2024年陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（附答案解析）

2024年陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)設(shè)集合4={-1,2°,eln2,蜉},B={1,2,Ine3,華},

則AUB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.8B.16C.32D.64

2.(5分)(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)"(x-1)2+/W4”是“7+加1”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

cos55o+sin25°sin30°

3.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）------------：------=()

cos25°

1B.WcY

A.-D.1

222

4.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）算盤起源于中國，迄今已有2600多年的歷史，是中國古代

的一項(xiàng)偉大的發(fā)明.在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前，算盤是世界廣為使用的計(jì)算工具，下圖一展

示的是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左分別表示個(gè)位、十位、百位、千位…，上面的一

粒珠子（簡(jiǎn)稱上珠）代表5,下面的一粒珠子（簡(jiǎn)稱下珠）代表1,五粒下珠的大小等同

于一粒上珠的大小例如，如圖二，個(gè)位上撥動(dòng)一粒上珠、兩粒下珠，十位上撥動(dòng)一粒下

珠至梁上，代表數(shù)字17.現(xiàn)將算盤的個(gè)位、十位、百位、千位、萬位、十萬位分別隨機(jī)

撥動(dòng)一粒珠子至梁上，則表示的六位數(shù)至多含4個(gè)5的情況有（）

個(gè)

位

，一上珠

梁一

一框

擋iffiiffiiffi

17

下珠圖一圖二

A.57種B.58種C.59種D.6()種

5.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）在△ABC中，點(diǎn)。是線段4c上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上一

點(diǎn)，且而=易，AP=1AB+AAC,則入=（）

1125

A.-B.-C.一D.-

6336

6.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知圓C：（x-2）2+（v-1）2=2,直線/：c^x-b2y-1=

0,若圓C上任意一點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓。上，則點(diǎn)（〃，%）必在（）

A.一個(gè)離心率為三的橢圓上

B.一個(gè)離心率為2的雙曲線上

C.一-個(gè)離心率為/的橢圓上

D.一個(gè)離心率為百的雙曲線上

7.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）。一：一2）5的展開式中』的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

8.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝

時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不

知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)

的問題:被3除余2目被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛〃〃｝,

2Sn+60

記數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為s“，則------的最小值為：）

n

A.60B.61C.75D.76

9.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）設(shè)P為拋物線C：）2=4/上的動(dòng)點(diǎn)，A（2,6）關(guān)于P的對(duì)

稱點(diǎn)為8,記P到直線x=-1/=-4的距離分別大,d2,則力+&+H用的最小值為（）

A.V33+2B.2V33+2C.V37+3D.2后+3

2sE等X,<X<2

5

10.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知函數(shù)/（%）=，q，若存在實(shí)數(shù)

小。兔（無一DI，x>^

XI?X2,.V3，X4(X1<X2<A-3<X4)滿足f<XI)—f(A2)—f(X3)—f<X4)—Hl,則錯(cuò)誤

的是（）

X

A.%3+l>6B.+x2=-y

C.xw-X3-X4=OD.0<.T?<2

11.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知函數(shù)/（x）=2sin,v^-sin2x,關(guān)于/（x）有下面說法：①

函數(shù)/（x）的最小正周期為如.②函數(shù)/（%）在［一左，身單調(diào)遞減.③函數(shù)的圖

像關(guān)于點(diǎn)（m0）對(duì)稱.④函數(shù)/（x）的最小值是-竽.則正確的個(gè)數(shù)為（

)

A.IB.2C.3D.4

12.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）如圖，在校長(zhǎng)為2的正方體中，E、F、

G、M、N均為所在棱的口點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在正方體表面運(yùn)動(dòng):則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）

①當(dāng)點(diǎn)尸為BC中點(diǎn)時(shí)，平面平面GMN

②異面直線￡/、GN所成角的余弦值為:

4

③點(diǎn)E、F、G、M、N在同一個(gè)球面上

TTTTy[5

④若&P=tAA+41M-則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為一

x2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

8%—y—4<0

13.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）若x,、，滿足約束條件z+y+4N0,則目標(biāo)函數(shù)2=1?

（y-2<0

2y的最小值為.

14.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知z=x+yi,%,yWR,i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)+i是實(shí)

'l-i

數(shù)，則|z|的最小值為.

