2025屆廣東省廣州市南沙區(qū)第一中學高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

2025屆廣東省廣州市南沙區(qū)第一中學高三二診模擬考試數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．2．已知向量，則（）A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()3．博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P24．已知各項都為正的等差數(shù)列中，，若，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．5．已知集合，則的值域為（）A． B． C． D．6．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）．A． B． C． D．8．已知集合，定義集合，則等于（）A． B．C． D．9．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．10．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．11．生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（）A． B． C． D．12．若兩個非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的最小值為2，則_________．14．的展開式中，常數(shù)項為______；系數(shù)最大的項是______.15．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實數(shù)a的值為_______．16．設函數(shù)，若在上的最大值為，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（，），且對任意，都有.（Ⅰ）用含的表達式表示；（Ⅱ）若存在兩個極值點，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點的個數(shù)，并說明理由.18．（12分）年，山東省高考將全面實行“選”的模式（即：語文、數(shù)學、外語為必考科目，剩下的物理、化學、歷史、地理、生物、政治六科任選三科進行考試）.為了了解學生對物理學科的喜好程度，某高中從高一年級學生中隨機抽取人做調(diào)查.統(tǒng)計顯示，男生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人；女生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人.（1）據(jù)此資料判斷是否有的把握認為“喜歡物理與性別有關”；（2）為了了解學生對選科的認識，年級決定召開學生座談會.現(xiàn)從名男同學和名女同學（其中男女喜歡物理）中，選取名男同學和名女同學參加座談會，記參加座談會的人中喜歡物理的人數(shù)為，求的分布列及期望.，其中.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，且數(shù)列前項和為，求的取值范圍．20．（12分）在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.（1）求圓的極坐標方程；（2）若直線：（為參數(shù)）被圓截得的弦長為，求直線的傾斜角.21．（12分）已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標方程；（2）若曲線與直線交于兩點，求的值.22．（10分）已知函數(shù)（1）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點坐標，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．2、D【解析】

由題意利用兩個向量坐標形式的運算法則，兩個向量平行、垂直的性質(zhì)，得出結論.【詳解】∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐標對應不成比例，故、不平行，故排除A；顯然，?3+2≠0，故、不垂直，故排除B；∴（﹣2，﹣1），顯然，和的坐標對應不成比例，故和不平行，故排除C；∴?（）＝﹣2+2＝0，故⊥（），故D正確，故選：D.【點睛】本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎題.3、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.4、A【解析】試題分析：設公差為或（舍），故選A.考點：等差數(shù)列及其性質(zhì).5、A【解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題6、D【解析】

由已知可得，結合向量數(shù)量積的運算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題.7、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為．考點：二項式系數(shù)，二項式系數(shù)和．8、C【解析】

根據(jù)定義，求出，即可求出結論.【詳解】因為集合，所以，則，所以.故選:C.【點睛】本題考查集合的新定義運算，理解新定義是解題的關鍵，屬于基礎題.9、A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域為，恒成立，排除，，當時，，當，，排除，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關鍵，屬于基礎題．10、D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.11、C【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有種，進而得到結果.【詳解】當“數(shù)”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有當“數(shù)”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，故滿足條件的事件的概率為：故答案為：C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．12、A【解析】

設平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得的值，即為所求.【詳解】設平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先利用絕對值的意義去掉絕對值符號，之后再結合后邊的函數(shù)解析式，對照函數(shù)值等于2的時候?qū)淖宰兞康闹担瑥亩玫椒侄魏瘮?shù)的分界點，從而得到相應的等量關系式，求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知，可以發(fā)現(xiàn)當或時是分界點，結合函數(shù)的解析式，可以判斷0不可能，所以只能是是分界點，故，解得，故答案是.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、【解析】

求出二項展開式的通項，令指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入可得出展開式中的常數(shù)項；求出項的系數(shù)，利用作商法可求出系數(shù)最大的項.【詳解】的展開式的通項為，令，得，所以，展開式中的常數(shù)項為；令，令，即，解得，，，因此，展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為：；.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解，同時也考查了系數(shù)最大項的求解，涉及展開式通項的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、2【解析】

利用AB中有且只有一個元素，可得，可求實數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素，所以，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，集合交集的運算本質(zhì)是存同去異，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).16、【解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，由在上，可得在上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為，即可求出參數(shù)的值.【詳解】解：定義域為，在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：利用賦值法求出關系，求函數(shù)導數(shù)，要求函數(shù)有兩個極值點，只需在內(nèi)有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù).試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意：令，可得，所以，經(jīng)驗證，可得當時，對任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在兩個極值點，，則須有有兩個不相等的正數(shù)根，所以或解得或無解，所以的取值范圍，可得，由題意知，令，則．而當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以即時，．（Ⅲ）因為，．令得，．由（Ⅱ）知時，的對稱軸，，，所以.又，可得，此時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以最多只有三個不同的零點．又因為，所以在上遞增，即時，恒成立．根據(jù)（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三個不同的零點：，1，．綜上所述，恰有三個不同的零點．【點睛】利用賦值法求出關系，利用函數(shù)導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，要求函數(shù)有兩個極值點，只需在內(nèi)有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù)是近年高考壓軸題的熱點.18、（1）有的把握認為喜歡物理與性別有關；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)題目所給信息，列出列聯(lián)表，計算的觀測值，對照臨界值表可得出結論；（2）設參加座談會的人中喜歡物理的男同學有人，女同學有人，則，確定的所有取值為、、、、．根據(jù)計數(shù)原理計算出每個所對應的概率，列出分布列計算期望即可．【詳解】（1）根據(jù)所給條件得列聯(lián)表如下：男女合計喜歡物理不喜歡物理合計，所以有的把握認為喜歡物理與性別有關；（2）設參加座談會的人中喜歡物理的男同學有人，女同學有人，則，由題意可知，的所有可能取值為、、、、．，，，，.所以的分布列為：所以.【點睛】本題考查了獨立性檢驗、離散型隨機變量的概率分布列．離散型隨機變量的期望．屬于中等題．19、（1）（2）【解析】

（1）由，可求，然后由時，可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項可求（2）由，而，利用裂項相消法可求.【詳解】（1）當時，，解得，當時，①②②①得，即，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，；（2）∴，∴，，.【點睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項求解中的應用，等比數(shù)列的通項公式、裂項求和方法，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．20、（1）；（2）或【解析】

（1）消去參數(shù)可得圓的直角坐標方程，再根據(jù)，，即可得極坐標方程；（2）寫出直線的極坐標方程為，代入圓的極坐標方程，根據(jù)極坐標的意義列出等式解出即可.【詳解】（1）圓：，消去參數(shù)得：，即：，∵，，.∴，.（2）∵直線：的極坐標方程為，當時.即：，∴或.∴或，∴直線的傾斜角為或.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程，直角坐標方程化為極坐標方程以及極坐標的幾何意義，屬于中檔題.21、（1）曲線的直角坐標方程為；直線的直角坐標方程為（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標方程為直角坐標方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程；（2）聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點坐標，從而得兩點間距離．【詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為直線的直角坐標方程為（2）據(jù)解，得或【點睛】本題考查極