2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊 三角形的有關(guān)概念與性質(zhì) 壓軸題（十一大題型）（解析版）

專題03三角形的有關(guān)概念與性質(zhì)壓軸題（十一大題型）目錄：題型1：三角形中線有關(guān)的面積問題題型2：與三角形高有關(guān)的計算題題型3：三角形的高在平行線中的應(yīng)用題型4：三角形的三邊關(guān)系在平行線中的應(yīng)用題型5：三角形個數(shù)問題題型6：與三角形角平分線有關(guān)的問題題型7：三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)題型8：三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)在平行線中的應(yīng)用題型9：旋轉(zhuǎn)問題題型10：定值問題題型11：角平分線、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)、平行線相結(jié)合問題題型1：三角形中線有關(guān)的面積問題1．設(shè)的面積為．(1)如圖1，延長的各邊得到，且，，，記的面積為，則______．（用含的式子表示）(2)如圖2，延長的各邊得到，且，，，記的面積為，則________．（用含的式子表示）(3)如圖3，P為內(nèi)一點(diǎn)，連接、、并延長分別交邊、、于點(diǎn)D、E、F，則把分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標(biāo)明，則計算得到的面積________．【答案】(1)(2)(3)【分析】此題是三角形的綜合題，主要考查了面積及等積變換，利用三角形同高則面積比與底邊關(guān)系分別分析得出是解題關(guān)鍵．（1）利用三角形同高等底面積相等，進(jìn)而求出即可；（2）利用三角形同高不等底面積比為底邊長的比，進(jìn)而求出即可；（3）利用三角形面積之間關(guān)系得出其邊長比，得出關(guān)于，的方程求出即可．【解析】（1）如圖,連接，,，，，同理可得出：，，故答案為:；（2）如圖，連接，，根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，，，，同理可得出：，∴；故答案為:；（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，即，同理，設(shè)，，，即；，，，又，，故答案為:．2．【問題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級下冊上有這樣一道題：如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．又因為高相同，所以，于是．據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在上．①若是的中線，求證：；②若，則______．【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形的各邊，使得點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，依次連結(jié)、、、得四邊形．①求證：；②若，則______．【答案】（1）①證明見解析；②；（2）①證明見解析；②【分析】（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，推得是的中線，，即可證明；②設(shè)邊上的高為，根據(jù)三角形的面積公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可證明；（2）①連接，，，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得，，，，推得，，即可求得，即可證明，②由①可得，同理可證得，根據(jù)，即可推得，即可求解．【解析】（1）①證明：∵是的中線，∴，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴是的中線，∴，∴，即；②，解：設(shè)邊上的高為，則，，∵，∴，同理，則，即，∴．（2）①證明：連接，，，如圖：

∵點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，∴，，，分別為，，，的中位線，∴，，，，∴，∵，即；②15，解：由①可得，同理可證得，，即，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個等底同高的三角形是題的關(guān)鍵．3．探索：在圖至圖中，已知的面積為，(1)如圖，延長的邊到點(diǎn)，使，連接若的面積為，則______用含的代數(shù)式表示(2)如圖，延長的邊到點(diǎn)，延長邊到點(diǎn)，使，，連接若的面積為，則______用含的代數(shù)式表示(3)在圖的基礎(chǔ)上延長到點(diǎn)，使，連接，，得到（如圖）若陰影部分的面積為，則______用含的代數(shù)式表示(4)發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到如圖，此時，我們稱向外擴(kuò)展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的的面積是原來面積的______倍．(5)應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計：首先在的空地上種紅花，然后將向外擴(kuò)展三次圖已給出了前兩次擴(kuò)展的圖案在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種黃花，第二次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花．如果種紅花的區(qū)域即的面積是平方米，請你運(yùn)用上述結(jié)論求出：①種紫花的區(qū)域的面積；②種藍(lán)花的區(qū)域的面積．