第12講 圓錐曲線中的軌跡方程（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page圓錐曲線中的軌跡方程（5類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新I卷，第11題,6分求平面軌跡方程由方程研究曲線的性質2024年新Ⅱ卷，第5題,5分求平面軌跡方程無2023年新I卷，第22題,12分求平面軌跡方程由導數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應用求直線與拋物線相交所得弦的弦長2021年新I卷，第21題,12分求雙曲線的軌跡方程雙曲線中的定值問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的?？純热?，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的定義2.會用方法求解軌跡方程的相關計算【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的?？純热?，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習知識講解求軌跡方程的5種常用方法

1直接法:直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直接法。

2定義法:如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3相關點法:用動點M的坐標x，y表示相關點P的坐標x0、y0，然后代入點P的坐標x0、y0所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。（用未知表示已知，帶入已知求未知)

4參數(shù)法:當動點坐標考點一、直接法求軌跡方程1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；【答案】(1)【分析】（1）設，根據(jù)題意列出方程，化簡即可；【詳解】（1）設,則，兩邊同平方化簡得，故.2．（遼寧·高考真題）已知點、，動點滿足，則點的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】向量坐標化代入等式即可.【詳解】∵動點滿足，∴，∴，解得，∴點的軌跡是拋物線.故選:D【點睛】直譯法求軌跡方程:把等式中相關量坐標化（代數(shù)化），然后整理化簡.3．（湖北·高考真題）設過點的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若且，則點P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，根據(jù)求出，再利用，求出軌跡方程，注意.【詳解】由題意得：，設，因為，所以，解得：，因為，所以所以，因為，所以，即.故選：D4．（江蘇·高考真題）如圖所示，圓與圓的半徑都是1，，過動點分別作圓、圓的切線（為切點），使得，試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點的軌跡方程．【答案】（或）.【分析】建立直角坐標系，設P點坐標，根據(jù)幾何關系列方程，化簡即可得到結果.【詳解】以的中點為原點，所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設點.由已知，得.因為兩圓的半徑均為1，所以，則，即，所以點的軌跡方程為（或）.【點睛】本題主要考查了與圓相關的動點軌跡方程，考查學生計算能力和轉化能力，熟練運用數(shù)形結合的思想是本題的關鍵.5．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（

）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對其進行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關鍵之處在于由題意對所得的等式進行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)，屬于中等題.1．（2020·全國·高考真題）在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【答案】A【分析】首先建立平面直角坐標系，然后結合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設，以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，

則：，設，可得：，從而：，結合題意可得：，整理可得：，即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2．（24-25高二上·上?！るS堂練習）在平面直角坐標系xOy中，動點P關于x軸對稱的點為Q，且，則點P的軌跡方程為.【答案】【分析】先設點的坐標，再根據(jù)已知等式化簡得出軌跡方程.【詳解】設，則，又因為可得.則點的軌跡方程為.故答案為：.3．（23-24高二上·陜西寶雞·期中）已知點，，若動點滿足，則動點的軌跡方程為.【答案】【分析】設，根據(jù)斜率得到，化簡即可.【詳解】設，由題意可知，，整理可得動點的軌跡方程為.故答案為：.4．（24-25高三上·廣西南寧·開學考試）已知，，在x軸上方的動點M滿足直線AM的斜率與直線BM的斜率之積為2，則動點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩點求斜率，即可列等量關系化簡求解即可.【詳解】設動點，由于，，根據(jù)直線與的斜率之積為．整理得，化簡得：．故選：B5．（2024·浙江溫州·一模）動點到定點的距離與到定直線：的距離的比等于，則動點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)距離公式即可化簡求解.【詳解】根據(jù)題意可得，平方化簡可得，進而得，故選:A考點二、定義法求軌跡方程1．（重慶·高考真題）如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：（Ⅰ）求點P的軌跡方程;（Ⅱ）設d為點P到直線l：的距離，若,求的值.【答案】（I）；（II）．【分析】（I）由雙曲線的定義知點軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，由此易得其標準方程；（II）先求出（注意其取值范圍），根據(jù)雙曲線的第二定義，建立與的關系，從而，再由可得結論．【詳解】（I）由雙曲線的定義知點軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，因此半焦距，實半軸長，從而虛半軸長，雙曲線方程為．（II）由（I）及圖，易知，因，①知|PM|>|PN|，故P為雙曲線右支上的點，所以|PM|=|PN|+2.

②將②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以|PN|=.因為雙曲線的離心率e==2，直線l:x=是雙曲線的右準線，故=e=2,所以d=|PN|，因此．【點睛】本小題主要考查雙曲線的第一定義、第二定義及轉化與化歸的數(shù)學思想，同時考查了學生的運算能力．2．（重慶·高考真題）如圖，和是平面上的兩點，動點P滿足：．(1)求點P的軌跡方程；(2)若，求點P的坐標．【答案】(1)(2)，，，【分析】由已知，可根據(jù)橢圓的定義，判斷點P的軌跡為橢圓，設出橢圓方程，利用待定系數(shù)法，分別求解出即可；由已知，由可得：，將這個式子代入到中，利用余弦定理得到中，可得：，從而判斷點P的軌跡滿足雙曲線，求解出雙曲線的方程，令橢圓和雙曲線方程聯(lián)立，即可求解坐標.【詳解】（1）由已知，和是平面上的兩點，動點P滿足：，所以由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以和為焦點，長軸為的橢圓，設橢圓方程為：，由已知可得：半焦距，長半軸，所以，所以點P的軌跡方程為：.（2）由，得，①又因為，所以點P不為橢圓長軸的頂點，故點P、點M、點N三點組成三角形，在中，，，由余弦定理可知：，②將①代入②得：，所以，即，故點P的軌跡是以和為焦點，實軸為的雙曲線，設雙曲線方程為：，由已知可得：，，所以點P的軌跡方程為：.又因為點P又滿足橢圓方程：，所以由方程組：解得：，所以點P的坐標為：，，，.3．（江西·高考真題）設動點P到兩定點和的距離分別為和，，且存在常數(shù)，使得．(1)證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；(2)如圖，過點的直線與雙曲線C的右支交于兩點．問：是否存在，使是以點B為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；.(2)存在；.【分析】（1）在中，利用余弦定理得出是一個常數(shù)，從而動點P的軌跡C是以為焦點的雙曲線，最后求出雙曲線的方程即可；（2）在中，設,對于存在性問題，可先假設存在，即假設為等腰直角三角形，再利用方程組，求出的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在.【詳解】（1）證明：在中，，因為存在常數(shù)，使得，故，∴（小于2的常數(shù)），故動點P的軌跡C是以為焦點，實軸長的雙曲線，，雙曲線方程為.（2）在中，設,假設為等腰直角三角形，則

