二次函數(shù)中的定值、定點問題（解析版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題07二次函數(shù)中的定值、定點問題類型一、定值問題例．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，連接．

(1)求拋物線的解析式(2)是直線下方拋物線上的一點，連接、、，交于，，求點的坐標(biāo)．(3)如圖2，若動直線與拋物線交于，兩點（直線與不重合），連接，，直線與交于點．當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)是否為定值，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)定值，理由見解析【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）先求得直線的解析式，進(jìn)而根據(jù)已知條件得出，過點作軸于點，根據(jù)平行線分線段成比例求得的坐標(biāo)，即可得出的橫坐標(biāo)，代入直線解析式，即可求解；（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．由點，點，可得到直線的解析式為：．得出點的坐標(biāo)可以表示為．由點，點，得直線的解析式為：．同理可得可得到直線的解析式為：．聯(lián)立可得，則點的橫坐標(biāo)為定值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：∵與軸交于點，當(dāng)時，，則設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為，∵，∴如圖所示，過點作軸于點，

∴，∴∵，∴∵直線的解析式為，∴當(dāng)時，，即；（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．∵直線與不重合，∴且且．如圖3，由點，點，

∵到直線的解析式為：．∵，∴可設(shè)直線的解析式為：．將代入，得．∴．∴點的坐標(biāo)可以表示為．設(shè)直線的解析式為：，由點，點，得，解得．∴直線的解析式為：．同上，由點，點，可得到直線的解析式為：．∴．∴．∴點的橫坐標(biāo)為定值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，平行線分線段成比例定理，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，拋物線經(jīng)過、兩點，直線交y軸于點C．(1)求拋物線的解析式．(2)P是拋物線上一個動點（不與A重合），與拋物線的另一個交點為D，交直線于點E，連接，求證：軸．(3)過點C的動直線交拋物線于M、N兩點，分別交y軸于F、G兩點，求證：為定值．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立直線和拋物線解析式可求出點P的橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線和拋物線解析式可求出點，再聯(lián)立直線和可求出，即可證明；（3）設(shè)，，設(shè)直線的解析式為：，和拋物線解析式聯(lián)立可得，同理可得，由此可表示出，再聯(lián)立和拋物線利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過、兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為（2）證明：設(shè)直線的解析式為，∵直線經(jīng)過，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立，∴，∴，聯(lián)立，∴，∴，∴，∵：交直線于點E，聯(lián)立，∴，∴，∴，∴軸；（3）證明：∵分別交軸于F、G兩點，設(shè)，，設(shè)直線的解析式為：，將代入得：，∴直線的解析式為：，同理直線的解析式為：，聯(lián)立，∴，∴，聯(lián)立，∴，∴，∵直線與y軸交于點F，∴時，，即，直線與y軸交于點G，∴時，，即，∴，，∴，直線與y軸交于點C，∴，∵直線過點，∴設(shè)直線的解析式為：，聯(lián)立，∴，∴，又，∴，又，∴為定值；【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，直線與拋物線交點的求法，根與系數(shù)的關(guān)系等，抽象性較強，解題關(guān)鍵是能夠想到根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中的運用．【變式訓(xùn)練2】．已知拋物線與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點，且．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若拋物線上B、C兩點之間有一點N，且的面積為4，求N點坐標(biāo)；(3)拋物線的對稱軸交x軸于M，P為拋物線上一動點，直線交拋物線于另一點Q，點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為，直線交對稱軸于G點，試探究：在P點運動的過程中，線段的長度會發(fā)生變化嗎？若不變，請求其長度．【答案】(1)；(2)(3)線段的長度不變，【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)可得的值，根據(jù)對稱軸公式可得對稱軸是：，根據(jù)和拋物線的對稱性可得與的坐標(biāo)，代入一個點的坐標(biāo)可得拋物線的解析式；（2）先求直線的解析式，設(shè)，則，表示的長，利用三角形面積公式列式可得結(jié)論；（3）如圖2，先求，設(shè)，則，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先表示的解析式：，且，因為與拋物線的交點為、，列方程組為，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，則，得，證明，列比例式可得的方程，化簡可得．【詳解】（1）把代入拋物線中得：，拋物線，對稱軸是：，，，，把代入得：，解得，二次函數(shù)的解析式為：；（2）如圖1，過作軸，交于，

，，設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，直線的解析式為：，設(shè)，則，，，，，，；（3），，設(shè)，則，如圖2，連接，交于，過作于，則，