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)①種紫花的區(qū)域的面積420平方米，②種藍(lán)花的區(qū)域的面積2940平方米【分析】（1）過點(diǎn)A作于H，如圖1，由于與底相等、高相同，因此它們的面積相等，問題得以解決；（2）連接，如圖2，同（1）可求出的面積，就可解決問題；（3）如圖3，同（2）可求出的面積，問題得以解決；（4）根據(jù)即可得出結(jié)論（5）①利用探索與發(fā)現(xiàn)中的結(jié)論可得：種紫花的區(qū)域的面積等于△DEF面積的6倍，，根據(jù)條件平方米，就可解決問題；②利用探索與發(fā)現(xiàn)中的結(jié)論可得：種藍(lán)花的區(qū)域的面積等于面積的6倍，，只需把代入，就可解決問題．【解析】（1）解：探索：過點(diǎn)A作于H，如圖1，∵，，∴.故答案為a.（2）解：連接，如圖2，同理可得,∴.故答案為2a.（3）解：同（2）可得,∴,故答案為；（4）解：如圖3，，故答案為7；（5）解：①根據(jù)上述結(jié)論可得：（平方米），∴種紫花的區(qū)域的面積（平方米）；②同理可得：（平方米），種藍(lán)花的區(qū)域的面積（平方米）；所以，種紫花的區(qū)域的面積420平方米，種藍(lán)花的區(qū)域的面積2940平方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式，另外還考查了歸納、探究的能力，運(yùn)用已有經(jīng)驗解決問題的能力，突出了對能力的考查．題型2：與三角形高有關(guān)的計算題4．在中，，，于D．（1）如圖①，已知于E，求證：（2）如圖②，P是線段AC上任意一點(diǎn)（P不與A、C重合），過P作于E，于F，求證：（3）在圖②中，若P是AC延長線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，請畫出圖形并直接寫出PE、PF、CD之間的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）畫圖見解析，．【分析】(1)分別以AB、BC邊為底邊，利用△ABC的面積的兩種不同表示列式整理即可得證；(2)連接PB，根據(jù)△ABC的面積等于△ABP和△BCP的面積的和，然后列式整理即可得證；(3)作出圖形，連接PB，然后根據(jù)△ABP的面積等于△ABC的面積和△PBC的面積的和，列式整理即可得解．【解析】解：（1）證明：（2）如圖②，連接PB，，（3）如圖③，即為圖像，連接PB，作交BC的延長線于E點(diǎn)，，【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形的知識，把同一個三角形的面積采用不同方法列式表示出來，然后再把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)行計算求解，所以（2）（3）兩小題作出輔助線把三角形分割成兩個三角形是解題的關(guān)鍵，面積法也是解三角形問題常用的方法之一，需熟練掌握．5．設(shè)點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn),的延長線交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，則的值為．【答案】【分析】本題考查了三角形的面積公式，熟練掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作的延長線，交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式可得，，推得，同理可得，，即可求解．【解析】解：過點(diǎn)作的延長線，交于點(diǎn)，如圖：則，同理可得，即，∴，同理可得：，，∴．故答案為：．題型3：三角形的高在平行線中的應(yīng)用6．已知，點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)在直線，之間，平分，交直線于點(diǎn).(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；.(2)如圖2，在（1）問的條件下，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)；當(dāng)平分時，求的度數(shù)；.(3)如圖3，已知，，點(diǎn)到的距離與線段的長度之比是，點(diǎn)到的距離等于7，求線段的長度．【答案】(1)(2)(3)線段的長度為【分析】（1）如圖，過點(diǎn)做，證明，求出，進(jìn)而求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出；（2）如圖，先求出，再求出，過點(diǎn)做，即可求出；（3）過點(diǎn)做于點(diǎn)，過點(diǎn)做于點(diǎn)，設(shè)，，根據(jù)得到，求出，進(jìn)而得到，，根據(jù)，即可求出線段的長度為．【解析】（1）解：過點(diǎn)做，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵平分，∴，∴,∵，∴；（2）解：由（1）問得，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，過點(diǎn)做，∴，，∴；（3）過點(diǎn)做于點(diǎn)，過點(diǎn)做于點(diǎn)，∵點(diǎn)到的距離與線段的長度之比是，∴，設(shè)，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，∵點(diǎn)到的距離等于7，∴，∵，∴，∴，∴線段的長度為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的計算，點(diǎn)到直線的距離，三角形形面積公式等知識，熟知平行線的性質(zhì)定理，根據(jù)題意適當(dāng)添加輔助線是解題關(guān)鍵，第3問利用方程思想解決問題是解題關(guān)鍵．題型4：三角形的三邊關(guān)系在平行線中的應(yīng)用7．