15.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了A商品最近40天的口銷出量，口銷售量依次

構(gòu)成數(shù)列｛的｝,已知m=10,且“〃+|-““=1+（-1）”（〃6N+）,則4商品這40天的總

銷量為.

16.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）若不等式M-1+4）機(jī)-2恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

為.

三、解答題：本題共5小題，共70分。答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）某公司有甲、乙、丙三個(gè)部門，其員工人數(shù)分別為6,15,

21,員工A隸屬于甲部門.在醫(yī)務(wù)室通過血檢進(jìn)行一種流行疾病的檢查，已知該種疾病

隨機(jī)抽取一人血檢呈任性的概率為右且每個(gè)人血檢是否呈陽性相互獨(dú)立.

（1）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取14人進(jìn)行前期調(diào)查，求從甲、乙、丙三個(gè)部門的

員工中分別抽取多少人，并求員工A被抽到的概率；

（2）將甲部門的6名員工隨機(jī)平均分成2組，先將每組的血樣混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈

陰性，則可斷定本組血樣全部為陰性，不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽性，則本組中至少有一

人呈陽性，再逐個(gè)化驗(yàn).X為甲部門此次檢查中血樣化驗(yàn)的總次數(shù)，求X的分布列和期

望.

18.（12分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）△43C的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為小b,c,設(shè)舊加^以

=a（2+cosB）.

（1）求以

（2）若AABC的面積等于VI,求△ABC的周長(zhǎng)的最小值.

19.（12分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）如圖，在三棱錐P?A6c中，側(cè)面以。是邊長(zhǎng)為1的止三

角形，BC=2,AB=V5,E,尸分別為PC,PB的中點(diǎn)，平面AE/與底面A8C的交線為

/.

（1）證明：/〃平面PBC；

（2）若三棱錐尸的體積為￡,試問在直線/上是否存在點(diǎn)Q,使得直線PQ與平

面AEb所成的角為a,異面直線PQ與即所成的角為B，且滿足a+B=$若存在，求

出線段AQ的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

A

20.（12分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知橢圓C：務(wù)群l（a>b>0）的短軸長(zhǎng)等于焦距，且

過點(diǎn)（2,1）.

（I）求橢圓C的方程；

（2）P為直線y=2遮上一動(dòng)點(diǎn)，記橢圓C的上下頂點(diǎn)為A,B,直線附，P〃分別交橢

3

圓C于點(diǎn)M,N,當(dāng)△PMN與△以B的面積之比為一時(shí)，求直線MN的斜率.

4

21.(12分)(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)已知函數(shù)/(x)=ln(2A--1)-2a.x+2a+i,?GR.

(1)若函數(shù)/G)的圖像在(1,/(I))處的切線與直線x+y+l=0垂直，求。的值并

求函數(shù)/(x)的極值：

(2)若/(#Vl+a恒成立，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有E建1(^lnk)<n(〃+1).

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目,如果多做，則按所

做的笫一個(gè)題目計(jì)分.［選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程產(chǎn)

22.(10分)(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)平面直角坐標(biāo)系g中，曲線。的參數(shù)方程為藍(lán)吃

(6為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極

坐標(biāo)方程為〃=4cos(0-j).

(1)寫出曲線。的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)曲線。與Q交干A.B兩點(diǎn).求百線人/?的極坐標(biāo)方程及|4州.

［選修4?5：不等式選講了

23.(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)已知函數(shù)/(K)=|av+2|+|-av4-l|.

(1)若。=1,求/(x)>5的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式/'(%)〈總有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

2024年陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）設(shè)集合4={-1,2%eln2,”},B={1,2,Ine3,挈},

則4U8的子集個(gè)數(shù)為（）

A.8B.16C.32D.64

【考點(diǎn)】子集與真子集；并集及其運(yùn)算.

【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】先求出集合4,B,進(jìn)而求出4UB,再利用集合的子集個(gè)數(shù)公式求解.

【解答】解：集合A=-1,2°,小2,等}={?1,1,2,學(xué)},B={\,2,Ine3,早}=

ln2

{1,2,3,---},

2

?,也2

所以AUB={-1,1,2,3,—）,

所以AU8的子集個(gè)數(shù)為25=32.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考杳了集合的并集運(yùn)算，以及集合的子集個(gè)數(shù)

公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）“（x-1）2+『W4”是的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】判斷出兩圓的位置關(guān)系，即可求解.

