第01講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第01講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合（20類核心考點精講精練）新定義”主要是指新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種。在新高考數(shù)學(xué)科目的考察中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的新定義占據(jù)了舉足輕重的地位，該部分內(nèi)容主要檢驗學(xué)生對函數(shù)的基本概念、核心性質(zhì)及運算技巧的掌握程度，同時也涵蓋了對導(dǎo)數(shù)概念的理解、計算能力的展現(xiàn)以及其在多種場景下的應(yīng)用。試題設(shè)計往往緊密貼合現(xiàn)實生活或科學(xué)情境，旨在評估學(xué)生運用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識體系解決實際復(fù)雜問題的能力。新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．對于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識點的延伸，更考查對于新知識的獲取理解能力，抓住關(guān)鍵點。對于以函數(shù)為背景的新定義問題的求解策略要緊扣新定義和用好函數(shù)的性質(zhì)，分析新定義的特點，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；同時時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的函數(shù)的性質(zhì)的一些因素（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.為此，考生需對基礎(chǔ)函數(shù)的各種屬性、圖象特征、運算規(guī)律有深入透徹的理解，并熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本定義、其蘊含的幾何與物理意義以及多樣化的計算方法。進(jìn)一步地，針對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的典型應(yīng)用，如求解最優(yōu)化問題、分析變化率趨勢、確定曲線在某點的切線方程等，考生應(yīng)具備扎實的分析思路和有效的解決策略。綜上所述，備考過程中，考生應(yīng)高度重視基礎(chǔ)知識的鞏固與深化，同時加強(qiáng)針對實際問題的解題訓(xùn)練，以提升自身的綜合應(yīng)用能力?？键c一、高斯取整函數(shù)1．（2024·山東青島·三模）定義x表示不超過的最大整數(shù).例如:，則（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．是增函數(shù)2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”定義為：對于任意實數(shù)x，記表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”．例如：，．(1)設(shè)，，求證：是的一個周期，且恒成立；(2)已知數(shù)列的通項公式為，設(shè)．①求證：；②求的值．1．（2024·全國·一模）數(shù)學(xué)上，常用表示不大于x的最大整數(shù)．已知函數(shù)，則下列正確的是（）．A．函數(shù)在定義域上是奇函數(shù) B．函數(shù)的零點有無數(shù)個C．函數(shù)在定義域上的值域是 D．不等式解集是2．（2024·河南開封·二模）（多選）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（

）A．，B．，，C．，D．，3．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）函數(shù)是取整函數(shù)，也被稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.若在函數(shù)的定義域內(nèi)，均滿足在區(qū)間上，是一個常數(shù)，則稱為的取整數(shù)列，稱為的區(qū)間數(shù)列.下列說法正確的是（

）A．的區(qū)間數(shù)列的通項B．的取整數(shù)列的通項C．的取整數(shù)列的通項D．若，則數(shù)列的前項和考點二、二階行列式1．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）定義，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．1．（2023·河南·三模）我們稱為“二階行列式”，規(guī)定其運算為．已知函數(shù)的定義域為，且，若對定義域內(nèi)的任意都有，則（

）A． B．是偶函數(shù) C．是周期函數(shù) D．沒有極值點2．（22-23高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）把符號稱為二階行列式，規(guī)定它的運算法則為．已知函數(shù)．(1)若，，求的值域；(2)函數(shù)，若對，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．考點三、狄利克雷函數(shù)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．有零點 B．是單調(diào)函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是周期函數(shù)2．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）（多選）狄利克雷函數(shù)是由著名德國數(shù)學(xué)家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定義在實數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有很重大的研究意義，例如對研究微積分就有很重要的作用，其函數(shù)表達(dá)式為（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），則關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的是（

）A． B．它是偶函數(shù)C．它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期 D．它的值域為1．（2024·廣東惠州·三模）（多選）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一．他提出了著名的狄利克雷函數(shù)：，以下對的說法正確的是（

）A．B．的值域為C．存在是無理數(shù)，使得D．，總有2．（2024·重慶·一模）（多選）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．對于任意的，都有D．在圖象上不存在不同的三個點，使得為等邊三角形E．在圖象存在不同的三個點，使得為等邊三角形考點四、sgnx函數(shù)1．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件1．（2024·北京·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)上的符號函數(shù)可以返回一個整型變量，用來指出參數(shù)的正負(fù)號，一般用來表示，其解析式為.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；③函數(shù)的對稱中心為；④在上函數(shù)的零點個數(shù)為4.其中正確結(jié)論的序號是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）考點五、最大值最小值函數(shù)1．（22-23高三上·階段練習(xí)）已知表示，，中的最大值，例如，若函數(shù)，則的最小值為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．52．（2024·廣東韶關(guān)·二模）定義，對于任意實數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為中最大的數(shù).已知正實數(shù)，記，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．42．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則．考點六、歐拉函數(shù)1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如，，．若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容．對于一個正整數(shù)n，歐拉函數(shù)表示小于或等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說，是所有不超過n且與n互素的數(shù)的總數(shù)．如：，．則以下是真命題的有（