如圖，直線a∥b，點(diǎn)A，點(diǎn)D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，CD⊥a于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P為射線AB上一動點(diǎn)，P從A點(diǎn)開始沿射線AB方向運(yùn)動，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．（1）當(dāng)t＝m為何值時，PC+PD有最小值，求m的值；（2）當(dāng)t＜m（m為（1）中的取值）時探究∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)t＞m（m為（1）中的取值）時，直接寫出∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系．【答案】（1）m＝4時，PC+PD有最小值；（2）當(dāng)t＜4時，∠PCM+∠PDA＝∠CPD，理由見解析；（3）當(dāng)t＞4時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．【分析】（1）根據(jù)P、C、D三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時PC+PD的值最小，解答即可；（2）當(dāng)t＜m時，點(diǎn)P在AE上，過點(diǎn)P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）當(dāng)t＞m時，點(diǎn)P在BE上，過點(diǎn)P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【解析】解：（1）在△PCD中，PC+PD≥CD，當(dāng)取等號時，P，C，D在同一條直線上，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，此時PC+PD最小，∴AP＝AE，∵AE：BE＝1：2，AB＝12cm，∴AE＝AB＝4cm，∴t＝＝4s，故m＝4時，PC+PD有最小值；（2）當(dāng)t＜m即t＜4時，點(diǎn)P在AE上，過點(diǎn)P作PH//a，如圖：又∵a//b，∴PH//a//b，∴∠PCM＝∠CPH，∠PDA＝∠DPH，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPH+∠DPH，∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD，∴當(dāng)t＜4時，∠PCM+∠PDA＝∠CPD；（3）當(dāng)t＞m即t＞4時，點(diǎn)P在BE上，過點(diǎn)P作PH//a，如圖：又∵a//b，∴PH//a//b，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即當(dāng)t＞4時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和平行公理的推理，熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．題型5：三角形個數(shù)問題8．如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個不同的三角形，……

（1）完成下表：連接個數(shù)123456出現(xiàn)三角形個數(shù)36（2）若出現(xiàn)了45個三角形，則共連接了_____個點(diǎn)?若一直連接到An，則圖中共有______個三角形．【答案】（1），，，；（2）8，.【分析】（1）根據(jù)圖形，可以分析：數(shù)三角形的個數(shù)，其實就是數(shù)AC上線段的個數(shù)，當(dāng)1個分點(diǎn)時，有三角形數(shù)為，當(dāng)2個分點(diǎn)時，有三角形數(shù)為，由此可找出規(guī)律，據(jù)此即可得答案；（2）由（1）繼續(xù)推導(dǎo)可解得若出現(xiàn)了45個三角形，若一直連接到An，由個分點(diǎn)，三角形數(shù)量為前一個分點(diǎn)數(shù)的三角形總數(shù)加個，可知個分點(diǎn)，則有個三角形．【解析】（1）由圖形可得：數(shù)三角形的個數(shù)，其實就是數(shù)AC上線段的個數(shù)．所以當(dāng)1個分點(diǎn)時，有三角形數(shù)為；2個分點(diǎn)時，有三角形數(shù)為；3個分點(diǎn)時，有；4個分點(diǎn)時，有；5個分點(diǎn)時，有；6個分點(diǎn)時，有；（2）若出現(xiàn)45=1+2+3+4+5+6+7+8+9個三角形，根據(jù)上述規(guī)律，則有8個分點(diǎn)；若有個分點(diǎn)，則有．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的擴(kuò)展知識，需要注意此題數(shù)三角形的個數(shù)實際上就是數(shù)線段的條數(shù)，能夠正確計算，解這類數(shù)列需要先設(shè)他們之和為，再重構(gòu)一組倒序相同的數(shù)列，正序與倒序兩式相加，合并可解．題型6：與三角形角平分線有關(guān)的問題9．佳琪同學(xué)在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和及角平分線定義后經(jīng)大量的測試實驗發(fā)現(xiàn)，在一個三角形中，兩個內(nèi)角的角平分線所夾的角只與第三個角的大小有關(guān).測量數(shù)據(jù)如下表：測量和度數(shù)測量工具量角器示意圖與的平分線交于點(diǎn)測量數(shù)據(jù)第一次第二次第三次第四次……（1）通過以上測量數(shù)據(jù)，請你寫出與的數(shù)量關(guān)系：______.（2）如圖，在中，若與的平分線交于點(diǎn)，則與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，設(shè)，利用待定系數(shù)法進(jìn)行計算，即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，，然后利用外角性質(zhì)，以及角的和差關(guān)系，即可得到結(jié)論成立.