第02講 球體的外接與內(nèi)切問題（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第02講球體的外接與內(nèi)切問題（11類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第12題,5分球體相關(guān)計(jì)算正棱錐及圓柱體的相關(guān)計(jì)算2022年新I卷，第8題,5分球的體積的有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問題錐體體積的有關(guān)計(jì)算由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)2022年新Ⅱ卷，第7題,5分球的表面積的有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問題無(wú)2021年新Ⅱ卷，第4題,5分球的表面積的有關(guān)計(jì)算無(wú)2020年新I卷，第4題,5分球的截面的性質(zhì)及計(jì)算無(wú)2020年新I卷，第16題,5分球的截面的性質(zhì)及計(jì)算無(wú)2020年新Ⅱ卷，第4題,5分球的截面的性質(zhì)及計(jì)算無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等或偏上，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握球體的表面積公式和體積公式2.熟練掌握不同模型的球體的外接球和內(nèi)切球的相關(guān)計(jì)算3.會(huì)利用（二級(jí)）結(jié)論快速解題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般有特殊幾何體、墻角問題、對(duì)棱相等、側(cè)棱垂直于底面、側(cè)面垂直于底面的外接內(nèi)切問題，需強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識(shí)講解球的表面積和體積公式球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空間幾何體的外接球：球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.墻角模型（三條直線兩兩垂直）補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之漢堡模型（1）補(bǔ)型：補(bǔ)成長(zhǎng)方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長(zhǎng)方體相同（2）作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直三校柱內(nèi)接于一球（棱柱的上下底面為直角三角形）R底面外接圓的半徑r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長(zhǎng)（正）方形：半徑等于對(duì)角線的一半正棱錐類型h?R2+側(cè)棱垂直與底面-垂面型R側(cè)面垂直與底面-切瓜模型如圖：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC為小圓直徑)

（1）由圖知球心O必為△PAC的外心,即△PAC在大圓面上,先求出小圓面直徑AC的長(zhǎng);

（2如圖：:平面PAC⊥平面BAC（1）確定球心O的位置,由圖知P,O,H三點(diǎn)共線;

（2）算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=?

（內(nèi)切球如圖：求任意三棱雉的內(nèi)切球半徑(等體積法)

（1）先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)椎體的體積;

（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r,建立等式:VP?

（3）解出r結(jié)論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為.考點(diǎn)一、特殊幾何體外接球1．（廣東·高考真題）棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為．【答案】【分析】正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出后，即可求出球的表面積．【詳解】解：正方體的體對(duì)角線就是球的直徑，設(shè)其體對(duì)角線的長(zhǎng)為，則，所以，所以，所以.故答案為：．2．（天津·高考真題）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為．【答案】【詳解】試題分析：球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即,因此球的表面積為考點(diǎn)：球的表面積3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在一個(gè)半徑為2的半球形封閉容器內(nèi)放入兩個(gè)半徑相同的小球，則這兩個(gè)小球的表面積之和最大為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意確定兩個(gè)小球的表面積之和最大的情況，如圖，根據(jù)勾股定理可得，則，解出r，結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】當(dāng)兩個(gè)小球的表面積之和最大時(shí)兩小球相切，且兩小球均與半球形封閉容器相切，此時(shí)設(shè)兩小球的球心分別為，，半球形封閉容器的底面圓心為O，作出過(guò)，，O的截面如圖所示，連接并延長(zhǎng)，交半圓于點(diǎn)A，則A為圓與半圓的切點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)小球的半徑為r，得，所以，解得，所以這兩個(gè)小球的表面積之和的最大值為．故選：A5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知一圓臺(tái)內(nèi)切球與圓臺(tái)各個(gè)面均相切，記圓臺(tái)上、下底面半徑為，若r1r2=1A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)相切，可得△AO2O∽△O【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點(diǎn)，與上、下底的分別切于點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，圓臺(tái)上下底面的半徑為．注意到與均為角平分線，因此∠DOA=90°，從而△AO2O∽△O設(shè)圓臺(tái)的體積為，球的體積為，則V1V故選：A．6．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知邊長(zhǎng)為6的正方體與一個(gè)球相交，球與正方體的每個(gè)面所在平面的交線都為一個(gè)面積為的圓，則該球的表面積為（

）A．96π B． C． D．【答案】B【分析】首先得截面圓半徑，再求得球心到截面圓的距離即可得球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】由對(duì)稱性，球心與正方體重心重合，且每個(gè)面的交線半徑為4.連球心與任意面中心，則連線長(zhǎng)為3，且連線垂直該面，再連交線圓上一點(diǎn)與球心（即為球半徑），由勾股定理得球的半徑為5，則表面積為.故選：B.1．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)可求解半徑，由表面積公式即可求解.【詳解】由正六棱柱的性質(zhì)可得為其外接球的球心（如圖）,由于底面為正六邊形，所以為等邊三角形，故,所以,所以為外接球的半徑，故外接球表面積為，故選：D2．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐底面半徑為1，高為2，則該圓錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐外接球的半徑為，由圓錐的結(jié)構(gòu)特征求出的值，再由球的表面積公式計(jì)算可得．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓錐外接球的半徑為，則有，解得，則該圓錐的外接球表面積．故選：C．3．（2024·寧夏石嘴山·一模）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，它的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是【答案】【分析】正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則其外接球的球心在它的高線上，求解三角形可得球的半徑，可求球的表面積.【詳解】如圖，正四棱錐的外接球的球心在它的高上，記外接球半徑為，，，，底面正方形邊長(zhǎng)為2，在中，，可得，解得，∴球的表面積故答案為：4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知圓柱的底面直徑為，它的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)表面積為的球面上，該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出球的半徑以及圓柱的底面半徑，在軸截面中，找到二者與圓柱的高之間的關(guān)系，即可求出圓柱的高，從而求得圓柱的體積.【詳解】球的表面積為4πR2圓柱的底面直徑為，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故選：D.

