專題14 模型構(gòu)建專題：解直角三角形應用中的基本模型壓軸題六種模型全攻略（解析版）

專題14模型構(gòu)建專題：解直角三角形應用中的基本模型壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【類型二不含特殊角的非直角三角形】 6【類型三“獨立”型】 11【類型四“背靠背”型】 14【類型五“疊合”型】 20【類型六“斜截”型】 24【典型例題】【類型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例題：（2023春·江西九江·八年級?？计谥校┤鐖D，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地時需經(jīng)過C地沿折線行駛，開通隧道后，汽車直接沿直線行駛．已知，，，隧道開通后，汽車從A地到B地行駛的直線距離為多少千米?

【答案】汽車從A地到B地比原來少走千米【分析】過C作于D，在中，根據(jù)，，解直角三角形求出、的長度，然后在中，求出、的長度，用即可求解．【詳解】解：過C作于D，如圖所示：

在中，∵，，∴，，在中，∵，∴為等腰直角三角形，∴，，則．答：汽車從A地到B地比原來少走．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形．【變式訓練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，，，，，，則的長為．

【答案】【分析】過點作，交于點，過點作，交于點，可證得四邊形為矩形，根據(jù)在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，結(jié)合勾股定理，可求得，的長度．【詳解】如圖所示，過點作，交于點，過點作，交于點，則．∵，∴．∴．∴四邊形為矩形．∴，．∵∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．故答案為：10【點睛】本題主要考查矩形的判定及性質(zhì)、勾股定理，牢記矩形的判定方法和性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，一條船上午8時從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北方向航行，上午10時到達海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得．(1)求海島B到燈塔C的距離；(2)若這條船到達海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經(jīng)過多長時間，小船與燈塔C的距離最短？【答案】(1)30海里(2)1小時【分析】（1）根據(jù)，可得等腰，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答；（2）點作于點，的長度即為小船與燈塔的最短距離；然后求出的長度,最后求出時間即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：（海里）．∵，∴．∴．∴（海里）．∴從海島B到燈塔C的距離為30海里．（2）解：如圖，過點C作于點P．∴根據(jù)垂線段最短，線段的長為小船與燈塔C的最短距離，．又∵，∴．在中，，∴（海里）．∴航行的時間為（時）．∴這條船到達海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，要經(jīng)過1小時，小船與燈塔C的距離最短．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握在直角三角形中所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關鍵．3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，小明在游玩時想利用手中的無人機測量一山崖（垂直于地面）的高度，小明從點看向無人機的仰角為．從無人機處測得看山崖頂端的仰角為，測得看山崖底部處的俯角為，無人機與山崖的水平距離為50米．（圖中各點均在同一平面內(nèi)）．

(1)求山崖的高度（結(jié)果保留根號）；(2)若點距離地面2米，求小明到山崖的水平距離（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)米(2)135米【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)求得和，根據(jù)，即可得到答案；（2）過點作于點，過點作于點，得矩形，進而求得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知：，，，在中，，，在中，，，米答：山崖的高度約為米；（2）解：如圖，過點作于點，過點作于點，得矩形，

則，，，在中，，，，米，答：小明到山崖的距離約為135米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當輔助線是解題的關鍵．【類型二不含特殊角的非直角三角形】例題：（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在每個邊長均為1的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C均在網(wǎng)格的交點上，則．【答案】1【分析】取格點D，連接，根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根據(jù)，得到．【詳解】解：如圖所示，取格點D，連接，∵，，，，∴是直角三角形，，∵，∴．故答案：1．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)等，添加輔助線，熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定義，是解決問題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·廣東汕頭·?？既＃┯蛇呴L為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，的頂點A、B、C都在格點上，則．

【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出，，，可知，再過點B作，然后根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】根據(jù)勾股定理，得，，，∴．過點B作，交于點D，∴．在中，，∴．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵．2．（2023·北京·校聯(lián)考一模）如圖，的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為．【答案】【分析】取格點D，連接，根據(jù)勾股定理分別求出，，，即得出，說明為直角三角形，最后根據(jù)余弦的定義求解即可．【詳解】解：如圖，取格點D，連接．∴，，，∴，∴為直角三角形，∴．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理，余弦的定義．正確的連接輔助線是解題關鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知在中，，，．(1)求；(2)求．【答案】(1)1(2)【分析】（1）過點作于點，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，進而求出；（2）利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：過點作于點，則，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，在中，．【點睛】本題考查解直角三角形．通過作高，構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵．4．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖2，過點作于點，在中，，在中，，，；（2）解：如圖3，過點作于點，，，，在中，又，即，，．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．【類型三“獨立”型】例題：（2023春·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖，某校無人機興趣小組借助無人機測量教學樓的高度，無人機在離教學樓底部處米的處垂直上升米至處，測得教學樓頂處的俯角為，則教學樓的高度約為米．（結(jié)果精確到米）【參考數(shù)據(jù)：，，】

