解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的三種考法（原卷版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題02解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的三種考法類型一、仰角俯角問題例．如圖，某高樓頂部有一信號(hào)發(fā)射塔，在矩形建筑物的A，C兩點(diǎn)測(cè)得該塔頂端F的仰角分別為和，矩形建筑物寬度，高度．則信號(hào)發(fā)射塔頂端到地面的高度（即的長(zhǎng)）為多少？【變式訓(xùn)練1】．“蘑菇石”是我省著名自然保護(hù)區(qū)梵凈山的標(biāo)志，小明從山腳B點(diǎn)先乘坐纜車到達(dá)觀景平臺(tái)觀景，然后再沿著坡角為的斜坡由E點(diǎn)步行到達(dá)“蘑菇石”A點(diǎn)，“蘑菇石”A點(diǎn)到水平面的垂直距離為．如下圖，，，，求斜坡的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到，，，，，，）

【變式訓(xùn)練2】．國(guó)家跳臺(tái)滑雪中心位于北京2022年冬奧會(huì)張家口賽區(qū)古楊樹場(chǎng)館群，是我國(guó)首座符合國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪場(chǎng)地．外觀結(jié)構(gòu)與中國(guó)傳統(tǒng)吉祥物“如意”的S形曲線完美融合，因此，被形象地稱為“雪如意”，在它的身上，體現(xiàn)了現(xiàn)代建筑與自然山水、歷史文化的交相輝映，在這里舉行的跳臺(tái)滑雪分大跳臺(tái)和標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)，大跳臺(tái)A點(diǎn)出發(fā)區(qū)海拔1771米，著陸點(diǎn)U點(diǎn)海拔1635米，大跳臺(tái)與標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)水平相距米，大跳臺(tái)坡角，標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)坡角．求大跳臺(tái)與標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)出發(fā)點(diǎn)落差是多少？（參考數(shù)據(jù)：，，；，，，結(jié)果保留整數(shù)．）

【變式訓(xùn)練3】．投影儀，又稱投影機(jī)，是一種可以將圖像或視頻投射到幕布上的設(shè)備．如圖①是屏幕投影儀投屏情景圖，如圖②是其側(cè)面示意圖，已知支撐桿與地面垂直，且的長(zhǎng)為，腳桿的長(zhǎng)為，距墻面的水平距離為，投影儀光源散發(fā)器與支撐桿的夾角，腳桿與地面的夾角，求光源投屏最高點(diǎn)與地面間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果精確到）類型二、方位角問題例．如圖，湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點(diǎn)處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援．計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上．已知C在A的北偏東方向上，B在A的東北方向上，且在C的正南方向900米處．

(1)求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：）；(2)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在7分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說明理由．（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）【變式訓(xùn)練1】．小明在學(xué)習(xí)直角三角形的三角函數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，所對(duì)的邊分別是a、b、c，∵，（）∴．小明猜想：在銳角三角形中也有相同的結(jié)論．

(1)如圖2，在銳角三角形中，所對(duì)的邊分別是a、b、c，請(qǐng)你運(yùn)用直角三角形的三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)驗(yàn)證；(2)請(qǐng)你運(yùn)用（1）中的結(jié)論完成下題：如圖3，在南海某海域一貨輪在B處測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，隨后貨輪以80海里/小時(shí)的速度按北偏東的方向航行，兩小時(shí)后到達(dá)C處，此時(shí)又測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，求此時(shí)貨輪與燈塔A的距離．【變式訓(xùn)練2】．湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點(diǎn)處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援．計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上．已知B在C的正西方向，A在C的北偏西方向，B在A的南偏東方向1800米處．

(1)求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果可含根號(hào)）；(2)救援船的平均速度為180米/分，快艇的平均速度為420米/分，在接到通知后，快艇能否在6分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說明理由．（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）（參考數(shù)據(jù)：，，）【變式訓(xùn)練3】．如圖，漁船跟蹤魚群由西向東航行，遠(yuǎn)處有一個(gè)小島A，在點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°，航行60海里到達(dá)點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島在A在北偏東45°的方向上．

(1)若漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，距離A島的最短距離是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）(2)漁船行至點(diǎn)時(shí)，忽然發(fā)現(xiàn)油料短缺，遂就地停船休整，與此同時(shí)，在正東方向，距離點(diǎn)180海里的救援船前來救援，請(qǐng)問當(dāng)小島A、漁船和救援船所組成的三角形是直角三角形時(shí)，此時(shí)救援船距離小島A有多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留根號(hào)）【變式訓(xùn)練4】．如圖，是某景區(qū)一段坡度的上坡路段，為豎直（與水平面垂直）的監(jiān)控立桿，點(diǎn)D處安裝了攝像頭，點(diǎn)A、B分別為攝像頭的測(cè)速起點(diǎn)與終點(diǎn)．安裝調(diào)試攝像頭時(shí)，在攝像頭D處測(cè)得點(diǎn)A的俯角為，點(diǎn)B的俯角為．已知米，點(diǎn)O、A、B、C、D、E、在同一平面內(nèi)．