5．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱柱的底面棱長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)之比為1：2，且其外接球的表面積為，則該正四棱柱的側(cè)面積為（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】D【分析】設(shè)正四棱柱的底面棱長(zhǎng)為a，則側(cè)棱長(zhǎng)為2a，根據(jù)外接球的表面積求解球的半徑，即可求得，從而求解正四棱柱的側(cè)面積.【詳解】設(shè)正四棱柱的底面棱長(zhǎng)為a，則側(cè)棱長(zhǎng)為2a，因?yàn)槠渫饨忧虻谋砻娣e為，設(shè)其外接球的半徑為R，則，解得，又正四棱柱外接球的直徑為其體對(duì)角線，所以，解得，則該正四棱柱的側(cè)面積為.故選：D6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓柱的體積為，且圓柱的底面直徑和高都等于球O的直徑，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先應(yīng)用圓柱體積計(jì)算半徑，再根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)球O的直徑為，則圓柱的底面直徑和高均為，又圓柱的體積為，則，即，解得，所以球的表面積為.故選：D.考點(diǎn)二、墻角問題1．（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）已知三棱錐中，，，，底面，且，則該三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【詳解】由題意可得三棱錐的外接球即為以、、為棱的長(zhǎng)方體的外接球，計(jì)算出該長(zhǎng)方體體對(duì)角線即的長(zhǎng)度結(jié)合球的表面積公式即可得.【點(diǎn)睛】由，故，又底面，、平面，故，，故三棱錐的外接球即為以、、為棱的長(zhǎng)方體的外接球，其中為該長(zhǎng)方體體對(duì)角線，即該三棱錐的外接球的半徑，又，故，則.故答案為：.2．（2023·天津·?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且，則此三棱錐的外接球的體積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知：可將三棱錐放入長(zhǎng)方體中考慮，則長(zhǎng)方體的外接球即三棱錐的外接球，故球的半徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的一半，設(shè)，則，故,得球的體積為：3．（2021春·廣西柳州·高三柳鐵一中?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，且，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知CA,CB,CD兩兩垂直，所以補(bǔ)形為長(zhǎng)方形，三棱錐與長(zhǎng)方體共球，，求的外接球的表面積，選C【點(diǎn)睛】求共點(diǎn)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球相關(guān)問題，我們常用的方法為補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方體的外接球問題．充分體現(xiàn)補(bǔ)形轉(zhuǎn)化思想．1．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，兩兩垂直，且，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何體特征可知球即為以為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)長(zhǎng)方體外接球半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)一半可求得球的半徑，由球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】四面體的外接球即為以為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，球的外接球半徑，球的表面積.故選：B.2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？既＃┤羧忮FP-ABC的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，其中PA⊥平面ABC，，，，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，再根據(jù)長(zhǎng)方體外接球計(jì)算球的體積即可.【詳解】因?yàn)镻A⊥平面ABC，，所以可將該三棱錐進(jìn)行補(bǔ)形，補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，從而長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球，則外接球的直徑為，得，故三棱錐P-ABC的外接球的體積為.故選：D.考點(diǎn)三、對(duì)棱相等問題1．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐中，，，，那么該三棱錐外接球的表面積是．【答案】【分析】根據(jù)題意得到三棱錐的對(duì)棱相等，可知該三棱錐可置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，再求長(zhǎng)方體外接球的表面積即可得.【詳解】由題意，該三棱錐的對(duì)棱相等，可知該三棱錐可置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示：記該長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為，則，即，所以外接球半徑為，．故答案為：.2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知四面體ABCD中，，若四面體ABCD的外接球的表面積為7，則四面體ABCD的體積為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】將四面體放入長(zhǎng)方體中，如圖，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為，由題意列方程求出，再由三棱錐的體積公式求解即可.【詳解】將四面體放入長(zhǎng)方體中，如圖，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為，由，故選：A.1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造面對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，5，的長(zhǎng)方體，求出其體對(duì)角線長(zhǎng)即可求解作答.【詳解】三棱錐中，，，，構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，5，，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：A2．（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用割補(bǔ)法及勾股定理，結(jié)合長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是外接球的直徑及球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，此四面體可以看成一個(gè)長(zhǎng)方體的一部分，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，所以此四面體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即,解得.所以四面體外接球表面積是.故答案為：B.考點(diǎn)四、側(cè)棱垂直底面問題1．（2024·河北·三模）已知三棱錐，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)球的表面積求出球的半徑，再由平面，則求出，最后根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，設(shè)外接圓的半徑為，則，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，解得（負(fù)值已舍去）；因?yàn)槠矫?，所以，即，解得（?fù)值已舍去）；所以.故選：B2．（2024·湖南常德·一模）已知三棱錐中，平面，4，3，，7，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意畫出圖形，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再由勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案．【詳解】如圖，設(shè)的外心為，過(guò)作底面的垂線，使，則為三棱錐的外接球的球心，在中，由3，，7，得，故，設(shè)的外接圓的半徑為，則，，．三棱錐外接球的表面積為．故選：B3．（2024·青?！ざ＃┤鐖D，已知在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，底面積為，且，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)為，即可說(shuō)明點(diǎn)為梯形外接圓的圓心，再證明平面，過(guò)的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，即可得到為四棱錐外接球球心，外接球半徑為，從而求出表面積.【詳解】取的中點(diǎn)為，因?yàn)?，等腰梯形的面積為，所以梯形的高為，所以，則，所以，連接、，所以、為等邊三角形，點(diǎn)為梯形外接圓的圓心，連接，在中，根據(jù)余弦定理得，即，解得.因?yàn)?，，所以，所?因?yàn)椋珹D∩BD=D，平面，所以平面，過(guò)的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，且為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為外接圓圓心，所以為四棱錐外接球球心，所以外接球半徑為，故表面積.故選：D1．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，平面，，，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中點(diǎn)E，根據(jù)已知可得E為的外心，過(guò)E作底面的垂線，使，可得O為三棱錐外接球的球心，計(jì)算球的半徑，由球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】在中，因?yàn)?，，，所以，所以，取中點(diǎn)E，則E為的外心，且外接圓的半徑為，過(guò)E作底面的垂線，使，又平面，則O為三棱錐外接球的球心，所以外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積為，故選：C.2．（2023·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P－ABC中，，，且，，，，則此三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知求得，根據(jù)勾股定理證明得到，進(jìn)而推得平面，則該三棱錐可以看作是長(zhǎng)方體的一部分，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即可得出外接球的半徑，進(jìn)而根據(jù)體積公式，即可得出答案.【詳解】如圖1，因?yàn)椋?，，所?又，，所以在中，有，所以，，即.又，平面，平面，，所以平面.則該三棱錐可以看作是長(zhǎng)方體的一部分，如圖2其中，，，，則，所以此三棱錐外接球的半徑為，所以，此三棱錐外接球的體積為.故選：B.3．（2023·山東德州·三模）在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理可得三角形的外接圓半徑為，根據(jù)勾股定理即可求解外接球半徑，進(jìn)而可求表面積.【詳解】由題意可得所以在三角形中，由等面積法可得,設(shè)三角形的外接圓半徑為，圓心為,則由正弦定理得，由于平面,設(shè)三棱錐外接球的半徑為,球心到平面的距離為，過(guò)作,則，因此,故外接球的表面積為,故選：A