）A．的定義域為，其值域也是B．在其定義域上單調(diào)遞增，無極值點C．不存在，使得方程有無數(shù)解D．，當(dāng)且僅當(dāng)n是素數(shù)時等號成立3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），(1)求和；(2)現(xiàn)有三個素數(shù)p，q，，，存在正整數(shù)d滿足；已知對素數(shù)a和，均有，證明：若，則；(3)設(shè)n為兩個未知素數(shù)的乘積，，為另兩個更大的已知素數(shù)，且；又，，，試用，和n求出x的值．1．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則；若，則的最大值為．2．（23-24高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素(兩個數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個數(shù)，則這兩個數(shù)相同的概率是.考點七、黎曼函數(shù)8．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）（多選）黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：（注：分子與分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，稱為既約分?jǐn)?shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．黎曼函數(shù)的定義域為C．黎曼函數(shù)的最大值為D．若是奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則1．（2024·北京石景山·一模）黎曼函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：時，．若數(shù)列，給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是．考點八、曲率1．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）曲率是數(shù)學(xué)上衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，對于曲線，其在點處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．則拋物線上的各點處的曲率最大值為（

）A． B．p C． D．2．（2024·全國·二模）廣州小蠻腰是廣州市的地標(biāo)性建筑，奇妙的曲線造型讓建筑充滿了美感，數(shù)學(xué)上用曲率表示曲線的彎曲程度.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)記為，則函數(shù)的圖象在x0,fx0的曲率.(1)求橢圓在處的曲率；(2)證明：函數(shù)圖象的曲率的極大值點位于區(qū)間.1．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）（多選）曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大．曲線在點處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)．下面說法正確的是（）A．若函數(shù)，則曲線在點與點處的彎曲程度相同B．若是二次函數(shù)，則曲線的曲率在頂點處取得最小值C．若函數(shù)，則函數(shù)的值域為D．若函數(shù)，則曲線上任意一點的曲率的最大值為考點九、極值點與拐點1．（2024·湖南長沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個函數(shù)在一點的一個鄰域（包含該點的開區(qū)間）內(nèi)處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（?。?，這函數(shù)在該點處的值就是一個極大（?。┲?對于函數(shù)，設(shè)自變量x從變化到，當(dāng)，是一個確定的值，則稱函數(shù)在點處右可導(dǎo)；當(dāng)，是一個確定的值，則稱函數(shù)在點處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)在點處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo).(1)請舉出一個例子，說明該函數(shù)在某點處不可導(dǎo)，但是該點是該函數(shù)的極值點；(2)已知函數(shù).（ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；（ⅱ）若為的極小值點，求a的取值范圍.2．（2024·貴州·模擬預(yù)測）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為2C．函數(shù)有三個零點 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減1．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為.若，且，則為曲線的拐點.(1)判斷曲線是否有拐點，并說明理由；(2)已知函數(shù)，若為曲線的一個拐點，求的單調(diào)區(qū)間與極值.考點十、洛必達(dá)法則1．（20-21高二下·重慶江北·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．22．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)計算：；(3)證明：，.1．（2024·河北邢臺·二模）在函數(shù)極限的運算過程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：①且（或，）；②在點的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；③（可為實數(shù)，也可為），則．(1)用洛必達(dá)法則求；(2)函數(shù)（，），判斷并說明的零點個數(shù)；(3)已知，，，求的解析式．參考公式：，．考點十一、不動點與復(fù)合穩(wěn)定點1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里的一個非常重要的不動點定理，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．函數(shù)有個不動點．2．（2024·廣東廣州·二模）若是方程的實數(shù)解，則稱是函數(shù)與的“復(fù)合穩(wěn)定點”．若函數(shù)且與有且僅有兩個不同的“復(fù)合穩(wěn)定點”，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·貴州黔西·一模）布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可運用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動點定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer).簡單地講就是:對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，實數(shù)為該函數(shù)的不動點.(1)求函數(shù)的不動點;(2)若函數(shù)有兩個不動點，且，若，求實數(shù)的取值范圍.1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）對于函數(shù)，若實數(shù)滿足，則稱為的不動點．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求證；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的不動點的個數(shù)；(3)設(shè)，證明．2．（2024·河北滄州·一模）對于函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動點；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動點；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動點．其中一階不動點簡稱為“不動點”，二階不動點簡稱為“穩(wěn)定點”，函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”構(gòu)成的集合分別記為和，即，．(1)若，證明：集合中有且僅有一個元素；(2)若，討論集合的子集的個數(shù)．考點十二、可移倒數(shù)點1．（2024·江蘇蘇州·三模）對于函數(shù)，若存在實數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函”，為“的可移倒數(shù)點”.設(shè)，若函數(shù)恰有3個“可移1倒數(shù)點”，則的取值范圍（

