2024-2025學年安徽省“卓越縣中聯(lián)盟&皖豫名校聯(lián)盟”高二（上）期中聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年安徽省“卓越縣中聯(lián)盟&皖豫名校聯(lián)盟”高二（上）期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在空間直角坐標系Oxyz中，與點A(4,?6,?1)關于Oxy平面對稱的點的坐標為(

)A.(?4,?6,?1) B.(?4,6,?1) C.(4,?6,1) D.(4,6,1)2.若直線ax+y+1=0與(a+5)x+2y=0平行，則a=(

)A.5 B.4 C.3 D.23.已知△ABC的三個頂點分別為A(4,0)，B(6,?7)，C(4,?3)，則BC邊上的中線所在直線的方程是(

)A.x+y=0 B.x+y?4=0 C.5x+y?12=0 D.5x+y?20=04.已知直線l恒過點A(1,0)，圓C:x2+(y?1)2=4，則圓CA.2+3 B.2+2 C.5.已知四面體ABCD的所有棱長都等于a，棱AB，CD的中點分別是M，N，則AN?MC=A.a2 B.12a2 C.6.已知直線l過點B(?1,2,0)和C(0,3,1)，則點A(1,1,2)到直線l的距離為(

)A.233 B.2 C.7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，過點F且斜率為1的直線與C交于A，B兩點，若SA.32 B.22 C.8.在空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構成空間直角坐標系，若任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”.我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°坐標系”下向量的斜60°坐標：已知i，j，k分別為“空間斜60°坐標系”下三條數(shù)軸(x軸、y軸、z軸)正方向的單位向量，若向量n=xi+yj+zk，則n與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)相對應，稱向量n的斜60°坐標為[x,y,z]，記作n=[x,y,z].如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，A.?B.?2 C.2D.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知平面α，β的法向量分別是m=(2,?1,2)，n=(2,4,0)，直線l的方向向量為a=?(1,4,1)，則A.α⊥β B.l//α

C.{a,m,n}可以作為空間的一個基底 10.已知橢圓C:x22+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是A.12 B.22 C.11.已知點A(0,2)，B(0,12)，曲線C1是滿足|MA|=2|MB|的點M的軌跡，P，Q分別是曲線C1與圓A.若曲線C1與圓C2有公共點，則4≤r≤6

B.若r=23，則兩曲線交點所在直線的方程為3x?4y?7=0

C.若r=3，則|PQ|的取值范圍為[1,9]

D.若r=2，過點P作圓C2的兩條切線，切點分別為E，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.圓C:x2+y213.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與C交于A，B兩點，則A14.如圖，在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，BC=3EC，點P是底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的動點，且滿足四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知向量a=(3,1,5)，b=(?1,6,?2)(Ⅰ)若a，b，c共面，求λ的值;(Ⅱ)若(ka+b)⊥16.(本小題12分)已知直線l的方程為(m+3)x+(2m?1)y?7m=0(m∈R)．(Ⅰ)證明：直線l過定點．(Ⅱ)當m為何值時，點Q(3,4)到直線l的距離最大?最大值是多少?17.(本小題12分)已知圓M經(jīng)過A(1,?2)，B(?2,1)兩點，且圓心在直線x+y?2=0上．(Ⅰ)求圓M的方程;(Ⅱ)若P為直線l:4x+y+12=0上的動點，過點P作圓M的切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，當|PM|?|EF|最小時，求直線EF的方程．18.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是邊長為4的等邊三角形，CC1=4，∠ACC1=60°，D(Ⅰ)求證：A1(Ⅱ)在棱B1C1上是否存在點P，使得平面PBD與平面BDE的夾角的余弦值為27719.(本小題12分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點為M，左、右焦點分別為F1(Ⅰ)求E的方程．(Ⅱ)設過點T(t,0)的直線l與E有兩個不同的交點A，B(均不與點M重合)．(ⅰ)若以線段AB為直徑的圓恒過點M，求t的值;(ⅱ)在(ⅰ)的條件下，若直線l的斜率存在且線段AB的中點為N，求證：直線l與直線ON(O是坐標原點)的斜率之積為定值．

參考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.B

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.BD

11.AC

12.213.x214.1015.解：(Ⅰ)∵a=(3,1,5)，b=(?1,6,?2)，

∴a與b不平行，

∵a，b，c共面，

∴存在實數(shù)x，y，使得c=xa+yb，即3x?y=5,x+6y=8,5x?2y=λ,

解得x=2,y=1,λ=8,

故實數(shù)λ的值為8．

(Ⅱ)∵a=(3,1,5)16.解：(Ⅰ)將直線l的方程整理得(x+2y?7)m+(3x?y)=0，

由x+2y?7=0,3x?y=0,解得x=1,y=3,

所以直線l恒過點(1,3);

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得直線l過定點，設定點為P(1,3)，

當PQ⊥l時，點Q到直線l的距離最大，且最大距離d=|PQ|=(1?3)2+(3?4)2=5，

即點Q到直線l的最大距離為5，

此時17.解：(Ⅰ)設圓M的標準方程為(x?a)2+(y?b)2=r2(r>0)，

由已知得(1?a)2+(?2?b)2=r2(?2?a)2+(1?b)2=r2a+b?2=0，解得a=1b=1r=3,

所以圓M的方程為(x?1)2+(y?1)2=9．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知圓M的方程為(x?1)2+(y?1)2=9，圓心為M(1,1)，半徑r=3．

因為S四邊形PEMF=12|PM|?|EF|=2S△PEM=|PE|?|EM|=3|PE|=318.解：(Ⅰ)連接AC1，如圖，

由題知四邊形C1CAA1是菱形，則A1C⊥AC1，

又D，E分別為棱AC，CC1的中點，所以DE//AC1，故A1C⊥DE．

因為△ABC為等邊三角形，D為AC的中點，所以BD⊥AC．

又平面C1CAA1⊥平面ABC，平面ABC∩平面C1CAA1=AC，BD?平面ABC，

所以BD⊥平面C1CAA1，

又A1C?平面C1CAA1，故BD⊥A1C.

又BD∩DE=D，BD，DE?平面BDE，所以A1C⊥平面BDE，

因為BE?平面BDE，所以A1C⊥BE．

(Ⅱ)連接C1D，

由AC=CC1=4，∠ACC1=60°，可知△C1CA為等邊三角形，

又D是AC的中點，所以C1D⊥AC，

由(Ⅰ)得BD⊥平面C1CAA1，所以DB，DA，DC1兩兩互相垂直．

故以D為原點，DB，DA，DC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D(0,0,0)，B(23,0,0)，C1(0,0,23)，C(0,?2,0)，A1(0,4,23)，B1(23,2,219.解：(Ⅰ)設橢圓E的半焦距為c(c>0)．

由題意得2a=4，a=2．

因為E的離心率e=ca=22，所以c=2，結合