考點(diǎn)五、側(cè)面垂直于底面問題1．（2024·山東泰安·二模）已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記球心為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，的中點(diǎn)為，證明為矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半徑，再由球的表面積公式可得.【詳解】記球心為，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，的中點(diǎn)為.因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，由球的性質(zhì)可知，平面，所以，同理，所以四邊形為矩形，因?yàn)?，所以，，所以，所以外接球的表面積為.故選：B2．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知在三棱錐中，，，，平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圖形，由題設(shè)條件可得外接圓圓心即三棱錐外接球球心，利用正弦定理即可求出其半徑即得.【詳解】如圖，因平面平面，，的外心為邊的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球球心即為外接圓圓心，設(shè)外接球半徑為.在中，，,故由余弦定理可得，，即，由正弦定理，，則，即三棱錐外接球的半徑為，故其外接球的表面積為．故選：D．3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的各頂點(diǎn)在同一球面上，若，為正三角形，且面面，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作輔助線，找到球心的位置，證明到四棱錐所有頂點(diǎn)距離相等；根據(jù)勾股定理，求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，在線段上取一點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，使，連接，易知四邊形是等腰梯形，、、均為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以平面，又因?yàn)槭堑耐庑模?，所以，所以即為四棱錐外接球的球心，因?yàn)?，，所以所以，故選：C.1．（2024·寧夏固原·一模）已知四面體的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)題意將四面體看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以可將四面體看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，如圖所示：則四面體的外接球即直三棱柱的外接球，因?yàn)榈酌嫒切蔚耐庑牡饺切蔚捻旤c(diǎn)的長(zhǎng)度為，所以直三棱柱的外接球的半徑，則球的表面積，故選：A.2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點(diǎn)，，則三棱錐外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到平面ABEF，進(jìn)一步得出，，則MC為外接球直徑，代入球的表面積公式即可求解．【詳解】由可知，，，可求，，，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC為外接球直徑，在Rt△MBC中，即，故外接球表面積為．故選：A．3．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，P為棱的中點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取三角形，四邊形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根據(jù)球的表面積公式求表面積即可.【詳解】設(shè)四棱錐的外接球球心為，取中點(diǎn)，連接，取三角形，四邊形的外心，，連接，，，，，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，，，，，所以，外接球的表面積.故選：C.考點(diǎn)六、二面角與球體綜合1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在菱形中，，，將沿翻折，使二面角的余弦值為，則四面體的外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解出,，得到是二面角的平面角.根據(jù)余弦值為，求解出，判斷是正四面體，放置在正方體中，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，則，，故是二面角的平面角,因?yàn)?所以,在中，由余弦定理,得，故四面體是正四面體.如圖所示，將其放置在正方體中，使得，，，是正方體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正方體的棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)，即四面體的外接球的半徑為，所以外接球的表面積為.故答案為：2．（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為．【答案】【分析】依題意可得，球心在過(guò)的中點(diǎn)與平面垂直的直線上，同時(shí)也在過(guò)的中心與平面垂直的直線上，即可得到，求出，從而求出三棱錐的外接球的半徑為，即可得到外接球的體積.【詳解】解：如圖，∵，即，∴.∴球心在過(guò)的中點(diǎn)與平面垂直的直線上，同時(shí)也在過(guò)的中心與平面垂直的直線上，.∴這兩條直線必相交于球心.∵二面角的大小為，易知，，，，，∴三棱錐的外接球的半徑為.∴三棱錐的外接球的體積為.故答案為：3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，沿對(duì)角線將菱形折起，使得二面角為鈍二面角，且折后所得四面體外接球的表面積為，則二面角的余弦值為.【答案】【分析】作出，的外心，根據(jù)線面垂直得到二面角的平面角，再通過(guò)余弦的定義和二倍角的余弦公式即可求出.【詳解】如圖，設(shè)O為四面體ABCD外接球的球心，半徑為R，令，分別為正和正的外心，則，，平面ABD，平面CBD.則，于是平面，平面交BD點(diǎn)于E，連接，，則，因此為二面角的平面角.設(shè)其大小為，，，，.連接，則，，.

故答案為：.1．（2024·河北保定·三模）在三棱錐中，已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且.若和的面積之積為，且二面角的余弦值為，則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】/【分析】設(shè)中點(diǎn)為，外接圓圓心為，根據(jù)條件得到，外接圓圓心為，由截面圓的性，找出外接球的球心，再由幾何性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，外接圓圓心為，球心為，因?yàn)?，所以，又是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，結(jié)合題設(shè)有，所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圓圓心為，又因?yàn)椋詾槎娼堑钠矫娼?，結(jié)合已知該角為銳角，由題意可知，，過(guò)，分別作平面，平面的垂線，相交于一點(diǎn)，由截面圓的性質(zhì)可知，兩垂線的交點(diǎn)為球心，如圖所示，所以，，得到，又易知，，所以，所以外接球半徑，所以外接球表面積，故答案為：.2．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，對(duì)角線，將沿著折疊，使得二面角為，，則三棱錐的外接球的表面積為.

【答案】【分析】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，得到，在中由余弦定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出的長(zhǎng),分別記三角形與的重心為、，記該幾何體的外接球球心為，連接，，證明與全等，求出，再推出，連接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面積.【詳解】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，則，，可知即為二面角的平面角，即；設(shè)，則，在中，由余弦定理可得：，即解得，即，可得，所以與是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，分別記三角形與的重心為、，則，；；因?yàn)榕c都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以點(diǎn)是的外心，點(diǎn)是的外心；記該幾何體的外接球球心為，連接，，

根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，所以與都是直角三角形，且為公共邊，所以與全等，因此，所以；因?yàn)?，，，平面，所以平面；又平面，所以，連接，則外接球半徑為，所以外接球表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解幾何體外接球體積或表面積問題時(shí)，一般需要結(jié)合幾何體結(jié)構(gòu)特征，確定球心位置，求出球的半徑，即可求解；在確定球心位置時(shí)，通常需要先確定底面外接圓的圓心，根據(jù)球心和截面外接圓的圓心連線垂直于截面，即可確定球心位置；有時(shí)也可將幾何體補(bǔ)型成特殊的幾何體（如長(zhǎng)方體），根據(jù)特殊幾何體的外接球，求出球的半徑.3．（2024·河南·一模）在四棱錐中，已知平面平面，，若二面角的正切值為，則四棱錐外接球的表面積為．【答案】/【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接，即可證明平面，從而得到，再由，即可得到平面，從而得到為二面角的平面角，即可求出，又三棱錐外接球的球心在直線上，求出三棱錐外接球的半徑，即可得到外接球的表面積，再由、、、四點(diǎn)共圓，即可得到三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，從而得解.【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接．因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，平面，所以，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)?，所以，所以三棱錐外接球的球心在直線上，由知在線段的延長(zhǎng)線上．設(shè)，則，即，所以，所以三棱錐外接球的半徑為，表面積為，因?yàn)?，，即，所以、、、四點(diǎn)共圓，所以三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，故四棱錐外接球的表面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.考點(diǎn)七、數(shù)學(xué)文化與球體綜合1．（23-24高二上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革?內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動(dòng)，類似今日的踢足球活動(dòng).已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P?A?B?C，其中平面，，則該球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而得到三棱錐的外接球即為以為長(zhǎng)，寬，高的長(zhǎng)方體的外接球，求出長(zhǎng)方體體對(duì)角線的長(zhǎng)，得到該球的半徑和體積.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以兩兩垂直，所以三棱錐的外接球即為以為長(zhǎng)，寬，高的長(zhǎng)方體的外接球，即該球的直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的長(zhǎng)，因?yàn)?，所以，所以該球的半徑?，體積為.