,由②與③得，則,由⑤得，即，又，，故，故存在滿足題設條件．【點睛】關鍵點點睛：本題考查了軌跡方程的求解，考查了雙曲線定義的應用以及雙曲線中的探索性問題，解答的關鍵是利用雙曲線的性質結合圖形的幾何性質得到相應等量關系，進而化簡求值,解答時等量關系式較多，要注意化簡順序和技巧，可使得計算簡化，本題綜合性較強，計算量較大.1．（2023高三·全國·專題練習）已知動點的坐標滿足方程，則動點M的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．以上都不對【答案】C【分析】等價變形給定等式，再利用式子表示的幾何意義，結合拋物線定義即可得解.【詳解】等式變形成，因此該等式表示動點到原點的距離等于到它直線的距離，而直線不過原點，所以動點M的軌跡是拋物線.故選：C2．（23-24高二上·四川涼山·期末）已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷動點的軌跡形狀，利用待定系數(shù)法即可求得軌跡方程.【詳解】因為，，所以，動點滿足，由雙曲線的定義可知，動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，設雙曲線方程為，則有，，，所以動點的軌跡方程為.故選：D.3．（2024高三·全國·專題練習）若動點Px,y滿足方程，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線定義得到點P的軌跡方程是以A?2,0與為焦點的雙曲線，得到答案.【詳解】由題意得點Px,y到點A?2,0與點的距離之差的絕對值為3，且，故動點P的軌跡方程是以A?2,0與為焦點的雙曲線，故，所以，所以雙曲線的方程為.故選：A.4．（2023·湖北·一模）如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－5,0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設右焦點為F′，連接PF′，根據(jù)已知可推得PF⊥PF′，根據(jù)勾股定理可求得，根據(jù)橢圓的定義可求得，從而可得答案.【詳解】由題意可得c＝5，設右焦點為F′，連接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′，在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，從而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴橢圓C的方程為，故選：C.【點睛】本題考查了橢圓的定義，考查了由求橢圓的標準方程.屬于基礎題.5．（20-21高二上·安徽宿州·期末）在中，已知，且的周長為16，則頂點的軌跡方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由周長得到，利用橢圓定義寫出點的軌跡方程.【詳解】由條件可知，，，點是以為焦點的橢圓，除去左右頂點，并且，，頂點的軌跡方程是.故選：C6．（22-23高二·全國·課堂例題）若點滿足方程，則動點M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩點距離公式的幾何意義，結合橢圓的定義即可得解.【詳解】因為動點滿足關系式，所以該等式表示點到兩個定點，的距離的和為12，而，即動點M的軌跡是以，為焦點的橢圓，且，即，又，，所以動點M的軌跡方程為.故選：C.7．（2024·湖南長沙·二模）已知圓N：，直線，圓M與圓N外切，且與直線相切，則點M的軌跡方程為．【答案】【分析】設動圓的半徑為r，則點M到l＇：與點M到點N的距離相等，都是，再利用拋物線的定義求解.【詳解】由題意得，直線l：，且圓N：，設圓M半徑為r，則點M到l＇：與點M到點N的距離相等，都是，故點M的軌跡是以N為焦點，以l＇為準線的拋物線，故方程為．故答案為：8．（2024·河南濮陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，點F的坐標為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分兩圓外切和內切兩種情況，根據(jù)兩圓位置關系結合雙曲線的定義分析求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，設，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為，若圓與圓外切，則，，可得；若圓與圓內切，則，，可得；綜上所述：，可知動點P的軌跡是以為焦點的雙曲線，且，則，所以動點P的軌跡方程為.故選：B.9．（2024·陜西西安·模擬預測）在直角坐標系中，點到點距離與點到直線距離的差為-1，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)設點的橫坐標為．（i）求在點處的切線的斜率（用表示）；（ii）直線與分別交于點．若，且時，求直線的斜率的取值范圍（用表示）．【答案】(1)(2)（i），（ii）【分析】（1）設點P的坐標為，利用距離公式列式化簡求解即可；（2）（i）利用導數(shù)的幾何意義求得切線斜率；（ii）分析直線l斜率存在設為，與拋物線方程聯(lián)立，韋達定理，表示出線段AB中點M的坐標，利用斜率關系得，從而，根據(jù)，得，分類討論解不等式即可.【詳解】（1）設點P的坐標為，由題意得，即，整理得或故W的方程為.

