《初中同步測控全優(yōu)設(shè)計》2013-2014學(xué)年華師大版七年級數(shù)學(xué)上冊例題與講解：第2章2.3　相反數(shù)

2.3相反數(shù)1．相反數(shù)(1)相反數(shù)的概念：只有正負號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)．如果兩個數(shù)只有正負號不同，那么其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的相反數(shù)．例如：2的相反數(shù)是－2,0.5是－0.5的相反數(shù)，＋100和－100互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.這也是相反數(shù)的代數(shù)意義．(2)相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù)．例如不能說4是相反數(shù)，也不能說－4是相反數(shù)，只能說4的相反數(shù)是－4，或者4與－4互為相反數(shù)．(3)相反數(shù)的幾何意義：表示互為相反數(shù)的兩個點，在數(shù)軸上位于原點的兩側(cè)，并且到原點的距離相等．這是表示互為相反數(shù)的兩個點在數(shù)軸上的位置關(guān)系．(4)相反數(shù)的性質(zhì)：由相反數(shù)的概念可知：正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)；0的相反數(shù)是0；負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)．稍加推理即得：相反數(shù)大于其本身的數(shù)是負數(shù)；相反數(shù)小于其本身的數(shù)是正數(shù)；相反數(shù)等于其本身的數(shù)是0.談重點理解相反數(shù)的概念的方法從數(shù)與形的角度分別理解相反數(shù)的概念，可以相互補充、相互印證，加深理解．【例1】下面說法中正確的是()．A．0沒有相反數(shù)B．正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)C．－a的相反數(shù)是正數(shù)D．兩個表示相反意義的數(shù)是相反數(shù)解析：A.任何數(shù)都有相反數(shù)，0的相反數(shù)是0；C.－a的相反數(shù)是a，但a不一定是正數(shù)；D.兩個表示相反意義的數(shù)不一定是相反數(shù)，例如上升3米和上升－2米是表示相反意義的量，但3和－2不是相反數(shù)．答案：B2．求一個數(shù)的相反數(shù)和已知一個數(shù)的相反數(shù)求這個數(shù)(1)求一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)的前面添上或者去掉一個負號．我們把數(shù)a的相反數(shù)記作－a，于是3的相反數(shù)是－3，－3的相反數(shù)是3.(2)已知一個數(shù)的相反數(shù)求這個數(shù)就是在這個數(shù)的相反數(shù)的前面添上或者去掉一個負號．也就是說，在一個數(shù)前面加上一個“－”號或去掉一個“－”號，就變成原數(shù)的相反數(shù)；在一個數(shù)前面加上一個“＋”號或去掉一個“＋”號，還是原數(shù)．同理，一個式子的相反數(shù)表示：只需把式子括起來(看成一個整體)，在前面加“－”號即可．一般地，數(shù)a的相反數(shù)是－a，這就是說要表示一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“－”號就可以了．這里的a可以是正數(shù)、負數(shù)，也可以是0，還可以是一個式子．根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)也可以求出這個數(shù)本身．特別注意，求一個數(shù)的相反數(shù)時只能改變數(shù)的符號，不能改變數(shù)的大?。勚攸c求一個數(shù)的相反數(shù)的方法求一個數(shù)的相反數(shù)和已知一個數(shù)的相反數(shù)求這個數(shù)方法是一樣的，都是根據(jù)相反數(shù)的意義，改變符號即可．【例2】(1)如果x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,8)))，那么－x＝__________；(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(2,7)))的相反數(shù)是__________；(3)x－y的相反數(shù)是__________．