【解答］解：圓內(nèi)切于圓（x-1）

故"a-1）2+/W4”是的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

cos55Q+sin25°sin3Q°

3.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）)

cos250

1V2cY

A.-B.一D.I

22

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)；三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】由已知結(jié)合兩角和的余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

皈（30。+25。）+為也25。_竽的25。-泡25。+泡25。_百

【解答】解:原式=

cos25°-cos2S0一~2"

故選:C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）算盤起源于中國，迄今已有2600多年的歷史，是中國古代

的一項(xiàng)偉大的發(fā)明.在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前，算盤是世界廣為使用的計(jì)算工具，下圖一展

示的是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左分別表示個(gè)位、十位、百位、千位…，上面的一

粒珠子（簡(jiǎn)稱上珠）代表5,下面的一粒珠子（簡(jiǎn)稱下珠）代表1,五粒下珠的大小等同

于一粒上珠的大小例如，如圖二，個(gè)位上撥動(dòng)一粒上珠、兩粒下珠，十位上撥動(dòng)一粒下

珠至梁上，代表數(shù)字17.現(xiàn)將算盤的個(gè)位、十位、百位、千位、萬位、十萬位分別隨機(jī)

撥動(dòng)一粒珠子至梁上，則表示的六位數(shù)至多含4個(gè)5的情況有（）

個(gè)

位

L上珠

梁一

一框

擋一khHiih

17

卜珠圖一圖二

A.57種B.58種C.59種D.60種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】利用間接法，結(jié)合排列組合知識(shí)求解.

【解答】解：將算盤的個(gè)位、十位、百位、千位、萬位、十萬位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子

至梁上，所有可能得情況有26=64種，

其中不符合條件的有含有5個(gè)5,有瑤=6種；含有6個(gè)5,有/=1種，

所以至多含4個(gè)5的情況有64-6-1=57種.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）在△ABC中，點(diǎn)。是線段4c上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段BZ）上一

點(diǎn)，且=AP=1AB+AAC,則入=（）

1125

A.-B.-C.-D.-

6336

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算及向量共線定理即可求解.

【解答】解：在△A3C中，點(diǎn)。是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上.一點(diǎn)、,且2）=/，

AP=1AB+AACt

則”=孤+2疝），

因?yàn)?,P,。三點(diǎn)共線，

21

所以一+24=1,即入=工.

36

故選：A.

B------------------C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知圓C：（x-2）2+（v-I）2=2,直線/：c?x-b2y-1=

0,若圓C上任意一點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓。上，則點(diǎn)（a,b）必在（)

A.一個(gè)離心率為三的橢圓上

B.一個(gè)離心率為2的雙曲線上

c.一個(gè)離心率為學(xué)的橢圓上

D.一個(gè)離心率為舊的雙曲線上

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】整體思想；綜合法：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】由題知直線/：crx-lry-1=0經(jīng)過圓心（2,1）,然后結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可

求解.

【解答】解：由題知直線/：c^x-lry-1=0經(jīng)過圓心（2,1）,得2〃2?廬=1,

a2b2

即一j------=1,

-1

2

故點(diǎn)（小b）在一個(gè)離心率為力的雙曲線上.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，雙曲線的方程及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

7.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）（%-9-2）5的展開式中』的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】整體思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)式定理直接求解.

【解答】解：方法1：（r-i-2）5的展開式中X2的項(xiàng)為鬣.或.（—2）3+《“3?6?

（-i）-（-2）=-80?+40?=-40?,

所以--2）5的展開式中?的系數(shù)為-40；

方法2：（x-i-2）5=|（x-i）-2]5的展開式的通項(xiàng)為％i=C!a—3"rY—2）r（r

=0,1,2,3,4,5),

srk

當(dāng)0?5,時(shí)，（x-1）5F的展開式的通項(xiàng)為7A-+I=C^_rx---（-^=C^_r-

（一1）文?爐-12比，

令5-r3=2,得憶:或［藍(lán)，

所以（3-：一2）5的展開式中X2的系數(shù)為廢?屐,（一1）x（一2）1+磨?0?（-1）°X

人

（-2）3=40+（-80）=-40.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝

時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不

知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)

的問題：被3除余2日福S除余3的F整數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列｛〃”｝.

