物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)第三版第1章-光在各向同性介質(zhì)中的傳播特性

第1章光在各向同性介質(zhì)中的

傳播特性1.1光波的特性1.2光波在介質(zhì)界面上的反射和折射1.3光波在金屬表面上的反射和折射例題

1.1光波的特性

1.1.1光電磁波及麥克斯韋電磁方程

1.電磁波譜

自從19世紀(jì)人們證實(shí)了光是一種電磁波后，又經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步證實(shí)了X射線、γ射線也都是電磁波，它們的電磁特性相同，只是頻率(或波長)不同而已。按電磁波的頻率(或波長)次序排列成譜，稱為電磁波譜，如圖1-1所示，其中太赫茲波（0.1THz~10THz)是近年來興起的一個(gè)研究熱點(diǎn)。圖1-1電磁波譜由于光的頻率極高(1012Hz~1016Hz)，數(shù)值極大，使用起來很不方便，因而更常采用波長表征，光譜區(qū)域的波長范圍約從1mm到10nm。習(xí)慣上，人們又將紅外線、可見光和紫外線細(xì)分如下：

2.麥克斯韋電磁方程

根據(jù)光的電磁理論，光波具有電磁波的所有性質(zhì)，并且可以從電磁場滿足的基本方程——麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來。從麥克斯韋方程組出發(fā)，結(jié)合具體的邊界條件及初始條件，可以定量地研究光的各種傳播特性。(1.1-1)(1.1-2)(1.1-3)(1.1-4)式中，D、E、B、H分別表示電感應(yīng)強(qiáng)度(電位移矢量)、電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度；ρ是自由電荷體密度；J是傳導(dǎo)電流密度。這種微分形式的方程組將任意時(shí)刻、空間任一點(diǎn)上的電、磁場的時(shí)空關(guān)系與同一時(shí)空點(diǎn)的場源聯(lián)系在一起。

3.物質(zhì)方程

光波在各種介質(zhì)中的傳播過程實(shí)際上就是光與介質(zhì)相互作用的過程。因此，在運(yùn)用麥克斯韋方程組處理光的傳播特性時(shí)，必須考慮介質(zhì)的屬性，以及介質(zhì)對電磁場量的影響。描述介質(zhì)特性對電磁場量影響的方程，即是物質(zhì)方程：(1.1-5)(1.1-6)(1.1-7)式中，ε=ε0εr,為介電常數(shù)，描述介質(zhì)的電學(xué)性質(zhì)，ε0是真空中介電常數(shù)，εr是相對介電常數(shù)；μ=μ0μr,為介質(zhì)磁導(dǎo)率，描述介質(zhì)的磁學(xué)性質(zhì)，μ0是真空中磁導(dǎo)率，μr是相對磁導(dǎo)率；σ為電導(dǎo)率，描述介質(zhì)的導(dǎo)電特性。應(yīng)當(dāng)指出的是，在一般情況下，介質(zhì)的光學(xué)特性具有不均勻性，ε、μ和σ應(yīng)是空間位置的坐標(biāo)函數(shù)，即應(yīng)當(dāng)表示成ε(x,y,z)、μ(x,y,z)和σ(x,y,z)；若介質(zhì)的光學(xué)特性是各向異性的，則ε、μ和σ應(yīng)當(dāng)是張量ε、

μ和σ，因而物質(zhì)方程應(yīng)為如下形式：(1.1-8)(1.1-9)(1.1-10)即D與E、B與H、J與E一般不再同向；當(dāng)光強(qiáng)度很強(qiáng)時(shí)，光與介質(zhì)的相互作用過程會表現(xiàn)出非線性光學(xué)特性，因而描述介質(zhì)光學(xué)特性的量不再是常數(shù)，而應(yīng)是與光場強(qiáng)E有關(guān)系的量，例如介電常數(shù)應(yīng)為ε(E)、電導(dǎo)率應(yīng)為σ(E)。對于均勻的各向同性介質(zhì)，ε、μ和σ是與空間位置和方向無關(guān)的常數(shù)；在線性光學(xué)范疇內(nèi)，ε、

σ與光場強(qiáng)無關(guān)；在透明、無耗介質(zhì)中，σ=0；非鐵磁性材料的μr可視為1。

4.波動方程

麥克斯韋方程組描述了電磁現(xiàn)象的變化規(guī)律，指出任何隨時(shí)間變化的電場，將在周圍空間產(chǎn)生變化的磁場，任何隨時(shí)間變化的磁場，將在周圍空間產(chǎn)生變化的電場，變化的電

場和磁場之間相互聯(lián)系，相互激發(fā)，并且以一定速度向周圍空間傳播。因此，交變電磁場就是在空間以一定速度由近及遠(yuǎn)傳播的電磁波，應(yīng)當(dāng)滿足電磁波動方程。下面，我們從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)出電磁波動方程，并且限定所討論的區(qū)域遠(yuǎn)離輻射源，不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流，介質(zhì)為各向同性的均勻介質(zhì)。此時(shí)，麥克斯韋方程組可簡化為(1.1-11)(1.1-12)(1.1-13)(1.1-14)對(1.1-13)式兩邊取旋度，并將(1.1-14)式代入，可得利用矢量微分恒等式并考慮到(1.1-11)式，可得(1.1-15（a）)同理可得(1.1-15（b）)若令可將以上兩式變化為(1.1-16)(1.1-17)這個(gè)方程組就是交變電磁場所滿足的波動方程，它說明了交變電磁場是以速度v在介質(zhì)中傳播的電磁波動，并由此可以得到電磁波在真空中的傳播速度c：根據(jù)光的電磁理論，方程（1.1-17)也即是光波電磁場滿足的波動方程，c即是光波在真空中的傳播速度。1983年第十七屆國際計(jì)量大會決定，真空中光速的定義值為

c=2.99792458×108

m/s

為描述光波在介質(zhì)中傳播的快慢，引入表征介質(zhì)光學(xué)性質(zhì)的一個(gè)很重要的參量——折射率n：(1.1-18)除鐵磁性介質(zhì)外，大多數(shù)介質(zhì)的磁性都很弱，可以認(rèn)為μr≈1。因此，折射率可表示為(1.1-19)此式稱為麥克斯韋關(guān)系。

5.光電磁場的能量和能流密度

光的電磁理論指出，光電磁場是一種特殊形式的物質(zhì)，既然是物質(zhì)，就必然有能量，其電磁場能量密度為(1.1-20)而光電磁場又是一種電磁波，它所具有的能量將以速度v向外傳播。為了描述光電磁能量的傳播，引入能流密度——坡印廷(Poynting)矢量S，它定義為(1.1-21)表示單位時(shí)間內(nèi)，通過垂直于傳播方向上的單位面積的能量。對于一種沿z方向傳播的平面光波，光場表示式為（1.1-22)式中,ex、hy是光電場、光磁場振動方向上的單位矢量，E0、H0是光電場、光磁場振幅，ω是光波的圓頻率，k是平面光波沿z方向波矢量（或傳播矢量）k的大小，或稱為波數(shù)。平面光波的能流密度S為（1.1-2３)式中，sz

是能流密度方向上的單位矢量。因?yàn)橛?1.1-13)式關(guān)系，平面光波場有，所以S可寫為(1.1-24)該式表明，這個(gè)平面光波的能量沿z方向以波動形式傳播。由于光的頻率很高，例如可見光為1014量級，因而S的大小S隨時(shí)間的變化很快。而相比較而言，目前光探測器的響應(yīng)時(shí)間都較慢，例如響