故選：C2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）三星堆古遺址作為“長(zhǎng)江文明之源“，被譽(yù)為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一．3號(hào)坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會(huì)中神樹的意義提供了重要依據(jù)．玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學(xué)者認(rèn)為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn)，如圖，假定某玉琮形狀對(duì)稱，由一個(gè)空心圓柱及正方體構(gòu)成，且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，則球O的表面積為【答案】【分析】過(guò)圓柱的旋轉(zhuǎn)軸和正方體的一條側(cè)棱作截面，利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】過(guò)圓柱的旋轉(zhuǎn)軸和正方體的一條側(cè)棱作截面，得截面圖如圖所示：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，球О的半徑為R，則圓柱的底面直徑為，因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線即為球О直徑，故，得，易知，截面中兩個(gè)矩形的對(duì)角線都是球的直徑，正方體的面對(duì)角線為，所以，由勾股定理得：，解得，球的表面積為，故答案為：3．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）粽子，古時(shí)北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米、泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國(guó)漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風(fēng)俗，千百年來(lái)在中國(guó)盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風(fēng)味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個(gè)正四面體，蛋黃近似看成一個(gè)球體，且每個(gè)粽子里僅包裹一個(gè)蛋黃，若粽子的棱長(zhǎng)為6cm，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積為．

【答案】【分析】蛋黃近似看成一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正四面體的內(nèi)切球，設(shè)正面體的內(nèi)切球的球心為，球的半徑為，正四面體的表面積為，體積為，則由可求出，從而可求出蛋黃的體積.【詳解】蛋黃近似看成一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正四面體的內(nèi)切球，設(shè)正面體的內(nèi)切球的球心為，球的半徑為，正四面體的表面積為，體積為，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為6，所以正四面體的高，正四面體的表面積為，因?yàn)椋?，解得，所以蛋黃的體積為，故答案為：4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語(yǔ)，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除中，底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，且．則這個(gè)幾何體的外接球的體積為．【答案】【分析】結(jié)合題意，找出垂直底面且過(guò)底面外接圓圓心的直線，則球心必在該直線上，設(shè)出球心，借助球心到各頂點(diǎn)距離相等，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可得半徑，運(yùn)用球的體積公式即可得球的體積.【詳解】連接，分別取、、中點(diǎn)、、，連接、、，由底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，故，底面，又，故，則，故，由為底面正方形中心，，故羨除外接球球心在直線上，連接、、，設(shè)半徑為，，則,由底面，平面，故，又，、平面，故平面，又平面，故，故，又，故有，即，又，故有，解得，故，即，則這個(gè)幾何體的外接球的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查幾何體外接球問題，關(guān)鍵在于借助題目條件，找出垂直底面且過(guò)底面外接圓圓心的直線，則該幾何體的外接球球心必在該直線上，設(shè)出該點(diǎn)位置，從而可結(jié)合勾股定理計(jì)算出該球半徑，即可得解.1．（23-24高一下·浙江·期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個(gè)三棱柱的表面積是（

）A．2+22 B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件確定球心的位置，根據(jù)球的半徑求得棱柱的高，可計(jì)算表面積.【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，連接MM1，取MM1的中點(diǎn)．直三棱柱中，，，四邊形是平行四邊形，有，因?yàn)槿庵牡酌媸侵苯侨切危?，所以，，，分別是，的外接圓圓心．因?yàn)槠矫?，所以平面，所以為的外接球的球心．連接，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以球的半徑為1，即OB=1，，則，，可得，，所以三棱柱的表面積，故選：C．2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個(gè)被后人稱作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積（如上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學(xué)制作了一個(gè)工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個(gè)球去掉了6個(gè)球冠后剩下的部分.若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為，則該工藝品的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，求出截面圓的半徑，利用幾何關(guān)系可求出球體的半徑，求出球體的表面積和一個(gè)球冠的表面積，再利用球體的表面積減去個(gè)球冠的表面積并加上個(gè)截面圓的面積可得出該實(shí)心工藝品的表面積.【詳解】設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半即此距離為，根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得，得，故，得R=5，所以球的表面積．如圖，，且，則球冠的高，得所截的一個(gè)球冠表面積，且截面圓面積為，所以工藝品的表面積．故選：B.3．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為，則該多面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，把多面體放在棱長(zhǎng)為的正方體中，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征確定球心，求出球半徑作答.【詳解】把該多面體放入正方體中，如圖，由于多面體的棱長(zhǎng)為，則正方體的棱長(zhǎng)為，因此該多面體是由棱長(zhǎng)為的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，于是得該多面體的外接球球心是正方體體對(duì)角線中點(diǎn)，該多面體外接球半徑等于球心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，即正方體面對(duì)角線的一半，則，解得，所以經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積.故選：A4．（2023·浙江溫州·二模）如今中國(guó)被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長(zhǎng)為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（

）A． B． C． D．21π【答案】B【分析】作出輔助線，先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個(gè)球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個(gè)球的半徑，得到答案.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，過(guò)點(diǎn)作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則⊥，設(shè)最大球的半徑為，則，因?yàn)椤?，所以，即，解得R=1，即，則，故設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長(zhǎng)度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個(gè)球的表面積和為.故選：B【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑考點(diǎn)八、最值與球體綜合1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知體積為的正四棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用棱錐的體積公式得到的關(guān)系式，進(jìn)而得到球的半徑關(guān)于的關(guān)系式，利用三元基本不等式求得其最小值，從而得解.【詳解】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則體積，所以，設(shè)球的半徑為，則，即，