【解析】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)，∴，解得：，∴.（2）.理由：∵與的平分線交于點(diǎn)，∴，.∵，∴.∵是的外角，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定理，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)性質(zhì)進(jìn)行解題.10．【問題呈現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖1，在中，，平分，于D，猜想、、的數(shù)量關(guān)系．（1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路．于是嘗試代入∠B、∠C的值求∠EAD的值，得到下面幾組對應(yīng)值：/度1030302020/度7070606080/度30152030求上表中a的度數(shù)，并判斷與、的數(shù)量關(guān)系；【變式應(yīng)用】（2）小明繼續(xù)研究，在圖2中，，，其他條件不變，若把“于D”改為“F是線段上一點(diǎn)，于D”求的度數(shù)，并寫出與、的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），；（2），【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用和角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計算推理是解本題的關(guān)鍵．（1）先利用三角形內(nèi)角和以及角平分線，求出和的大小，然后再求出的值，再分別用，表示出和，再由即可得出答案．（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)，證出，再分別求出，，再結(jié)合（1）可得到三者的關(guān)系．【解析】解：（1），，．在中，，，平分，，，即．，，，即．（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)G．，，，，，由（1）同理可得，，，由（1）同理可得，．題型7：三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)11．在中，，點(diǎn)，分別是邊，上的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動點(diǎn)．初探：（1）如圖1，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動，①當(dāng)時，則；②，，之間的數(shù)量關(guān)系為：．再探：（2）若點(diǎn)運(yùn)動到邊的延長線上，交于，如圖2，則，，之間有何關(guān)系？并說明理由．拓展：（3）當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部，且，，不共線時，記，，，探究，，之間的關(guān)系，并直接寫出探究結(jié)論．【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．（1）①如圖1中，連接．證明即可．②利用①中結(jié)論解決問題．（2）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．（3）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．【解析】解：（1）①如圖1中，連接．，，，，，．故答案為：；②由①可知，，故答案為：．（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，，，．（3）結(jié)論：．理由：如圖3中，當(dāng)在內(nèi)部時，，，，．當(dāng)在四邊形內(nèi)部時，．12．如圖1，直角三角板的直角邊所在直線與直線重合．將該三角板繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，如圖2所示．記，過B作直線．P為射線上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，從點(diǎn)P出發(fā)且位于直線上方的射線交直線于點(diǎn)Q，記．(1)若，且，求的度數(shù)；(2)①若點(diǎn)Q在線段上（不含端點(diǎn)），則與，滿足的數(shù)量關(guān)系為；②若點(diǎn)Q在線段延長線上（不含端點(diǎn)），判斷上述關(guān)系是否成立．若成立，請說明理由；若不成立，給出三者應(yīng)滿足的關(guān)系并說明理由；(3)若，且射線不經(jīng)過點(diǎn)B，設(shè)直線分別交直線、于點(diǎn)R、S，直接寫出當(dāng)，滿足什么條件時，有．【答案】(1)(2)①；②不成立，，理由見解析；(3)當(dāng)時，有．【分析】（1）由題意可得，，，利用平行線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得出，再利用平行線的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；（2）①由（1）可知，進(jìn)而得出，再利用三角形外角的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)，得到，，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（3）依題意分四種情況分析：①當(dāng)與線段交于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)時；②當(dāng)與的延長線交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)時；③當(dāng)與線段交于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