（2）（i）因為W為，所以．所以W在點P處的切線的斜率為：；（ii）設直線l為，點M為線段AB的中點，當時，不合題意，所以；因為點A，B滿足所以滿足，從而因為直線PM的方程為，所以，即，從而.因為，所以，即，等價于(其中).①當時，有，此時，②當時，有，此時，綜上，當時，；【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵點在于分析直線l斜率存在設為，與拋物線方程聯(lián)立，韋達定理，表示出線段AB中點M的坐標，利用斜率關系得，從而，根據(jù)，得，分類討論解不等式即可.10．（22-23高二上·浙江金華·期中）已知橢圓C：＝1（）的右焦點F的坐標為，且橢圓上任意一點到兩點的距離之和為4.(1)求橢圓C的標準方程(2)過右焦點F的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為，試問的面積是否存在最大值？若存在求出這個最大值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在最大值，最大值為【分析】（1）由題意直接得到，，然后計算出即可得到橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程，設，，則，利用韋達定理得到兩根之和與兩根之積，求出直線的方程，令，求出，即直線與軸交于一個定點，記為，然后計算即可.【詳解】（1）由題意可知：，橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4，所以，即，，所以橢圓的標準方程為：.（2）由題意可知直線的斜率不為，且斜率不可能不存在（否則重合），所以設直線的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，得，消去，得，所以，設，，則，由根與系數(shù)的關系，得，直線的斜率為：，所以直線的方程為，令，得，即直線與軸交于一個定點，記為，則，等號成立當且僅當.【點睛】關鍵點點睛：第二問的關鍵在于得出直線與軸交于一個定點，記為，且得到，由此即可順利得解考點三、相關點法求軌跡方程1．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（

A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設點，由題意，根據(jù)中點的坐標表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設點，則，因為為的中點，所以，即，又在圓上，所以，即，即點的軌跡方程為.故選：A2．（上海·高考真題）點與圓上任一點連線的中點的軌跡方程是A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：設圓上任一點為，中點為，根據(jù)中點坐標公式得，，因為在圓上，所以，即，化為，故選A.考點：1、圓的標準方程；2、“逆代法”求軌跡方程.【方法點晴】本題主要考查圓的標準方程、“逆代法”求軌跡方程，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設出動點的坐標，根據(jù)題意列出關于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法④求的軌跡方程的.3．（全國·高考真題）設P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段的中點，則點M的軌跡方程為．【答案】【分析】設，，用的坐標表示的坐標，再代入雙曲線方程即可得答案.【詳解】設，，則，即，又，則，整理得，即點M的軌跡方程為.故答案為：4．（陜西·高考真題）如圖，設P是圓上的動點，點D是P在x軸上投影，M為上一點，且.(1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；(2)求過點且斜率為的直線被C所截線段的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）用相關點法求解軌跡方程，設出，得到，代入中，得到軌跡方程；（2）求出過點且斜率為的直線方程，聯(lián)立第一問所求的曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，由弦長公式求出答案.【詳解】（1）設，則，，因為，所以，即，故，所以，因為P是圓上的點，所以，即；（2）過點且斜率為的直線方程為，與聯(lián)立得：，易得，設直線與的兩交點坐標分別為，則，，故被C所截線段的長度為.1．（23-24高三下·重慶·期中）長為2的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關于點的對稱點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出、、點坐標，由題意可得、兩點坐標間的關系，用點的橫縱坐標替換、點坐標代入計算即可得.【詳解】設、，，則有，，即，，由題意可得，即，即.故選：D.2．（23-24高三下·江西·開學考試）已知面積為的正方形的頂點、分別在軸和軸上滑動，為坐標原點，，則動點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設點、、，由平面向量的坐標運算可得出，由正方形的面積公式可得出，將代入等式整理可得出點的軌跡方程.【詳解】設點、、，由，所以，，可得，因為正方形的面積為，即，即，整理可得，因此，動點的軌跡方程為.故選：C.3．（2023高三·全國·專題練習）已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，則點M的軌跡方程為．【答案】.【分析】先設點,再由應用相關點法求軌跡方程即可.【詳解】設點，由得點，而點P為橢圓上的任意一點，于是得，整理得：，所以點M的軌跡方程是.故答案為:4．（2022高三·全國·專題練習）已知，，當時，線段的中點軌跡方程為．【答案】【分析】根據(jù)中點坐標公式可得中點坐標，設點為線段的中點軌跡上任一點的坐標，即得，消去參數(shù)，可得答案.【詳解】因為，，所以中點坐標為，即，設點為線段的中點軌跡上任一點的坐標，，，，即當時，線段的中點軌跡方程為，故答案為：5．（2023·吉林長春·模擬預測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的軌跡長度為．【答案】/【分析】設斜率為直線方程為，聯(lián)立方程組，寫出韋達定理，然后求出線段的中點為的參數(shù)方程，消參后得到的軌跡方程，然后利用數(shù)形結合方法分析即可.【詳解】設斜率為直線方程為：，代入橢圓中，消元整理得：，線段的中點為，設，則，所以，，所以，消去得：，所以線段的中點為的軌跡方程為：，如圖所示：的軌跡即為線段，由或，所以，所以的軌跡長度為：，故答案為：.考點四、參數(shù)法求軌跡方程1．（全國·高考真題）在平面直角坐標系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.(1)求圓心P的軌跡方程;(2)若P點到直線y=x的距離為,求圓P的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【詳解】試題分析：（1）設，圓的半徑為，則，可得圓心的軌跡方程；（2）設，則，又根據(jù)點到直線距離公式得，解出，進而可得圓的半徑，求得圓的方程．試題解析：（1）設，圓的半徑為，由題設，從而，故的軌跡方程為．（2）設，由已知得，又點在雙曲線上，從而得．由，得，此時，圓的半徑，由，得，此時，圓的半徑，故圓的方程為或．考點：1.勾股定理及點到直線的距離公式；2.軌跡方程及待定系數(shù)法求圓的方程．【方法點晴】本題主要考查直接法求軌跡方程、點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有：①直接法，設出動點的坐標，根據(jù)題意列出關于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入．本題（1）就是利用方法①求的軌跡方程的．2．（·遼寧·高考真題）設橢圓方程為，過點的直線l交橢圓于點A，B，O是坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉時，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.【答案】（1）；（2）當時，最小值為；當時，最大值為.【分析】（1）設出直線的方程和點A、B的坐標，聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可求出，然后根據(jù)求出點P的坐標，消去參數(shù)，即可得到動點P的軌跡方程，再檢驗當k不存在時，是否也滿足方程即可；（2）根據(jù)點P的軌跡方程求得的取值范圍，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，消元，由二次函數(shù)的性質即可求出的最小值與最大值．【詳解】（1）直線l過點，設其斜率為k，則l的方程為．設，，由題設可得點A、B的坐標是方程組的解．將①代入②并化簡得，所以于是，，設點P的坐標為，則消去參數(shù)k得，③當k不存在時，A、B中點為坐標原點，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為．（2）點P的軌跡方變形為，知，即．所以，故當時，取得最小值，最小值為．當時，取得最大值，最大值為．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系的應用，平面向量的坐標運算，兩點間的距離公式的應用，利用參數(shù)法求軌跡，以及二次函數(shù)的性質應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力，綜合性較強，屬于中檔題．1．（23-24高三上·重慶·階段練習）已知圓與圓內切，且圓與直線相切，則圓的圓心的軌跡方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得：點到直線的距離，根據(jù)兩圓的位置關系列式求解即可.【詳解】設，點到直線的距離為d，如圖，只能在直線的左側，則，

