專題09 圓心角、圓周角壓軸題八種模型全攻略（原卷版）

專題09圓心角、圓周角壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】 1【考點(diǎn)二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】 3【考點(diǎn)三圓周角定理】 5【考點(diǎn)四同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等】 7【考點(diǎn)五半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角】 10【考點(diǎn)六90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑】 12【考點(diǎn)七已知圓內(nèi)接四邊形求角度】 15【考點(diǎn)八求四邊形外接圓的直徑】 17【過關(guān)檢測(cè)】 20【典型例題】【考點(diǎn)一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法：①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③過直線上兩點(diǎn)和直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)圓；④圓是軸對(duì)稱圖形，直徑是它的對(duì)稱軸．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】例題：（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知的半徑，，在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，求證：．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．2．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，C是弧AB中點(diǎn)．求證：∠A＝∠B．【考點(diǎn)三圓周角定理】例題：（2023·廣東梅州·?？家荒＃┤鐖D，是上的三個(gè)點(diǎn)，，則度數(shù)是．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，且，過點(diǎn)的弦與線段相交于點(diǎn)，滿足，連接，則．2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點(diǎn)D，連接，則的長度為．【考點(diǎn)四同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等】例題：（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，為⊙O的直徑，，則的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京東城·八年級(jí)景山學(xué)校?？计谀┤鐖D，為的外接圓的直徑，若，則

2．（2023春·江西上饒·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，且，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是．

【考點(diǎn)五半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角】例題：（2023·遼寧營口·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，連接，．若，則．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，是的弦，如果．

(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上的點(diǎn)，且，分別與，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)；(2)若，，求的直徑．【考點(diǎn)六90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑】例題：（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接、，若，則的最小值是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，D為線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段的最小值為．

2．（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在矩形中，，，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交射線于點(diǎn)E，連接，則的最小值是．【考點(diǎn)七已知圓內(nèi)接四邊形求角度】例題：（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，延長至點(diǎn)，已知，那么．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知四邊形內(nèi)接于，，則的度數(shù)是．

2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在直徑為的中，點(diǎn)，在圓上，，若，則的度數(shù)為．【考點(diǎn)八求四邊形外接圓的直徑】例題：（2023春·廣東河源·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，為正方形的外接圓，若，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，延長AB、DC交于點(diǎn)E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（21·22上·肇慶·期末）如圖，點(diǎn)，，在上，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．2．（17·18上·南通·期中）如圖，四邊形內(nèi)接，平分，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3．（23·24上·廣州·期中）如圖，是的直徑，是的弦，，則等于（

）

A． B． C． D．4．（23·24上·大同·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，若，于點(diǎn)．則長為（）

A．1 B．2 C．3 D．45．（23·24上·武漢·期中）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，則下列說法不正確的是（

）

A．平分B．點(diǎn)A，，在同一條直線上C．若，則D．若，則二、填空題6．（23·24上·濱海新·期中）如圖，是的直徑，，，則．

7．（23·24上·西城·期中）如圖，四邊形內(nèi)接于為直徑，，若，則．8．（23·24上·鹽城·階段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，交的延長線于點(diǎn)，若平分，若，，則．9．（22·23下·襄陽·模擬預(yù)測(cè)）半徑長為的中，有一條弦的長為，則弦所對(duì)的圓周角度數(shù)等于．10．（23·24上·福州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到AP，連接，．當(dāng)為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為．

三、解答題11．（23·24上·南京·階段練習(xí)）如圖，在中，弦，相交于點(diǎn)E，．(1)求證；(2)連接，若，則的度數(shù)為________°．12．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）如圖，在中，，D為中點(diǎn)，以為直徑作，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：；(2)若，，求的長．13．（23·24上·南京·階段練習(xí)）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個(gè)外角．

(1)若，則______；(2)過點(diǎn)作于，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明．14．（23·24上·揚(yáng)州·階段練習(xí)）“求知”學(xué)習(xí)小組在學(xué)完“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”這個(gè)結(jié)論后進(jìn)行了如下的探究活動(dòng)：

(1)如圖1，點(diǎn)、、在上，點(diǎn)在外，線段、與交于點(diǎn)、，試猜想______（請(qǐng)?zhí)睢啊薄ⅰ啊被颉啊保?2)如圖2，點(diǎn)、、在上，點(diǎn)在內(nèi)，此時(shí)（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明；(3)如圖3，凸四邊形中，對(duì)角線長為8，，，則四邊形面積的最大值是______.15．（21·22上·渭南·階段練習(xí)）定義：有一個(gè)角是其對(duì)角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個(gè)角叫做美角．

(1)如圖1，若四邊形是圓美四邊形．求美角的度數(shù)；(2)在