2S?+60

記數(shù)列｛.｝的前〃項(xiàng)和為則」一的最小值為：）

71

A.60B.61C.75D.76

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.

【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】由題意可知，被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的

數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為8,公差為15的等差數(shù)列｛〃”｝,進(jìn)而求出S〃，再利用基本不等式求解

即可.

【解答】解：被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一

個(gè)首項(xiàng)為8,公差為15的等差數(shù)列伍〃｝,

則S〃=8n+Dx15=學(xué)"2+1n,

「一，，2Sn+6015n2+n+6060,4

所以-------=------------=15/1+—+1=15（/?+-）+1,

nn八九

因?yàn)椤?n=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=：,即〃=2時(shí)，，等號(hào)成立，

nynn

2Sn+60

所以當(dāng)〃=2時(shí)，———取得最小值15X4+1=61.

n

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的前八項(xiàng)和公式，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中

檔題.

9.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）設(shè)P為拋物線C：丁=41上的動(dòng)點(diǎn)，4（2,6）關(guān)于夕的對(duì)

稱點(diǎn)為8,記尸到直線K=-l,x=-4的距離分別di,d2,則di+d2+|AB|的最小值為（）

A.V33+2B.2V33+2C.陰+3D.2737+3

【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到小+曲+依陰=24+3+2|以|=2（力+|必|）+3,再利用拋物線的定義

結(jié)合三角不等式求解.

【解答】解：如圖,

因?yàn)榱?4+3,且4(2,6)關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為4,

所以|附=|PB|,拋物線焦點(diǎn)尸(1,0),

所以d\+dz+\AB\=2d\+3+2|M|=2(Ji+|M|)+3=2(\PF\￥\PA\)+3>2\AF\+3=27374-3,

當(dāng)P在線段Af上時(shí)，di+d2+|48|取得最小值，且最小值為2V57+3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬丁?中檔題.

r.27r15?

2sin-^-x,-T-X-4

10.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知函數(shù)/（%）=■，若存在實(shí)數(shù)

|Zo52(x-1)|,x>|

XI,X2,X3,X4(XI〈X2Vx3Vx4)滿足f(XI)=f(A2)=f(X3)=f(.14)="1,則錯(cuò)誤

的是（）

A.xf4->6B.%i+%2=-

C.xyx4-x3-X4=OD.0<.,??<2

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想：轉(zhuǎn)化思想：數(shù)形結(jié)合法：綜合法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：三角函數(shù)的

圖象與性質(zhì)；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】作出函數(shù)y=/（x）的圖象，由題意可得），=，〃與），=/（、）有4個(gè)不同交點(diǎn).，由

圖象可得加的范圍,即可判斷。;

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得可與X2關(guān)于一,對(duì)稱，即可判斷B；

山|10g2（X3-1）I=|log2（X4-1）|>可得10g2［（A3-1）（X4-1）1=0,（X3-1）（必-1）

=1,即可判斷C；

結(jié)合基本不等式及C選項(xiàng)，即可判斷人

【解答】解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)XI,X2,X3，X4（XIVx2V.i3Vx4）滿足/（XI）=f（X2）=f（X3）=f（X4）

=〃?，

即y=m與y=f（x）有4個(gè)不同交點(diǎn)，

由圖象可知0V〃?<2,故。正確；

且XI與X2關(guān)于X=一3對(duì)稱，

所以月+e-宗故8正確;

又因?yàn)閨log2（X3-1）|=|log2（g?1）|,

所以-Iog2（X3-1）=log2（X4~1）?

即10g2（X3-1）+log2（X4~1）=log2l（X3~1）（.V4-1）]=0?

所以(X3-I)(.V4-I)=1,

所以4314-(X3+X4)+1=1,

所以A3X4-X3-X4=0,故C正確；

因?yàn)閄3X4-X3-X4=0?