因為圓的圓心為，半徑為1，依題意可得，即，化簡可得，故圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.2．（21-22高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知圓：和圓：，動圓M同時與圓及圓外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為.【答案】【分析】根據(jù)動圓同時與圓及圓外切，即可得到幾何關系，再結合雙曲線的定義可得動點的軌跡方程.【詳解】由題，設動圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當動圓與圓，圓外切時,,,所以,因為圓心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動圓圓心的軌跡方程是；故答案為：3．（2023·河南·模擬預測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為.【答案】或【分析】由題可得拋物線方程，利用切線幾何意義可得切線斜率，即可表示出切線方程求出交點坐標，再將拋物線與直線聯(lián)立，結合韋達定理可得軌跡方程.【詳解】由焦點到準線的距離為2，可得拋物線.由可得，故，故在處的切線方程為，即，同理在點處的切線方程為，聯(lián)立，即.聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去得，由題或.由韋達定理，，得，其中或，故點的軌跡方程為：或.故答案為：或考點五、交軌法求軌跡方程1．（全國·高考真題）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點，若點C滿足，其中，，且，則點C的軌跡方程為A． B．C． D．【答案】D【分析】向量坐標化得結合即可得點C的軌跡方程．【詳解】設.由已知可知，又，又，可得點C的軌跡方程為.故選D.【點睛】本題考查向量坐標運算，消元法求軌跡方程，是基礎題2．（湖南·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點．（1）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；（2）在軸上是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設，則，，，，討論直線的斜率存在和不存在的兩種情況，當不與軸垂直時，利用的中點坐標和的坐標表示直線的斜率，從而得到的方程，結合點差法消去的坐標可求得結果，當與軸垂直時，也滿足；（2）假設在軸上存在定點，使為常數(shù)．當不與軸垂直時，設直線的方程是，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理化簡整理得到的表達式，從而得到，當與軸垂直時，也滿足.【詳解】（1）由條件知，，設，．設，則，，，，由得即，于是的中點坐標為．當不與軸垂直時，，即．又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即．將代入上式，化簡得．當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．所以點的軌跡方程是．（2）假設在軸上存在定點，使為常數(shù)．當不與軸垂直時，設直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個實根，所以，，于是．因為是與無關的常數(shù)，所以，即，此時.當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，，此時．故在軸上存在定點，使為常數(shù)．【點睛】本題考查求軌跡方程的方法和直線與雙曲線的位置關系，根據(jù)條件設而不求，最后再消去交點坐標是解題的方向，屬難題.3．（福建·高考真題）如圖，P是拋物線上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.（1）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；（2）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.【答案】（1）(x≠0)；（2）(2,+∞).【分析】（1）設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M（x0,y0），欲求點M的軌跡方程，即尋找其坐標的關系，可通過另外兩點P，Q與中點M的關系結合中點坐標公式求解；（2）欲求的取值范圍，可轉化為將其表示成某變量的表達式，設直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，分別過P、Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥x軸，垂足分別為P′、Q′，則，然后再利用韋達定理及均值不等式求此表達式的最值問題．【詳解】(1)設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，依題意x1≠0，y1>0，y2>0.由，得y′=x.∴過點P的切線的斜率k=x1，∴直線l的斜率，∴直線l的方程為，②聯(lián)立①②消去y，得.∵M是PQ的中點，∴，消去x1，得，∴PQ中點M的軌跡方程為(x≠0).(2)設直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0,b).分別過P、Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥x軸，垂足分別為P′、Q′，則.由，y=kx+b消去x，得y2?2(k2+b)y+b2=0.③則y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.∴.∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，∴的取值范圍是(2,+∞).【點睛】本題考查軌跡方程，中點坐標公式，直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關鍵是將問題的轉化再結合韋達定理即可，屬于難題.1．（江西·高考真題）設點在直線上，過點P作雙曲線的兩條切線，切點為A、B，定點．(1)過點A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在的曲線方程；(2)求證A、M、B三點共線．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立垂線與直線的方程求出，根據(jù)重心公式求出點坐標，代入雙曲線得解（2）將切線方程與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)判別式為0求出、的方程，根據(jù)在上，得點都在直線上又也在直線上，得證.【詳解】（1）設，垂線的方程為：，由得垂足，設重心所以解得，由可得即為重心所在曲線方程．（2）設，由已知得到，且，，設切線的方程為：由得從而,解得因此的方程為：同理的方程為：又在上，所以，即點都在直線上又也在直線上，所以三點共線2．（全國·高考真題）已知點到兩個定點、距離的比為，點到直線的距離為．求直線的方程．【答案】或．【詳解】試題分析：先根據(jù)直接法求軌跡的方法求點軌跡方程，再根據(jù)三角形PMN確定，進而根據(jù)圖像確定直線的斜率，利用點斜式寫直線的方程，與圓聯(lián)立解得點P坐標，最后根據(jù)兩點式寫直線的方程．試題解析：解：設點的坐標為，由題設有，即，整理得①，因為點到的距離為，，所以，直線的斜率為，直線的方程為②將②式代入①式整理得，解得，，代入②式得點的坐標為或；或，直線的方程為或．點睛：求動點軌跡方程，一般方法有直接法、轉移法、參數(shù)法.本題關于動點P的條件為兩線段的比值，所以利用直接法求動點軌跡.3．（2023高三·全國·專題練習）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為．【答案】（）．【分析】設，直線和的交點為，根據(jù)三點共線及三點共線，可得兩個式子，兩式相乘，再結合在橢圓上即可得出答案.【詳解】設，因為橢圓的長軸端點為，設直線和的交點為，因為三點共線，所以，，因為三點共線，所以，兩式相乘得，（）,因為，所以，即，所以，整理得（），所以直線和的交點的軌跡方程（）.故答案為：（）.一、單選題1．（2022高三·全國·專題練習）已知點A(1，0)，直線l：y＝2x－4，點R是直線l上的一點，若，則點P的軌跡方程為(