)時；④當(dāng)與的延長線交于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)時，利用三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，分別表示出、、，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：，，，，，，，，，；（2）解：①由（1）可知，，是的外角，，故答案為：；②不成立，，理由如下：如圖，過點(diǎn)作，，，，，，；（3）解：依題意有四種情況：①如圖，當(dāng)與線段交于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)時，，，，是的外角，，，，，，整理得：，即當(dāng)時，有；②如圖，當(dāng)與的延長線交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)時，同①理可得：，，，，整理得：，即當(dāng)時，有；③如圖，當(dāng)與線段交于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)時，同①理可得：，是的外角，，，是的外角，，，，整理得：，即當(dāng)時，有；④如圖，當(dāng)與的延長線交于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)時，同③理可得：，，，，又，，整理得：，即當(dāng)時，有；綜上可知，當(dāng)時，有．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，對頂角等知識，靈活運(yùn)用相關(guān)知識找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型8：三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)在平行線中的應(yīng)用13．如圖1，點(diǎn)在的延長線上，已知．(1)求證：；(2)連接的平分線和的平分線所在的直線相交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）．①如圖2，若，且點(diǎn)在平分線的反向延長線上，則______；②試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)①68；②或【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）①設(shè)、交于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出；②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在平分線的反向延長線上時，當(dāng)點(diǎn)在平分線上時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：①設(shè)、交于點(diǎn)G，如圖所示：∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，又∵為的角平分線的反向延長線，∴，∴．故答案為：；②當(dāng)點(diǎn)在平分線的反向延長線上時，如圖所示：設(shè)，，∵，∴，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，又∵為的角平分線的反向延長線，∴，∴，∴，即；當(dāng)點(diǎn)在平分線上時，如圖所示：設(shè)，，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，即；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用，對頂角的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．14．已知，點(diǎn)P是直線，外一點(diǎn)．(1)【問題初探】如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線，上，連接，．求證：①；②．證明：過點(diǎn)P作，…，請將問題①，②的證明過程補(bǔ)充完整；(2)【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，的角平分線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是射線上一動點(diǎn)且點(diǎn)F不在直線上，連接，作的角平分線與相交于點(diǎn)Q，問：與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，O是上一定點(diǎn)，．在內(nèi)部作射線，使得，與相交于點(diǎn)F．動點(diǎn)P在射線上，點(diǎn)Q在上，連接，，若在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，始終有，求n，α的值．【答案】(1)①詳見解析；②詳見解析(2)，詳見解析(3)，【分析】（1）①過點(diǎn)P作，可得，再利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；②由，再結(jié)合平角的含義可得答案；（2）由（1）可得，結(jié)合，三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（3）先證明，，結(jié)合，可得，從而可得答案．【解析】（1）證明：①過點(diǎn)P作．∵，∴，∴，，∴，即．②∵，∴．（2）．理由如下：∵、分別是、的平分線，∴，，∴根據(jù)（1）②可知，．∵，∴，∴．∴．（3）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵α，n為定值，∴為變量，要使等式恒成立，需要，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用，角的和差運(yùn)算，整式的加減運(yùn)算中與某項無關(guān)的含義，本題難度大，理清思路是解本題的關(guān)鍵．