初中數(shù)學(xué)++余角和補(bǔ)角（同步課件）+七年級數(shù)學(xué)上冊同步備課系列（人教版）

數(shù)學(xué)

人教版

七年級上冊

幾何圖形初步第六章6.3.3余角和補(bǔ)角第6章

幾何圖形初步情境引入臺球比賽中，一次被擊打母球的線路如圖．若角∠α為30°，則入射角、反射角、∠β分別為多少度（入射角與反射角相等）？α（）β新知探究觀察，∠1+∠2與

直角∠AOB

相等嗎？你是怎樣判斷的？12AOB觀察，∠α+∠β與

∠AOB

相等嗎？你是怎樣判斷的？

αβ新知探究在一副三角尺中，每塊都有一個角是90o，而其他兩個角的和是多少呢？12如圖：∠1與∠2互為余角，也可以說∠1是∠2的余角，

或者∠2是∠1的余角.余角是成對出現(xiàn)的，所以不能說某個角是余角.一般地，如下圖，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角(簡稱為兩個角互余)，即其中一個角是另一個角的余角.新知探究類似地，如下圖，如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角(簡稱為兩個角互補(bǔ))，即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角.補(bǔ)角是成對出現(xiàn)的，所以不能說某個角是補(bǔ)角.如圖：∠3與∠4互為補(bǔ)角，也可以說∠3是∠4的補(bǔ)角，

或者∠4是∠3的補(bǔ)角.43新知探究概念定義數(shù)量關(guān)系共同點(diǎn)互為余角（互余）互為補(bǔ)交（互補(bǔ)）如果兩個銳角的和是一個直角，我們就說這兩個角互為余角，也可以說其中一個角是另一個角的余角.如果兩個角的和是一個平角，我們就說這兩個角互為補(bǔ)角，也可以說其中一個角是另一個角的補(bǔ)角.①互余、互補(bǔ)是兩個角的關(guān)系；②互余、互補(bǔ)只跟角的大小有關(guān)，與位置無關(guān).新知探究3、

1與2互補(bǔ)，除用符號語言表示為

1＋2＝180°外，還可以用其它形式等式表示為什么？思考：1、定義中的“互為”一詞如何理解？2、互補(bǔ)、互余的兩角是否一定有公共頂點(diǎn)或公共邊？如果

1與2互余，那么

1的余角是2，2的余角是

1．互補(bǔ)或互余的兩角不一定有公共頂點(diǎn)或公共邊．

1＝180°－2，或

2＝180°－

1．新知探究思考：圖中給出的各角中，哪些互為余角？哪些互為補(bǔ)角？12°30°60°78°102°120°150°168°⑧①②③④⑤⑥⑦解：互余的角有：①與④，②與③互補(bǔ)的角有：①與⑧，②與⑦，③與⑥，④與⑤.典例精析例1如圖，已知∠1=46°，∠2=134°，∠3=44°．圖中有沒在互余或互補(bǔ)的角？若有，請把它們寫出來，并說明理由．解：∠1與∠3互余，∵∠1+∠3=90°，∴∠1與∠3互余．∠1與∠2互補(bǔ)，∵∠1+∠2=180°，∴∠1與∠2互補(bǔ)．典例精析例2一個角的補(bǔ)角是它的3倍,這個角是多少度?解:設(shè)這個角為x°,則這個角的補(bǔ)角是(180-x)°.由題意得180-x=3x,解得:x=45,則這個角的度數(shù)為45°.方程思想典例精析例3如圖，∠AOB=160°，∠AOD與∠DOC互余，∠BOD=90°，

求∠COD的度數(shù)．解：因?yàn)椤螦OB=160°，∠BOD=90°，所以∠AOD=70°.因?yàn)椤螦OD與∠DOC互余，所以∠AOD＋∠DOC=90°.所以∠COD=90°-∠AOD=90°-70°=20°.典例精析例4如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=Rt∠，OD是∠AOC內(nèi)的一條射線．OE是

BOC內(nèi)的一條射線．回答下列問題：（1）圖中

DOC的余角有______________．（2）圖中

AOD的余角有______________．（3）

通過上述兩小題你能得到什么結(jié)論？

AOD與

COE

DOC與

BOE

同角(等角)的余角相等∵

AOD+

COD=90°，

COE+

COD=90°，∴

AOD=

COE．（4）

AOD和

COE的補(bǔ)角分別是_______________．（5）通過此題，你又能得到什么結(jié)論？

BOD與

BOD同角（等角）的補(bǔ)角相等新知探究思考：∠1與∠2，∠3都互為補(bǔ)角，∠2與∠3的大小有什么關(guān)系？12同角(等角)的余角相等.3∠2=180°-∠1∠3=180°-∠1=結(jié)論：同角(等角)的補(bǔ)角相等.類似地，可以得到：學(xué)習(xí)筆記新知探究同角(等角)的余角相等.同角(等角)的補(bǔ)角相等.幾何語言：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°∴∠2=∠3幾何語言：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°∴∠2=∠3新知探究（1）若∠1與∠2互余，∠2與∠3互余，

