2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章統(tǒng)計與概率5.1.4用樣本估計總體學案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE6-5.1.4用樣本估計總體5.2數(shù)學探究活動：由編號樣本估計總數(shù)及其模擬(略)素養(yǎng)目標·定方向課程標準學法解讀1.能用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征．2．能用樣本的分布估計總體的分布．通過用樣本估計總體，提升學生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)．必備學問·探新知學問點用樣本估計總體(1)前提樣本的容量恰當，抽樣方法合理．(2)必要性①在容許肯定誤差存在的前提下，可以用樣本估計總體，這樣能節(jié)約人力和物力．②有時候總體的數(shù)字特征不行能獲得，只能用__樣本__估計總體．(3)誤差估計一般是有__誤差__的．但是，大數(shù)定律可以保證，當樣本的容量__越來越大__時，估計的誤差很小的可能性將越來越大．思索：用樣本估計總體出現(xiàn)誤差的緣由有哪些？提示：樣本抽取的隨機性；樣本抽取的方法不合適，導致代表性差；樣本容量偏少等．學問點用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征(1)一般來說，在估計總體的數(shù)字特征時，只需干脆算出樣本對應的__數(shù)字特征__即可．(2)樣本是用分層抽樣得到的，由每一層的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征．以分兩層抽樣的狀況為例.條件假設第一層有m個數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；其次層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，方差為t2結論假如記樣本的平均值為a，樣本方差為b，則eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，b2＝eq\f(1,m＋n)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ms2＋nt2＋\f(mn,m＋n)\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))2))學問點用樣本的分布來估計總體的分布假如總體在每一個分組的頻率記為π1，π2，…，πn，樣本在第一組對應的頻率記為p1，p2，…，pn，一般來說，eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(πi－pi)2不等于零．當樣本的容量__越來越大__時，上式很小的可能性將越來越大．關鍵實力·攻重難題型探究題型用樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù)角度1簡潔隨機抽樣的數(shù)字特征┃┃典例剖析__■典例1甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)依據(jù)計算結果推斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定．規(guī)律方法：(1)利用樣本的原始數(shù)據(jù)求得的樣本數(shù)字特征是精確值，可用以估計總體．(2)此類問題需計算樣本的平均值和方差來估計總體．┃┃對點訓練__■1．為了快速了解某學校學生體重(單位：kg)的大致狀況，隨機抽取了10名學生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示．估計這個學校學生體重的平均數(shù)和方差．4597966518960[解析]將樣本中的每一個數(shù)都減去50，可得－5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10，這組數(shù)的平均數(shù)為eq\f(－5－1－3－1－4－4＋1＋8＋9＋10,10)＝1，方差為eq\f(62＋22＋42＋22＋52＋52＋02＋72＋82＋92,10)＝30.4，因此可估計這個學校學生體重的平均數(shù)為51，方差為30.4．角度2分層抽樣的數(shù)字特征┃┃典例剖析__■典例2在對樹人中學高一年級學生身高(單位：cm)的調查中，采納分層抽樣的方法，抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62，你能由這些數(shù)據(jù)計算出樣本的方差，并對高一年級全體學生身高的方差作出估計嗎？[解析]把樣本中男生的身高記為x1，x2，…，x23，其平均數(shù)記為eq\o(x,\s\up6(－))，方差記為seq\o\al(2,x)；把樣本中女生的身高記為y1，y2，…，y27，其平均數(shù)記為eq\o(y,\s\up6(－))，方差記為seq\o\al(2,y)，把樣本的平均數(shù)記為eq\o(a,\s\up6(－))，方差記為s2．則eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(23×170.6＋27×160.6,23＋27)＝165.2，s2＝eq\f(23×[s\o\al(2,x)＋\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2]＋27×[s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2],23＋27)＝eq\f(23×[12.59＋170.6－165.22]＋27×[38.62＋160.6－165.22],50)＝51.4862，即樣本的方差為51.4862．因此估計高一年級全體學生身高的方差為51.4862．規(guī)律方法：1.求分層隨機抽樣的平均數(shù)的步驟(1)求樣本中不同層的平均數(shù)；(2)應用分層隨機抽樣的平均數(shù)公式進行求解．2．求分層隨機抽樣的方差的步驟(1)求樣本中不同層的平均數(shù)；(2)求樣本中不同層的方差；(3)應用分層隨機抽樣的方差公式進行求解．┃┃對點訓練__■2．為了解某公司員工的身體狀況，利用分層抽樣的方法抽取了9名男員工的身高和體重數(shù)據(jù)，計算得到他們的體質指數(shù)的平均數(shù)為25.1，方差為6，抽取了5名女員工的身高和體重數(shù)據(jù)，計算得到她們的體質指數(shù)的平均數(shù)為20.3，方差為3.求樣本平均數(shù)與方差．[解析]樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9×25.1＋5×20.3,9＋5)≈23.4，方差s2＝eq\f(9×[6＋25.1－23.42]＋5×[3＋20.3－23.42],9＋5)≈10.2．題型用樣本的分布估計總體的分布┃┃典例剖析__■典例3我國是世界上嚴峻缺水的國家，某市政府為了激勵居民節(jié)約用水，安排調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水狀況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)依據(jù)[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由．[解析](1)由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06，0.04，0.02．由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30．(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12．由以上樣本的頻率，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12＝36000．(3)因為前6組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5組的頻率之和為：0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3，由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，所以x＝2.9，所以估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準．規(guī)律方法：(1)由于頻率分布表、頻率分布直方圖丟失了樣本的原始數(shù)據(jù)，以此求得數(shù)字特征都是樣本數(shù)字特征的估計值．(2)可用樣本的分布估計總體的分布．┃┃對點訓練__■3．某高校藝術專業(yè)400名學生參與某次測評，依據(jù)男女學生人數(shù)比例，運用分層隨機抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(2)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．[解析](1)依據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5．所以總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×eq\f(5,100)＝20．(2)由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30．所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2．所以依據(jù)分層隨機抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3∶2．易錯警示┃┃典例剖析__■典例4在一次中學生田徑運動會上，參與男子跳高的17名運動員的成果如表所示：成果/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運動員成果的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．[錯解]依據(jù)以上數(shù)據(jù)可得眾數(shù)為1.75，中位數(shù)為eq\f(1.70＋1.75,2)＝1.725，平均數(shù)為1.69．[辨析]所求數(shù)據(jù)要留意單位問題，另外中位數(shù)計算錯誤．[正解]在17