則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以球的表面積的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是求得球的半徑關(guān)于的關(guān)系式，從而利用三元基本不等式即可得解.2．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）不計(jì)容器壁厚度的有蓋立方體容器的邊長(zhǎng)是1，向其中放入兩個(gè)小球，則這兩個(gè)小球的體積之和的最大值是.【答案】【分析】根據(jù)正方體內(nèi)切球的特征結(jié)合球的體積公式及二次函數(shù)性質(zhì)求最值計(jì)算即可.【詳解】如上圖所示，當(dāng)兩個(gè)小球內(nèi)切于正方體，且兩個(gè)小球也相切，球心位于體對(duì)角線上時(shí)球的體積可取最大，設(shè)兩個(gè)小球的半徑分別為，作出橫截面如下圖，不妨設(shè)分別切于，則有，不妨設(shè)，易知，則，則兩球體積之和為，又，顯然當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí).故答案為：.3．（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）在四棱錐中，底面是直角梯形，，.若，且三棱錐的外接球的表面積為，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由球的表面積公式得半徑，確定球心和點(diǎn)在底面的投影，建立函數(shù)關(guān)系求解．【詳解】由球的表面積4πR2因?yàn)闉橹苯侨切?，所以的外接球球心在底面的投影為中點(diǎn)，而，故在底面的投影為垂直平分線與垂直平分線的交點(diǎn)，即中點(diǎn)，，，可得，設(shè)，則，設(shè)，令，則，，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值，此時(shí)四棱錐的體積最大，長(zhǎng)為．故選：D

4．（2023·河南·三模）已知四棱錐的高為，底面為菱形，，分別為的中點(diǎn)，則四面體的體積為；三棱錐的外接球的表面積的最小值為．【答案】【分析】第一空，利用切割法，結(jié)合棱體的體積公式即可得解；第二空，先分析出三棱錐的外接球的表面積取得最小值時(shí)的情況，再求得此時(shí)的半徑，從而得解.【詳解】如圖，設(shè)，連接，，易知分別為中點(diǎn)，，所以，，四邊形是菱形，，為全等的正三角形，，；因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，記其中心為，則的外接圓的半徑為，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，球心為，則底面過(guò)作底面交于，則，結(jié)合圖象可知，其中，，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為2，即，所以，易知關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，三點(diǎn)共線，由，解得，所以棱錐的外接球的表面積的最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.5．（2024·廣東廣州·二模）用兩個(gè)平行平面去截球體，把球體夾在兩截面之間的部分稱為球臺(tái)．根據(jù)祖暅原理（“冪勢(shì)既同，則積不容異”），推導(dǎo)出球臺(tái)的體積，其中分別是兩個(gè)平行平面截球所得截面圓的半徑，是兩個(gè)平行平面之間的距離．已知圓臺(tái)的上、下底面的圓周都在球的球面上，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，若圓臺(tái)上、下底面截球所得的球臺(tái)的體積比圓臺(tái)的體積大，則球O的表面積與圓臺(tái)的側(cè)面積的比值的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為，根據(jù)母線與底面所成的角為，可得圓臺(tái)的高為，母線長(zhǎng)為，表示出圓臺(tái)體積，由題意，可求得，進(jìn)而可得，求值域即可得解．【詳解】設(shè)圓臺(tái)的一條母線為，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則即為母線與底面所成的角為，設(shè)圓臺(tái)上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，高為，則，即，即，圓臺(tái)體積為，球臺(tái)的體積為，由題意，則，即，即，即，設(shè)圓臺(tái)外接球的球心為，半徑為，則在所在直線上，設(shè)，則，由，解得，則球的表面積，臺(tái)體側(cè)面積，故，，由，可得，則，則，故的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】立體幾何中體積最值問題，一般可從三個(gè)方面考慮：一是構(gòu)建函數(shù)法，即建立所求體積的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過(guò)程中兩個(gè)互相牽制的變量（兩個(gè)變量之間有等量關(guān)系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值.1．（23-24高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.“蹴”有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早是外包皮革?內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動(dòng).如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，滿足平面，若的面積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的外接球球心，用線段長(zhǎng)表示出球半徑，再借助均值不等式求解作答.【詳解】在三棱錐中，因?yàn)槠矫鍭BC，平面，則，而，平面，因此平面，又平面，于是，取中點(diǎn)，連接，從而，則點(diǎn)是三棱錐的外接球球心，如圖，設(shè)該外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此三棱錐的外接球表面積，所以制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再求出球的半徑即可.2．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的上、下底面中心分別為，且，上、下底面半徑分別為2，12，在圓臺(tái)容器內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，則該球表面積的最大值為（

）A． B． C． D．248π【答案】B【分析】由題意作出軸截面，利用直角三角形知識(shí)求得，即可求解球的表面積.【詳解】如圖所示，根據(jù)題意可知.設(shè)圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的球心為，且與底面和母線AB分別切于兩點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，所以可知球的半徑，此時(shí)球的直徑為，即此時(shí)球與圓臺(tái)上底面不相切，因此圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的表面積.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.3．（2024·江蘇南通·三模）已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正四棱臺(tái)的高，再分析出最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，再根據(jù)三角函數(shù)得到其半徑大小，最后利用球的表面積公式即可.【詳解】作出如圖所示正四棱臺(tái)，其中為正四棱臺(tái)的高，為其斜高，

因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)?，故半徑最大的球不與上下底面同時(shí)相切，，則，則，過(guò)作正四棱臺(tái)的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，則，則更確定最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，

即該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球半徑，球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到正四棱臺(tái)內(nèi)半徑的最大的球是與側(cè)面和底面同時(shí)相切的，再求出其高，得到側(cè)棱與底面夾角，作出軸截面圖形，再求出最大球半徑.4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，若，其中是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則四棱錐外接球表面積的最小值為（

）A．323π27 B． C． D．【答案】C【分析】利用得共圓，且圓心為的中點(diǎn)設(shè)為，設(shè)外接球的球心為，設(shè)OO1=x，過(guò)作與平面的垂線，垂足設(shè)為，則為的中心，設(shè)，外接球的半徑為，利用得與重合時(shí)，外接球表面積取得最小可得答案.【詳解】如圖，連接，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以四邊形必存在一個(gè)外接圓，且圓心為的中點(diǎn)設(shè)為，設(shè)外接球的球心為，則平面，設(shè)OO1=x，過(guò)作與平面的垂線，垂足設(shè)為，連接，則為的中心，且必位于底面的上方，設(shè)，外接球的半徑為，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即與重合時(shí)，外接球表面積取得最小值為.