)A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4【答案】B【分析】用相關點法即可求解，設P為(x,y)，通過將R點坐標表示出來，R坐標滿足l方程，代入即可得到答案﹒【詳解】設P(x,y)，，由知，點A是線段RP的中點，∴，即，∵點在直線y＝2x－4上，∴，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x．故選：B﹒2．（2024·山東泰安·一模）在平面內，是兩個定點，是動點，若，則點的軌跡為（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．圓【答案】D【分析】根據(jù)題意求出動點的軌跡方程即可判斷.【詳解】設點，點，則，.由可得：，即.所以點的軌跡為圓.故選：D3．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知N是圓上的動點，點M滿足，記M的軌跡為E，則（

）A．E是與圓O相切的一條直線 B．E是半徑為5的圓C．E上的點到原點O的距離的最大值為8 D．E與圓O相切【答案】C【分析】設，由向量相等可得，則確定E的方程，結合圓與圓的位置關系依次判斷即可.【詳解】A：設，則，由，得，解得，又點在圓O上，所以，即點M的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓，故A錯誤；B：由A的分析知，E是以為圓心，3為半徑的圓，故B錯誤；C：E上的點到原點O的距離最大值為，故C正確；D：兩圓的圓心距為，兩圓的半徑之和為6，所以，即兩圓相交，故D錯誤.故選：C4．（2024·湖南·模擬預測）已知點，點，動點M滿足直線AM，BM的斜率之積為4，則動點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點斜率公式即可列等量關系化簡求解即可.【詳解】設動點由于，，根據(jù)直線與的斜率之積為．整理得，化簡得：．故選：D5．（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知的兩個頂點的坐標分別是，且所在直線的斜率之積等于，則（

）A．當時，頂點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，并除去兩點B．當時，頂點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，并除去兩點C．當時，頂點的軌跡是焦點在軸上的雙曲線，并除去兩點D．當時，頂點的軌跡是焦點在軸上的雙曲線，并除去兩點【答案】C【分析】由題意得，分別令、即可判斷.【詳解】由題意不妨設，則，即，當時，頂點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，并除去兩點，故AB錯誤；當時，頂點的軌跡是焦點在軸上的雙曲線，并除去兩點，故C正確，D錯誤.故選：C.6．（2024·貴州貴陽·三模）過點的直線與圓相交于不同的兩點M，N，則線段MN的中點的軌跡是（