15．探究（一）已知，P為直線所在平面上一點(diǎn)，平分，平分，（1）如圖1，P為之間一點(diǎn)，若，則°；（2）如圖2，P為外一點(diǎn)，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．探究（二）已知P為所在平面上一點(diǎn)，平分，平分，D、E分別為上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)．（3）如圖3，若P在內(nèi)部，，則°；（4）如圖4，若P在外部，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）50；（2），理由見解析；（3）200；（4）．理由見解析【分析】（1）連接，由平行線的性質(zhì)得出，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案；（2）設(shè)，，由平行線的性質(zhì)得出，，由三角形外角的性質(zhì)可得出答案；（3）連接，求出，由軸對稱的性質(zhì)求出，，則可得出答案；（4）由三角形內(nèi)角和定理證出，則可得出結(jié)論．【解析】解：（1）連接，∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故答案為：50；（2）．理由：設(shè)，，∵，∴，∵，，∴，∴；（3）連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故答案為：200；（4）．理由：設(shè)，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．題型9：旋轉(zhuǎn)問題16．如圖1，一塊直尺和一塊含的直角三角板如圖放置，其中直尺和直角三角板的斜邊平行，我們可以抽象出如圖2的數(shù)學(xué)模型：，，，，分別交、于點(diǎn)、、的角平分線交于點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)（不與重合），連接交于點(diǎn)．(1)當(dāng)，求證：．(2)在線段上任意移動時，求之間的關(guān)系．(3)在（1）的條件下將三角形繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角形的其中一邊與三角形的某一邊平行時，求此時的值．【答案】(1)見解析(2)(3)6或12或21【分析】（1）由，得到，由角平分線得到，即可得證；（2）由得到，由即可得到結(jié)論；（3）分五種情況畫圖求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴；（3）由（1）知，，，∵，∴，，，∵，∴，，∴，如圖1，當(dāng)時，，∵，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，；如圖2，當(dāng)時，∵，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，（舍去）；如圖3，當(dāng)時，∵，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，；如圖4，當(dāng)時，設(shè)與相交于點(diǎn)S，∴，∴，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，；如圖5，當(dāng)時，∴，∴此時是旋轉(zhuǎn)了，此時，（舍去）；∴當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時，t為6或12或21．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、旋轉(zhuǎn)等知識，分情況討論是解題的關(guān)鍵．題型10：定值問題17．如圖，分別在邊上，的角平分線交于．(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，如果的平分線與交于點(diǎn)，，求的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)（不與重合），交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，的值是否發(fā)生變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值．【答案】(1)；(2)(3)不變，2【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形角平分線、外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是利用三角形的角平分線、外角得到角之間的關(guān)系．（1）根據(jù)，得到，再利用角平分線的性質(zhì)，即可解答；（2）根據(jù)，，得到，利用外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)平分，平分，得到，，得到，利用三角形內(nèi)角和為，．（3）不變，根據(jù)，，即可解答．【解析】（1）如圖1，，，，，，，，，．；（2）如圖2，，，，，平分，平分，，，，．（3）不變，如圖3，，，．題型11：角平分線、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)、平行線相結(jié)合問題18．【問題】如圖，在中，平分，平分，若，則____________；若，則____________．

【探究】（）如圖，在中，、三等分，、三等分，若，則____________；（）如圖，是與外角的平分線和的交點(diǎn)，試分析和有怎樣的關(guān)系？請說明理由；（）如圖，是外角與外角的平分線和的交點(diǎn)，則與有怎樣的關(guān)系？請說明理由．【答案】問題：，；（）；（），理由見解析；（），理由見解析．【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定