思想結(jié)合零點(diǎn)存在性定理綜合解題【命題預(yù)測(cè)】在零點(diǎn)個(gè)數(shù)及方程的根等綜合問(wèn)題研究中，參變分離和數(shù)形結(jié)合都是解題的方法，但也都有局限性，同時(shí)對(duì)函數(shù)圖像畫(huà)法要求較高；包括在零點(diǎn)個(gè)數(shù)研究中還有放縮方法，但是放縮的不等式變化較多，這樣對(duì)學(xué)生又提出了比較嚴(yán)苛能力要求。此時(shí)卡根法是此類(lèi)題型的另一方法。同時(shí)卡根法也常應(yīng)用于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中，其本質(zhì)是虛設(shè)零點(diǎn)（設(shè)而不求），利用零點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式化簡(jiǎn)，從而得到范圍或符號(hào)。高考中常用的解題方法，需要學(xué)生復(fù)習(xí)中綜合掌握知識(shí)講解“卡根”問(wèn)題的一般方法，其具體步驟如下根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度判斷函數(shù)值變化的趨勢(shì)，以便確定是否存在零點(diǎn);根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)進(jìn)行拆分，一般拆分成和或乘積形式;根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度，將指、對(duì)數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù)及其和的形式;根據(jù)相關(guān)不等式的解集，利用零點(diǎn)存在定理來(lái)確定零點(diǎn)存在的區(qū)間零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在考點(diǎn)一、卡根思想在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)是否存在a，b，使得曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線(xiàn)，其與兩條曲線(xiàn)和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．1．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)a的最大值．參考數(shù)據(jù)：，2．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．3．已知函數(shù)，．(1)函數(shù)的圖象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，求出整數(shù)m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2024·福建福州·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若恒成立，求的值2．（2024·山東日照·三模）已知函數(shù)，，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)，，求正整數(shù)的最大值.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，若存在使得關(guān)于x的不等式成立，求k的最小整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）4．（2023·江西上饒·一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，試討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）5．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)試比較與的大小；(2)若恒成立，求的取值范圍．7．（2024·安徽安慶·三模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)．(1)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．8．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.9．（2022·河北唐山·二模）已知函數(shù)，，曲線(xiàn)和在原點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)l．(1)求b的值以及l(fā)的方程；(2)判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．10．（2023·海南?？凇ざ＃┮阎?(1)若在處取到極值，求的值；(2)直接寫(xiě)出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)論不要求證明；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)且極小值大于.11．（2021·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，，令．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．12．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.(2)若，證明：有三個(gè)零點(diǎn)，，（），且，，成等比數(shù)列.1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線(xiàn)與直線(xiàn)有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．2．（2020·全