斐波那契數列學案

神奇的斐波那契數列（學案）學習目標1、了解斐波那契數列的有關數學文化；了解斐波那契數列通項公式的推導方法；理解斐波那契數列在數列中的地位。2、通過研究斐波那契數列相關資料，體驗收集、分析材料的一般方法，掌握學會學習的一般技能；通過利用斐波那契數列數列知識研究高中數學知識、現實生活中的應用等問題，在應用中掌握斐波那契數列的數學思想，培養(yǎng)應用知識分析問題能力和創(chuàng)新解決實際問題的能力。3、通過展示斐波那契數列的數學史，激發(fā)學習數學的熱情態(tài)度，塑造良好的人文底蘊；通過介紹斐波那契數列在現實生活中的應用，激發(fā)勇于探索、積極思考、追求科學的學習品質；通過互聯網技術呈現、感知人類探索數學在萬物中的聯系、養(yǎng)成良好的審美情趣，樹立獻身科學的人生觀與回報社會的價值觀。學習重難點學習重點斐波那契數列及其性質學習難點斐波那契數列通項公式的推導學習過程1、斐波那契數列引入（課下提前閱讀數學必修5教材第37、38頁）問題提出：如果一對兔子每月能生一對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子，假設在不發(fā)生死亡的情況下，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢?經過月數0123456789101112幼仔101123581321345589成兔對數01123581321345589144總體對數11235813213455891442332、斐波那契數列的遞推式斐波那契數定義為：數列滿足稱為斐波那契數列3、大自然中有哪些斐波那契數列的體現【自然中的呈現】①花瓣數②生物學中“魯德維格定律”樹木的生長，樹苗在一段間隔，比如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝繼續(xù)萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝則次年“休息”．這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，這個規(guī)律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。4、斐波那契數列的探究探究一：斐波那契數列的性質游戲活動：五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；②若報出的數為3的倍數，則報該數的學生需拍手一次，已知甲同學第一個報數，當五位同學依序循環(huán)報到第20個數時，甲同學拍手的總次數為多少次？（1）（2）（3）（4）探究二：斐波那契數列通項公式：斐波那契數列的通項公式推導5、斐波那契數列在現實生活中的應用和體現（收集資料）本課小結知識小結（2）思想方法小結7、課后作業(yè)1.進一步探索斐波那契數列的性質。2.探究必修二中的“魔術師的地毯”問題（教材104、105頁）。3.進一步探究性質中游戲活動并思考：學生甲第1個報數，當5位學生依序循環(huán)報到第100個數時，學生甲拍手的總次數為多少次？（2009年福建省高考試題）知識鏈接：斐波那契數列的發(fā)明者，是意大利數學家列昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《算盤全書》（LiberAbacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團體聘任為外交領事，派駐地點相當于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數學。斐波那契數列的排列是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次類推下去，你會發(fā)現，它后一個數等于前面兩個數的和。在這個\t"/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0/_blank"數列中的數字，就被稱為斐波那契數。2是第3個斐波那契數。這個\t"/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0/_blank"級數與大自然植物的關系極為密切。幾乎所有花朵的花瓣數都來自這個級數中的一項數字：菠蘿表皮方塊形鱗苞形成兩組旋向相反的螺線，它們的條數必須是這個級數中緊鄰的兩個數字（如左旋8行，右旋13行）；還有向日葵花盤……倘若兩組螺線條數完全相同，豈不更加嚴格對稱？可大自然偏不！直到最近的1993年，人們才對這個古老而重要的級數給出真正滿意的解釋：此級數中任何相鄰的兩個數，次第相除，其比率都最為接近0.618034……這個值，它的極限就是所謂的"\t"/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0/_blank"黃金分割數"。特別指出：0不是第一項，而是第零項。在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1960年代起出版了《斐波納契數列》季刊，專門刊載這方面的研究成果。自然界中的斐波那契數列斐波那契數列在自然科學的其他分支，有許多應用。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規(guī)律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。斐波那契螺旋：具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部這些植物懂得斐波那契數列嗎？應該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數0.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。斐波那契數列在歐美可謂是盡人皆知，于是在電影這種通俗藝術中也時常出現，比如在風靡一時的《達芬奇密碼》里它就作為一個重要的符號和情節(jié)線索出現，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會計時隨口問的