所以X3J14=X3+X4，

5

由圖象可得一<X3<2<X4,

4

所以X3X4=X3+X4>2yjx3X4,

所以/工3工4>2,X3X4>4,

所以溜+%4>2工3%4>8,故A錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，作

出圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題.

11.(5分)(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)已知函數(shù)/(x)=2sinx+sin2r,關(guān)于/(x)有下面說法：①

函數(shù)/(x)的最小正周期為如.②函數(shù)/(工)在［一左，身單調(diào)遞減.③函數(shù)/(.r)的圖

像關(guān)于點(diǎn)(m0)對(duì)稱.④函數(shù)/Cr)的最小值是一歲.則正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)的單調(diào)性：正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】由正弦函數(shù)的周期性可判斷①，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可判斷②，計(jì)算/

(X+2TT)+f(~x)=0即可判斷③，由以上分析可得函數(shù)的最小值即可判斷④，綜合可

得答案.

【解答】解：對(duì)于①因?yàn)閥=2sinx的最小正周期為2仁

y=sin2r的最小正周期為TT,

所以函數(shù)/(X)=2siiu+sin2A?的最小正周期為2n,故①正確；

對(duì)于②,f(x)=2cosx+2cos2x=2cos.r+4cos2x-2=2(2co&x-1)(cosx+1),

令/(x)=0,可得cosx=g或cosx=-1,

所以當(dāng)％W[—界2m，l+2kn],蛇Z時(shí)，f（A-）20,函數(shù)J?）單調(diào)遞增，

當(dāng)xwg+2kTT,等+2攵初，依Z時(shí)，/（x）W0,函數(shù)/（x）單調(diào)遞減，

因?yàn)轫懸蛔?，月，所以在（一不少時(shí)，“X）單調(diào)遞增，旌吟，多時(shí)，“X）單調(diào)

遞減，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，因?yàn)?（X+2TT）+f（-x）=2sin（x+2n）+sin2（X+2TT）+2sin（-x）+sin（-2x）

=2sin.v+sin2v-2sin.r-sin2x=0,

所以函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（m0）對(duì)稱，故③正確；

對(duì)于④，由以上分析可知,/（工）的最小值為/（T）=2sin（T）+sin2（-目）=一百一§=

OOO乙

—故④正確，

綜上，正確的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，

屬于中檔題.

12.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AIBICIOI中，E、F、

G、M、N均為所在棱的口點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）

①當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，平面QErJ_平面GMN

②異面直線E”、GN所成角的余弦值為二

4

③點(diǎn)E、F、G、M、N在同一個(gè)球面上

TTTTV5

④若&P=tA,A+AXM-2t48i，則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為

DMr

C23

D.

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面叵的距離計(jì)算；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法：空間位置關(guān)系與距離：空間角：邏輯推理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】。

【分析】根據(jù)正方體慳形特征證明面面垂直判斷A選項(xiàng)，根據(jù)異面直線所成角判斷8選

項(xiàng)，根據(jù)五點(diǎn)共圓判斷。選項(xiàng)，根據(jù)軌跡求出長(zhǎng)度判斷。選項(xiàng).

【解答】解：結(jié)論①,取AD中點(diǎn)Q,連接PQ,FQ,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A\B\C\D\