應(yīng)最快的光電二極管僅為10－8s~10－10s，遠(yuǎn)遠(yuǎn)跟不上光能量的瞬時(shí)變化，只能給出S的平均值。所以，在實(shí)際應(yīng)用中都利用能流密度的時(shí)間平均值〈S〉表征光電磁場的能量傳播，并稱〈S〉為光強(qiáng)，以I表示。假設(shè)光探測器的響應(yīng)時(shí)間為T，則將(1.1-24)式代入，進(jìn)行積分，可得(1.1-25)式中， 是比例系數(shù)。由此可見，在同一種介質(zhì)中，光強(qiáng)與電場強(qiáng)度振幅的平方成正比。一旦通過測量知道了光強(qiáng)，便可計(jì)算出光波電場的振幅E0。例如，一束105W的激光，用透鏡聚焦到1×10-10m2的面積上，則在透鏡焦平面上的光強(qiáng)度約為相應(yīng)的光電場強(qiáng)度振幅為這樣強(qiáng)的電場，能夠產(chǎn)生極高的溫度，足以將目標(biāo)燒毀。應(yīng)當(dāng)指出，在有些應(yīng)用場合，由于只考慮某一種介質(zhì)中的光強(qiáng)，只關(guān)心光強(qiáng)的相對值，因而往往省略比例系數(shù)，把光強(qiáng)寫成I=〈E2〉=E20

如果考慮的是不同介質(zhì)中的光強(qiáng)，比例系數(shù)不能省略。1.1.2幾種特殊形式的光波

上節(jié)得到的交變電場E和交變磁場H所滿足的波動方程(1.1-17)，可以表示為如下的一般形式：(1.1-26)這是一個(gè)二階偏微分方程，根據(jù)光場解的形式的不同，光波可分類為平面光波，球面光波，柱面光波或高斯光束。

1.平面光波首先說明，光波中包含有電場矢量和磁場矢量，從波的傳播特性來看，它們處于同樣的地位，但是從光與介質(zhì)的相互作用來看，其作用不同。在通常應(yīng)用的情況下，磁場的作用遠(yuǎn)比電場弱，甚至不起作用。例如，實(shí)驗(yàn)證明，使照相底片感光的是電場，不是磁場；對人眼視網(wǎng)膜起作用的也是電場，不是磁場。因此，通常把光波中的電場矢量E稱為光矢量，把電場E的振動稱為光振動，在討論光的波動特性時(shí)，只考慮電場矢量E即可。

1)波動方程的平面光波解在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯算符的表示式為為簡單起見，假設(shè)f不含x、y變量，則波動方程為為了求解波動方程，先將其改寫為(1.1-27)令可以證明因而，上面的方程變?yōu)榍蠼庠摲匠?，f可表示為(1.1-28)對于式中的f1(z-vt),凡(z-vt)為常數(shù)的點(diǎn)都處于相同的振動狀態(tài)。如圖1-2(a)所示，t=0時(shí)的波形為Ⅰ，t=t1時(shí)的波形Ⅱ相對于波形Ⅰ平移了vt1，……。由此可見，f1(z-vt)表示的是沿z方向以速度v傳播的波。類似分析可知，f2(z+vt)表示的是沿-z方向以速度v傳播的波。將某一時(shí)刻振動相位相同的點(diǎn)連結(jié)起來，所組成的曲面叫波陣面。由于此時(shí)的波陣面是垂直于傳播方向z的平面(圖1-2(b))，因而f1和

f2是平面光波，(1.1-28)式是平面光波情況下波動方程(1.1-27)的一般解。在通常情況下，沿任一方向k、以速度v傳播的平面波的波陣面，如圖1-2(c)所示。

圖1-2平面波圖示

2)單色平面光波

(1)單色平面光波的三角函數(shù)表示(1.1-2８)式是波動方程在平面光波情況下的一般解形式，根據(jù)具體條件的不同，可以采取不同的具體函數(shù)表示。最簡單、最普遍采用的是三角函數(shù)形式，即f=Acos(ωt-kz)+B

sin(ωt+kz)若只計(jì)沿+z方向傳播的平面光波，其電場表示式為(1.1-30)

(2)單色平面光波的復(fù)數(shù)表示為便于運(yùn)算，經(jīng)常把平面簡諧光波的波函數(shù)寫成復(fù)數(shù)形式。例如，可以將沿z方向傳播的平面光波寫成采用這種形式，就可以用簡單的指數(shù)運(yùn)算代替比較繁雜的三角函數(shù)運(yùn)算。例如，在光學(xué)應(yīng)用中，經(jīng)常因?yàn)橐_定光強(qiáng)而求振幅的平方E20，對此，只需將復(fù)數(shù)形式的場乘以它的共軛復(fù)數(shù)即可：(1.1-31)應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，任意描述真實(shí)存在的物理量的參量都應(yīng)當(dāng)是實(shí)數(shù)，在這里采用復(fù)數(shù)形式只是數(shù)學(xué)上運(yùn)算方便的需要。由于對(1.1-31)式取實(shí)部即為(1.1-30)式所示的函數(shù)，所以，對復(fù)數(shù)形式的量進(jìn)行線性運(yùn)算，只有取實(shí)部后才有物理意義，才能與利用三角函數(shù)形式進(jìn)行同樣運(yùn)算得到相同的結(jié)果。因此，光波場表示式與其復(fù)數(shù)形式之間，應(yīng)有很容易證明，光電磁能量密度的時(shí)間平均值為（1.1-32)光能流密度的時(shí)間平均值為(1.1-33)上式中，通常定義(1.1-34)為復(fù)坡印廷矢量。還應(yīng)指出，由于對復(fù)數(shù)函數(shù)exp［－i(ωt-kz)］與exp［i(ωt－kz)］兩種形式取實(shí)部得到相同的函數(shù)，因而對于平面簡諧光波，采用exp［－i(ωt-kz)］和exp［i(ωt－kz)］兩種形式完全等效。因此，在不同的文獻(xiàn)書籍中，根據(jù)作者的習(xí)慣不同，可以采取其中任意一種形式。

對于平面簡諧光波的復(fù)數(shù)表示式，可以將時(shí)間相位因子與空間相位因子分開來寫：

(1.1-35)式中，(1.1-36)稱為復(fù)振幅。若考慮場強(qiáng)的初相位，則復(fù)振幅可表示為(1.1-27)復(fù)振幅反映了場振動的振幅和相位隨空間的變化。在許多應(yīng)用中，由于因子exp(－iωt)在空間各處都相同，因此只考察場振動的空間分布時(shí)，可將其略去不計(jì),僅討論復(fù)振幅的變化。進(jìn)一步，若平面簡諧光波沿著任一波矢k方向傳播，則其三角函數(shù)形式和復(fù)數(shù)形式表示式分別為(1.1-38)和(1.1-39)(1.1-40)在信息光學(xué)中，經(jīng)常遇到相位共軛光波的概念。所謂相位共軛光波是指兩列同頻率的光波，它們的復(fù)振幅之間是復(fù)數(shù)共軛的關(guān)系。相應(yīng)的復(fù)振幅為假設(shè)有一個(gè)平面光波的波矢量k平行于xOz平面(圖1-3)，在z=0平面上的復(fù)振幅為(1.1-41)式中的γ為k與z軸的夾角，則相應(yīng)的相位共軛光波復(fù)振幅為該式表明，此相位共軛光波是與波來自同一側(cè)的平面光波，其波矢量平行于xOz平面、與z軸夾角為-γ。如果對照(1.1-42)式，把(1.1-40)式的復(fù)數(shù)共軛寫成(1.1-43)(1.1-42)圖1-3平面波及其相位共軛波

2.球面光波一個(gè)各向同性的點(diǎn)光源，它向外發(fā)射的光波是球面光波，等相位面是以點(diǎn)光源為中心、隨著距離的增大而逐漸擴(kuò)展的同心球面，如圖1-4所示。

圖1-4球面光波示意圖球面光波所滿足的波動方程仍然是(1.1-26)式，只是由于球面光波的球?qū)ΨQ性，其波動方程僅與r有關(guān)，與坐標(biāo)θ、φ無關(guān)，因而球面光波的振幅只隨距離r變化。若忽略場的矢量性，采用標(biāo)量場理論，可將波動方程表示為

式中，f=f(r,t)。(1.1-44)對于球面光波，利用球坐標(biāo)討論比較方便。此時(shí)，(1.1-44)式可表示為即一般解為(1.1-45)(1.1-46)其中，f1(r-vt)代表從原點(diǎn)沿r正方向向外發(fā)散的球面光波；f2(r+vt)代表向原點(diǎn)(點(diǎn)光源)傳播的會聚球面光波。球面波的振幅隨r成反比例變化。最簡單的簡諧球面光波——單色球面光波的波函數(shù)為(1.1-47)其復(fù)數(shù)形式為(1.1-48)復(fù)振幅為(1.1-49)上面三式中的A1為離開點(diǎn)光源單位距離處的振幅值。