(1)求桿的高度；（精確到個(gè)位）(2)一輛小汽車從A點(diǎn)駛向B點(diǎn)，攝像頭兩次測(cè)速抓拍的時(shí)間間隔為秒．若，此路段的限速是40千米/小時(shí)，試判斷這輛小汽車是否超速違章，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，）類型三、坡度問題例．如圖某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡度的斜坡，長(zhǎng)度為13米，在坡頂B處看教學(xué)樓的樓頂C的仰角是，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處看樓頂C的仰角是的延長(zhǎng)線交校門處的水平面于點(diǎn)D．

(1)求坡頂B的高度；(2)求樓頂C的高度．【變式訓(xùn)練1】．如圖，為了測(cè)量某建筑物的高度，小穎采用了如下的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的A點(diǎn)出發(fā)，沿斜坡行走130米至坡頂D處，再?gòu)腄處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至E處，在E處測(cè)得該建筑物頂端C的仰角為60°，建筑物底端B的俯角為45°，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，斜坡的坡度，根據(jù)小穎的測(cè)量數(shù)據(jù)，求建筑物的高度．(結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：）

【變式訓(xùn)練2】．如圖．為測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．小明從旗桿正前方處的點(diǎn)C出發(fā)沿坡度為的斜坡前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)D，在點(diǎn)D處放置測(cè)角儀．測(cè)得旗桿頂部A的仰角為量得測(cè)角儀的高為，A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)．且旗桿和測(cè)角儀都與地面垂直．

(1)求點(diǎn)D到地面的鉛垂高度．（結(jié)果保留根號(hào)）(2)求旗桿的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【變式訓(xùn)練3】．如圖是某校運(yùn)動(dòng)會(huì)主席臺(tái)的側(cè)面示意圖，是主席臺(tái)上的背景墻，數(shù)學(xué)興趣小組想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量背景墻的高度．他們?cè)诰嚯x主席臺(tái)底端處的處豎立測(cè)角儀，從處測(cè)得背景墻頂端處的仰角為，，，，，，均在同一平面內(nèi)）．已知長(zhǎng)為，斜坡的坡度，坡長(zhǎng)為，，測(cè)角儀高，求背景墻的高．（結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：．．

【變式訓(xùn)練4】．周末，小明和小紅相約爬山到山頂點(diǎn)C處觀景（山腳處的點(diǎn)A、B在同一水平線上）．小明在A點(diǎn)處測(cè)得山頂點(diǎn)C的仰角為，他從點(diǎn)A出發(fā)，沿爬山到達(dá)山頂C．小紅從點(diǎn)B出發(fā)，先爬長(zhǎng)為米的山坡到達(dá)點(diǎn)D，的坡度為，然后沿水平觀景步道走了900米到達(dá)點(diǎn)E，此時(shí)山頂C正好在點(diǎn)E的東北方向1800米處，最后爬山坡到達(dá)山頂C（點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，小明、小紅的身高忽略不計(jì)）．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求山頂C到的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)若小明和小紅分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，小明的爬山速度為70米/分，小紅的爬山速度為60米/分（小紅在山坡、山坡段的速度相同），小紅的平路速度為90米/分，請(qǐng)問誰先到達(dá)山頂C處？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．課后作業(yè)1．某動(dòng)物園熊貓基地D新誕生了一只小熊貓，吸引了大批游客前往觀看．由于A、B之間的道路正在進(jìn)行維護(hù)，暫時(shí)不能通行．游客由入口A進(jìn)入園區(qū)之后可步行到達(dá)點(diǎn)C，然后可以選擇乘坐空中纜車從，也可選擇乘坐觀光車從．已知點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東45°方向上，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向300米處，點(diǎn)D在點(diǎn)B的北偏東60°方向上，且米．（參考數(shù)據(jù)：，，）

(1)求的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；(2)已知空中纜車的速度是每分鐘200米，觀光車的速度是每分鐘320米，若游客想盡快到達(dá)熊貓基地D，應(yīng)選擇乘坐空中纜車還是觀光車？2．（1）如圖：為測(cè)量河寬（假設(shè)河的兩岸平行），在點(diǎn)處測(cè)得，在點(diǎn)處測(cè)得，且，則河寬為多少（結(jié)果保留根號(hào)）．（2）如圖所示，小明同學(xué)在學(xué)校某建筑物的點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂部點(diǎn)的仰角為，旗桿底部點(diǎn)的俯角為．若旗桿底部點(diǎn)到建筑物的水平距離米，旗桿臺(tái)階高米，則旗桿頂點(diǎn)離地面的高度為多少米（結(jié)果保留根號(hào)）．3．如圖1，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂，連桿，懸臂和安裝在處的攝像頭組成．如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂，，固定，可通過調(diào)試懸臂與連桿的夾角提高拍攝效果．

(1)當(dāng)懸臂與桌面平行時(shí)，=___________°(2)問懸臂端點(diǎn)到桌面的距離約為多少？(3)已知攝像頭點(diǎn)到