故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用外接球的球心的性質(zhì)可確定出球心的位置，再根據(jù)半徑滿足的不等式組得到半徑的最小值，從而可得外接球的最小表面積.5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B，C，D是體積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且三棱錐A－BCD的體積為，則線段CD長(zhǎng)度的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出外接球半徑，根據(jù)勾股定理逆定理得到，且，求出點(diǎn)D到平面ABC的距離，求出點(diǎn)D所在球的截面的半徑及三角形ABC的外接圓半徑，設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的投影為E，當(dāng)CE最長(zhǎng)時(shí)CD最長(zhǎng)，結(jié)合，求出CD長(zhǎng)度的最大值.【詳解】因?yàn)榍虻捏w積為，故球的半徑R滿足，故R=5，而，，，故，故，故，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，則，故，點(diǎn)D在球的截面圓上，設(shè)截面圓所在的平面為α，因?yàn)椋云矫姒僚c平面ABC在球心的異側(cè)，

設(shè)球心到平面ABC的距離為d，而△ACB外接圓的半徑為，則，故球心到平面α的距離為，故截面圓的半徑為，設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的投影為E，則E的軌跡為圓，圓心為△ABC的外心即AB的中點(diǎn)，當(dāng)CE最長(zhǎng)時(shí)CD最長(zhǎng)，此時(shí)，故CD長(zhǎng)度的最大值為.故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.考點(diǎn)九、內(nèi)切球綜合1．（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）若底面邊長(zhǎng)為2的正六棱柱存在內(nèi)切球，則其外接球體積是.【答案】【分析】由題意可得內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而可得正六棱柱的高，結(jié)合球的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，在過(guò)球心與棱柱棱垂直的截面中，內(nèi)切球的半徑為，為邊長(zhǎng)是2的正三角形，則，即內(nèi)切球的半徑為，所以正六棱柱的高為.其外接球半徑為，則其體積為.故答案為：2．（2023·湖北·二模）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.【詳解】因?yàn)?，故，故的?nèi)切圓的半徑為.因?yàn)橹比庵嬖趦?nèi)切球，故直三棱柱的高即為內(nèi)切球的直徑.而內(nèi)切球的半徑即為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，故內(nèi)切球的半徑為1，故直三棱柱的高為2.將直三棱柱補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體，則外接球的直徑即為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，故外接球的半徑為，故外接球的的表面積為.故選：D.3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球表面積為．

【答案】/【分析】根據(jù)題意利用余弦定理求得，由此三棱錐的對(duì)棱相等，故此三棱錐的三組對(duì)棱是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線，利用等體積法求出內(nèi)切球半徑，運(yùn)算求解即可.【詳解】中，，，，由余弦定理得，則折成的三棱錐中，，即此三棱錐的對(duì)棱相等，故此三棱錐的三組對(duì)棱是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線，

設(shè)長(zhǎng)方體從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，則，解得，又因?yàn)槿忮F是長(zhǎng)方體切掉四個(gè)角的余下部分，故三棱維的體積為，又三棱錐四個(gè)側(cè)面是全等的，故三棱錐的表面積為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，把三棱錐分割為以球心為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的的四個(gè)小三棱錐，四個(gè)小三棱錐體積等于大三棱錐的體積，故，故內(nèi)切球表面積為.故答案為：4．（22-23高一下·安徽·階段練習(xí)）棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的表面積最大為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出正四面體的體積及表面積，利用求出內(nèi)切球的半徑，再通過(guò)求出空隙處球的最大半徑，從而即可求最大表面積.【詳解】如圖，由題意知球和正四面體的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，為的中心，易知面，為中點(diǎn)，球和球分別與面相切于和.易得，，，由，可得，又，，故，，，又由和相似，可得，即，解得，即小球的最大半徑為.所以小球的表面積最大值為.故選：A5．（2023·甘肅金昌·模擬預(yù)測(cè)）在底面是邊長(zhǎng)為4的正方形的四棱錐中，點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心，異面直線與所成角的正切值為，則四棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得為正四棱錐，由可得異面直線與所成的角為，取中點(diǎn)，連接、，即可求出、，再求出四棱錐的表面積與體積，從而求出內(nèi)切球的半徑，再由勾股定理求出外接球的半徑，即可得解.【詳解】由題可得四棱錐為正四棱錐，即有．因?yàn)?，所以異面直線與所成的角為，取中點(diǎn)，連接、，則，所以，所以，．從而可以求得四棱錐的表面積和體積分別為，，所以內(nèi)切球的半徑為．設(shè)四棱錐外接球的球心為，外接球的半徑為，則，則，解得，所以．

故選：C1．（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑和高，再由三角形面積相等求出圓錐內(nèi)切球半徑，然后由球的表面積公式和圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿龡l母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為6，所以為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)，由正弦定理可得底面圓的半徑，所以圓錐的高，如圖，圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑，軸截面三角形面積為，所以內(nèi)切球半徑，內(nèi)切球的表面積為，圓錐的側(cè)面積為，所以其和為，故選：C.2．（22-23高三上·福建·階段練習(xí)）已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，求出三棱錐的高和側(cè)高，利用勾股定理求出外接球半徑，再利用等體積法求出內(nèi)切圓半徑即可.【詳解】因?yàn)槿忮F為正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，所以可得正三棱錐的高，側(cè)面的高；設(shè)正三棱錐底面中心為，其外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，則有，也即，解得：，正三棱錐的體積，也即，解得：，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】?jī)?nèi)切球的球心到各面的距離是相等的，球心和各面可以組成四個(gè)等高的三棱錐，那么內(nèi)切球的半徑乘以正三棱錐的表面積再乘以三分之一就等于體積，通常用等體積法求解內(nèi)切球的半徑.3．（2023·湖南郴州·三模）已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為.【答案】/【分析】由等體積法求得內(nèi)切球半徑，再根據(jù)比例求得球的半徑，則問題可解．【詳解】如圖所示：依題意得，底面的外接圓半徑為，點(diǎn)到平面的距離為，所以，所以設(shè)球的半徑為，所以則，得設(shè)球的半徑為，則，又得所以球的表面積為故答案為：.4．（2024·河南開封·二模）已知經(jīng)過(guò)圓錐SO的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圓錐SO的軸的截面，根據(jù)題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的半徑之比為，從而可得上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為，從而可得解．【詳解】如圖，作出圓錐SO的軸截面，設(shè)上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的球心分別為，，半徑分別為，，即，，根據(jù)題意可知為正三角形，易知，圓錐SO的底面半徑，，又，，，上部分圓錐的底面半徑為，高為，又圓錐SO的底面半徑為，高為，上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為，上、下兩部分幾何體的體積之比是．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到上、下底面的半徑的關(guān)系，從而得到兩圓錐的體積之比.5．（2024·江蘇宿遷·三模）若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球．在四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為，該四棱錐的體積為，則V1V2的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體積求出球半徑計(jì)算作答.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，因是正三角形，則，又是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，則平面，平面，則，，，平面，則平面，又平面，所以，而，則，顯然，由球的對(duì)稱性和正四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內(nèi)切球得截面大圓，此圓是的內(nèi)切圓，切，分別于，，有四邊形為正方形，設(shè)，又，，則球的半徑，又四棱錐的表面積為，由，解得，，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，利用等體積法求出內(nèi)切球半徑和.考點(diǎn)十、球心不確定類型1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，由圖形的對(duì)稱性可知球心必在的延長(zhǎng)線上，由勾股定理可得球的半徑，即可求解.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，又，所以，，，由圖形的對(duì)稱性可知：球心必在的延長(zhǎng)線上，設(shè)球心為，連接，，設(shè)半徑為，，，可知，為直角三角形，所以，所以，解得，，所以球的表面積為.故選：.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在六面體中，，，，則該六面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，可得兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出球半徑即得.【詳解】由，，，得，則，同理，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，，得，解得或，即點(diǎn)或，由六面體，得點(diǎn)在平面兩側(cè)，點(diǎn)不符合題意，因此點(diǎn)，令線段的中點(diǎn)為，則，于是，因此六面體的外接球球心為，半徑為，所以六面體的外接球的表面積.故選：B3．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，，，頂點(diǎn)P到的三邊距離均等于4，且頂點(diǎn)P在底面的射影在的內(nèi)部，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析出⊥，作出輔助線，得到點(diǎn)在底面的射影為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面的投影為的內(nèi)心，先求出直角三角形的內(nèi)切圓半徑，由勾股定理得到方程，求出球的半徑，得到球的表面積.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故⊥，取的中點(diǎn)，則點(diǎn)在底面的射影為，連接OP,OC，則，又P到的三邊距離均等于4，故點(diǎn)在底面的投影為的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)作⊥，垂足為，作⊥，垂足為，作⊥，垂足為，故四邊形為矩形，又，故四邊形為正方形，設(shè)，則，所以，解得，則，過(guò)點(diǎn)作⊥，垂足為，設(shè)，則，如圖，以，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，其中，由勾股定理得，，故，解得，則，則外接球的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑1．（2024·山西朔州·一模）在三棱錐中，，若是等邊三角形，則三棱錐的外接球的體積是（