3.柱面光波

一個(gè)各向同性的無限長線光源，向外發(fā)射的波是柱面光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距離的增大而逐漸擴(kuò)展的同軸圓柱面，如圖1-5所示。柱面光波所滿足的波動方程可以采用以z軸為對稱軸、不含z的圓柱坐標(biāo)系形式描述：(1.1-50)式中， 。圖1-5柱面光波示意圖可以證明，當(dāng)r較大(遠(yuǎn)大于波長)時(shí)，其單色柱面光波場解的表示式為(1.1-51)復(fù)振幅為(1.1-52)可以看出，柱面光波的振幅與 成反比。式中的A1是離開線光源單位距離處光波的振幅值。

4.高斯(Gauss)光束由激光器產(chǎn)生的激光束既不是上面討論的均勻平面光波，也不是均勻球面光波，而是一種振幅和等相位面都在變化的高斯球面光波，亦稱為高斯光束。在由激光器產(chǎn)生的各種模式的激光中，最基本、應(yīng)用最多的是基模(TEM00)高斯光束，因此，在這里僅討論基模高斯光束。有關(guān)這種高斯光束的產(chǎn)生、傳輸特性的詳情，可參閱激光原理教科書。考慮到高斯光束的柱對稱性，可以采用圓柱坐標(biāo)系中的波動方程形式：并可以證明，下述單色基模高斯光束標(biāo)量波光場是這個(gè)波動方程的一種解：(1.1-53)(1.1-54)(1.1-55)式中，E0為常數(shù)，其余符號的意義為這里，λ為光波長；n0為介質(zhì)折射率；w0為基模高斯光束的束腰半徑；f為高斯光束的共焦參數(shù)或瑞利長度；R(z)為與傳播軸線相交于z點(diǎn)的高斯光束等相位面的曲率半徑；w(z)為與傳播軸線相交于z點(diǎn)的高斯光束等相位面上的光斑半徑。由(1.1-５4)式可以看出，基模高斯光束具有以下基本特征：①基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場振幅分布按照高斯函數(shù)的規(guī)律從中心(即傳播軸線)向外平滑地下降，如圖1-6所示。由中心振幅值下降到1/e點(diǎn)所對應(yīng)的寬度，定義為光斑半徑該式可變換為(1.1-57)(1.1-56)可見，基模高斯光束的光斑半徑隨著坐標(biāo)z按雙曲線的規(guī)律擴(kuò)展，如圖1-7所示。圖1-6高斯分布與光斑半徑圖1-7高斯光束的擴(kuò)展②基模高斯光束場的相位因子(1.1-58)決定了基模高斯光束的空間相移特性。其中，kz描述了高斯光束的幾何相移；arctan(z/f)描述了高斯光束在空間行進(jìn)距離z處、相對于幾何相移的附加相移；因子kr2/2R(z)則表示與橫向坐標(biāo)r有關(guān)的相移，它表明高斯光束的等相位面是以R(z)為半徑的球面，R(z)隨z的變化規(guī)律為(1.1-59)由止式可見：當(dāng)z=0時(shí)，R(z)→∞，表明束腰所在處的等相位面為平面；當(dāng)z→±∞時(shí)，|R(z)|≈z→∞，表明離束腰無限遠(yuǎn)處的等相位面亦為平面，且曲率中心就在束腰處；當(dāng)z=±f時(shí)，|R(z)|=2f，達(dá)到極小值；當(dāng)0＜z＜f時(shí)，R(z)＞2f，表明等相位面的曲率中心在(-∞,-f)區(qū)間上；當(dāng)z＞f時(shí)，z＜R(z)＜z+f，表明等相位面的曲率中心在(-f,0)區(qū)間上。③基模高斯光束既非平面波，又非均勻球面波，它的發(fā)散度采用遠(yuǎn)場發(fā)散角表征。遠(yuǎn)場發(fā)散角θ1/e2定義為z→∞時(shí)，強(qiáng)度為中心的1/e2點(diǎn)所夾角的全寬度，即(1.1-60)顯然，高斯光束的發(fā)散度由束腰半徑w0決定。綜上所述，基模高斯光束在其傳播軸線附近可以看作是一種非均勻的球面波，其等相位面是曲率中心不斷變化的球面，振幅和強(qiáng)度在橫截面內(nèi)保持高斯分布。1.1.3光波場的時(shí)域頻率譜

1.光波場的時(shí)間頻率域表示

1)復(fù)色波前面，我們討論了頻率為ω的單色平面光波實(shí)際上，嚴(yán)格的單色光波是不存在的，我們所能得到的各種光波均為復(fù)色波。所謂復(fù)色波是指某光波由若干單色光波組合而成，或者說它包含有多種頻率成分，它在時(shí)間上是有限的波列。復(fù)色波的電場是所含各個(gè)單色光波電場的疊加，即(1.1-62)(1.1-61)

2)光波的時(shí)間頻率譜在一般情況下，若只考慮光波場在時(shí)間域內(nèi)的變化，可以表示為時(shí)間的函數(shù)E(t)。通過傅里葉變換，它可以展成如下形式：式中，exp(－i2πνt)為傅氏空間(或頻率域)中頻率為ν的一個(gè)基元成分，取實(shí)部后得cos(2πνt)。因此，可將exp(－i2πνt)視為頻率為ν的單位振幅簡諧振蕩。E(ν)隨ν的變化稱為E(t)的頻譜分布，或簡稱頻譜。這樣，(1.1-63)式可理解為：一個(gè)隨時(shí)間變化的光波場振動E(t)，可以視為許多單頻成分簡諧振蕩的疊加，各成分相應(yīng)的振幅E(ν)，并且E(ν)按下式計(jì)算：(1.1-63)(1.1-64)一般情況下，由上式計(jì)算出來的E(ν)為復(fù)數(shù)，它就是ν頻率分量的復(fù)振幅，可表示為(1.1-65)式中，|E(ν)|為光場振幅的大小；j(ν)為相位角。因而，|E(ν)|2表征了ν頻率分量的功率，稱|E(ν)|2為光波場的功率譜。由上所述，一個(gè)時(shí)域光波場E(t)可以在頻率域內(nèi)通過它的頻譜描述。下面，給出幾種經(jīng)常運(yùn)用的光波場E(t)的頻譜分布。

(1)無限長時(shí)間的等幅振蕩其表達(dá)式為式中，E0、ν0為常數(shù)，且E0可以取復(fù)數(shù)值。由(1.1-64)式，它的頻譜為(1.1-67)(1.1-66)該式表明，等幅振蕩光場對應(yīng)的頻譜只含有一個(gè)頻率成分ν0，我們稱其為理想單色振動。其功率譜為|E(ν)|2，如圖1-8所示。圖1-8等幅振蕩及其頻譜圖

(2)持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩其表達(dá)式為(設(shè)振幅等于1)(1.1-68)這時(shí)(1.1-69)或表示成(1.1-70)相應(yīng)的功率譜為(1.1-71)如圖1-9所示?？梢?，這種光場頻譜的主要部分集中在從υ1到υ2的頻率范圍之內(nèi)，主峰中心位于ν0處，ν0是振蕩的表觀頻率，或稱為中心頻率。圖1-9有限正弦波及其頻譜圖為表征頻譜分布特性，定義最靠近ν0的兩個(gè)強(qiáng)度為零的點(diǎn)所對應(yīng)的頻率ν2和ν1之差的一半為這個(gè)有限正弦波的頻譜寬度Δν。由(1.1-71)式，當(dāng)ν=ν0時(shí)，|E(ν0)|2=Ｔ2；當(dāng)ν=ν0±1/T時(shí)，|E(ν)|2=0，所以有(1.1-72)因此，振蕩持續(xù)的時(shí)間越長，頻譜寬度愈窄。

