2024-2025學年廣東省廣州四中等三校聯考高二（上）期中數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省廣州四中等三校聯考高二（上）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|x2?2x<0}，B={x|2A.A∩B=? B.A∪B=A C.A?B D.B?A2.已知復數z=5?5i2+i，則對應的點在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.直線x+y?1=0與2x+2y+3=0的距離是(

)A.524 B.24 4.已知角α的終邊過點P(3,?32)，則sinA.33 B.63 C.5.已知a=sin1，b=22sin1，c=log2(sin1)，則a，b，A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c6.已知點P(0,?1)關于直線x?y+1=0對稱的點Q在圓C：x2+y2+mx+4=0A.4 B.92 C.?4 D.7.過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1,?7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|=(

)A.26 B.8 C.48.已知曲線y=1+4?x2與直線y=k(x?2)+4有兩個相異的交點，那么實數kA.(512,43] B.(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知圓C：x2+y2?4x?14y+45=0及點A.點C的坐標為(2,7)

B.點Q在圓C外

C.若點P(m,m+1)在圓C上，則直線PQ的斜率為14

D.若M是圓C上任一點，則|MQ|的取值范圍為10.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點AA.CC1⊥BD B.AA1?BD1=36

C.B11.如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD?A1B1CA.當P在平面BCC1B1上運動時，四棱錐P?AA1D1D的體積不變

B.當P在線段AC上運動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[π3,π2]

C.使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.過點A(3,1)，且與直線2x+y?5=0垂直的直線方程是______．13.已知向量a=(4,3,2)，b=(1,?1,1)，則|a?214.已知圓C：x2+y2?2x?4y?4=0，P為直線l：x+y+2=0上一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為A和B四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點，CD=5，CB=7，DB=3．

(1)求cosB與△CBD的面積；

(2)求邊AC的長．16.(本小題15分)

在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，點E在線段CC1上，且CC1=4CE，點F為17.(本小題15分)

已知直線l的方程為：(2m+1)x+(m+1)y?7m?4=0．

(1)求證：不論m為何值，直線必過定點M；

(2)過點M引直線l1交坐標軸正半軸于A、B兩點，當△AOB面積最小時，求△AOB的周長．18.(本小題17分)

如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，點E，F，M分別為AP，CD，BQ的中點．

(1)求證：EF//平面CPM；

(2)求平面QPM與平面CPM夾角的正弦值；

(3)若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為π6，求N到平面CPM的距離．19.(本小題17分)

已知圓C：(x?a)2+(y?2+a)2=1，點A(3,0)，O為坐標原點．

(1)若a=1，求圓C過A點的切線方程；

(2)若圓C與直線x+y?1=0交于M，N兩點，點E為線段MN中點，直線OE的斜率為?75，求△MON的面積；

(3)若圓C上存在點P，滿足參考答案1.C

2.D

3.A

4.A

5.A

6.B

7.C

8.B

9.ABD

10.ABD

11.ABC

12.x?2y?1=0

13.2914.315.解：(1)在△CBD中，由余弦定理得cosB=BC2+BD2?CD22BC?BD=72+32?522×7×3=1114，

∵0<B<π，

∴sinB=1?cos216.解：(1)以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，

D1(0,0,4)，F(1,1,0)，E(0,2,1)，

EF=(1,?1,?1)，ED1=(0,?2,3)，

∴點D1到直線EF的距離為d=|D1E|?1?(ED1?EF|ED1|?|EF|)2=13?1?(1317.(1)證明：由(2m+1)x+(m+1)y?7m?4=0，可得m(2x+y?7)+x+y?4=0，

令2x+y?7=0x+y?4=0?x=3y=1．

所以直線l過定點M(3,1)；

(2)解：由(1)知，直線l1恒過定點M(3,1)，

由題意可設直線l1的方程為y?1=k(x?3)(k<0)，設直線l1與x軸，y軸正半軸交點為A，B，

令x=0，得yB=1?3k；令y=0，得xA=3?1k，

所以△AOB面積S=12|(1?3k)(3?1k)|=12|(?9k)+(?1k)+6|

≥12(2(?9k)(?1k18.解：(1)證明：連接EM，因為AB/?/CD，PQ/?/CD，所以AB/?/PQ，

又因為AB=PQ，所以四邊形PABQ為平行四邊形，

因為點E和M分別為AP和BQ的中點，所以EM/?/AB且EM=AB，

因為AB/?/CD，CD=2AB，F為CD的中點，所以CF/?/AB且CF=AB，

可得EM//CF且EM=CF，即四邊形EFCM為平行四邊形，

所以EF/?/MC，又EF?平面MPC，CM?平面MPC，

所以EF/?/平面MPC．

(2)因為PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，

故以D為原點，分別以DA，DC，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

依題意可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，

P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，

PM=(1,1,?1),PQ=(0,1,0),CM=(1,?1,1),PC=(0,2,?2)，

設n=(x,y,z)為平面PQM的法向量，

則n?PM=0n?PQ=0，即x+y?z=0y=0，取n=(1,0,1)，

設m=(a,b,c)為平面PMC的法向量，

則m?PC=0m?CM=0，即2b?2c=0a?b+c=0，取m=(0,1,1)，

所以cos<m,n>=m?n|m|?|n|=12，

設平面PQM與平面PMC夾角為θ，

所以sinθ=1?(12)2=32，

即平面PQM與平面PMC夾角的正弦值為32．

(3)設QN=λQC(0≤λ≤1)，即QN=λQC=(0,λ,?2λ)，

則N(0,λ+1,2?2λ)．

從而DN=(0,λ+1,2?2λ)．

19.解：(1)a=1時，圓C：(x?1)2+(y?1)2=1，圓心為C(1,1)，半徑r=1．

若過A(3,0)的直線與圓C相切，則切線的斜率k存在，

設切線的方程為y=k(x?3)，即kx?y?3k=0，

點C到切線的距離d=r，即|?1?2k|k2+1=1，解得k=0或?43，

所以切線方程為y=0或y=?43(x?3)，即y=0或4x+3y?12=0．

(2)若圓C與直線x+y?1=0交于M、N兩點，且E為MN中點，

則該直線與CE垂直，