設(shè)的解析式為：，把代入得：，，，，設(shè)，由，則，，、是直線與拋物線的交點，，，，，設(shè)，，，，，將代入中得：，，，，，，；在點運動的過程中，線段的長度不變，且．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、直線與拋物線的交點問題、三角形面積及二次函數(shù)的最值問題，第三問有難度，利用參數(shù)表示直線的解析式，并利用比例式列等式可解決問題．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知拋物線的頂點為A，且經(jīng)過點．

(1)求頂點A的坐標(biāo)；(2)在對稱軸左側(cè)的拋物線上存在一點P，使得，求點P坐標(biāo)；(3)如圖（2），將原拋物線沿射線方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線交于C，D兩點，請問：在拋物線平移的過程中，線段的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)，過程見解析【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標(biāo)；（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得點Q的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式，與拋物線聯(lián)立求出點P的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與的解析式，可得C、D點的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得答案．【詳解】（1）解：把代入得：，解得，∴，∴頂點A的坐標(biāo)是；（2）過點B的交于點Q，過點B作軸，分別過點A

，Q作于點G，于點H，則，

∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，在和中，，∴，∴，∴點Q的坐標(biāo)是，設(shè)直線的解析式為，把點A，Q代入得，，解得，∴直線的解析式為，把直線的解析式與聯(lián)立得，，解得（不合題意，舍去），當(dāng)時，，∴點P的坐標(biāo)是；（3）在拋物線平移的過程中，線段的長度是定值，設(shè)直線的解析式為，把點A的坐標(biāo)代入得，，∴直線的解析式為，∴可設(shè)新的拋物線解析式為，聯(lián)立，∴，∴，∴，∴，∴，即C、D兩點的橫坐標(biāo)的差是1，C、D兩點間的縱坐標(biāo)的差為1，∴，∴在拋物線平移的過程中，線段的長度是定值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解方程組求函數(shù)交點坐標(biāo)等知識，求出點Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】．如圖1，拋物線交x軸于點和點，交于y軸點C，F(xiàn)為拋拋物線頂點，點在拋物線上．

(1)①求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；②求四邊形ACFQ的面積；(2)如圖2，直線EF垂直于x軸于點E，點P是線段BE上的動點（除B、E外）過點P作x軸的垂線交拋物線于點D，連接DA、DQ．①當(dāng)是直角三角形時，求出所有滿足條件的D點的橫坐標(biāo)．②如圖3，直線AD，BD分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點．試問：是否為定值？如果是，請直接寫出這個定值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)①；②4(2)①Q(mào)點坐標(biāo)為；②是為定值，定值為8【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得頂點，，然后利用割補法求圖形面積；（2）①分或兩種情況結(jié)合一次函數(shù)圖象的性質(zhì)分析求解；②設(shè)，結(jié)合一次函數(shù)圖象的性質(zhì)分析求解【詳解】（1）①∵拋物線經(jīng)過點，，∴，解得∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；②∵，∴頂點，∵，，∴，且∥x軸，∵，∴；（2）①∵點P在線段EB上，∴不可能為直角，∴當(dāng)為直角三角形時，有或，?。?dāng)時，則，∵，，∴直線AQ解析式為，∴設(shè)直線DA解析式為，把代入可求得，∴直線DQ解析式為，聯(lián)立直線DQ和拋物線解析式可得，解得或∴（舍）或（舍）∴此種情況不存在ⅱ．當(dāng)時，設(shè)，設(shè)直線AD的解析式為，把A、D坐標(biāo)代入可得，解得，設(shè)直線DQ解析式為，同理可求得，∵，∴，即，解得當(dāng)時，∵，∴（舍）當(dāng)時，∵，D點橫坐標(biāo)為綜上可知：D點橫坐標(biāo)②設(shè)，由A、D的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，；由點B、D的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，，則是為定值，定值為8．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點，數(shù)形結(jié)合以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】．過原點的拋物線與x軸的另一個交點為A，且拋物線的對稱軸為直線，頂點為B．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（1），點E是直線上方拋物線上一點，連接，，，若的面積為4，求點E的坐標(biāo)；(3)如圖（2），設(shè)直線（）與拋物線交于C，D兩點，點D關(guān)于直線的對稱點為，直線與直線交于點P，求證：BP的長為定值．【答案】(1)(2)或(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意和待定系數(shù)法進(jìn)行計算即可得；（2）設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點H，交于點M，過點E作軸于點N，根據(jù)題意得，，，根據(jù)點E是直線上方拋物線上一點，設(shè)，則，可得，設(shè)直線的解析式，把，代入，得，進(jìn)行計算得直線的解析式為，即可得，根據(jù)，，即可得，進(jìn)行計算即可得；（3）聯(lián)立方程得，，解得，，根據(jù)點D關(guān)于直線的對稱點為得，設(shè)直線的解析式為，把和代入，進(jìn)行計算得直線的解析式為，根據(jù)直線與直線交于點P得當(dāng)時，可得，即可得．【詳解】（1）解：∵拋物線過原點，且對稱軸為直線，∴，解得，，∴拋物線的解析式為：；（2）解：如圖所示，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點H，交于點M，過點E作軸于點N，