【答案】【分析】過作于點，可得，根據(jù)題意可知米，米，由作圖知，米，在中利用三角函數(shù)可求出的長，即可求得的長【詳解】過作于點，

，米，米，，米，在中，，，米，米，答：教學樓的高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，借助仰角構(gòu)造出直角三角形，然后利用三角函數(shù)進行求解是關鍵．【變式訓練】1．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為米；

【答案】【分析】在中，由可求，再由，即可求解．【詳解】解：如圖，

由題意得：米，米，，在中，，，，甲樓的高為（）米；故答案：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握解法是解題的關鍵．2．（2019秋·廣東佛山·九年級佛山市禪城區(qū)瀾石中學校考期中）如圖，小明在公園放風箏，拿風箏線的手離地面高度為，風箏飛到處時的線長為，這時測得，求此時風箏離地面的高度．（精確到，）

【答案】此時風箏離地面的高度為【分析】根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，，，

由圖可知，人垂直于地面，即垂直于地面，點到地面的高度為，即垂直于地面，且，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴此時風箏離地面的高度為．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計算方法，掌握以上知識的運用是解題的關鍵．【類型四“背靠背”型】例題：（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考開學考試）科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西67°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東23°方向行駛一段距離到達古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）．

【答案】B，C兩地的距離約是10千米．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，推出，再根據(jù)正切的定義求出的長．【詳解】解：如圖：

∵，∴，∴，∴（千米）．答：B，C兩地的距離約是10千米．【點睛】此題考查了方向角問題．此題難度適中，解此題的關鍵是將方向角問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識，利用三角函數(shù)的知識求解．【變式訓練】1．（2023春·江蘇南通·九年級?？茧A段練習）如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏東方向，則A，C兩港之間的距離為．

【答案】【分析】根據(jù)題意得，，，，過B作于E，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，過B作于E，

∴，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴A，C兩港之間的距離為，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關鍵．2．（2023春·海南省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期中）某校舉辦以“測量”為主題的數(shù)學實踐活動，該校數(shù)學興趣小組準備借助無人機來測量小區(qū)內(nèi)的一座大樓高度．如圖所示，無人機從地面點A處沿著與地面垂直的方向上升，至點B處時，測得大樓底部C的俯角為30°，E測得大樓頂部D的仰角為45°．無人機保持航向不變繼續(xù)上升50米到達點E處，此時測得大樓頂部D的俯角為60°．已知A、C兩點在同一水平線上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C兩點間的距離：（結(jié)果保留根號）(3)求這座大樓的高度．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)；(2)米(3)米【分析】（1）根據(jù)俯角和仰角的定義求解即可；（2）設，在中可得，在中可得，在中可得，最后由列方程求解即可；（3）由求解即可．【詳解】（1）如圖，

由題意可得，，，，，，，∴,，故答案為：；；（2）設，則，在中可得，在中可得，在中可得，∴解得：，∴；（3）由（2）可得，，∴【點睛】本題考查解直角三角形-仰角俯角問題，解題的關鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．3．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，某無人機興趣小組在操場上展開活動，此時無人機在離地面30米的D處，無人機測得操控者A的俯角為，測得教學樓頂端點C處的俯角為，又經(jīng)過人工測量測得操控者A和教學樓之間的距離為57米．（點A，B，C，D都在同一平面上，結(jié)果保留根號）

(1)填空：______度，______度；(2)求此時無人機與教學樓之間的水平距離的距離；(3)求教學樓的高度．【答案】(1)105，135(2)無人機與教學樓BC之間的水平距離BE的距離為米(3)教學樓BC的高度為米【分析】（1）延長交于點，根據(jù)題意可得，，，則，再根據(jù)三角形的外角定理求出即可；（2）過點A作，垂足為F．根據(jù)題意可得，米，米，則，再根據(jù)即可求解；（3）在中，，則，即可求解．【詳解】（1）解：如圖：延長交于點，