(3)衰減振蕩其表達(dá)式可寫為(1.1-73)相應(yīng)的E(ν)為(1.1-74)功率譜為(1.1-64)如圖1-10所示。因此，這個(gè)衰減振蕩也可視為無限多個(gè)振幅不同、頻率連續(xù)變化的簡諧振蕩的疊加，ν0為其中心頻率。這時(shí)，把最大強(qiáng)度一半所對應(yīng)的兩個(gè)頻率υ2和υ2之差Δν，定義為這個(gè)衰減振蕩的頻譜寬度。圖1-10衰減振蕩及其頻譜圖由于ν=ν2(或ν1)時(shí)，|E(ν2)|2=|E(ν0)|2/2，即化簡后得因而(1.1-76)最后，再次強(qiáng)調(diào)指出，在上面的有限正弦振蕩和衰減振蕩中，盡管表達(dá)式中含有exp(－i2πν0t)的因子，但E(t)已不再是單頻振蕩了。換言之，我們只能說這種振蕩的表觀頻率為ν0，而不能簡單地說振蕩頻率為ν0

。只有以某一頻率作無限長時(shí)間的等幅振蕩，才可以說是嚴(yán)格的單色光。

3.準(zhǔn)單色光前面已經(jīng)指出，理想的單色光是不存在的，實(shí)際上能夠得到的只是接近于單色光。例如，上面討論的持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩，如果其振蕩持續(xù)時(shí)間很長，以致于1/T<<ν0，則E(ν)的主值區(qū)間(ν0－1/T)＜ν＜(ν0+1/T)很窄，可認(rèn)為接近于單色光；對于衰減振蕩，若β很小(相當(dāng)于振蕩持續(xù)時(shí)間很長)，則頻譜寬度很窄，也接近于單色光。對于一個(gè)實(shí)際的表觀頻率為ν0的振蕩，若其振幅隨時(shí)間的變化比振蕩本身緩慢得多，則這種振蕩的頻譜就集中于ν0附近的一個(gè)很窄的頻段內(nèi)，可認(rèn)為是中心頻率為ν0的準(zhǔn)單色光，其場振動表達(dá)式為

(1.1-77)在光電子技術(shù)應(yīng)用中，經(jīng)常運(yùn)用的調(diào)制光波均可認(rèn)為是準(zhǔn)單色光(或稱準(zhǔn)單色光波)?，F(xiàn)在考察一個(gè)在空間某點(diǎn)以表觀頻率ν0振動、振幅為高斯函數(shù)的準(zhǔn)單色光波(1.1-78)其振動曲線如圖1-11(a)所示。在t=t0時(shí)，振幅最大，且為A；當(dāng)|t-t0|=Δt/2時(shí)，振幅降為A/e。由此可見，參數(shù)Δt表征著振蕩持續(xù)的有效時(shí)間。對于這種高斯函數(shù)準(zhǔn)單色光波的頻譜分布，可由傅氏變換確定：對該積分作自變量代換，將被積函數(shù)分為實(shí)部和虛部分別進(jìn)行積分，得到相應(yīng)的功率譜為(1.1-79)(1.1-80)根據(jù)上述定義，有，

計(jì)算可得。因此(1.1-81)該頻譜寬度Δν表征了高斯型準(zhǔn)單色光波的單色性程度。圖1-11高斯型準(zhǔn)單色光波及其頻譜圖

2.光波場的空間頻率域表示

1）空間頻率

如前所述，假設(shè)頻率為ω的單色平面光波場表示式為(1.1-82)在空間域內(nèi)，其波數(shù)k可稱為空間圓頻率，波長λ可稱為光波場的空間周期，相應(yīng)波長的倒數(shù)可以稱光波場在光波傳播方向上的空間頻率，即(1.1-83)它表示光波場沿波矢k方向每增加單位長度，光波場增加的周期數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，光波的空間頻率是觀察方向的函數(shù)。例如，對于圖1-12所示沿z軸方向傳播的平面光波，在波的傳播方向(z)上，空間周期是λ，空間頻率是fz=1/λ；在r方向上觀察時(shí)，空間周期是λr，相應(yīng)的空間頻率為(1.1-84)顯然，當(dāng)θ=π/2時(shí)，沿x方向的空間頻率為零。圖1-12沿z軸傳播的平面光波對于圖1-13所示、在xOy平面內(nèi)沿k方向傳播的平面

光波：(1.1-85)在k方向上的空間頻率為fk=1/λ；在x方向上的空間頻率為fx=1/λx=(cosθ)/λ；在y方向上的空間頻率為fy=1/λy=(sinθ)/λ；在z方向上的空間頻率為fz=1/λz=0。因?yàn)?1.1-86)圖1-13沿xOy面內(nèi)θ方向傳播的平面光波所以有

對于圖1-14所示的沿任意空間方向k傳播的平面光波：(1.1-88)因?yàn)?1.1-89)所以，空間頻率為因此，該平面光波可表示為(1.1-90)(1.1-91)圖1-14沿任意方向傳播的平面光波應(yīng)當(dāng)指出，對于一個(gè)沿任意方向k傳播的平面光波，因?yàn)椴〝?shù)k與頻率ν有如下關(guān)系：(1.1-92)所以，在k的三個(gè)分量中只有兩個(gè)是獨(dú)立變量，只要知道了k在xOy平面上的兩個(gè)分量kx和ky，即可由(1.1-93)確定kz，從而也就確定了k。因此，在任意z=z0的xy平面上，平面光波的復(fù)振幅可以表示為(1.1-94)式中，由上述可見，一個(gè)平面光波的空間傳播特性也可以用空間頻率這個(gè)特征參量描述。當(dāng)研究平面光波沿著傳播方向的空間周期分布時(shí)，每一個(gè)空間頻率對應(yīng)于一定波長的單色波。當(dāng)研究垂直于z軸的一個(gè)平面上單色光波的復(fù)振幅分布時(shí)，每一組空間頻率(fx、fy)值對應(yīng)于一個(gè)沿一定方向傳播的單色平面光波。

2）光波的空間頻率譜

上面討論的是一個(gè)單色均勻平面光波的空間頻率問題。實(shí)際上，在光學(xué)圖像及光信息處理應(yīng)用中，經(jīng)常討論的是在一個(gè)平面(例如，入瞳平面或物平面)上的二維信息，即單色光波場中任一xOy平面上的復(fù)振幅分布。此時(shí)可以利用二維傅里葉變換，將

這個(gè)二維空間坐標(biāo)函數(shù)分解成無數(shù)個(gè)形式為exp［i2π(fxx+fyy)］的基元函數(shù)的線性組合，即(1.1-95)式中的基元函數(shù)exp［i2π(fxx+fyy)］可視為由空間頻率(fx，fy)決定、沿一定方向傳播的平面光波，其傳播方向的方向余弦為cosα=fxλ，cosβ=fyλ，相應(yīng)該空間頻率成分的基元函數(shù)所占比例的大小由決定。通常稱隨(fx,fy)的變化分布為的空間頻率譜，簡稱為空間頻譜(或角譜)。因此，可以把任意z平面上的單色光波場復(fù)振幅視為沿空間不同方向傳播的單色平面光波的疊加，其每一個(gè)平面光波分量與一組空間頻率(fx,fy)相對應(yīng)：(1.1-96)1.1.4光波的速度

1.單色光波的速度

1)單色光波的能量傳播速度(能流速度)由光的電磁理論，光波攜帶著電磁能量在空間傳播，能量傳播速度為

(1.1-97)對于（1.1-30)式所示的波矢為k的單色平面光波，能量傳播速度的方向?yàn)椴ㄊ竗方向，大小為(1.1-98)

2)單色光波的相速度

假設(shè)單色光波電場的表示式為

(1.1-99)

式中，E(r)和j(r)是隨距離變化的相位項(xiàng)，相應(yīng)于

ωt－j(r)=常數(shù)

的空間曲面為該單色光波的等相位面，滿足該式的r是這

個(gè)相位狀態(tài)在不同時(shí)刻的位置。將上式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得

（1.1-100)設(shè)r0為dr方向上的單位矢量，并寫成dr=r0ds，則有當(dāng)r0垂直于等相位面，即r0=▽φ/|▽φ|時(shí)，上式值最小，其值為(1.1-102)該v(r)就是等相位面的傳播速度，簡稱為相速度。對于波矢量為k的平面單色光波，其空間相位項(xiàng)為j(r)=k·r－j0