）A． B． C． D．1．（2024·山東聊城·二模）對于函數(shù)，若存在實數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函數(shù)”，為“的可移倒數(shù)點”．已知．(1)設(shè)，若為“的可移倒數(shù)點”，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若函數(shù)恰有3個“可移1倒數(shù)點”，求的取值范圍．考點十三、泰勒展開1．（2024·貴州貴陽·一模）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如下問題.(1)證明：；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024·貴州遵義·三模）英國數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylor，1685—1731）發(fā)現(xiàn)了：當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)n階可導(dǎo)，則有如下公式：以上公式稱為函數(shù)的泰勒展開式，簡稱為泰勒公式．其中，，表示的n階導(dǎo)數(shù)，即連續(xù)求n次導(dǎo)數(shù)．根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如下問題：(1)寫出的泰勒展開式（至少有5項）；(2)設(shè)，若是的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若，k為正整數(shù)，求k的值．1．（2024·安徽·一模）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記作，函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記作，；②若，定義；③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任意有，我們將稱為函數(shù)在點處的泰勒展開式.例如在點處的泰勒展開式為根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點處的泰勒展開式；(2)用在點處的泰勒展開式前三項計算的值，精確到小數(shù)點后4位；(3)現(xiàn)已知，試求的值.考點十四、麥克勞林展開1．（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）麥克勞林展開式是泰勒展開式的一種特殊形式，的麥克勞林展開式為：，其中表示的n階導(dǎo)數(shù)在0處的取值，我們稱為麥克勞林展開式的第項．例如：．(1)請寫出的麥克勞林展開式中的第2項與第4項；(2)數(shù)學(xué)競賽小組發(fā)現(xiàn)的麥克勞林展開式為，這意味著：當(dāng)時，，你能幫助數(shù)學(xué)競賽小組完成對此不等式的證明嗎？(3)當(dāng)時，若，求整數(shù)的最大值．1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間0,1上的極值點的個數(shù)．(2)“”是一個求和符號，例如，，等等．英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個經(jīng)典應(yīng)用．證明：（i）當(dāng)時，對，都有；（ii）．考點十五、拉格朗日中值定理1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在處取得極大值．(1)求的值與的單調(diào)區(qū)間．(2)如圖，若函數(shù)y=fx的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達(dá)式〔用含的式子表示〕．(3)利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖像上任意兩點的連線斜率不大于．2．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”；(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點，連線的斜率不大于；(3)若，且，求證:.1．（23-24高二下·江西九江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的在點處的切線；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(3)若函數(shù)的圖象上存在兩點，，且，使得，則稱為“拉格朗日中值函數(shù)”，并稱線段的中點為函數(shù)的一個“拉格朗日平均值點”.試判斷函數(shù)是否為“拉格朗日中值函數(shù)”，若是，判斷函數(shù)的“拉格朗日平均值點”的個數(shù)；若不是，說明理由.2．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′x，那么在區(qū)間內(nèi)存在點，使得成立．設(shè)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．易知，在實數(shù)集上有唯一零點，且．(1)證明：當(dāng)時，；(2)從圖形上看，函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)．直接求解的零點是困難的，運用牛頓法，我們可以得到零點的近似解：先用二分法，可在中選定一個作為的初始近似值，使得，然后在點x0,fx0處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；在點x1,fx1處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列．①當(dāng)時，證明：；②根據(jù)①的結(jié)論，運用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請以此為前提條件，證明：．考點十六、帕德近似1．（22-23高二下·山東濟(jì)南·期中）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理數(shù)多項式近似特定函數(shù)的方法，給定兩個正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為，且滿足：...已知在處的階帕德近似為.注：，(1)求實數(shù)的值；(2)求證：；(3)求不等式的解集，其中，2．（2024·福建廈門·三模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法，在計算機(jī)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.其中，，…，.已知在處的階帕德近似為.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)設(shè)，證明：；(3)已知是方程的三個不等實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明：.1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，，注：，，，，已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的階帕德近似，并求的近似數(shù)精確到(2)在（1）的條件下：①求證：；②若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（23-24高二下·湖北·期中）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：.（注：，為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為.(1)求實數(shù)的值；(2)證明：當(dāng)時，；(3)設(shè)為實數(shù)，討論方程的解的個數(shù).考點十七、萊布尼茨1．（23-24高二下·貴州安順·期末）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為.當(dāng)時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).(1)求與的導(dǎo)數(shù)；(2)證明：在上恒成立；(3)求的零點.2．（2024·甘肅酒泉·三模）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進(jìn)制表達(dá)式，則，其中，或．