則______＝______，根據(jù)是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

（2）若∠3與∠4互補(bǔ)，∠6與∠5互補(bǔ)，且∠3＝∠6，

則______＝______，根據(jù)是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.∠1∠3同角的余角相等等角的補(bǔ)角相等∠4∠5思考：新知探究∠α∠α

的余角∠α

的補(bǔ)角5°31°45°78°62°27′x°(0＜x＜90)27°33′117°33′85°175°59°149°45°135°102°12°(90－x)°(180－x)°觀察可得結(jié)論：銳角的補(bǔ)角比它的余角大_____.90°填表：典例精析例5如圖，O

在直線

AB

上，OD

平分∠AOC，∠DOE

=

90°.（1）∠AOD

的余角是_______________，

∠COD

的余角是_______________；（2）OE

是∠BOC

的平分線嗎？請說明理由．∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

∠COE、∠BOE解：OE

平分∠BOC，理由如下：因?yàn)椤螪OE

=

90°，所以∠AOD

+∠BOE

=

90°.所以∠COD

+∠DOE

=

90°.所以∠AOD

+∠BOE

=∠COD

+∠DOE.因?yàn)?/p>

OD

平分∠AOC，所以∠AOD

=∠COD.所以∠COE

=∠BOE，所以

OE

平分∠BOC.新知探究思考：什么是方位角？怎樣表示方位角？

在航海、探險(xiǎn)、飛行等領(lǐng)域，為了表示某一地區(qū)的地理位置，常用方位角這一概念．具體做法：先在某地確定一點(diǎn)把它固定，然后以這點(diǎn)為基點(diǎn)，確定出東南西北四個方向，最后再根據(jù)要求畫出所要的方位角．例如：以平面內(nèi)O點(diǎn)為基點(diǎn)，畫出北偏東60°角和南偏西25°角．學(xué)習(xí)筆記新知探究東西北南O正東：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：東北方向：東南方向：射線OAABCD45°EGFH45°45°45°射線OB射線OC射線OD射線OE射線OF射線OH射線OG新知探究45°

思考：如圖，說出下列方向：(1)射線OA表示的方向?yàn)?/p>

；(2)射線OB表示的方向?yàn)?/p>

___

_；(3)射線OC表示的方向?yàn)?/p>

；(4)射線OD表示的方向?yàn)?/p>

.北東西南CABD北偏東40°北偏西63°南偏西45°

(西南)南偏東18°40°63°72°O18°新知探究海上緝私艇發(fā)現(xiàn)離它500海里處停著一艘可疑船只，你能確定緝私艇的航線，并畫出示意圖嗎？可疑船緝私艇BA67°北偏東67°北東南西典例精析例6解：如圖所示，OB表示南偏東25°，OC表示北偏西60°.CB60°30°北西南東OA如圖，OA是表示北偏東30°方向的一條射線，仿照這條射線畫出表示下列方向的射線：（1）南偏東25°；（2）北偏西60°.25°典例精析例7甲、乙兩船同時從小島A出發(fā)，甲的速度為30海里/時，向北偏東20°方向航行，乙沿南偏東70°的方向以40海里/時的速度航行，半小時后甲、乙分別到達(dá)B，C兩處．(1)以1cm表示10海里，在圖中畫出B，C的位置；(2)求∠BAC的度數(shù)；(3)量出B，C的圖上距離，并換算出實(shí)際距離．解：(1)如圖，(2)∠BAC＝180°-20°-70°=90°.

(3)用刻度尺量出B，C的圖上距離約為

2.5cm，所以實(shí)際距離約為25海里．余角和補(bǔ)角概念如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角(簡稱為兩個角互余).性質(zhì)同角或等角的余角相等同角或等角的補(bǔ)角相等方位角定義：書寫：通常要先寫北或南，再寫偏東或偏西隨堂演練1．已知∠A＝65°，則∠A的補(bǔ)角等于(

)A．125°B．105°C．115°D．95°2．已知α＝36°42′，則α的余角為(

)A．57°18′B．52°18′C．53°18′D．36°43′CC隨堂演練3．對于互補(bǔ)的下列說法中：①∠A＋∠B＋∠C＝90°，則∠A，∠B，∠C互補(bǔ)；②若∠1是∠2的補(bǔ)角，則∠2是∠1的補(bǔ)角；③同一個銳角的補(bǔ)角一定比它的余角大90°；④互補(bǔ)的兩個角中，一定是一個鈍角與一個銳角．其中正確的有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個B隨堂演練4.如圖，下列說法正確的個數(shù)有()①射線OA表示北偏東30°；

②射線OB表示北偏西30°；

③射線OD表示南偏西45°，也叫西南方向；

④射線OC表示正南方向．

A.1個B.2個C.3個D.4個D隨堂演練5.圖中給出的各角，哪些互為余角？15o24o66o75o46.2o43.8o隨堂演練6.圖中給出的各角，哪些互為補(bǔ)角？10o30o60o80o100o120o150o170o隨堂演練7.已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，

求∠B的度數(shù).解：