（1.1-101)因此▽j=k

所以，波矢為k的平面單色光波的相速度方向?yàn)椴ㄊ竗方向，大小為(1.1-103)應(yīng)當(dāng)注意，相速度是單色光波所特有的一種速度，由于它表示的不是光波能量的傳播速度，所以當(dāng) ，例如在色散介質(zhì)的反常色散區(qū)，就有相速度v大于真空中光速度c的情況，這并不違背相對論的結(jié)論。

2.復(fù)色光波的速度如前所述，實(shí)際上的光波都不是嚴(yán)格的單色光波，而是復(fù)色光波，它的光電場是所包含各個(gè)單色光波電場的疊加，即(1.1-104)為簡單起見，以二色波為例進(jìn)行說明。如圖1-12(a)所示的二色波的光電場為(1.1-105)假設(shè)E01=E02=E0，且|ω1-ω2|<<ω1

，ω2

，則(1.1-106)式中圖1-15兩個(gè)單色光波的疊加對于上述復(fù)色光波，E(z，t)為其光場的振幅(包絡(luò))，為其光場的相位，這種復(fù)色光波的傳播速度包含兩種含義：等相位面的傳播速度和等振幅面的傳播速度，前者也稱為相速度，后者也稱為群速度或包絡(luò)速度。

1)復(fù)色波的相速度若令(1.1-75)式的復(fù)色波相位為常數(shù)(常數(shù))，則某時(shí)刻等相位面的位置z對時(shí)間的變化率dz/dt即為等相位的傳播速度——復(fù)色波的相速度，且有(1.1-107)

2)復(fù)色光波的群速度由復(fù)色波表示式(1.1-106)可見，它的振幅是時(shí)間和空間的余弦函數(shù)，在任一時(shí)刻，滿足(ωmt－kmz)=常數(shù)的z值，代表了某等振幅面的位置，該等振幅面位置對時(shí)間的變化率即為等振幅面的傳播速度——復(fù)色光波的群速度，且有當(dāng)Δω很小時(shí)，可以寫成(1.1-108)由波數(shù)

，vg可表示為(1.1-109)由

，有，可將上式變?yōu)?1.1-110)由

，有，上式還可表示為(1.1-111)該式表明，在折射率n隨波長變化的色散介質(zhì)中，復(fù)色光波的相速度不等于群速度：對于正常色散介質(zhì)(dn/dλ＜0)，v＞vg；對于反常色散介質(zhì)(dn/dλ＞0)，v＜vg；在無色散介質(zhì)(dn/dλ=0)中，復(fù)色光波的相速度等于群速度，實(shí)際上，只有真空才屬于這種情況。應(yīng)當(dāng)指出：①復(fù)色光波是由許多單色光波組成的，只有復(fù)色光波的頻譜寬度Δω很窄，各個(gè)頻率集中在某一“中心”頻率附近時(shí)，才能構(gòu)成(1.1-106)式所示的波群，上述關(guān)于復(fù)色光波速度的討論才有意義。如果Δω較大，得不到穩(wěn)定的波群，則復(fù)色波群速度的概念沒有意義。②波群在介質(zhì)中傳播時(shí)，由于介質(zhì)的色散效應(yīng)，使得不同單色光波的傳播速度不同。因此，隨著傳播的推移，波群發(fā)生“彌散”，嚴(yán)重時(shí)，其形狀完全與初始波群不同。由于不存在不變的波群，其群速度的概念也就沒有意義。所以，只有在色散很小的介質(zhì)中傳播時(shí)，群速度才可以視為一個(gè)波群的傳播速度。③由于光波的能量正比于電場振幅的平方，而群速度是波群等振幅點(diǎn)的傳播速度，所以在群速度有意義的情況下，它即是光波能量的傳播速度。1.1.5光波的橫波性、偏振態(tài)及其表示

1.平面光波的橫波特性假設(shè)平面光波的電場和磁場分別為

(1.1-112)(1.1-113)將其代入麥克斯韋方程(1.1-11)式和(1.1-12)式，可得

k·D=0 (1.1-114)

k·B=0 (1.1-115)對于各向同性介質(zhì)，因?yàn)镈∥E，有

k·E=0(1.1-85)對于非鐵磁性介質(zhì)，因?yàn)锽=μ0H，有k·H=0(1.1-117)這些關(guān)系說明，平面光波的電場矢量的磁場矢量均垂直于波矢方向(波陣面法線方向)。因此，平面光波是橫電磁波。如果將(1.1-112)式、(1.1-113)式代入(1.1-13)式，可以得到(1.1-118)(1.1-119)由此可見，E與B、H相互垂垂，因此，k、D(E)、B(H)三矢量構(gòu)成右手螺旋直角坐標(biāo)系統(tǒng)。又因?yàn)镾=E×H，所以有k∥S，即在各向同性介質(zhì)中，平面光波的波矢方向(k)與能流方向(s)相同。進(jìn)一步，根據(jù)上面的關(guān)系式，還可以寫出(1.1-120)即E與H的數(shù)值之比為正實(shí)數(shù)，因此E與H同相位。綜上所述，可以將一個(gè)沿z方向傳播、電場矢量限于xOz平面的電磁場矢量關(guān)系，繪于圖1-16。圖1-16平面光波的橫波特性

2.平面光波的偏振特性平面光波是橫電磁波，其光場矢量的振動方向與光波傳播方向垂直。一般情況下，在垂直平面光波傳播方向的平面內(nèi)，光場振動方向相對光傳播方向是不對稱的，光波性質(zhì)隨光場振動方向的不同而發(fā)生變化。我們將這種光振動方向相對光傳播方向不對稱的性質(zhì)，稱為光波的偏振特性。它是橫波區(qū)別于縱波的最明顯標(biāo)志。

1)光波的偏振態(tài)根據(jù)空間任一點(diǎn)光電場E的矢量末端在不同時(shí)刻的軌跡不同，其偏振態(tài)可分為線偏振、圓偏振和橢圓偏振。設(shè)光波沿z方向傳播，電場矢量為(1.1-121)為表征該光波的偏振特性，可將其表示為沿x、y方向振動的兩個(gè)獨(dú)立分量的線性組合，即(1.1-122)其中，將上二式中的變量t消去，經(jīng)過運(yùn)算可得(1.1-123)式中，j=jy－jx。這個(gè)二元二次方程在一般情況下表示的幾何圖形是橢圓，如圖1-17所示。

圖1-17橢圓偏振諸參量在(1.1-92)式中，相位差j和振幅比Ey/Ex的不同，決定了橢圓形狀和空間取向的不同，從而也就決定了光的不同偏振狀態(tài)。圖1-1８畫出了幾種不同j值相應(yīng)的橢圓偏振態(tài)。實(shí)際上，線偏振態(tài)和圓偏振態(tài)都可以被認(rèn)為是橢圓偏振態(tài)的特殊情況。

圖1-18不同j值相應(yīng)的橢圓偏振

(1)線偏振光當(dāng)Ex、Ey二分量的相位差j=mπ(m=0,±1,±2，…)時(shí)，橢圓退化為一條直線，稱為線偏振光。此時(shí)有(1.1-124)當(dāng)m為零或偶數(shù)時(shí)，光振動方向在Ⅰ、Ⅲ象限內(nèi)；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，光振動方向在Ⅱ、Ⅳ象限內(nèi)。由于在同一時(shí)刻，線偏振光傳播方向上各點(diǎn)的光矢量都在同一平面內(nèi)，因此又叫做平面偏振光。通常將包含光矢量和傳播方向的平面稱為振動面。

(2)圓偏振光當(dāng)Ex、Ey的振幅相等(E0x=E0y=E0)，相位差j=mπ/2(m=±1,±3,±5…)時(shí)，橢圓方程退化為圓方程該光稱為圓偏振光。用復(fù)數(shù)形式表示時(shí)，有(1.1-125)式中，正負(fù)號分別對應(yīng)右旋和左旋圓偏振光。所謂右旋或左旋與觀察的方向有關(guān)，通常規(guī)定逆著光傳播的方向看，E為順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱為右旋圓偏振光，反之，稱為左旋圓偏振光。