中，

E、F、G、M、N均為所在棱的中點(diǎn)，

易知GA/_LPQ,YFQ；/DD\,：,FQL^ABCD,

又GM在面ABC。內(nèi)，AGM1FC，

,:FQ、PQu平面PQPQOFQ=Q,

???GM_L平面PQ尸，又PFu面PQF,:.GMIPF,

連接84,ABBiAi是正方形，GN1A1B,

,：FA\I平面A/MiBi.GNu平面4/MiAi.：,GNIA\F,

"iu平面P/加8,48匚平面尸/如8,A\BC\FA\=A\,

；?GALL平面。加18,PFA\B,:.GNLPF,

綜上，GN,GMu平面GMN,又GMCGN=G,

所以P凡L平面GMM又PFu平面PEF,

故平面尸EF_L平面GMN,故①正確：

結(jié)論②，取人i8i中點(diǎn)r,進(jìn)接ET,FT,貝ijE7〃GN,

:.NTEF是異面直線EF,GN所成的角，

又EF=FT=ET=&,則NTEF=/cos^TEF=1,故②錯(cuò)誤；

結(jié)論③，記正方體的中心為點(diǎn)0,則|。國=\0F\=\0G\=\0M\=|0N|=V2,

故點(diǎn)E,F,G,M,N在以。為球心，以戈為半徑的球面上，故③正確；

結(jié)論④，=tA^A+A^M-2tA^Blf七是4M的中點(diǎn)，

：.A^P-A^M=2tA^E-2tA^Blf故詁=2t或E,

???P點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)M與平行的線段MP',且|CP'|=$

??.|MP'|二堂，故④正確；

綜上，正確結(jié)論有①?④，共3個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的判定、異面直線所成角以及點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與距離，

屬中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

8x—y—4工0

13.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）若x,y滿足約束條件”+y+4N0,則目標(biāo)函數(shù)2=工-

y-2<0

2y的最小俏為-10.

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】-10.

【分析】作出可行域，結(jié)合圖形找到最優(yōu)解，即可得出答案.

【解答】解：作出可行域如下圖所示，

由圖形可知，平移直線z=x-2,v至過點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值，且最小值為-6-4=-10.

故答案為：-10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

14.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知z=x+.yi,x,vWR，i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)—:+i是實(shí)

1—1

數(shù)，則團(tuán)的最小值為V2.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；方程思想：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：數(shù)系的擴(kuò)充和狂數(shù)：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】V2.

【分析】根據(jù)題意，求巴三十i的表達(dá)式，分析可得等+1=。，變形可得），=-（戶2）,

即可得|ZF=『+/=2（.什1戶+2,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析|染的最小值，變形可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，z=x+yi,則+i=:+i=+i=

l-il-i（1一叭1+1）

（x-y）+（x+y）i,;

zx+V

若復(fù)數(shù)一+i是實(shí)數(shù)，則一一+1=0,變形可得x+y+2=0,則有y=-（x+2）,

l-l2

222

貝此［2=』+）2=（x+2）+.r=Zr4-4x+4=2（x+I）+2>2,當(dāng)且僅當(dāng)*=-1時(shí)等號(hào)成立,

則團(tuán)的最小值為VL

故答案為：V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，涉及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了A商品最近40天的日銷售量，日銷售量依次

構(gòu)成數(shù)列{m},已知41=10,且〃"+I-“〃=1+（-1）〃（〃€N+）,則A商品這40天的總

銷量為1160.

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.

【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)

學(xué)運(yùn)算.

【答案】1160.

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式求得規(guī)律，進(jìn)而求解結(jié)論.

【解答】解：當(dāng)〃=2左-1時(shí)，a2k=a2k\,

當(dāng)n=2k時(shí)，。261=?！?2,即aik+\=a2ki+2,

20x1Q

所以m+s+…+440=2(m+m+…+439)=2X(20X10+x2)=1160.

答案為：1160.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.(5分)(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)若不等式隊(duì)L2恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

為1-3,+8).

【考點(diǎn)】不等式恒成立的問題.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】［-3,+°°).

【分析】問題轉(zhuǎn)化為a^x-xex+hix-2,設(shè)/(x)=x-xex+hix-2,x>0,利用導(dǎo)數(shù)求其

最大值，即可求得。的取值范圍.

【解答】解：不等式可化為

設(shè)f(x)=x-xex+lnx-2,x>0；

則，(x)=\-ex-K設(shè)g(x)=1-ex-xex-px>0；

.,.g'(x)=-2/--妥<0恒成立，

1

工g(x)=l1在(0,+°°)上單調(diào)遞減，

即/(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞減，

又當(dāng)X-0時(shí)，，(X)一+8,當(dāng)工一+8時(shí)，/(黑)--8,

工存在刈€(0,+8),使得/(X0)=0,

Xu

即1-e"u-xoe+J=0,整理得％oe*u=1,〃皿=-xo.

xo

且當(dāng)在(0,刈)時(shí)，/(x)>0,當(dāng)尤(xo,+8)時(shí)，/(x)<0,

x

**?fMmax=/(x0)=x0-xoe°+lnx0-2=A0-1-AO-2=-3.

則實(shí)數(shù)4的取值范圍為［-3,+8).

故答案為：［-3,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問題，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，

是中檔題.

