第06講 事件的相互獨立性、條件概率及全概率公式與貝葉斯公式（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第06講事件的相互獨立性、條件概率及全概率公式與貝葉斯公式（5類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新Ⅱ卷，第18題,17分獨立事件的乘法公式利用對立事件的概率公式求概率求離散型隨機變量的均值2023年新I卷，第21題,12分利用全概率公式求概率求離散型隨機變量的均值2023年新Ⅱ卷，第12題,5分獨立事件的乘法公式獨立重復(fù)試驗的概率問題利用互斥事件的概率公式求概率2023年全國甲卷（理），第6題,5分計算條件概率無2022年新I卷，第20題,12分計算條件概率獨立性檢驗解決實際問題2022年新Ⅱ卷，第19題,12分計算條件概率頻率分布直方圖的實際應(yīng)用由頻率分布直方圖估計平均數(shù)利用對立事件的概率公式求概率2021年新I卷，第8題,5分獨立事件的判斷無2020年全國甲卷（理），第19題,12分獨立事件的實際應(yīng)用及概率無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-12分【備考策略】1.理解、掌握事件的相互獨立性關(guān)系及其辨析2.會獨立事件的乘法公式計算3.會條件概率的計算4.會全概率及貝葉斯概率的計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合條件概率、全概率及貝葉斯概率綜合考查，需重點強化復(fù)習(xí)知識講解事件的相互獨立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立．互斥事件強調(diào)兩事件不可能同時發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨立事件則強調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有考點一、獨立事件的判斷1．（2024·上?！じ呖颊骖}）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立2．（2021·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）有6個大小相同的小球，其中1個黑色，2個藍色，3個紅色．采用放回方式從中隨機取2次球，每次取1個球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球”，則（

）A．甲與乙相互獨立 B．甲與丙相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）擲出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一枚點數(shù)小于3”，事件“第二枚點數(shù)大于4”，則與關(guān)系為（

）A．互斥 B．互為對立 C．相互獨立 D．相等2．（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用表示紅色骰子的點數(shù)，用表示綠色骰子的點數(shù)，用表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點數(shù)為5；事件；事件.則下列說法正確的是（

）A．事件與事件為互斥事件 B．事件與事件為互斥事件C．事件與事件相互獨立 D．事件與事件相互獨立3．（24-25高三上·陜西安康·開學(xué)考試）（多選）一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設(shè)事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對立事件C．事件與事件是相互獨立事件 D．事件與事件是互斥事件4．（2024·廣東珠?！ひ荒＃ǘ噙x）設(shè)A，B為隨機事件，且，是A，B發(fā)生的概率．，則下列說法正確的是（

）A．若A，B互斥，則B．若，則A，B相互獨立C．若A，B互斥，則A，B相互獨立D．與相等考點二、獨立事件的乘法公式1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）某疾病全球發(fā)病率為，該疾病檢測的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為，則某人檢測成陽性的概率約為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無平局情況），第一局通過擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負者先著子，則最終甲勝的概率為（

）A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.5753．（2024·天津和平·二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學(xué)校開展共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為．4．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大1．（2024·河南鄭州·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正四面骰子（骰子為正四面體，四個面上的數(shù)字分別為1，2，3，4），若骰子與桌面接觸面上的數(shù)字為1或2，則再拋鄭一次，否則停止拋擲（最多拋擲2次）．則拋擲骰子所得的點數(shù)之和至少為4的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林·模擬預(yù)測）中國成功搭建了國際首個通信與智能融合的6G外場試驗網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標準和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項目時遇到了一項技術(shù)難題，由甲、乙兩個團隊分別獨立攻關(guān).已知甲、乙團隊攻克該項技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7，則該科研院攻克這項技術(shù)難題的概率為．3．（2024·湖南益陽·一模）在某世界杯足球賽上，a，b，c，d四支球隊進入了最后的比賽，在第一輪的兩場比賽中，a對b，c對d，然后這兩場比賽的勝者將進入冠亞軍決賽，這兩場比賽的負者比賽，決出第三名和第四名.若a對b、a對d的勝率均為0.6，a對c、c對d的勝率均為0.5，則a獲得冠軍的概率為.考點三、條件概率的計算1．（2023·全國·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.42．（2024·天津·高考真題）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為．3．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為4．（2024·安徽安慶·三模）（多選）已知，，，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．5．（2022·全國·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8281．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在某電路上有C，D兩個獨立工作的元件，每次通電后，需要更換C元件的概率為0.3，需要更換D元件的概率為0.2，則在某次通電后C，D有且只有一個需要更換的條件下，C需要更換的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）現(xiàn)有1000個蘋果，其中900個是大果，100個是小果，現(xiàn)想用一臺水果分選機篩選出來．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽出一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）（多選）隨機事件，滿足，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為，小郅勝小睿的勝率為，比賽采用三局兩勝制，第一場比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對弈，勝者繼續(xù)與上一場輪空者比賽，另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場比賽，則其為最終獲勝者.(1)若第一場比賽小金輪空，則需要下第四場比賽的概率為多少？(2)求最終小金獲勝的概率.(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請用兩種方法解答）.5．（23-24高二下·山西臨汾·期中）某工廠生產(chǎn)一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數(shù)據(jù)，如下表:性能指標6677808896產(chǎn)品件數(shù)102048193(1)求該項性能指標的樣本平均數(shù)的值.若這批零件的該項指標X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值.(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產(chǎn)效率是乙機床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.03，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件.①求這件零件是次品的概率；②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產(chǎn)的概率；③在①的條件下，若從這批機器零件中隨機抽取300件，每次抽取的結(jié)果相互獨立，記抽出的零件是次品，且該項性能指標恰好在內(nèi)的零件個數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.考點四、全概率公式及應(yīng)用1．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是．3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）設(shè)某工廠購進10盒同樣規(guī)格的零部件，已知甲廠、乙廠、丙廠分別生產(chǎn)了其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)該種零部件的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一個零部件，則取得的零部件是次品的概率為（