∵拋物線的對稱軸為直線，頂點為B，∴，，令，則，，，，∴，∵點E是直線上方拋物線上一點，∴設(shè)，則，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得，，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，解得，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴或；（3）證明：如圖所示，

聯(lián)立方程得，，解得，或，∴，，∵點D關(guān)于直線的對稱點為，∴，設(shè)直線的解析式為，把和代入，得，解得，，即直線的解析式為，∵直線與直線交于點P，∴當(dāng)時，，∴，∵，∴，即的長為定值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)．類型二、定點問題例．已知拋物線經(jīng)過點，與軸交于，兩點，與軸交于點(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，為直線上方拋物線上的動點，過點作于點，若，求點坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線沿軸平移得，使的頂點落在軸上，若過定點的直線交拋物線于、兩點，過點的直線與拋物線交于點，求證：直線必過定點【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）如圖1，過點作軸于點，交于點，運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，設(shè)，則，，可證得：是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再由，建立方程求解即可得出答案；（3）先求得平移后的拋物線的解析式為：，設(shè)，，則直線的解析式為，由直線經(jīng)過定點，可得，再由直線經(jīng)過點，可得直線的解析式為，進(jìn)而求得，再運用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，當(dāng)時，，即直線必過定點，．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點，，，解得：，拋物線的解析式為；（2）如圖1，過點作軸于點，交于點，

設(shè)直線的解析式為，把，代入，得：，解得：，直線的解析式為，設(shè)，則，，，，，，軸，是等腰直角三角形，，，又，，是等腰直角三角形，，，，，解得：，，為直線上方拋物線上的動點，，，；（3）證明：如圖2，拋物線，將拋物線沿軸平移得，使的頂點落在軸上，拋物線的解析式為：，

設(shè)，，則直線的解析式為，直線經(jīng)過定點，，，直線經(jīng)過點，，解得：，直線的解析式為，由，解得：或，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得：，，，，直線的解析式為，當(dāng)時，，直線必過定點，．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，拋物線的平移變換，直線恒過定點問題，解決本題的關(guān)鍵是可以通過直線與拋物線的圖象只有一個交點得出直線和直線的與和的關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】．如圖（1）所示，拋物線，經(jīng)過，，三點．(1)求該拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否一點，使得以，，的頂點的三角形與相似，如有請求出滿足要求的所有點，如果沒有，請說明理由．(3)如圖（2）所示，點，為拋物線上的動點，滿足，請證明直線必定通過一個定點，并求出這個定點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）假設(shè)，如圖所示，易求得此時，不在拋物線上．同理當(dāng)時也不在拋物線上，當(dāng)時求得，符合要求．（3）設(shè)，，所以，；，．根據(jù)，得出，設(shè)的直線方程為：，代入P，Q的坐標(biāo)有，得出的方程為，即可求解．【詳解】（1）設(shè)拋物線解析式為，拋物線過點代入得解得：所以拋物線解析式為：．（2）解：∵，，∴，當(dāng)，則，即∴，過點作軸，∵∴∴∴設(shè)，則①又∵∴②聯(lián)立①②解得：（負(fù)值舍去）∴由，當(dāng)時，，故，不在拋物線上當(dāng)時，則，即，如圖所示，則由，當(dāng)時，，故，不在拋物線上當(dāng)時，則，即，如圖所示，同理可得由，當(dāng)時，，故，在拋物線上，符合要求．綜上滿足要求的點為（3）如圖（3）所示，設(shè)，，所以，；，．∵∴，∴，∴∴∴設(shè)的直線方程為：，代入P，Q的坐標(biāo)有所以的方程為代入上式可得當(dāng)時恒等于4，所以總經(jīng)過定點．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)求解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，拋物線與軸的正半軸交于點，與軸交于點，，其對稱軸為直線．