）A． B．86π C． D．【答案】A【分析】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，設(shè)為的中心，為的中心，由對(duì)稱性可得在平面中，且平面，平面，結(jié)合解三角形可得，從而可求外接球半徑，故可得其體積.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，故為等邊三角形且，因?yàn)闉榈冗吶切?，故，由余弦定理可得，故AC=33，而為等邊的邊上的中線，故，同理，故，而為三角形內(nèi)角，故.設(shè)為的中心，為的中心，則在上且在上，因?yàn)?、均為等邊三角形其它們有公共邊，由?duì)稱性可得在平面中，設(shè)為外接球的球心，連接，則平面，平面，而平面，平面，故，連接，則由四點(diǎn)共圓可得，故，所以即外接球半徑為，故棱錐的外接球的體積為.故選：A2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，，與平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定可得平面平面SAD，結(jié)合交線可確定線面角，進(jìn)而證得平面；分別取，外接圓圓心，根據(jù)球的性質(zhì)可確定球心位置，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可求得半徑，進(jìn)而得到外接球表面積.【詳解】為的中點(diǎn)，，，即為等腰三角形，，，均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，又，平面SAD，平面SAD，平面，平面平面SAD，平面平面，為在平面內(nèi)的射影，即為與平面所成的角，即，，，，又，，平面，平面.設(shè)三棱錐外接球的球心為，外接圓的圓心為，外接圓的圓心為，連接，則平面，平面，均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中多面體外接球的求解問題，本題的解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)面面垂直關(guān)系確定已知中所給線面角，從而確定幾何體的基本結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而根據(jù)外接球的性質(zhì)來(lái)確定球心位置.3．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P，Q分別是，的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)，Q，C，D，C1的球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出的外接圓半徑，矩形的外接圓半徑，再利用幾何關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)正方體，得，，所以平面，四邊形是矩形，其中，，的三邊為，，，，設(shè)的外接圓半徑為，則，于是，設(shè)矩形的外接圓半徑為，則，設(shè)球心為，過(guò)作平面，垂足為，過(guò)作平面，垂足為，則是矩形的外心，是三角形的外心，取中點(diǎn)，則，于是平面，所以四邊形是矩形.設(shè)球半徑為，，則，于是球的表面積為.故選：D.考點(diǎn)十一、球體多選題綜合1．（2023·云南·一模）已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四棱錐的體積為 B．正四棱錐的側(cè)面積為16C．外接球的表面積為 D．外接球的體積為【答案】ACD【分析】根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可判斷選項(xiàng)A；先利用勾股定理計(jì)算出側(cè)面的高，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可判斷選項(xiàng)B；先計(jì)算出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式和體積公式計(jì)算即可判斷選項(xiàng)C、D.【詳解】如圖所示：

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)樵摾忮F的高，底面邊長(zhǎng)為2，所以正四棱錐的體積為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閭?cè)面三角形的高為，所以正四棱錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)外接球的球心為，半徑為，則，.因?yàn)椋栽赗t△AOF中，有，解得.所以該球的表面積為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榍虬霃?，所以體積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.2．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知半徑為R的球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切.若圓臺(tái)上下底面半徑分別為r1和r2，母線長(zhǎng)為l，球的表面積與體積分別為S1和V1，圓臺(tái)的表面積與體積分別為S2和V2.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．l=r1+C． D．的最大值為【答案】ABC【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓臺(tái)與球的表面積、體積公式逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由切線長(zhǎng)定理易得l=r由勾股定理知，解得，B正確；因?yàn)?，，所以正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，這與圓臺(tái)的定義矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐的側(cè)面均為等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)在其內(nèi)切球上，動(dòng)點(diǎn)在其外接球上，且線段長(zhǎng)度的最小值為，設(shè)該正三棱錐內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則（

）A．，，三點(diǎn)共線B．平面C．正三棱錐外接球的體積為D．正三棱錐內(nèi)切球的表面積為【答案】ABC【分析】對(duì)A，將正三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，利用空間向量法證明線面垂直，從而判定AB選項(xiàng)，利用正方體外接球公式和等體積法結(jié)合的最值即可求出內(nèi)外接球半徑，即可判斷CD.【詳解】由已知將正三棱錐補(bǔ)成正方體,如圖所示.

