圓的最值模型之瓜豆模型（解析版）（北師大版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專(zhuān)題10圓的最值模型之瓜豆模型一、模型說(shuō)明問(wèn)題1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓理由：Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，．問(wèn)題2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓理由：∵AP⊥AQ，∴Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．模型總結(jié)：條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．二、例題精講例1．如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．【答案】/【分析】作，使得，，則，，，由，推出，即（定長(zhǎng)），由點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，點(diǎn)在半徑為1的上，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作，使得，，則，，，，，，，，，即（定長(zhǎng)），點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，點(diǎn)在半徑為1的上，，的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．例2．如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為．【答案】【分析】如圖所示，延長(zhǎng)PB到D使得PB=DB，先證明△APD是等邊三角形，從而推出ABP=90°，∠BAP=30°，以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC于H，解直角三角形得到，從而證明△AMB∽△AOP，得到，則，則點(diǎn)B在以M為圓心，以為半徑的圓上，當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)B在點(diǎn)的位置時(shí)，BC有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)PB到D使得PB=DB，∵，∴，又∵∠APB=60°，∴△APD是等邊三角形，∵B為PD的中點(diǎn)，∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，∴∠BAP=30°，以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC于H，∴，同理可得，∵∠OAM=30°=∠PAB，∴∠BAM=∠PAO，又∵，∴△AMB∽△AOP，∴，∵點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，即OP=2，∴，∴點(diǎn)B在以M為圓心，以為半徑的圓上，連接CM交圓M（半徑為）于，∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)B在點(diǎn)的位置時(shí)，BC有最小值，∵AC=2AO=8，∴AO=4，∴，∴，，∴，∴，∴，∴BC的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握瓜豆模型即證明點(diǎn)B在以M為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)．例3．如圖，中，，中，，直線與交于，當(dāng)繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，到直線距離的最大值是．【答案】/【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)角度以及勾股定理求解最大值．【詳解】解：如圖旋轉(zhuǎn)，連接以為直徑作，以為半徑作過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)在和中∴點(diǎn)共圓，點(diǎn)共圓，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，的半徑為∴又∵，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，到直線距離的最大，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，∴四邊形是矩形，

是圓心，設(shè)，，解得：（舍去）∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題。熟練運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)以及勾股定理解直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．例4．如圖，在半徑為4的中，弦，B是上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），D是的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，則的最大值為．

【答案】/【分析】連接，，取的中點(diǎn)E，連接，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，得到點(diǎn)D在以E為圓心，以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接，取的中點(diǎn)G，連接，，同理得到點(diǎn)M在以點(diǎn)G為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)A，G，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，即的長(zhǎng)度，取線段的中點(diǎn)F，連接，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】如圖所示，連接，，取的中點(diǎn)E，連接

∵D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴點(diǎn)D在以E為圓心，以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接，取的中點(diǎn)G，連接，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，G是的中點(diǎn)，∴∴點(diǎn)M在以點(diǎn)G為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴∴如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A，G，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，即的長(zhǎng)度，取線段的中點(diǎn)F，連接，