）A．一個半徑為10的圓的一部分 B．一個焦距為10的橢圓的一部分C．一條過原點的線段 D．一個半徑為5的圓的一部分【答案】D【分析】設,根據(jù)垂徑定理得到，再轉化為，寫出相關向量，代入化簡即可.【詳解】設，根據(jù)線段的中點為，則，即，所以，又，所以，即，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為5的圓在圓內的一部分，故選：D.二、多選題7．（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點是一個動點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點的軌跡為橢圓B．若，則點的軌跡為雙曲線C．若，則點的軌跡為一條直線D．若，則點的軌跡為圓【答案】BCD【分析】根據(jù)題意結合圓、雙曲線以及直接法求軌跡方程逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：，則點的軌跡為線段，故A錯誤；對于選項B：，則點的軌跡是雙曲線，故B正確；對于選項：設，由，可得，化簡得，表示一條直線，故C正確；對于選項D：由，可得，則點的軌跡是以為直徑的圓，故D正確.故選：BCD.三、填空題8．（2024·江蘇南通·二模）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，兩點，則線段中點的軌跡方程為.【答案】【分析】設出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關系，利用中點坐標公式可表示出線段中點的坐標，化簡，即可得答案.【詳解】由題意知直線的斜率不為0，設的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得，，設，則，設線段中點，則，即，故線段中點的軌跡方程為，即，故答案為：9．（2024·湖南益陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點，若為平面上的一個動點且，則點運動所形成的曲線的方程為．【答案】.【分析】設點坐標，再根據(jù)題意列出等式，化簡即可求得軌跡方程.【詳解】設，則由可得，化簡得.故答案為：.四、解答題10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知A，B兩點的坐標分別是，直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是，記點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程．(2)將曲線C向上平移4個單位得到曲線E，已知斜率為3的直線l與曲線E有兩個不同的交點且滿足，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設點Mx,y，根據(jù)斜率之差的值整理可得曲線C的方程為；（2）易知曲線E為，聯(lián)立曲線E和直線l的方程并利用韋達定理以及向量數(shù)量積的坐標表示可得結果.【詳解】（1）設點Mx,y,根據(jù)題意可知，直線AM的斜率為，直線BM的斜率；即可得，整理可得.（2）如下圖所示：

將曲線C向上平移4個單位得到曲線E為；設直線l的方程為，；聯(lián)立曲線E和直線l整理可得，所以；因此，即，解得或；當時，方程的根為，符合題意；當時，方程的根為，符合題意；因此可知，直線l的方程為或.一、單選題1．（2024·河南信陽·模擬預測）已知橢圓C：的下頂點為A，斜率不為0的直線與C交于B，D兩點，記線段的中點為E，若，則（

）A．點E在定直線上 B．點E在定直線上C．點E在定直線上 D．點E在定直線上【答案】A【分析】先設直線，然后根據(jù)韋達定理求出E點坐標，根據(jù)直線垂直列出方程求解,最后代入E點即可求出E所在直線.【詳解】由題意知,設直線l的方程為,設,聯(lián)立消去得,所以，所以所以的中點，因為,所以，即,整理得,所以E在定直線上，故選:A.2．（2024·山東濟南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知，動點滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．點的軌跡為圓 B．點到原點最短距離為2C．點的軌跡是一個正方形 D．點的軌跡所圍成的圖形面積為24【答案】D【分析】設點的坐標為，由已知條件結合向量的坐標運算用表示出，結合可得的關系，從而可求出點的軌跡方程，再逐個分析判斷.【詳解】設點的坐標為，因為，動點滿足，所以，得，因為，所以，即點的軌跡方程為，當時，方程為，當時，方程為，當時，方程為，當時，方程為，所以點對應的軌跡如圖所示，且，,所以點的軌跡為菱形，所以AC錯誤，原點到直線的距離為，所以B錯誤，點的軌跡所圍成的圖形面積為，所以D正確.故選：D

3．（2024·四川宜賓·三模）已知拋物線C：，過動點P作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C相切，則點P的軌跡是（

）A．一條拋物線 B．一個圓 C．一條直線 D．一段線段【答案】C【分析】設Px0,y0，切點為Ax1,y1,Bx2【詳解】設Px0,y0而兩條相互垂直的切線，它們的斜率不為0，且一定存在，故切點不可能是原點，設切點為Ax1,y1當時，，當時，，所以無論如何都有，所以，同理，注意到，所以是關于的方程的兩根，，一方面：因為垂直，所以，另一方面：由韋達定理有，綜合以上兩方面，有，這意味著點在定直線上運動，此時滿足，符合題意.故選：C.4．（2024·安徽·模擬預測）已知，為圓：上的動點，且動點滿足：，記點的軌跡為，則（

）A．為一條直線 B．為橢圓C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓【答案】D【分析】設Px0,y0，由，得到點坐標，設點坐標為，用點坐標表示點坐標，并帶入圓，得到點的軌跡方程，再利用圓心距與半徑的關系判點的軌跡與圓的位置關系.【詳解】設Px0,y0所以點坐標為，設點坐標為，則，即，把代入圓，則點的軌跡的方程為：，即是圓心為，半徑為1的圓，由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓相切的圓.故選：D．二、多選題5．（2024·福建泉州·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知是動點．下列命題正確的是（