）A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.064．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）（多選）某社區(qū)有甲、乙兩隊社區(qū)服務(wù)小組，其中甲隊有3位男士、2位女士，乙隊有2位男士、3位女士．現(xiàn)從甲隊中隨機抽取一人派往乙隊，分別以事件和表示從甲隊中隨機抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示從乙隊（甲隊已經(jīng)抽取一人派往乙隊）中隨機抽取一人抽到的是男士，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．1．（2024·貴州貴陽·二模）某汽修廠倉庫里有兩批同種規(guī)格的輪胎，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為.現(xiàn)從倉庫中任抽取1個輪胎，則這個輪胎是合格品的概率是（

）A．0.046 B．0.90 C．0.952 D．0.9542．（2024·安徽·一模）有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個零件，則它是次品的概率（

）A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.05253．（2024·河南·二模）（多選）現(xiàn)有編號分別為的三個盒子，其中盒中共20個小球，其中紅球6個，盒中共20個小球，其中紅球5個，盒中共30個小球，其中紅球6個.現(xiàn)從所有球中隨機抽取一個，記事件：“該球為紅球”，事件：“該球出自編號為的盒中”，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．若從所有紅球中隨機抽取一個，則該球來自盒的概率最小4．（2024·江蘇宿遷·三模）某批零件一級品的比例約為，其余均為二級品．每次使用一級品零件時肯定不會發(fā)生故障，而在每次使用二級品零件時發(fā)生故障的概率為．某項任務(wù)需要使用該零件次（若使用期間出現(xiàn)故障則換一件使用）．(1)某零件在連續(xù)使用3次沒有發(fā)生故障的條件下，求該零件為一級品的概率；(2)當時，求發(fā)生故障次數(shù)的分布列及期望．考點五、貝葉斯概率公式及應(yīng)用1．（2024·湖南邵陽·三模）甲、乙兩個工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為，乙加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·江西上饒·模擬預(yù)測）越來越多的人喜歡參加戶外極限運動，據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，兩個地區(qū)分別有的人參加戶外極限運動，兩個地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)的比為．若從這兩個地區(qū)中任意選取一人，則此人參加戶外極限運動的概率為；若此人參加戶外極限運動，則此人來自地區(qū)的概率為，那么（

）A． B．C． D．3．（2024·貴州遵義·三模）（多選）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機事件A，B存在如下關(guān)系：.現(xiàn)有甲、乙、丙三臺車床加工同一件零件，甲車床加工的次品率為，乙車床加工的次品率，丙車床加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起，且甲、乙、丙3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，設(shè)事件，，分別表示取到的零件來自甲、乙、丙車床，事件B表示任取一個零件為次品，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個箱子中任選一個箱子，再從中隨機摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個箱子的可能性更大.1．（2024·山東濟南·三模）（多選）某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）（多選）中國象棋是一種益智游戲，也體現(xiàn)博大精深的中國文化.某學(xué)校舉辦了一次象棋比賽，李明作為選手參加.除李明之外的其他選手中，甲、乙兩組的人數(shù)之比為，李明與甲、乙兩組選手比賽獲勝的概率分別為0.6，0.5.從甲、乙兩組參賽選手中隨機抽取一位棋手與李明比賽，下列說法正確的是（

）A．李明與甲組選手比賽且獲勝的概率為B．李明獲勝的概率為C．若李明獲勝，則棋手來自甲組的概率為D．若李明獲勝，則棋手來自乙組的概率為3．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）春夏之交因晝夜溫差大，細菌、病毒等活躍，是流感高發(fā)季節(jié)．某校高二年級某組團統(tǒng)計了流感暴發(fā)前的半個月與流感暴發(fā)后的半個月的學(xué)生請假情況，得到如下數(shù)據(jù)：因發(fā)燒請假非發(fā)燒請假合計流感暴發(fā)前1030流感暴發(fā)后30合計70(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，判斷能否認為流感暴發(fā)對請假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)有影響．(2)后經(jīng)過了解，在全校因發(fā)燒請假的同學(xué)中男生占比為，且的因發(fā)燒請假的男生需要輸液治療，的因發(fā)燒請假的女生需要輸液治療．學(xué)校隨機選擇一名因發(fā)燒請假在醫(yī)院輸液的同學(xué)進行慰問，求這名同學(xué)是女生的概率．附：．0．050．010．0013．8416．63510．828一、單選題1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）不透明的袋子里裝有標號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的乒乓球，有放回地依次取出2個球，設(shè)事件{2個球的標號互不相同}，事件{取出5號球}，則（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）假設(shè)是兩個事件，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．C．D．3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復(fù)興號列車，且和諧號列車的列次為復(fù)興號列車的列次的2倍，和諧號的正點率為0.98，復(fù)興號的正點率為0.99，今有一列車未正點到達該站，則該列車為和諧號的概率為（

