824三角恒等變換的應(yīng)用（第2課時(shí)積化和差與和差化積公式）課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

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數(shù)學(xué)

必修第三冊(cè)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.2.4三角恒等變換的應(yīng)用第2課時(shí)積化和差與和差化積公式課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.能根據(jù)公式Sα±β和Cα±β推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式.2.了解三角變換在解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題中所起的作用,進(jìn)一步體會(huì)三角變換的特點(diǎn).3.培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、積化和差公式1.在公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ和sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ中,能否用sin(α+β)和sin(α-β)表示sinαcosβ,cosαsinβ?提示:能.將sin

αcos

β和cos

αsin

β看作未知數(shù),解方程組可得.2.積化和差公式:3.(1)sin15°sin105°=

;

(2)cos10°cos30°cos50°cos70°=

.

二、和差化積公式1.借助于積化和差公式,我們可以把正弦、余弦的積的形式化為正弦或余弦的和或差的形式,那么已知正弦或余弦的和或差的形式,能否化為正弦或余弦的積的形式?提示:對(duì)于Acos

x+Bcos

y或Asin

x+Bsin

y,只要A=B,就可以化為積的形式.2.和差化積公式:3.求下列各式的值:(1)sin54°-sin18°;(2)cos146°+cos94°+2cos47°cos73°.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB.(

)(2)sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB.(

)(3)cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB.(

)(4)cos(A+B)-cos(A-B)=2cosAcosB.(

)√√√×合作探究釋疑解惑探究一求值問題【例1】

求下列各式的值:(1)sin20°cos70°+sin10°sin50°;(2)sin20°sin40°sin60°sin80°.分析:利用和、積互化公式變形求解.求解給角求值問題需正確地選用公式,相約(相消)去掉非特殊角的三角函數(shù),從而化為特殊角的三角函數(shù).【變式訓(xùn)練1】

求下列各式的值.(2)cos271°+cos71°cos49°+cos249°.探究二化簡(jiǎn)問題【例2】

化簡(jiǎn):4sin(60°-θ)sinθsin(60°+θ).分析:需化簡(jiǎn)的式子是乘積的形式,可考慮應(yīng)用積化和差公式,同時(shí)注意(60°-θ)+(60°+θ)=120°.解:原式=2sin

θ

[2sin(60°-θ)sin(60°+θ)]=-2sin

θ[cos

120°-cos(-2θ)]=sin

θ+2sin

θcos

2θ=sin

θ+(sin

3θ-sin

θ)=sin

3θ.化簡(jiǎn):cos(270°+θ)cos(30°+θ)cos(30°-θ).解:原式=sin

θsin(60°-θ)sin(60°+θ),結(jié)合例2知,結(jié)果為

sin

3θ.用積化和差公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式時(shí),若三角函數(shù)式中存在三個(gè)或三個(gè)以上的三角函數(shù)可供化和時(shí),應(yīng)選擇兩角和或差是特殊角或與其他三角函數(shù)有公因式的兩個(gè)三角函數(shù)進(jìn)行積化和差.探究三三角恒等式的證明1.證明三角恒等式就是借助于三角恒等變換,應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右歸一、變更論證等方法,消除等式左右兩邊的差異.2.若所證等式同時(shí)含有三角形的三個(gè)內(nèi)角,則應(yīng)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,從換去某角開始,到換回此角結(jié)束.規(guī)范解答三角變換的綜合應(yīng)用【典例】

已知f(x)=cos2(x+θ)-2cosθcosx·cos(x+θ)+cos2θ,求f(x)的最大值、最小值和最小正周期.審題策略:要求f(x)的最小正周期,則f(x)的表達(dá)式必須化為f(x)=Acos(ωx+φ)+B的形式.答題模板:第1步,將次數(shù)高的三角函數(shù)降冪.第2步,和差化積、積化和差變換.第3步,將f(x)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+B(或f(x)=Acos(ωx+φ)+B)型.第4步,求最大值、最小值和最小正周期.1.變形化