三、解答題：本題共5小題，共70分。答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)某公司有甲、乙、丙三個(gè)部門，其員工人數(shù)分別為6,15,

21,員工A隸屬于甲部門.在醫(yī)務(wù)室通過血檢進(jìn)行一種流行疾病的檢查，已知該種疾病

隨機(jī)抽取一人血檢呈陽性的概率為g且每個(gè)人血檢是否呈陽性相互獨(dú)立.

(1)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取14人進(jìn)行前期調(diào)杳，求從甲、乙、丙三個(gè)部門的

員工中分別抽取多少人，并求員工4被抽到的概率；

(2)將甲部門的6名員工隨機(jī)平均分成2組，先將每組的血樣混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈

陰性，則可斷定本組血樣全部為陰性，不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽性，則本組中至少有一

人呈陽性，再逐個(gè)化驗(yàn).X為甲部門此次檢查中血樣化驗(yàn)的總次數(shù)，求X的分布列和期

望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴

(2)X的分布列如下：

X258

p1749

643264

E（X）=等29

【分析】(1)由分層抽樣知甲部門員工被抽取2人，而甲部門員工共6人，利用古典概

型公式即可求解；

(2)記''每組血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性”為事件B,則P(8)=(l-}3=.，由題X的所有

可能取值為2,5,8,然后求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率即可.

【解答】解：(1)由題意知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為6：15：21=2：5：

7,

所以分層抽樣抽取的14人中，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為2人，5人，7人，

則P⑷量=點(diǎn)

(2)甲部門的6名員工隨機(jī)平均分成2組，每組3人，

記“每組血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性”為事件B,

MP(F)=(l-1)3=i,

所以X的所有可能取值為2,5,8,

1

則p(x=2)=(P⑻)2=卷

P(X=5)=C}P(SyP{B}=2X(1x|=1|=

P(X=8)=弓(P⑧)2=(1-1)2=普,

所以X的分布列如下:

X258

P1749

643264

所以數(shù)學(xué)期望E(X)=2x^+5x^+8x1|=^.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

18.(12分)(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)zMBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)百加iM

=a(2+cosB).

(1)求僅

(2)若△A4C的面枳等于遮，求△ABC的周長(zhǎng)的最小值.

【考點(diǎn)】解三角形；基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；轉(zhuǎn)化法；解三角形；不等式.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)先利用邊角互化將75人必=。(2+cosB)轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的方程，求出N8.

(2)因?yàn)?已知，所以求面積的最小值即為求知的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等

式可以求得.

【解答】解：(1)因?yàn)閂3加(2+cosB).

由正弦定理得BsiziBsM/l=sinA(2+cosS').

顯然siM>0,所以gs/8-cosB=2.

所以2sin(B-^)=2,VB6(0,IT).

o

所以8—看二夕.??8二等.

(2)依題意13a，=/.ac=4.

4

所以Q+c>2疝=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào).

又由余弦定理得序=浸+a-2accosB=a2+c2+?c3ac=12.*.b>2A/3.

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào).

所以△ABC的周長(zhǎng)最小值為4+2V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形、基本不等式等知識(shí)，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、

直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

19.（12分）（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）如圖，在三棱錐P-A8c中，側(cè)面布C是邊長(zhǎng)為1的正三

角形，BC=2,AB=6E,/分別為尸C,P8的中點(diǎn)，平面AE/與底面48c的交線為

I.

（1）證明：/〃平面PBC；

（2）若二棱錐--A4C的體積為空，試問在直線/上是否存在點(diǎn)Q,使得直線-Q與平

面AEF所成的角為a,異面直線PQ與EF所成的角為由且滿足a+0=若存在，求

出線段AQ的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體兒何；邏輯推理.

【答案】（1）證明詳情見解答.

（2）這樣的點(diǎn)Q存在，且有4。=：.

【分析】（1）由中位線定理可得E/〃BC,結(jié)合線面平行的判定定理E尸〃面4BC,進(jìn)而

可得EF//I,即可得出答案.

（2）取AC的中點(diǎn)。，連接PQ,解得4。，PD,由（1）可知，在底面4BC內(nèi)過點(diǎn)A

作8c的平行線，即平面AEF與底面ABC的交線/,推出AC_L