解析：(1)因為x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,8)))＝－eq\f(1,8)，所以－x＝eq\f(1,8)；(2)因為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(2,7)))＝1eq\f(2,7)，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(2,7)))的相反數(shù)是－1eq\f(2,7)；(3)因為求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添一個“－”號即可，所以x－y的相反數(shù)是－(x－y)．答案：eq\f(1,8)－1eq\f(2,7)－(x－y)解技巧求含有多重符號數(shù)的相反數(shù)的方法解題時應(yīng)先化簡數(shù)的符號，再根據(jù)相反數(shù)的定義加上或減去一個“－”號即可．3．多重符號的化簡相反數(shù)的意義是簡化多重符號的依據(jù)．多重符號化簡的結(jié)果是由“－”號的個數(shù)決定的．如果一個正數(shù)前面有偶數(shù)個“－”號，可以把“－”號一起去掉，即結(jié)果為正；一個正數(shù)前面有奇數(shù)個“－”號，則化簡符號后只剩一個“－”號，即結(jié)果為負．可簡寫為“奇負偶正”．例如：－[－(－3.5)]＝－3.5.由此得到：(1)＋(＋a)表示＋a本身，＋(＋a)＝＋a；(2)＋(－a)表示－a本身，＋(－a)＝－a；(3)－(＋a)表示＋a的相反數(shù)，－(＋a)＝－a；(4)－(－a)表示－a的相反數(shù)，－(－a)＝a.由此可見，化簡一個數(shù)就是把多重符號化成單一符號，若結(jié)果是“＋”號，一般省略不寫．析規(guī)律多重符號化簡的規(guī)律多重符號化簡時，只數(shù)負號的個數(shù)，不用理會正號．如果負號的個數(shù)是奇數(shù)個，則化簡結(jié)果是負數(shù)；如果負號的個數(shù)是偶數(shù)個，則化簡結(jié)果是正數(shù)．,【例3－1】下列各對數(shù)中，是互為相反數(shù)的一組是()．A．＋(－2)與－(＋2)B．－[－(＋9)]與－[＋(－9)]C．＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))與－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．－(－0.2)與－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,5)))解析：對于復(fù)雜形式的數(shù)，要先化簡才能進行觀察，從而做出判斷．因為＋(－2)＝－2，－(＋2)＝－2；－[－(＋9)]＝9，－[＋(－9)]＝9，知A，B都不是；又＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(2,3)，－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(3,2)，數(shù)值不同也不是；而－(－0.2)＝0.2，－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,5)))＝－eq\f(1,5)＝－0.2，所以0.2與－eq\f(1,5)是互為相反數(shù)．答案：D【例3－2】化簡下列各數(shù)的符號．(1)－[－(－5)]；(2)－{＋[－(＋2)]}．分析：多重符號化簡的結(jié)果是由“－”號的個數(shù)決定的．如果一個正數(shù)前面有偶數(shù)個“－”號，可以把“－”號一起去掉，即結(jié)果為正；一個正數(shù)前面有奇數(shù)個“－”號，則化簡符號后只剩一個“－”號，即結(jié)果為負．－[－(－5)]中有奇數(shù)個負號，故結(jié)果為負；－{＋[－(＋2)]}中有偶數(shù)個負號，故結(jié)果為正．解：(1)－[－(－5)]＝－5；(2)－{＋[－(＋2)]}＝－[＋(－2)]＝2.4．判斷－a的符號要判斷－a的符號，需知道a的符號．正數(shù)和負數(shù)能夠表示兩個具有相反意義的量．但需注意的是帶正號的數(shù)不一定是正數(shù)，帶負號的數(shù)不一定是負數(shù)，尤其是字母表示的數(shù)．例如：－a一定是負數(shù)嗎？答案是不一定．因為字母a可以表示任意的數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時，－a是負數(shù)；當(dāng)a表示0時，－a就是在0的前面加一個負號，仍是0；當(dāng)a表示負數(shù)時，－a就不是負數(shù)了，它是一個正數(shù)．相反數(shù)的幾何意義和代數(shù)意義相輔相成，互相印證，要靈活掌握，方可在解題中得心應(yīng)手．借助數(shù)軸解決相反數(shù)問題在數(shù)軸上表示一個數(shù)的相反數(shù)，可以很直觀地確定這個數(shù)以及它的相反數(shù)的符號，比較數(shù)的大小就順理成章了．【例4－1】如圖，a與b是數(shù)軸上的兩個數(shù)，則－a__________－b.解析：首先根據(jù)相反數(shù)的幾何意義——表示相反數(shù)的點分別在原點的兩側(cè)且與原點的距離相等，在圖中作出－a與－b(如圖)