(3)橢圓偏振光在一般情況下，光場矢量在垂直傳播方向的平面內(nèi)大小和方向都改變，它的末端軌跡是由(1.1-123)式?jīng)Q定的橢圓，故稱為橢圓偏振光。在某一時(shí)刻，傳播方向上各點(diǎn)對應(yīng)的光矢量末端分布在具有橢圓截面的螺線上(圖1-19)。橢圓的長、短半軸和取向與二分量Ex、Ey的振幅和相位差有關(guān)。其旋向取決于相位差j：當(dāng)2mπ＜j＜(2m+1)π時(shí)，為右旋橢圓偏振光；當(dāng)(2m-1)π＜j＜2mπ時(shí)，為左旋橢圓偏振光。圖1-19橢圓偏振光

2)偏振態(tài)的表示法由以上討論可知，兩個(gè)振動方向相互垂直的偏振光疊加時(shí)，通常將形成橢圓偏振光，其電場矢端軌跡的橢圓長、短軸之比及空間取向，隨二線偏振光的振幅比E0y/E0x及其相位差j變化，它們決定了該光的偏振態(tài)。下面，進(jìn)一步討論幾種經(jīng)常采用的偏振態(tài)表示法。

(1)三角函數(shù)表示法如前所述，兩個(gè)振動方向相互垂直的線偏振光Ex和Ey疊加后，一般情況下將形成橢圓偏振光：E0x、E0y和j決定了該橢圓偏振光的特性，在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用由長、短軸構(gòu)成的新直角坐標(biāo)系x′Oy′的兩個(gè)正交電場分量Ex′和Ey′描述偏振態(tài)，如圖1-17所示。新舊坐標(biāo)系之間電矢量的關(guān)系為(1.1-126)式中，ψ(0≤ψ<π)是橢圓長軸與x軸間的夾角。設(shè)2a和2b分別為橢圓之長、短軸長度，則新坐標(biāo)系中的橢圓參量方程為(1.1-127)式中的正、負(fù)號相應(yīng)于兩種旋向的橢圓偏振光，τ=ωt-kz。令(1.1-128)則已知E0x、E0y和j，即可由下面的關(guān)系式求出相應(yīng)的a、b和ψ：(1.1-129)(1.1-130)

(2)瓊斯矩陣表示法1941年，瓊斯(Jones)利用一個(gè)列矩陣表示電矢量的x、y分量：(1.1-131)這個(gè)矩陣通常稱為瓊斯矢量。這種描述偏振光的方法是一種確定光波偏振態(tài)的簡便方法。對于在Ⅰ、Ⅲ象限中的線偏振光,有jx=jy=j0，瓊斯矢量為(1.1-132)對于左旋、右旋圓偏振光，有jy-jx=±π/2，E0x=E0y=E0，其瓊斯矢量為(1-133)考慮到光強(qiáng)I=E2x+E2y，有時(shí)將瓊斯矢量的每一個(gè)分量除以，得到標(biāo)準(zhǔn)的歸一化瓊斯矢量。例如，x方向振動的線偏振光、y方向振動的線偏振光、45°方向振動的線偏振光、振動方向與x軸與θ角的線偏振光、左旋圓偏振光、右旋圓偏振光的標(biāo)準(zhǔn)歸一化瓊斯矢量形式分別為：如果兩個(gè)偏振光滿足如下關(guān)系，則稱此二偏振光是正交偏振態(tài)：(1.1-134)例如，x、y方向振動的二線偏振光、右旋圓偏振光與左旋圓偏振光等均是互為正交的偏振光。利用瓊斯矢量可以很方便地計(jì)算二偏振光的疊加：亦可很方便地計(jì)算偏振光Ei通過幾個(gè)偏振元件后的偏振態(tài)：式中， 為表示光學(xué)元件偏振特性的瓊斯矩陣，可由光學(xué)手冊查到。

(3)斯托克斯參量表示法如前所述，為表征橢圓偏振，必須有三個(gè)獨(dú)立的量，例如振幅Ex、Ey和相位差j，或者橢圓的長、短半軸a、b和表示橢圓取向的ψ角。1852年斯托克斯(Stockes)提出用四個(gè)參量(斯托克斯參量)來描述一光波的強(qiáng)度和偏振態(tài)，在實(shí)用上更為方便。與瓊斯矢量不同的是，這種表示法描述的光可以是完全偏振光；部分偏振光和完全非偏振光；可以是單色光，也可以是非單色光?？梢宰C明，對于任意給定的光波，這些參量都可由簡單的實(shí)驗(yàn)加以測定。一個(gè)平面單色光波的斯托克斯參量是：(1.1-135)其中只有三個(gè)參量是獨(dú)立的，因?yàn)樗鼈冎g存在下面的恒等式關(guān)系：(1.1-136)參量s0顯然正比于光波的強(qiáng)度，參量s1、s2和s3則與圖1-14所示的表征橢圓取向的ψ角(0≤j＜p)和表征橢圓率及橢圓轉(zhuǎn)向的χ角(－p/4≤c＜p/4)有如下關(guān)系：(1.1-137)

(4)邦加球表示法邦加球是表示任一偏振態(tài)的圖示法，是1892年由邦加(Poincare)提出的。邦加球在晶體光學(xué)中非常有用，可決定晶體對于所穿過光的偏振態(tài)的影響。邦加球是一個(gè)半徑為s0的球Σ，其上任意點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為s1、s2和s3，而2χ和2ψ則是該點(diǎn)的相應(yīng)球面角坐標(biāo)(圖1-17)。一個(gè)平面單色波，當(dāng)其強(qiáng)度給定時(shí)(s0=常數(shù))，對于它的每一個(gè)可能的偏振態(tài)，Σ上都有一點(diǎn)與之對應(yīng)，反之亦然。由于線偏振光的相位差j是零或π的整數(shù)倍，按(1.1-104)式，斯托克斯參量s3為零，所以各線偏振光分別由赤道面上的點(diǎn)代表。對于圓偏振光，因?yàn)镋0x=E0y，所以分別由南、北極兩點(diǎn)代表左、右旋圓偏振光。圖1-20單色波偏振態(tài)的邦加球表示法1.2光波在介質(zhì)界面上的反射和折射1.2.1反射定律和折射定律

光由一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)時(shí)，在界面上將產(chǎn)生反射和折射。現(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、透明、各向同性介質(zhì)，分界面為無窮大的平面，入射、反射和折射光均為平面光波，其電場表示式為(1.2-1)式中，腳標(biāo)i,r,t分別代表入射光、反射光和折射光；r是界面上任意點(diǎn)的矢徑，在圖1-21所示的坐標(biāo)情況下，有r=ix+jy

圖1-21平面光波在界面上的反射和折射根據(jù)電磁場的邊界條件，可以得到如下關(guān)系：(1.2-2)(1.2-3)(1.2-4)這些關(guān)系表明：①入射光、反射光和折射光具有相同的頻率；②入射光、反射光和折射光均在入射面內(nèi)，ki、kr和kt波矢關(guān)系如圖1-22所示。圖1-22

ki、kr、kt三波矢關(guān)系進(jìn)一步，根據(jù)圖1-21所示的幾何關(guān)系，可由(1.2-3)式和(1.2-4)式得到(1.2-5)(1.2-6)又因?yàn)閗=nω/c，可將上二式改寫為這就是介質(zhì)界面上的反射定律和折射定律，它們給出了反射光、折射光的方向。折射定律又稱為斯涅耳(Snell)定律。(1.2-7)(1.2-8)1.2.2菲涅耳公式

1.s分量和p分量

通常把垂直于入射面振動的分量稱做s分量，把平行于入射面振動的分量稱做p分量。為討論方便起見，規(guī)定s分量和p分量的正方向如圖1-23所示。

圖1-23s分量和p分量的正方向

2.反射系數(shù)和透射系數(shù)

假設(shè)介質(zhì)中的電場矢量為(1.2-9)其s分量和p分量表示式為(1.2-10)則定義s分量、p分量的反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為(1.2-11)(1.2-12)