）A．若，則的軌跡的長度等于2B．若，則的軌跡方程為C．若，則的軌跡與圓沒有交點D．若，則的最大值為3【答案】ACD【分析】對于A，確定M點軌跡，即可判斷；對于B，結合雙曲線定義進行判斷；對于C，求出M點軌跡方程，聯(lián)立方程或利用向量數(shù)量積判斷與圓的交點情況，即可判斷；對于D，求出動點M的軌跡方程，進而求解數(shù)量積最值，即可判斷.【詳解】選項A：因為，所以的軌跡為線段，從而的軌跡的長度等于2，故A正確；選項B：因為，由雙曲線的定義知，的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，而結論的方程中未限制范圍，故B錯誤；（由，得的軌跡方程為）選項C：解法一：由，得，化簡得，，聯(lián)立，得，這與矛盾，所以方程組無解，故的軌跡與圓沒有交點，故C正確；解法二：若有交點Mx,y，則，又，矛盾，所以的軌跡與圓沒有交點，故C正確；選項D：解法一：由得，，化簡得，所以的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，等于在軸上的投影的長度，由圖知其最大值為3，故D正確；解法二：同法一得的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，，由圓的方程知可取到最大值3，故D正確；解法三：由得，，當在的反向延長線上時取等號，①；②當在的反向延長線上，且時，滿足條件，此時，所以的最大值為3，故D正確；故選：ACD．三、填空題6．（2024·福建泉州·模擬預測）已知為坐標原點，矩形的頂點A，C在拋物線上，則頂點B的軌跡方程為．【答案】【分析】設Ax1,y1，，則，再由，可得【詳解】如圖，設Ax1,y1依題意，四邊形為矩形，則，即，所以，即，則，所以頂點的軌跡方程為，故答案為:．四、解答題7．（2024·河北石家莊·二模）已知為平面上一個動點，到定直線的距離與到定點距離的比等于，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線交于，兩點，在軸上是否存在點，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)在軸上存在點，使得為定值，定值為.【分析】（1）根據(jù)題意，用點到直線和點到點的距離公式列出方程，整理得出方程即可.（2）假設存在，先考慮斜率不為0的情況，設其方程為，再與曲線聯(lián)立后用韋達定理，表達出，若要上式為定值，則必須有，即，代入求出.再考慮斜率為0的時候，直接求出即可.【詳解】（1）設點的坐標為，則，即，化簡得：，所以雙曲線的標準方程為；（2）如圖當直線的斜率不為0時，設其方程為.由于直線與雙曲線交點兩個，則直線不能與漸近線平行，漸近線斜率為，則.代入，整理得，，設，，，，，則，所以．若要上式為定值，則必須有，即，，故存在點滿足．當直線的斜率為0時，，，此時點亦滿足，故存在點滿足．綜上所得，在軸上存在點，使得為定值，定值為.8．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知是軸上的動點，是平面內的動點，線段的垂直平分線交軸于點，交于點，且恰好在軸上，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程(2)過點的直線與曲線交于兩點，直線與直線分別交于點，設線段的中點為，求證：點在曲線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）解法一：設，，則．易知不符合題意，當時利用垂直直線斜率之積為-1計算即可求解；解法二：在射線上另取一點使，根據(jù)全等三角形的性質可得，結合拋物線的定義即可求解；（2）解法一：設l方程，聯(lián)立拋物線方程，設Px1,y1，Qx2,y2，，解法二：設l方程，聯(lián)立拋物線方程得，則，是該方程的兩根，從而，即可求解.【詳解】（1）解法一

設，，則．由點在軸上，得，則，，因為，若，則，點，重合，不合題意；若，則，即．所以曲線的方程是．解法二

在射線上另取一點，使，連接，又，所以點在直線上，易知≌，所以垂直于直線，連接，則，顯然點不能在軸上，即，故由拋物線的定義知，曲線的方程是．（2）解法一

設，與聯(lián)立，消去，得，則，得，設Px1,y1，Q設直線，的方程分別為，，，，則，所以點的縱坐標為，故點的坐標為，顯然點的坐標滿足方程，故點在曲線上.解法二