由題意得：，，，∴，∵是的一個外角，∴，故答案為：105，135；（2）解：過點A作，垂足為F．

由題意得：，米，米，在中，，（米），∴米，∴米，∴此時無人機與教學樓之間的水平距離BE的距離為米；（3）解：在中，，米，∴米，∴米，∴教學樓的高度為米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．【類型五“疊合”型】例題：（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考階段練習）文峰塔位于河南省安陽市古城內(nèi)西北隅，因塔建于天寧寺內(nèi)，又名天寧寺塔；文峰塔建于五代后周廣順二年，已有一千余年歷史，風格獨特，具有上大下小的特點．由下往上一層大于一層，逐漸寬敞，是傘狀形式，這種平臺、蓮座、遼式塔身、藏式塔剎的形制世所罕見．活動課上，數(shù)學社團的學生計劃測量文峰塔的高度．如圖所示，先在點C處用高1.6m的測角儀測得塔尖A的仰角為37°，向塔的方向前進12m到達F處，在F處測得塔尖A的仰角為45°，請你相關數(shù)據(jù)求出文峰塔的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，，．）

【答案】文峰塔的高度約為38米【分析】延長交于點G，設米，在中，求出的長，進而得出的長，中，利用，進行求解即可．【詳解】解：延長交于點G．

由題意得：米，米，．設米．在中，，∴（米）．∴米．在中，，∴，解得．經(jīng)檢驗：是原方程的根．∴（米）．答：文峰塔的高度約為38米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是構(gòu)造直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義．【變式訓練】1．（2023春·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期中）小軍和小明在同一個班，他們都是數(shù)學愛好者，并且住在同一個小區(qū)的A棟樓，學完解直角三角形后，他們決定用所學知識來求距離，如圖：A、B兩棟樓，他們站在自家陽臺上測得對面B棟樓的樓頂P點的仰角分別為．已知小軍家與小明家陽臺垂直距離為30米．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求A、B兩棟樓的樓間距為多少米？（結(jié)果精確到米）(2)已知小明家陽臺與地面的垂直距離為6米，求對面B棟樓的高度．（結(jié)果精確到米）【答案】(1)A、B兩棟樓的樓間距約為米；(2)對面B棟樓的高度約為米．【分析】（1）過點P作，交的延長線于點E，根據(jù)題意得，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答；（2）根據(jù)題意可得：米，米，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關系，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：過點P作，交的延長線于點E，

由題意得：，，∵是的一個外角，∴，∴，∴米，在中，（米），∴米，∴A、B兩棟樓的樓間距約為米；（2）解：如圖：

由題意得：米，米，，在中，，∴（米），∴（米），∴對面B棟樓的高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．2．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，某中學數(shù)學課題學習小組在“測量物體高度”的活動中，欲測量一棵古樹的高度，他們在這棵古樹的正前方一平房頂點處測得古樹頂端的仰角為，在這棵古樹的正前方處，測得古樹頂端的仰角為，在點處測得點的俯角為，已知為米，且、、三點在同一條直線上．

(1)求平房的高度；(2)請求出古樹的高度．（根據(jù)以上條件求解時測角器的高度忽略不計）【答案】(1)(2)【分析】（）在中，已知，，利用角的正切可得出結(jié)果（）在中，由正切函數(shù)的定義求出的長，最后解，即可求出的長，即古樹的高度．【詳解】（1）由題意知，，，（2），，∴，，，，，，，在中，．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用仰角、俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵．【類型六“斜截”型】例題：（2023春·遼寧阜新·九年級?？茧A段練習）如圖，在南北方向的海岸線上，有A，B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號，已知A，B兩船相距海里，船C在船A的北偏東方向上，船C在船B的東南方向上，上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東方向上．

(1)求出A與C之間的距離．(2)已知距觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)200海里(2)無觸暗礁危險【分析】（1）作于點E，設海里，則海里，根據(jù)可列出方程求得的值后即可求得的長；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論得出的長，再與100比較即可得到答案．【詳解】（1）解：作于點E，

由題意得：，，設海里，在中，，在中，，，解得：，，與C之間的距離等于（海里）；（2）解：由（1）知，（海里），，所以巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中無觸暗礁危險．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—方向角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在處測得河流左岸處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機距地面的鉛直高度，點，，在同一條直線上，其中．求河流的