∵的半徑為4∴∵∵，∴∴∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，且，∴∵，∴∴在中，．∴，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．三、課后訓(xùn)練1．如圖，A是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．6【答案】A【分析】以為邊向上作等邊三角形，連接，證明得到，分析出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，在求出點(diǎn)D到線段的最大距離，即可求出面積的最大值．【詳解】解：如圖，以為邊向上作等邊三角形，連接，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，要使的面積最大，則求出點(diǎn)D到線段的最大距離，∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴點(diǎn)M到的距離為，∴點(diǎn)D到的最大距離為，∴的面積最大值是，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造全等三角形找到動(dòng)點(diǎn)D的軌跡圓，再求出圓上一點(diǎn)到定線段距離的最大值．2．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值是．【答案】3【分析】通過(guò)已知求得D在以B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵E為AD的中點(diǎn)，∴E在以BA中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)用圓外一定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最大值=定點(diǎn)與圓心的距離+圓的半徑，求得CE的最大值．【詳解】解：∵BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，∴BD＝2，∴．由題意可知，D在以B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵E為AD的中點(diǎn)，∴E在以BA中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，CE的最大值即C到BA中點(diǎn)的距離加上長(zhǎng)．∵，，BC＝2，∴C到BA中點(diǎn)的距離即，又∵，∴CE的最大值即．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了與圓相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，正確識(shí)別E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，，過(guò)點(diǎn)作的平行線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，直線交于點(diǎn)，則的最小值為．【答案】2【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC=120°，根據(jù)定弦定角，可得點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，,為定值，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段圓弧如圖，點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作∴中優(yōu)弧度數(shù)為=240°，則劣弧度數(shù)為120°∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，∵∠BCM=30°，BC=，∴MB=MC=8，∴連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。摺螦CB=60°，∠BCO=30°，∴∠ACM=90°，∴MA==，∴AE的最小值為=．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題．4．如圖，已知的半徑為2，弦，點(diǎn)為優(yōu)弧上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接OB，OA，過(guò)O作OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得AD=BD=AB=，根據(jù)余弦的定義、特殊角的三角函數(shù)值及圓周角定理可得∠P=∠AOB=60°，連接IA，IB，根據(jù)角平分線的定義得到∠IAB=∠PAB，∠IBA=∠PBA，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AIB=180°?(∠PAB+∠PBA)=120°，設(shè)A，B，I三點(diǎn)所在的圓的圓心為O'，連接，，得到=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，連接，可得，解直角三角形可求出的長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【詳解】連接，，過(guò)作，∴，∵，∴sin∠AOD=，∴，，，∴，連接，，∵點(diǎn)為的內(nèi)心，∴，，∴，∵點(diǎn)為優(yōu)弧上動(dòng)點(diǎn)，∴始終等于，∴點(diǎn)在以為弦，并且所對(duì)的圓周角為的一段劣弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，三點(diǎn)所在的圓的圓心為，連接，，則，∵，∴，連接，∵，∴，∴，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形及弧長(zhǎng)公式，垂直于弦點(diǎn)直徑平分弦，且平分這條弦所對(duì)點(diǎn)兩條??；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)點(diǎn)圓心角點(diǎn)一半；熟練掌握相關(guān)定理并熟記特殊角的三角函數(shù)值及弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．5．如圖，是的直徑，C為上一點(diǎn)，且，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，連接．若的半徑為2，則長(zhǎng)的最大值是．

【答案】【分析】連接，根據(jù)垂徑定理，得到，得到點(diǎn)M在以為直徑的,結(jié)合的半徑為2，的半徑為1，當(dāng)點(diǎn)C、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】連接，∵是的直徑，M為的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)M在以為直徑的,∵的半徑為2，∴的半徑為1，當(dāng)點(diǎn)C、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，故當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，最長(zhǎng)，∵，∴，

故．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖是半圓O的直徑，點(diǎn)D在半圓O上，，，C是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，在點(diǎn)C移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值是．

【答案】【分析】如圖，取的中點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，半徑為1畫(huà)圓，連接，由題意可知點(diǎn)H在以M為圓心，為直徑的上，則當(dāng)M、H、B三點(diǎn)共線時(shí)，的值最??；【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，半徑為1畫(huà)圓，連接，

點(diǎn)H在以M為圓心，為半徑的上，是直徑，在中，在中，當(dāng)M、H、B共線時(shí)，的值最小，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用輔助線圓解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．7．如圖，在中，，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑作圓，連接交圓于點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【分析】連接，取的中點(diǎn)，作直徑為的，連接，，首先利用勾股定理解得，再根據(jù)圓周角定理得出，進(jìn)而可得點(diǎn)在上；當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，據(jù)此即可獲得答案．【詳解】解：連接，取的中點(diǎn)，作直徑為的，連接，，如下圖，