(1)直接寫出拋物線C的解析式；(2)已知點，點，均在拋物線上（點在點右側(cè)），若以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線平移得到拋物線，使的頂點在原點，過點的兩條直線，，它們與軸不平行，都與拋物線只有一個公共點分別為點和點，求證：直線必過定點．【答案】(1)拋物線的解析式為：．(2)點的坐標(biāo)為或，．(3)見解析【分析】（1）由拋物線的對稱軸為直線，可得①，由拋物線可得，；把代入中，得②，由此可得，，；（2）需要分情況討論，①若，由點的平移可知，點左平移1個單位長度，向下平移5個單位長度得到點，設(shè)，則，將點代入得，，求解節(jié)課得出點的坐標(biāo)；②若，由點和點的坐標(biāo)可知，點和點的中點坐標(biāo)為，，設(shè)，則，將點代入得，，求出即可求出點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意得，拋物線的解析式為：，設(shè)，，則直線可設(shè)為，直線可設(shè)為，因為直線與拋物線只有一個公共點，所以聯(lián)立與拋物線，得，得，所以△，解得，可求出直線的解析式為：，同理可得，直線的解析式為：，聯(lián)立和的解析式可得，，由點，代入可得，所以直線的解析式為：，則直線過定點．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線，，即①，拋物線與軸的正半軸交于點，與軸交于點，，，，，，把代入中，得②，由①②可知，，，拋物線的解析式為：．（2）解：若，四邊形是平行四邊形，∴且，，，向左平移1個單位長度，向下平移5個單位長度得到點，點，都在拋物線上，點在點的右側(cè)，點左平移1個單位長度，向下平移5個單位長度得到點，設(shè)，則，將點代入得，，解得，，若，四邊形是平行四邊形，∴且，，，的中點坐標(biāo)為，設(shè)，則，將點代入得，，解得或，點在點的右側(cè)，．綜上，點的坐標(biāo)為或；（3）解：根據(jù)題意得，拋物線的解析式為：，設(shè)，，則直線可設(shè)為，直線可設(shè)為，直線與拋物線只有一個公共點，聯(lián)立與拋物線，得，得，△，解得，直線的解析式為：，同理可得，直線的解析式為：，聯(lián)立和的解析式可得，，，，設(shè)直線的解析式為：，將，代入可得，直線的解析式為：，直線過定點．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，主要考查待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形存在性等內(nèi)容熟練掌握直線與二次函數(shù)的交點求法，本題的關(guān)鍵是可以通過直線與拋物線的圖象只有一個交點得出直線和直線的與和的關(guān)系．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，拋物線：與x軸的正半軸交點B，與y軸交于點C，，其對稱軸為直線．

(1)直接寫出拋物線的解析式；(2)若點D是拋物線對稱軸上的動點，點G是拋物線上的動點，是否存在以點B、C、D、G為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．(3)如圖2，作拋物線關(guān)于原點O中心對稱的拋物線，若拋物線與直線交于E，F(xiàn)兩點，與直線交于M，N兩點，且，點P，Q分別是、的中點，求證：直線必定經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，G點坐標(biāo)存在，為或或(3)直線過定點，證明見解析【分析】（1）由得出，根據(jù)對稱軸為直線和代入即可解得；（2）設(shè)D點坐標(biāo)為，G點坐標(biāo)為，分三種情況①當(dāng)為對角線時，②當(dāng)為對角線時，③當(dāng)為對角線時，進(jìn)行討論即可；（3）聯(lián)立與，解得，根據(jù)韋達(dá)定理得出，，得出P和Q點的坐標(biāo)，表示出直線的解析式即可判斷；【詳解】（1）對稱軸為直線，即，又∵，，將和代入解得：，即函數(shù)解析式為：；（2）設(shè)D點坐標(biāo)為，G點坐標(biāo)為，且，，分情況討論：①當(dāng)為對角線時，則另一對角線是，由中點坐標(biāo)公式可知：線段的中點坐標(biāo)為，即，線段的中點坐標(biāo)為，即，此時的中點與的中點為同一個點，，解得，經(jīng)檢驗，此時四邊形為平行四邊形，此時G坐標(biāo)為；②當(dāng)為對角線時，則另一對角線是，由中點坐標(biāo)公式可知：線段的中點坐標(biāo)為，即，線段的中點坐標(biāo)為，即，此時的中點與的中點為同一個點，，解得，經(jīng)檢驗，此時四邊形為平行四邊形，此時G坐標(biāo)為；③當(dāng)為對角線時，則另一對角線是，由中點坐標(biāo)公式可知：線段的中點坐標(biāo)為，即，線段的中點坐標(biāo)為，即，此時的中點與的中點為同一個點，，解