(1)記，求證：；(2)記為整數(shù)的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個數(shù)，如，．（ⅰ）求；（ⅱ）求（用數(shù)字作答）．1．（22-23高一上·江蘇南通·期末）對于任意兩個正數(shù)，記曲線與直線軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)．關(guān)于，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：；②二倍角公式：；③平方關(guān)系：．定義雙曲正弦函數(shù)為．(1)寫出，具有的類似于題中①、②、③的一個性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；(2)任意，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)正項數(shù)列滿足，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．考點十八、函數(shù)凹凸性1．（2024·安徽·模擬預(yù)測）給出定義：若函數(shù)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱在D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記.若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在上不是是凸函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；(2)若，判斷在區(qū)間上的零點個數(shù).1．（2024·安徽·三模）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.若為上任意個實數(shù)，滿足，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.已知，且，令的最小值為，則為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）閱讀以下材料：①設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若在區(qū)間D單調(diào)遞增；則稱為區(qū)上的凹函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).②平面直角坐標(biāo)系中的點稱為函數(shù)的“切點”，當(dāng)且僅當(dāng)過點恰好能作曲線的條切線，其中.(1)已知函數(shù).（i）當(dāng)時，討論的凹凸性；（ii）當(dāng)時，點在軸右側(cè)且為的“3切點”，求點的集合；(2)已知函數(shù)，點在軸左側(cè)且為的“3切點”，寫出點的集合（不需要寫出求解過程）.考點十九、切線問題1．（23-24高二下·上海閔行·期末）若函數(shù)的圖像上有兩個不同點處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的“自公切線”.(1)試判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”（不需要說明理由）；(2)若，求函數(shù)的圖像的“自公切線”方程；(3)設(shè)，求證：函數(shù)的圖像不存在“自公切線”2．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應(yīng)用，更是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)的重要工具，在極限理論的研究下，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，更是與切線有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實際問題：(1)對于函數(shù)，分別在點處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點分別為，記為數(shù)列的第項，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.①設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；②設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，則，求的通項公式.(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問題時，牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，曲線在點處的切線為，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；曲線在點處的切線為，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點處的切線為，記與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個不相等的實根，其中.對函數(shù)持續(xù)實施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當(dāng)時，恒成立，無需證明）1．（2024·上海黃浦·二模）若函數(shù)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖象的“自公切線”，稱這兩點為函數(shù)的圖象的一對“同切點”.(1)分別判斷函數(shù)與的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；(2)若，求證：函數(shù)有唯一零點且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；(3)設(shè)，的零點為，，求證：“存在，使得點與是函數(shù)的圖象的一對‘同切點’”的充要條件是“是數(shù)列中的項”.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知為實數(shù)，函數(shù)．(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)定義：若函數(shù)的圖象上存在兩點，設(shè)線段的中點為，若在點處的切線與直線平行或重合，則函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”．試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由；(3)設(shè)，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．考點二十、類型函數(shù)1．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值；(3)若函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的取值范圍.2．（2024·黑龍江·三模）若函數(shù)y=fx滿足：對任意的實數(shù)，有恒成立，則稱函數(shù)y=fx為“增函數(shù)”.(1)求證：函數(shù)不是“增函數(shù)”；(2)若函數(shù)是“增函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若曲線y=gx在處的切線方程為，求的值，并證明函數(shù)y=gx是“增函數(shù)”.1．（2024·貴州六盤水·三模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”(1)若，判斷是否為上的“4類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”且，證明：，，.2．（2024·新疆喀什·三模）已知定義域為的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）(2)已知函數(shù)（，），判斷是否存在，，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說明理由；(3)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上的值域為f0,f2π．函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個零點．求證：f2π=21．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù)，且滿足：對有，則的可能取值是（