）A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.84．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有3臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第i臺車床加工”，事件“零件為次品”，則（

）A．0.2 B．0.05 C． D．二、多選題5．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）設(shè)、是一個隨機試驗中的兩個事件，若，，，則下列選項一定正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知隨機事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說法正確的是（

）．A．若，則A，B相互獨立 B．若A，B互斥，則A，B不相互獨立C．若，則 D．若，則7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）同時投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（

）A．與相互對立 B．與相互獨立C． D．8．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）假設(shè)是兩個事件，且，，，則（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，，，則.10．（23-24高二下·廣東廣州·期末）某藥廠用甲、乙兩地收購而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，這兩個地區(qū)的供貨量分別占，，且用這兩地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為，，現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意取出一件產(chǎn)品，則此產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為．一、單選題1．（2024·上海奉賢·三模）如果分別是的對立事件，下列選項中不能判斷件與事件相互獨立的是（

）A． B．C． D．2．（2024·河南南陽·三模）甲袋中有3個紅球，3個白球和2個黑球；乙袋中有2個紅球，2個白球和4個黑球.先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，分別以，，表示事件“取出的是紅球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再從乙袋中隨機取出一球，以表示事件“取出的是白球”，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．事件，，是兩兩互斥的事件 B．事件與事件為相互獨立事件C． D．二、多選題3．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知隨機事件滿足，則下列說法正確的是（

）A．若與互相獨立，則B．若，則與互相獨立C．若與互斥，則D．若，則與互斥4．（2024·云南·模擬預(yù)測）現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍的三個箱子，其中紅色箱子內(nèi)裝有2個紅色球，1個黃色球和1個藍色球；黃色箱子內(nèi)裝有2個紅色球，1個藍色球；藍色箱子內(nèi)裝有3個紅色球，2個黃色球．若第一次先從紅色箱子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同色的箱子中，第二次再從剛才放入與球同色的這個箱子中任取一個球，則下列說法正確的是（

）A．若第一次抽到黃色球，那么第二次抽到藍色球的概率為B．第二次抽到藍色球的概率為C．如果第二次抽到的是藍色球，則它最有可能來自紅色箱子D．如果還需將5個不同的小球放入這三個箱子內(nèi)，每個箱子至少放1個，則不同的放法共有150種三、填空題5．（2024·江蘇蘇州·三模）已知，則.6．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）設(shè)隨機變量的分布列如圖：01若的數(shù)學(xué)期望為，事件：或，事件：或，則；.7．（2024·天津河西·模擬預(yù)測）甲、乙兩名同學(xué)在電腦上進行答題測試，每套測試題可從題庫中隨機抽取.在一輪答題中，如果甲單獨答題，能夠通過測試的概率是，如果乙單獨答題，能夠通過測試的概率是.若甲單獨答題三輪，則甲恰有兩輪通過測試的概率為；若在甲，乙兩人中任選一人進行測試，則通過測試的概率為.（結(jié)果均以既約分數(shù)表示）四、解答題8．（2024·浙江·三模）將除顏色外完全相同的紅球2個、白球3個放入一盲盒（一種具有隨機屬性的玩具盒子），現(xiàn)從中不放回取球.(1)若每次取一個球，求：（?。┣皟纱尉〉郊t球的概率；（ⅱ）第2次取到紅球的概率；(2)若從中取出兩個球，已知其中一個球為紅球，求：（?。┝硪粋€也為紅球的概率；（ⅱ）若你現(xiàn)在可以選擇從剩下的球中隨機取一個球來替換另一個球，如果從提高取到紅球的可能性出發(fā)，你是選擇換還是不換？試說明理由.9．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球.(1)若從袋中一次性取出兩個小球，即取到的紅球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若從袋中不放回的取3次，每次取一個小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個紅球的概率.10．（2024·安徽·模擬預(yù)測）現(xiàn)需要抽取甲?乙兩個箱子的商品，檢驗其是否合格.其中甲箱中有9個正品和1個次品；乙箱中有8個正品和2個次品.從這兩個箱子中隨機選擇一個箱子，再從該箱中等可能抽出一個商品，稱為首次檢驗.將首次檢驗的商品放回原來的箱子，再進行二次檢驗，若兩次檢驗都為正品，則通過檢驗.首次檢驗選到甲箱或乙箱的概率均為.(1)求首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的概率；(2)在首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗選到的箱子為甲箱的概率；(3)將首次檢驗抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進行二次檢驗時有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個箱子中抽取.比較兩個方案，哪個方案檢驗通過的概率大.1．（全國·高考真題）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則