∵，∴，即半徑為2，∵，，∴，∵是直徑，∴，∴點(diǎn)在上，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，且點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、勾股定理以及圓外一點(diǎn)與圓的最短距離問(wèn)題，，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A′B′D，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)A′落在線段BC上時(shí)，求A′B的長(zhǎng)；(2)連接A′A、A′B，當(dāng)∠BA′B'＝90°時(shí)，求tan∠A′AD；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝．【答案】(1)4；(2)tan∠A′AD＝3或；(3)【分析】（1）由四邊形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4得CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，當(dāng)A′落在線段BC上時(shí)，由旋轉(zhuǎn)得A′D＝AD＝4，則A′C，所以A′B＝4；（2）分兩種情況，一是點(diǎn)B′與點(diǎn)C在直線BD的同側(cè)，作A′E⊥AD于點(diǎn)E，則∠A′EA＝90°，先證明點(diǎn)B、A′、D在同一條直線上，求得BD5，由sin∠ADB，cos∠ADB，求出A′E的長(zhǎng)和ED的長(zhǎng)，再求出AE的長(zhǎng)，再由tan∠A′AD求出此時(shí)tan∠A′AD的值；二是點(diǎn)B′與點(diǎn)C在直線BD的異側(cè)，作A′E⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E＝90°，先求出A′E的長(zhǎng)和ED的長(zhǎng)，再求出AE的長(zhǎng)，再由tan∠A′AD求出此時(shí)tan∠A′AD的值；（3）在AD上截取DF，則，作DH⊥AA′于點(diǎn)H，在DH上截取DGDH，連接FG、CG，則，由A′D＝AD可知H為AA′的中點(diǎn)，DH為△DAA′的中線，點(diǎn)G為△DAA′的重心，再證明△DFG∽△DAH，則∠FGD＝∠AHD＝90°，取DF的中點(diǎn)O，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，連接OG，則OG＝OP＝ODDF，可知點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心、半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，可由CG+OG≥OC推導(dǎo)出CG≥CP，則當(dāng)CG＝CP時(shí)，CG的長(zhǎng)最小，求出CP的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4，∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，當(dāng)A′落在線段BC上時(shí)，由旋轉(zhuǎn)得A′D＝AD＝4，∴A′C，∴A′B＝BC﹣A′C＝4，∴A′B的長(zhǎng)為4．（2）（2）如圖2，點(diǎn)B′與點(diǎn)C在直線BD的同側(cè)，作A′E⊥AD于點(diǎn)E，則∠A′EA＝90°，由旋轉(zhuǎn)得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，∵∠BA′B'＝90°，∴∠B′A′D+∠BA′B'＝180°，∴點(diǎn)B、A′、D在同一條直線上，∵∠A′ED＝∠BAD＝90°，∴BD5，∴sin∠ADB，cos∠ADB，∴A′EA′D4，EDA′D4，∴AE＝AD﹣ED＝4，∴tan∠A′AD3；如圖3，點(diǎn)B′與點(diǎn)C在直線BD的異側(cè)，作A′E⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E＝90°，由旋轉(zhuǎn)得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4，∵∠BA′B'＝90°，∴∠B′A′D＝∠BA′B'，∴A′D與A′B重合，∴點(diǎn)B、A′、D在同一條直線上，∵∠EDA′＝∠ADB，∴sin∠EDA′＝sin∠ADB，cos∠EDA′＝cos∠ADB，∴A′EA′D，EDA′D，∴AE＝AD+ED＝4，

∴tan∠A′AD，綜上所述，tan∠A′AD＝3或．（3）（3）如圖4，在AD上截取DF，則，作DH⊥AA′于點(diǎn)H，在DH上截取DGDH，連接FG、CG，則，∵A′D＝AD，∴H為AA′的中點(diǎn)，∴DH為△DAA′的中線，∴點(diǎn)G為△DAA′的重心，∵，∠FDG＝∠ADH，∴△DFG∽△DAH，∴∠FGD＝∠AHD＝90°，取DF的中點(diǎn)O，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，連接OG，則OG＝OP＝ODDF，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心、半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，∵CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP，∴CGCP，∴CG≥CP，∴當(dāng)CG＝CP時(shí)，CG的長(zhǎng)最小，

∵OC，∴CP＝OC﹣OP，∴CG的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形、“兩點(diǎn)之間，線段最短”、數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題難度較大，屬于考試壓軸題．9．在菱形中，，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)在的中垂線上時(shí)，把射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交于，連接．如圖①，若，求的長(zhǎng)．（2）在（1）的條件下，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到如圖②，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，求的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）通過(guò)菱形性質(zhì)證明，在中，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)度，再中，可以得到，在等腰中，利用角度推導(dǎo)出，代入數(shù)值求解即可．（2）判斷出點(diǎn)Ｈ的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而知道點(diǎn)Ｎ的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到AN的最大值．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，如下圖：∵四邊形ABCD是菱形,且∴∵為菱形對(duì)角線∴,又∵在的中垂線上∴∴∴,在中，∴設(shè)：，則∵即：，解得：∴∵，∴∴，∴又∵∴，∴，∴，∴（2）連接AC