2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第8章立體幾何第4講直線(xiàn)平面平行的判定及性質(zhì)學(xué)案含解析北師大版

PAGE2-第4講直線(xiàn)、平面平行的判定及性質(zhì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)整合1．直線(xiàn)與平面平行(1)判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行?a∥α(2)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行?a∥b2．平面與平面平行(1)判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條eq\x(\s\up1(07))相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行?面面平行”)?α∥β(2)性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面eq\x(\s\up1(13))相交，那么它們的eq\x(\s\up1(14))交線(xiàn)平行?a∥b

1．垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.3．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.4．兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面．5．夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線(xiàn)段長(zhǎng)度相等．6．經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．7．兩條直線(xiàn)被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．8．假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行．1．已知直線(xiàn)l和平面α，若l∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于l的直線(xiàn)()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．只有一條，且在平面α內(nèi)C．有多數(shù)條，肯定在平面α內(nèi)D．有多數(shù)條，不肯定在平面α內(nèi)答案B解析過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作該直線(xiàn)的平行線(xiàn)有且只有一條，因?yàn)辄c(diǎn)P在平面α內(nèi)，所以這條直線(xiàn)也應(yīng)當(dāng)在平面α內(nèi)．2．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有多數(shù)條直線(xiàn)與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與β平行C．α，β平行于同一條直線(xiàn)D．α，β垂直于同一平面答案B解析若α∥β，則α內(nèi)有多數(shù)條直線(xiàn)與β平行，反之不成立；若α，β平行于同一條直線(xiàn)，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要條件．依據(jù)平面與平面平行的判定定理知，若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行，反之也成立．因此B中的條件是α∥β的充要條件．故選B.3．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線(xiàn)AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項(xiàng)，作如圖①所示的協(xié)助線(xiàn)，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線(xiàn)AB與平面MNQ相交．B項(xiàng)，作如圖②所示的協(xié)助線(xiàn)，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖③所示的協(xié)助線(xiàn)，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖④所示的協(xié)助線(xiàn)，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.4．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出下列五個(gè)結(jié)論：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析因?yàn)榫匦蜛BCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．在△PBD中，因?yàn)镸為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PBD的中位線(xiàn)，OM∥PD，所以PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因?yàn)镸∈PB，所以O(shè)M與平面PBA，平面PBC相交．5．如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.答案eq\f(5,2)解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA·CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).6．已知下列命題：①若直線(xiàn)與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)在平面內(nèi)；②若直線(xiàn)l上有多數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；③若直線(xiàn)l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的隨意直線(xiàn)都是異面直線(xiàn)；④假如兩條異面直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線(xiàn)肯定與該平面相交；⑤若直線(xiàn)l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線(xiàn)平行或異面；⑥若平面α∥平面β，直線(xiàn)a?α，直線(xiàn)b?β，則a∥b.上述命題正確的是________．答案①⑤解析①若直線(xiàn)與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，由公理1可得直線(xiàn)在平面內(nèi)，故①正確；②若直線(xiàn)l上有多數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α或l與α相交，故②錯(cuò)誤；③若直線(xiàn)l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的隨意直線(xiàn)可能是異面直線(xiàn)或相交直線(xiàn)，故③錯(cuò)誤；④假如兩條異面直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線(xiàn)可能與該平面平行或相交或在平面內(nèi)，故④錯(cuò)誤；⑤若直線(xiàn)l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，即平行或異面，故⑤正確；⑥若平面α∥平面β，直線(xiàn)a?α，直線(xiàn)b?β，則a∥b或a，b異面，故⑥錯(cuò)誤．核心考向突破考向一有關(guān)平行關(guān)系的推斷例1(1)(2024·福建廈門(mén)其次次質(zhì)量檢查)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，則下列命題正確的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP答案C解析取B1C1的中點(diǎn)為Q，連接MQ，NQ，由三角形中位線(xiàn)定理，得MQ∥B1D1，∴MQ∥平面BB1D1D，由四邊形BB1QN為平行四邊形，得NQ∥BB1，∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D，又MN?平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D(2)(2024·廣東揭陽(yáng)期末)已知兩條不同的直線(xiàn)a，b，兩個(gè)不同的平面α，β，有如下命題：①若a∥α，b?α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若α∥β，a?