設，因為直線過點，所以，由，得．設Px1,y1，Qx2,y2，直線，的方程分別為則，是上面關于的方程的兩根，即直線，的斜率，是關于的方程的兩根，所以，從而，所以點的縱坐標為，故點的坐標為，顯然點的坐標滿足方程，故點在曲線上．【點睛】易錯點點睛：本題考查了拋物線方程的求法以及直線和拋物線位置關系的應用，易錯點在于運算基本都是字母參數(shù)的運算，要特別注意，很容易出現(xiàn)計算錯誤.9．（2024·廣東廣州·模擬預測）將上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標不變），所得曲線為.記，過點的直線與交于不同的兩點，直線，與分別交于點.(1)求的方程；(2)設直線，的傾斜角分別為，（，），求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設所求軌跡上的任意點為，且對應的點為，列出關系式，代入即可求解；（2）設直線方程：①，聯(lián)立方程組，結合韋達定理求得和，再結合三點共線，求得，利用斜率公式，即可求解；【詳解】（1）解：設所求軌跡上的任意點為，與對應的點為x1,y1根據(jù)題意，可得，即代入方程，可得，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）設Ax1,y1，B由題知，所以直線的斜率不可能為0，設直線的方程為聯(lián)立方程組，整理得，，由韋達定理得，，，又因為，點Ax1,y所以，，，同理可得，又因為三點共線，可得，即，所以，所以.【點睛】易錯點點睛：第（2）小題中，設直線的方程時，很容易忽略一些特殊情況，比如：若令直線時，需要考慮直線斜率為0時是否滿足題意，若令直線為y=kx?1，則需要考慮直線斜率不存在的時候.10．（2024·安徽合肥·三模）已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)，其中，且，記點的軌跡為曲線．(1)求的方程，并說明軌跡的形狀；(2)設點，若曲線上兩動點均在軸上方，，且與相交于點．當時，（?。┣笞C：為定值（ⅱ）求動點的軌跡方程．【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；（ⅱ）【分析】（1）設Px,y，由題意可得，結合橢圓、雙曲線的標準方程即可求解；（2）設點，其中且，.（?。┯煽芍c共線且，設直線的方程為，聯(lián)立的方程，利用韋達定理表示出，化簡計算即可得證；（ⅱ）由橢圓的定義及平行線對應線段成比例性質可得，，化簡結合（i）可得，從而可得點的軌跡方程.【詳解】（1）設點Px,y，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當時，曲線是焦點在軸上的橢圓；當時，曲線是焦點在軸上的雙曲線．（2）當時，由（1）可知的方程為，設點，其中且，（i）證明：因為，所以，因此，三點共線，且，設直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，，則，由（1）可知，所以（定值），（ⅱ）由橢圓定義，得，，解得，同理可得，所以．所以，點在以點為焦點長軸長為6的橢圓上，由于點均在軸上方，所以動點的軌跡方程為【點睛】方法點睛:求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.11．（2024·陜西安康·模擬預測）已知拋物線的準線方程為，直線l與C交于A，B兩點，且（其中O為坐標原點），過點O作交AB于點D.(1)求點D的軌跡E的方程；(2)過C上一點作曲線E的兩條切線分別交y軸于點M，N，求面積的最小值.【答案】(1)(2)8．【分析】（1）由拋物線準線方程即可得到p，從而求得拋物線方程，然后利用兩個垂直轉化為向量的數(shù)量積為0，再結合點D在直線AB上，得到等式，消元即可求得點D軌跡方程；（2）易知，利用切線方程求出M，N的坐標，然后求得MN，最后用表示的面積，再利用基本不等式即可求得面積的最小值.【詳解】（1）由題意可得，即，所以拋物線方程為設，則，因為，所以，及，又由題意可知，所以又，且所以，即，又因為點D在直線AB上，且，所以，即，所以，由①②式可得，當時，，解得；，此時；當時，消可得，，即，點2,0同樣滿足該方程，顯然D與O不重合，所以，綜上，點D的軌跡E的方程為；（2）因為，結合題意可得切線斜率存在且都不為0，設切線的斜率為，的斜率分別為，則切線方程為，即，令，得，，又，消元得因為相切，所以，即易知的斜率分別為是方程③的兩個根，所以，所以，所以，所以，令，，當且僅當，即時，取等號.綜上，面積的最小值為8.【點睛】關鍵點點睛：第（1）小題的關鍵是利用兩個垂直，轉化為數(shù)量積為0的等量關系，然后借助點在直線上，利用向量共線得到另一個等量關系，消元即可求得動點的軌跡方程；第（2）小題的關鍵是利用切線方程與圓的方程聯(lián)立，求得一個關于斜率k的一元二次方程，把兩條切線的斜率轉化為一個關于k的一元二次方程的兩根，用韋達定理求出MN的值，最后求得面積關于的表達式.12．（2024·四川宜賓·三模）已知橢圓E：的左右焦點分別為，，過焦點斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點，過焦點斜率為的直線與橢圓E交于C，D兩點，且．(1)求直線與的交點N的軌跡M的方程；(2)若直線OA，OB，OC，OD的斜率分別為，，，，問在（1）的軌跡M上是否存在點P，滿足，若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)（且）(2)存在，或【分析】（1）設：，：，直線與的交點是N，且，消去即可得解；（2）通過得到，然后求解點的坐標.【詳解】（1）由已知，，則：，：，∴點滿足，即，∴①②，∴點P的軌跡方程是（），又依題意可知，綜上可知：直線與的交點N的軌跡M的方程為：（且）；（2）由題意知直線：，與橢圓方程聯(lián)立，消元得，，，同理可得，所以，即．由（1）知，所以，令點，，解得，∴存在或滿足題意．【點睛】關鍵點點睛：第二問的關鍵是先通過韋達定理，把轉化成，然后即可求出點的坐標.13．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，過的左焦點且垂直于一條漸近線的直線分別交兩條漸近線于點，（，在軸同側），且．(1)求雙曲線的標準方程；(2)探究圓：上是否存在點，使得過作雙曲線的兩條切線，互相垂直，并說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）在，易得，，根據(jù)條件，利用正切的倍角公式求得，進而求得，，即可求出結果；（2）雙曲線的兩條切線分別為，，分別聯(lián)立雙曲線方程得，，聯(lián)立兩切線方程，求出交點軌跡方程，再判斷兩圓的位置關系，即可求出結果.【詳解】（1）設為坐標原點，不妨設，因為雙曲線的漸近線方程為，即，又，在中，，，易知，所以，所以，得到，又雙曲線的漸近線方程為，所以，故雙曲線的標準方程為．（2）圓：上不存在點，使得過作雙曲線的兩條切線，互相垂直，若雙曲線的兩條切線有交點，則易知兩條切線的斜率存在且不為0，設雙曲線的兩條切線分別為，，將代入，消得，由，得，同理可得．設兩條切線的交點坐標為，則，得且，所以，是關于的方程的兩根，整理得，所以，化簡得，所以兩條切線的交點的軌跡為圓，因為圓的圓心為O0,0，半徑為，圓：，即，圓心為，半徑為，連接，則，又，所以兩圓相離，故圓：上不存在點，使得過作雙曲線的兩條切線互相垂直．【點睛】方法點晴：橢圓（）的兩條垂直切線的交點的軌跡是圓；雙曲線（）的兩條垂直切線的交點的軌跡是圓（）；拋物線（）的兩條垂直切線的交點的軌跡是直線．14．（2024·河北滄州·模擬預測）已知圓，圓．若動圓S與圓、圓都內切，記動圓S的圓心的軌跡為C．(1)求軌跡C的方程；(2)已知，過點的直線l與C交于P，Q兩點，直線AP，AQ分別交直線于M，N，設線段MN的中點為G，判斷點G是否在軌跡C上，并說明理由．【答案】(1)(2)在，理由見解析【分析】（1）由題意可推出，根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；（2）設直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立方程組，得到韋達定理式，求得線段MN的中點G即可驗證是否在雙曲線上.【詳解】（1）由題意，設動圓S的圓心為，半徑為r，圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為5．而圓S與定圓，都內切，所以，，則．于是，動圓S的圓心的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，則，，，故軌跡C的方程為．（2）法1：如圖，由題意知直線l一定有斜率，設其斜率為k，則直，與聯(lián)立，得，其中，，設，，故從而直線AM，AN的斜率之和為．