3.菲涅耳公式假設(shè)界面上的入射光、反射光和折射光同相位，根據(jù)電磁場的邊界條件及s分量、p分量的正方向規(guī)定，可得(1.2-13)和(1.2-14)利用 ，上式變?yōu)?1.2-15)再利用折射定律，并由(1.2-13)式和(1.2-15)式消去Ets，經(jīng)整理可得將(1.2-10)式代入，利用(1.2-3)式關(guān)系，并根據(jù)反射系數(shù)定義，得到(1.2-16)再由(1.2-13)式和(1.2-15)式消去Ers，經(jīng)運(yùn)算整理得(1.2-17)將所得到的表示式(及相應(yīng)的其他形式——讀者可以自己推導(dǎo))寫成一個(gè)方程組，就是著名的菲涅耳公式：(1.2-18)(1.2-19)(1.2-20)(1.2-21)由于這些系數(shù)首先是由菲涅耳用彈性波理論得到的，所以又叫做菲涅耳系數(shù)。于是，如果已知界面兩側(cè)的折射率n1、n2和入射角θ1，就可由折射定律確定折射角θ2，進(jìn)而可由上面的菲涅耳公式求出反射系數(shù)和透射系數(shù)。圖1-24繪出了在n1＜n2(光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì))和n1＞n2(光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì))兩種情況下，反射系數(shù)、透射系數(shù)隨入射角θ1的變化曲線。圖1-24rs、rp、ts、tp隨入射角θ1變化曲線1.2.3反射率和透射率

菲涅耳公式給出了入射光、反射光和折射光之間的場振幅和相位關(guān)系(有關(guān)相位關(guān)系在后面還將深入討論)，現(xiàn)在，進(jìn)一步討論反映它們之間能量關(guān)系的反射率和透射率。在討論過程中，不計(jì)吸收、散射等能量損耗，因此，入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而總能量保持不變。如圖1-25所示，若有一個(gè)平面光波以入射角θ1斜入射到介質(zhì)分界面，平面光波的強(qiáng)度為Ii，則每秒入射到界面上單位面積的能量為

Wi=Iicosθ1(1.2-22)圖1-25光束截面積在反射和折射時(shí)的變化

(在分界面上光束截面積為1)考慮到光強(qiáng)表示式(1.1-19),上式可寫成(1.2-23)類似地，反射光和折射光的能量表示式為(1.2-24)(1.2-25)由此可以得到反射率、透射率的表達(dá)式分別為(1.2-26)(1.2-27)將菲涅耳公式代入，即可得到入射光中s分量和p分量的反射率和透射率的表示式分別為(1.2-28)(1.2-29)(1.2-30)(1.2-31)由上述關(guān)系式，顯然有圖1-26給出了按光學(xué)玻璃(n=1.52)和空氣界面計(jì)算得到的反射率R隨入射角θ1變化的關(guān)系曲線，可以看出：①一般情況下，Rs≠Rp，即反射率與偏振狀態(tài)有關(guān)。在小角度(正入射)和大角度(掠入射)情況下，Rs≈Rp。在正入射時(shí)，(1.2-34)相應(yīng)有(1.2-35)在圖1-23(a)中掠入射(θ1≈90°)時(shí)，Rs≈Rp≈1圖1-26R隨入射角θ1的變化關(guān)系當(dāng)光以某一特定角度θ1=θB入射時(shí)，Rs和Rp相差最大，且Rp=0，在反射光中不存在p分量。此時(shí)，根據(jù)菲涅耳公式有θB+θ2=90°，即該入射角與相應(yīng)的折射角互為余角。利用折射定律，可得該特定角度滿足(1.2-36)這個(gè)θB角稱為布儒斯特(Brewster)角。例如，當(dāng)光由空氣射向玻璃時(shí)，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角θB=56°40′。②反射率R隨入射角θ1變化的趨勢是：θ1＜θB時(shí)，R數(shù)值小，由Rs=Rp=4.3%緩慢變化；θ1

＞θB時(shí)，R隨著θ1的增大急劇上升，到達(dá)Rs=Rp=1。但是，對于圖1-23(b)所示的光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)(n1＞n2)和圖1-23(a)所示的光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)(n1＜n2)兩種不同情況的反射規(guī)律有一個(gè)重大差別：當(dāng)n1

＞n2時(shí)，存在一個(gè)臨界角θC，當(dāng)θ1＞θC時(shí)，光波發(fā)生全反射。由折射定律，相應(yīng)于臨界角時(shí)的折射角θ2=90°，因此有(1.2-37)例如，當(dāng)光由玻璃射向空氣時(shí)，臨界角θC=41°8′。對于n1＜n2的情況，不存在全反射現(xiàn)象。③反射率與界面兩側(cè)介質(zhì)的折射率有關(guān)。圖1-27給出了在n1=1的情況下，光正入射介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)反射率R隨其折射率n的變化曲線?？梢钥闯?，在一定范圍內(nèi)，R與n幾乎是線性關(guān)系，當(dāng)n大到一定程度時(shí)，R的上升就變得很緩慢了。在實(shí)際工作中，一定要注意n對R的影響。例如，正入射時(shí)，普通玻璃(n=1.5)的反射率R≈4%，紅寶石(n=1.769)的反射率為7.7%，而對紅外透明的鍺片，n=4，其反射率高達(dá)36%，一次反射就幾乎要損失近40%的光。圖1-27垂直入射時(shí)R隨n變化的關(guān)系1.2.3反射和折射的相位特性

1.折射光與入射光的相位關(guān)系由圖1-24可以看出，在入射角從0°到90°的變化范圍內(nèi)，不論光波以什么角度入射至界面，也不論界面兩側(cè)折射率的大小如何，s分量和p分量的透射系數(shù)t總是取正值，因此，折射光總是與入射光同相位。

2.反射光與入射光的相位關(guān)系

1)反射光和入射光中s、p分量的相位關(guān)系

(1)光波由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)(n1＜n2)由圖1-24(a)可見，n1＜n2時(shí)，反射系數(shù)rs＜0，說明反射光中的s分量與入射光中的s分量相位相反，或者說反射光中的s分量相對入射光中的s分量存在一個(gè)π相位突變，這即為圖1-28(a)所表示的jrs=π。而p分量的反射系數(shù)rp在θ1＜θB范圍內(nèi)，rp＞0，說明反射光中的p分量與入射光中的p分量相位相同(jrp=0)；在θ1＞θB范圍內(nèi)，rp＜0，說明反射光中的p分量相對入射光中的p分量有π相位突變(jrs=π)，此相位特性如圖1-28(b)所示。圖1-28

jrs、jrp隨入射角θ1的變化

(2)光波由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)(n1＞n2)由圖1-24(b)可見，入射角θ1在0°到θC的范圍內(nèi)，s分量的反射系數(shù)rs＞0，說明反射光中的s分量與入射光中的s分量同相位，正如圖1-28(c)所示的jrs=0。p分量的反射系數(shù)rp在θ1＜θB范圍內(nèi)，rp

＜0，說明反射光中的p分量相對入射光中的p分量有π相位突變(jrp=π)；而在θB＜θ1＜θC范圍內(nèi)，rp＞0，說明反射光中的p分量與入射光中的p分量相位相同，如圖1-28(d)所示。

2)反射光和入射光的相位關(guān)系為了正確確定在界面入射點(diǎn)處的反射光(合成)場與入射光(合成)場的相位關(guān)系，必須考慮圖1-23所示的s、p分量光電場振動正方向的規(guī)定。下面以幾種特殊的反射情況，說明反射光場與入射光場之間的相位關(guān)系。

(1)小角度入射的反射特性①

n1＜n2。為明顯起見，我們考察θ1=0°的正入射情況。由圖1-24(a)，有?？紤]到圖1-23所示的光電場振動正方向的規(guī)定，入射光和反射光的s分量、p分量方向如圖1-29所示。由于rs＜0，反射光中的s分量與規(guī)定正方向相反(即為垂直紙面向內(nèi)方向)；由于rp＞0，反射光中的p分量與規(guī)定正方向相同(逆著反射光線看，指向右側(cè))，所以，在入射點(diǎn)處，合成的反射光場矢量Er相對入射光場Ei反向，相位發(fā)生π突變，或半波損失。在θ1非零、小角度入射時(shí)，都將近似產(chǎn)生π相位突變，或半波損失。圖1-29正入射時(shí)產(chǎn)生π相位突變②n1＞n2。正入射時(shí)，由圖1-24(b)有rp＜0,rs＜0。考慮到圖1-23所示的光電場振動正方向的規(guī)定，入射光和反射光的s分量、p分量方向如圖1-30所示。于是，在入射點(diǎn)處，入射光場矢量Ei與反射光場矢量Er同方向，即二者同相位，反射光沒有半波損失。圖1-30正入射無相位突變