α，則a∥β；④若α∥β，a?α，b?β，則a∥b.以上命題正確的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0答案C解析若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯(cuò)誤；若a∥α，b∥α，則a與b平行、相交或異面，故②錯(cuò)誤；若α∥β，a?α，則a與β沒(méi)有公共點(diǎn)，即a∥β，故③正確；若α∥β，a?α，b?β，則a與b無(wú)公共點(diǎn)，得a，b平行或異面，故④錯(cuò)誤．∴正確的個(gè)數(shù)為1.故選C.解決有關(guān)線(xiàn)面平行、面面平行的基本問(wèn)題的留意點(diǎn)(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線(xiàn)面平行的判定定理中，條件“線(xiàn)在面外”易忽視．(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出推斷．(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．[即時(shí)訓(xùn)練]1.(2024·安徽江南十校綜合素養(yǎng)檢測(cè))如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1A．直線(xiàn)BQ∥平面EFGB．直線(xiàn)A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案B解析過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(其中H，I分別為AA1，BC的中點(diǎn))．∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故選B.2．(2024·湖南聯(lián)考)已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n答案D解析A中，兩直線(xiàn)可能平行、相交或異面；B中，兩平面可能平行或相交；C中，兩平面可能平行或相交；D中，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知結(jié)論正確，故選D.精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向二直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì)角度1用線(xiàn)線(xiàn)平行證明線(xiàn)面平行例2(1)(2024·豫東名校聯(lián)考)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E為線(xiàn)段AD上的隨意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG∥平面AA1B1B.證明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因?yàn)锽B1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D所以CC1∥平面BB1D.又因?yàn)镃C1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.而B(niǎo)B1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.(2)(2024·山東日照模擬)如圖，在三棱臺(tái)DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．求證：BD∥平面FGH.證明證法一：連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺(tái)DEF－ABC中，由AB＝2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則M為CD的中點(diǎn)，又因?yàn)镠為BC的中點(diǎn)，所以HM∥BD.因?yàn)镠M?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.證法二：在三棱臺(tái)DEF－ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點(diǎn)，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四邊形HBEF為平行四邊形，BE∥HF.在△ABC中，因?yàn)镚為AC的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，所以GH∥AB.又因?yàn)镚H∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因?yàn)锽D?平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))用線(xiàn)面平行證明線(xiàn)線(xiàn)平行例3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，∴PA∥GH.1．推斷或證明線(xiàn)面平行的常用方法(1)利用線(xiàn)面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．(2)利用線(xiàn)面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．2．證明線(xiàn)線(xiàn)平行的3種方法(1)利用平行公理(a∥b，b∥c?a∥c)．(2)利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理(a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b)．[即時(shí)訓(xùn)練]3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F(xiàn)是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)．(1)求證：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF.證明(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PB.因?yàn)镺E?平面PAB，PB?平面PAB，所以O(shè)E∥平面PAB.(2)過(guò)E作EG∥FD交AP于點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)O.因?yàn)镋G∥FD，EG?平面BDF，F(xiàn)D?平面BDF.所以EG∥平面BDF.因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，EG∥FD，所以G為PF的中點(diǎn)，因?yàn)锳F＝1，PA＝3，所以F為AG的中點(diǎn)，又因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CG.因?yàn)镃G?平面BDF，OF?平面BDF，所以CG∥平面BDF.因?yàn)镋G∩CG＝G，EG?平面CGE，CG?平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又因?yàn)镃E?平面CGE，所以CE∥平面BDF.考向三面面平行的判定與性質(zhì)例4如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)因?yàn)镚H是△A1B1C1的中位線(xiàn)，所以GH∥B1C又因?yàn)锽1C1∥BC所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G與EB所以四邊形A1EBG是平行四邊形．所以A1E∥GB.因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.所以A1E∥平面BCHG.因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．(3)利用垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行．(4)假如兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線(xiàn)線(xiàn)平行”“線(xiàn)面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．[即時(shí)訓(xùn)練]4.如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設(shè)M，N分別為PD，AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P－ABM的體積．解(1)證明：∵M(jìn)，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥PA，又MN?平面PAB