）A． B．0 C． D．2．（2024·山東菏澤·二模）（多選）函數(shù)的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如，．下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)與函數(shù)無公共點B．若，則C．D．所有滿足的點組成區(qū)域的面積為3．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）著名的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（

）A．B．的圖象關(guān)于軸對稱C．的圖象關(guān)于軸對稱D．存在一個正三角形，其頂點均在的圖象上4．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）記實數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為．5．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）（多選）定義表示中的最小者，設(shè)函數(shù)，則（

）A．有且僅有一個極小值點為 B．有且僅有一個極大值點為3C． D．恒成立6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·江西南昌·三模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則數(shù)列的前項和為.8．（2024·貴州黔南·二模）歐拉函數(shù)表示不大于正整數(shù)且與互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個數(shù).已知，其中，，…，是的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)）.例如.若數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則.9．（23-24高三下·北京海淀·階段練習(xí)）華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混濁”的數(shù)學(xué)定義：由此發(fā)展的混濁理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用，在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對于，令，若存在正整數(shù)k使得，且當(dāng)時，，則稱是的一個周期為k的周期點．若，寫出一個周期為1的周期點．10．（22-23高二下·北京海淀·期中）法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個定理：如果函數(shù)滿足如下條件：①的圖象在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；②在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間上至少存在一個數(shù)，使得.這就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中稱為拉格朗日中值.請閱讀以上內(nèi)容，回答以下問題:(1)函數(shù)在區(qū)間上的拉格朗日中值為____________；(2)下列函數(shù)，是否存在以0為拉格朗日中值的區(qū)間?若存在，請將函數(shù)對應(yīng)的序號全部填在橫線上____________.①；

②；

③；

④；

⑤11．（2024·湖北·一模）我們知道通過牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形（如圖1所示陰影部分）的面積，其中，．如果平面圖形由兩條曲線圍成（如圖2所示陰影部分），曲線可以表示為，曲線可以表示為，那么陰影區(qū)域的面積，其中．(1)如圖，連續(xù)函數(shù)y=fx在區(qū)間與的圖形分別為直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間與0,2的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設(shè)．求的值；(2)在曲線上某一個點處作切線，便之與曲線和x軸所圍成的面積為，求切線方程；(3)正項數(shù)列bn是以公差為d（d為常數(shù)，）的等差數(shù)列，，兩條拋物線，記它們交點的橫坐標(biāo)的絕對值為，兩條拋物線圍成的封閉圖形的面積為，求證：．12．（2024·山西臨汾·三模）記為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，，若存在，則稱階可導(dǎo)．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導(dǎo)，則可構(gòu)造（稱其為在處的次泰勒多項式）來逼近在附近的函數(shù)值．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．在處的3次泰勒多項式為D．（精確到小數(shù)點后兩位數(shù)字）13．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個方程組，如下：，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點．的值代入到中即為極值．補充說明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對進(jìn)行求導(dǎo)．(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù)滿足，求的最大值．(3)①若為實數(shù)，且，證明：．②設(shè)，求的最小值．14．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）記，若存在，滿足：對任意，均有，則稱為函數(shù)在上的最佳逼近直線.已知函數(shù)，.(1)請寫出在上的最佳逼近直線，并說明理由；(2)求函數(shù)在上的最佳逼近直線.15．（2024·上海·模擬預(yù)測）設(shè)定義域為的函數(shù)y=fx在上可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為y=f′x.若區(qū)間及實數(shù)滿足：對任意成立，則稱函數(shù)y=fx為上的“函數(shù)”.(1)判斷是否為0,+∞上的函數(shù)，說明理由；(2)若實數(shù)滿足：為上的函數(shù)，求的取值范圍；(3)已知函數(shù)y=fx存在最大值．對于：：對任意與恒成立，：對任意正整數(shù)都是上的函數(shù)，問：是否為的充分條件？是否為的必要條件？證明你的結(jié)論.16．（2024·河南信陽·二模）已知函數(shù)，其中，.若點在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過點的切線與函數(shù)圖像的另一個交點為點，則稱點為點的一個“上位點”，現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點列，，…，，…，使得對任意正整數(shù)，點都是點的一個“上位點”.(1)若，請判斷原點是否存在“上位點”，并說明理由；(2)若點的坐標(biāo)為，請分別求出點、的坐標(biāo)；(3)若的坐標(biāo)為，記點到直線的距離為.問是否存在實數(shù)和正整數(shù)，使得無窮數(shù)列、、…、…嚴(yán)格減？若存在，求出實數(shù)的所有可能值；若不存在，請說明理由.17．（23-24高二下·江西九江·期末）記為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，，若存在，則稱階可導(dǎo).英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導(dǎo)，則可構(gòu)造（稱其為在處的次泰勒多項式）來逼近在附近的函數(shù)值.下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．在處的3次泰勒多項式為 D．18．（23-24高一上·山東臨沂·期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無法準(zhǔn)確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異.通過觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念.已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域為，如果對于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù).對于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又