(2)掠入射的反射特性若n1＜n2，θ1≈90°，由(1.2-18)式和(1.2-19)式有|rs|=|rp|,rs＜0，rp＜0。考慮到圖1-20的光電場振動正方向規(guī)定，其入射光和反射光的s分量、p分量方向如圖1-31所示。因此，在入射點(diǎn)處，入射光場矢量Ei與反射光場矢量Er方向近似相反，即掠入射時(shí)的反射光在n1＜n2時(shí)將產(chǎn)生半波損失。圖1-31掠入射時(shí)的相位突變

3)薄膜上下表面的反射以上討論了光在一個(gè)界面上反射時(shí)的相位特性。對于從平行平面薄膜兩表面反射的1、2兩束光，有如圖1-32所示的四種情形：n1＜n2，θ1＜θB和θ1＞θB；n1＞n2，θ1＜θB和θ1＞θB。由圖可見，就1、2兩束反射光而言，其s、p分量的方向總是相反。因此，薄膜上下兩側(cè)介質(zhì)相同時(shí)，上下兩界面反射光的光場相位差，除了有光程差的貢獻(xiàn)外，還有π的附加相位差。圖1-32薄膜上下表面的反射1.2.5反射和折射的偏振特性

1.偏振度如果由于外界的作用，使各個(gè)振動方向上的振動強(qiáng)度不相等，就變成部分偏振光。如果光場矢量有確定不變的或有規(guī)則變化的振動方向，則稱為完全偏振光。部分偏振光可以看做是完全偏振光和自然光的混合，而完全偏振光可以是線偏振光、橢圓偏振光、圓偏振光，若不特別說明，在這里都是指線偏振光。

為便于研究，可將任意光場矢量視為兩個(gè)正交分量(例如，s分量和p分量)的疊加，因此，任意光波能量都可表示為在完全非偏振光中，Ws=Wp；在部分偏振光中，Ws≠Wp；在完全偏振光中，或Ws=0，或Wp=0。為表征光波的偏振特性，引入偏振度P。偏振度的定義是，在部分偏振光的總強(qiáng)度中，完全偏振光所占的比例，即

(1.2-39)(1.2-38)偏振度還可以表示為(1.2-40)式中，IM和Im分別為兩個(gè)特殊(正交)方向上所對應(yīng)的最大和最小光強(qiáng)。對于完全非偏振光，P=0；對于完全偏振光，P=1。一般的P值表示部分偏振光，P值愈接近1，光的偏振程度愈高。

2.反射和折射的偏振特性由菲涅耳公式可知，通常rs≠rp，ts≠tp，因此，反射光和折射光的偏振狀態(tài)相對入射光會發(fā)生變化。即使入射光是線偏振光，其反射光和折射光的振動方向也會發(fā)生變化。

1)自然光的反射、折射特性自然光的反射率為(1.2-41)由于入射的自然光能量Win=Wis+Wip，且Wis=Wip，因此(1.2-42)相應(yīng)的反射光偏振度為(1.1-43)折射光的偏振度為根據(jù)前面有關(guān)反射率和折射率的討論，在不同入射角的情況下，自然光的反射、折射、偏振特性如下：①自然光正入射(θ1=0°)和掠入射界面(θ1≈90°)時(shí)，Rs=Pp,Ts=Tp，因而Pr=Pt=0，即反射光和折射光仍為自然光。②自然光斜入射界面時(shí)，因Rs和Rp、Ts和Tp不相等，所以反射光和折射光都變成了部分偏振光。(1.2-44)③自然光正入射界面時(shí)，反射率為例如，光由空氣(n1=1)正入射至玻璃(n1=1.52)時(shí)，Rn=4.3%；正入射至紅寶石(n2=1.769)時(shí)，Rn=7.7%；正入射至鍺片(n2=4)時(shí)，Rn=36%。④自然光斜入射至界面上時(shí)，反射率為(1.2-45)(1.2-46)隨著入射角的變化，自然光反射率的變化規(guī)律為：(i)光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)(例如，由空氣射向玻璃)時(shí)，由圖1-26(a)可見，在θ1＜45°范圍內(nèi)，Rn基本不變，且近似等于4.3%，在θ1＞45°時(shí)，隨θ1的增大，Rn較快地變大；(ii)光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時(shí)，在入射角大于臨界角范圍內(nèi)，將發(fā)生全反射；(iii)當(dāng)θ1=θB時(shí)，由于Rp=0，Pr=1，因而反射光為完全偏振光。例如，光由空氣射向玻璃時(shí)，布儒斯特角為由反射率公式可得Rs=15%，因此，反射光強(qiáng)為這說明反射光為偏振光，但反射光強(qiáng)很小。對于透射光，因Irp=0，有Itp=Iip。又由于入射光是自然光，有Iip=0.5Ii，因而Itp=0.5Ii。進(jìn)一步，因?yàn)樗酝干涔獾钠穸葹橐虼?，透射光的光?qiáng)很大(It=0.925Ii)，但偏振度很小。由上所述可以看出，要想通過單次反射的方法獲得強(qiáng)反射的線偏振光、高偏振度的透射光是很困難的。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用“片堆”達(dá)到上述目的?！捌选笔怯梢唤M平行平面玻璃片(或其它透明的薄片，如石英片等)疊在一起構(gòu)成的，如圖1-33所示，將這些玻璃片放在圓筒內(nèi)，使其表面法線與圓筒軸構(gòu)成布儒斯特角(θB)。當(dāng)自然光沿圓筒軸(以布儒斯特角)入射并通過“片堆”時(shí)，因透過“片堆”的折射光連續(xù)不斷地以相同的狀態(tài)入射和折射，每通過一次界面，都從折射光中反射掉一部分垂直紙面振動的分量，最后使通過“片堆”的透射光接近為一個(gè)平行于入射面的線偏振光。圖1-33用“片堆”產(chǎn)生偏振光在激光技術(shù)中，外腔式氣體激光器放電管的布儒斯特窗口，就是上述“片堆”的實(shí)際應(yīng)用。如圖1-34所示，當(dāng)平行入射面振動的光分量通過窗片時(shí)，沒有反射損失，因而這種光分量在激光器中可以起振，形成激光。而垂直紙面振動的光分量通過窗片時(shí)，將產(chǎn)生高達(dá)15%的反射損耗，不可能形成激光。由于在激光產(chǎn)生的過程中，光在腔內(nèi)往返運(yùn)行，類似于光通過片堆的情況，所以輸出的激光將是在平行于激光管軸和窗片法線組成的平面內(nèi)振動的線偏振光。圖1-34外腔式氣體激光器

2)線偏振光反射的振動面旋轉(zhuǎn)一束線偏振光入射至界面，由于垂直分量和平行分量的振幅反射系數(shù)不同，相對入射光而言，反射光的振動面將發(fā)生旋轉(zhuǎn)。例如，一束入射的線偏振光振動方位角αi=45°，則其平行分量和垂直分量相等，即 。若如圖1-35所示，該光的入射角θ1=40°，則s分量和p分量的振幅反射系數(shù)分別為rs=-0.2845，rp=0.1245，反射光中二分量的振幅分別為圖1-35振動面的旋轉(zhuǎn)因此，反射光的振動方位角為相對入射光而言，振動面遠(yuǎn)離入射面。對于折射光，由于其s分量和p分量均無相位突變，且 ，所以αt＜45°，即折射光的振動面轉(zhuǎn)向入射面。由此可見，線偏振光入射至界面，其反射光和折射光仍為線偏振光，但其振動方向要改變。一般情況下，反射光和折射光的振動方位角可由下式分別求出：(1.2-47)并且假設(shè)方位角的變化范圍是從-π/2到π/2利用菲涅耳公式可以直接得到(1.2-48)由于0≤θ1≤π/2，0≤θ2<π