設(shè)內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為,因?yàn)闉檎忮F內(nèi)切球的球心,為正三棱錐外接球的球心,而球與正相切于中心G，于是四點(diǎn)均在上，A正確；設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA,PB,PC所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,B0,1,0,,，，，因?yàn)?，則，又因?yàn)槠矫?，且所以平?故平面，B正確;設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為,則,由等體積法可得,整理得,由等體積法可得,整理得.將幾何體沿截面切開,得到如圖所示的截面,大圓為外接球的最大截面,小圓為內(nèi)切球的最大截面,

所以,兩點(diǎn)間距離的最小值為,解得,所以,所以正三棱錐外接球的體積,C正確;正三棱錐內(nèi)切球的表面積,D錯(cuò)誤.故選：ABC.4．（2023·安徽淮南·二模）如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面與線段AD相切于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．平面B．球的體積為23C．球被平面截得的截面面積為D．球被正四面體表面截得的截面周長(zhǎng)為833【答案】ABD【分析】根據(jù)題中條件，根據(jù)線線垂直，證明線面垂直，可判斷球?yàn)檎拿骟w的棱切球，可判斷BCD.【詳解】

設(shè)?分別為?的中點(diǎn)，連接，，，，，，，則，，，，故，，則四邊形為平行四邊形.故，交于一點(diǎn)，且互相平分，即點(diǎn)也為的中點(diǎn)，又，，故，.，，平面，故平面，由于，平面，則平面，故，結(jié)合點(diǎn)也為的中點(diǎn)，同理可證，，，平面，故平面，A正確；由球的表面正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則球的半徑為，棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，為的中點(diǎn)，則，故，則，所以球的體積為，B正確；由平面，平面，故平面平面，平面平面，由于平面，延長(zhǎng)交平面于點(diǎn)，則平面，垂足落在上，且為正的中心，故，所以，即為球心到平面的距離為故球被平面截得的截面圓的半徑為，則球被平面截得的截面圓的面積為，C錯(cuò)誤；由A的分析可知，也為棱，中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，則球與每條棱都交于棱的中點(diǎn)，結(jié)合C的分析可知，球被正四面體的每個(gè)面截得的截面都為圓，且圓的半徑都為，故球被正四面體表面截得的截面周長(zhǎng)為，D正確.故選：ABD.5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）與那些英雄們的墓志銘相比，大概只有數(shù)學(xué)家的墓志銘最為言簡(jiǎn)意賅．他們的墓碑上往往只是刻著一個(gè)圖形或?qū)懼粋€(gè)數(shù)，這些形和數(shù)，展現(xiàn)著他們一生的執(zhí)著追求和閃光的業(yè)績(jī)．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德就是這樣，他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個(gè)球．這個(gè)球的直徑恰與圓柱的高相等．這個(gè)稱為“等邊圓柱”的圖形如圖所示，記內(nèi)切球的球心為，圓柱上、下底面的圓心分別為，，四邊形是圓柱的一個(gè)軸截面，為底面圓的一條直徑，若圓柱的高為4，則（

）

A．內(nèi)切球的表面積與圓柱的表面積之比為2：3B．圓柱的外接球的體積與圓柱的體積之比為4：3C．四面體的體積的最大值為D．平面截得球的截面面積的取值范圍為【答案】AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合內(nèi)切球和圓柱的表面積公式，求得內(nèi)切球和圓柱的表面積之比，可判定A正確；解球的體積和圓柱的體積公式，求得外接球和圓柱的體積比，可判定B錯(cuò)誤；求得，得到的體積，可判定C錯(cuò)誤；作結(jié)合，得到平面截得球的截面面積最小值，進(jìn)而可判定D正確.【詳解】由題知，圓柱的高為4，底面圓的半徑為2，內(nèi)切球的半徑，則內(nèi)切球的表面積為，圓柱的表面積為，所以內(nèi)切球的表面積與圓柱的表面積之比為，所以A正確；由題意知，圓柱的外接球的半徑為，所以圓柱的外接球的體積為，圓柱的體積為，所以圓柱的外接球的體積與圓柱的體積之比為，所以B錯(cuò)誤；由題圖易知，，又點(diǎn)到平面的距離，，所以，當(dāng)時(shí)，四面體的體積取得最大值，最大值為，所以C錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所以，由題可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，平面截球所得的截面圓的半徑為，則，，所以平面截得球的截面面積最小值為，當(dāng)直徑與重合時(shí)，平面截得球的截面面積最大，且最大值為，所以平面截得球的截面面積的取值范圍為，所以D正確.故選：AD．

1．（23-24高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，球的半徑為，球面上的三個(gè)點(diǎn)的外接圓為圓，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．球的表面積為B．若的面積為C．若，則三棱錐的體積是D．三棱錐體積的最大值為【答案】ACD【分析】由球的半徑求表面積判斷選項(xiàng)A；由有，計(jì)算的面積判斷選項(xiàng)B；由體積公式計(jì)算三棱錐的體積判斷選項(xiàng)C；由三棱錐體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求最大值判斷選項(xiàng)D.【詳解】A選項(xiàng)，球的表面積，故A正確；B選項(xiàng)，，有，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，由，可得，因?yàn)椋?，為的外心，所以，，，故，由已知，，由，解得，所以，，，由球的截面性質(zhì)可得平面，所以三棱錐的體積，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，則，，，令，則，令，，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則有的最大值為，故D正確．故選：ACD．2．（2023·廣東·二模）如圖所示，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，分別為線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將點(diǎn)沿折至點(diǎn)處，使平面，則下列判斷正確的是（

）

A．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則五棱錐的體積為B．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐的體積為C．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為D．五棱錐體積的最大值為【答案】ABD【分析】設(shè)，根據(jù)題意得出五棱錐的體積為，結(jié)合B點(diǎn)所在位置和錐體的體積公式判斷A、B、D選項(xiàng)；根據(jù)等體積法判斷C選項(xiàng).【詳解】設(shè)，因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，且，底面的面積為4），所以五棱錐的體積為.當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，五棱錐的體積為，A正確.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐的體積為，B正確.連接，因?yàn)椋匀忮F的表面積為，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則，解得，C錯(cuò)誤.五棱錐的體積，則，令，得；令，得.所以，D正確.

故選：ABD3．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學(xué)式SF6）?金剛石等的分子結(jié)構(gòu).將正方體六個(gè)面的中心連線可得到一個(gè)正八面體（如圖1），已知正八面體的（如圖2）棱長(zhǎng)為2，則（

）A．正八面體的內(nèi)切球表面積為B．正八面體的外接球體積為C．若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為D．若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值【答案】ACD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，可以利用等體積列出關(guān)于內(nèi)切球半徑的方程，解之即得；對(duì)于B項(xiàng)，利用正八面體的對(duì)稱性可分析計(jì)算得出正方形的中心即為外接球球心，計(jì)算即得；對(duì)于C項(xiàng)，通過(guò)兩個(gè)側(cè)面翻折共面后即得共線時(shí)取最小值；對(duì)于D項(xiàng)，通過(guò)發(fā)現(xiàn)并證明//平面，將的體積進(jìn)行多次轉(zhuǎn)化成三棱錐的體積，計(jì)算即得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)