人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一2.1 等式與不等式的性質(zhì)（精講）（含答案及解析）

2.1等式與不等式的性質(zhì)（精講）一．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b大小比較的基本事實(shí)1.兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，其大小關(guān)系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.2.依據(jù)：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<03.結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小二.等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).三.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.性質(zhì)2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c.性質(zhì)3如果a>b，那么a＋c>b＋c.性質(zhì)4如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性質(zhì)6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性質(zhì)7如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).一.將不等關(guān)系表示成不等式(組)1.讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.2.用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接.3.多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.二.常見的文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號(hào)語言><≥≤三．作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大?。ā叭揭唤Y(jié)論”）1.作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)(或式子)作差；2.變形：對(duì)差進(jìn)行變形①將差式進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因式相乘.②將差式通過配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和，然后判斷.3.判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)；4.作出結(jié)論．四．利用不等式的性質(zhì)求取值范圍1.建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．3.求解這種不等式問題要特別注意不能簡(jiǎn)單地分別求出單個(gè)變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．考點(diǎn)一用不等式（組）表示不等關(guān)系【例1】（2023·四川眉山）將一根長(zhǎng)為的繩子截成兩段，已知其中一段的長(zhǎng)度為m，若兩段繩子長(zhǎng)度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（

）A． B．或C． D．【一隅三反】1．（2022秋·西藏林芝·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”C．某變量x至少為a可表示為“x>a”D．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”2．（2023·黑龍江雙鴨山）完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工人，瓦工人，則請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．3.（2022秋·甘肅慶陽·高一?？茧A段練習(xí)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？茧A段練習(xí)）我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價(jià)各是多少錢？則在這個(gè)問題中大竹子每根的單價(jià)可能為（

）A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢考點(diǎn)二實(shí)數(shù)（式）的比較大小【例2-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定2．（2023·北京）設(shè)，，則有（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足①，②，試確定，，的大小關(guān)系．考點(diǎn)三利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假【例3】（2023秋·河南省直轄縣級(jí)單位）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【一隅三反】1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．2．（2023春·上海寶山）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則考點(diǎn)四利用不等式的性質(zhì)證明不等式【例4】（2023·云南）（1）已知，且，證明：．（2）證明：．【一隅三反】1．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特）證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，，，證明：．考點(diǎn)五利用不等式的性質(zhì)求范圍【例5】（2023·海南）已知，求的取值范圍__________．【一隅三反】1．（2022秋·貴州貴陽·高一校聯(lián)考期中）已知，，則的取值范圍是______.2．（2022秋·湖北荊州·高一沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，則的取值范圍為_________3．（2023·福建）若，，，則t的取值范圍為______．

2.1等式與不等式的性質(zhì)（精講）一．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b大小比較的基本事實(shí)1.兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，其大小關(guān)系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.2.依據(jù)：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<03.結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小二.等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).三.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.性質(zhì)2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c.性質(zhì)3如果a>b，那么a＋c>b＋c.性質(zhì)4如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性質(zhì)6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性質(zhì)7如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).一.將不等關(guān)系表示成不等式(組)1.讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.2.用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接.3.多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.二.常見的文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號(hào)語言><≥≤三．作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小（“三步一結(jié)論”）1.作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)(或式子)作差；2.變形：對(duì)差進(jìn)行變形①將差式進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因式相乘.②將差式通過配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和，然后判斷.3.判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)；4.作出結(jié)論．四．利用不等式的性質(zhì)求取值范圍1.建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．3.求解這種不等式問題要特別注意不能簡(jiǎn)單地分別求出單個(gè)變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．考點(diǎn)一用不等式（組）表示不等關(guān)系【例1】（2023·四川眉山）將一根長(zhǎng)為的繩子截成兩段，已知其中一段的長(zhǎng)度為m，若兩段繩子長(zhǎng)度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（

）A． B．或C． D．【答案】D【解析】由題意,可知另一段繩子的長(zhǎng)度為.因?yàn)閮啥卫K子長(zhǎng)度之差不小于，所以，化簡(jiǎn)得：.故選：D【一隅三反】1．（2022秋·西藏林芝·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”C．某變量x至少為a可表示為“x>a”D．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”【答案】B【解析】對(duì)于A，某人收入x不高于2000元可表示為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，變量y不超過a可表示為，B正確；對(duì)于C，變量x至少為a可表示為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，小明身高，小華身高，小明比小華矮表示為，D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2023·黑龍江雙鴨山）完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工人，瓦工人，則請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是，即.故選：D3.（2022秋·甘肅慶陽·高一校考階段練習(xí)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知導(dǎo)火索的長(zhǎng)度（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為秒，人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得.故選：B.4．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？茧A段練習(xí)）我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價(jià)各是多少錢？則在這個(gè)問題中大竹子每根的單價(jià)可能為（

）A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢【答案】C【解析】依題意可設(shè)買大竹子，每根單價(jià)為，購(gòu)買小竹子，每根單價(jià)為，所以，即，即，因?yàn)椋?，根?jù)選項(xiàng)，，所以買大竹子根，每根元.故選：C考點(diǎn)二實(shí)數(shù)（式）的比較大小【例2-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【答案】【解析】（方法1）因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所以，即；（方?）所以，又，所以,所以.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【答案】C【解析】由題設(shè)，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故選：C.2．（2023·北京）設(shè)，，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，∴.故選：A.3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足①，②，試確定，，的大小關(guān)系．【答案】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)．【解析】因，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，綜上可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)．考點(diǎn)三利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假【例3】（2023秋·河南省直轄縣級(jí)單位）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)，，，時(shí)，，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)，，，時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，，則，即，故D正確．故選：D.【一隅三反】1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．【答案】C【解析】A選項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，因不清楚的正負(fù)情況，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，故C正確；D選項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤.故選：C2．（2023春·上海寶山）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】取，則，但是，A錯(cuò)誤，，但是，C錯(cuò)誤，取，則，但是，D錯(cuò)誤，由，可得，所以，故，B正確，故選：B.3．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：取滿足，，而，此時(shí)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，則，所以，即，又，所以，D正確.故選：D.考點(diǎn)四利用不等式的性質(zhì)證明不等式【例4】（2023·云南）（1）已知，且，證明：．（2）證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】證明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要證，只需證，即證；即證，即證；即證，顯然成立；所以．【一隅三反】1．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特）證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【解析】（1）證明：，因?yàn)?，，所以，，又bd＞0，所以，，即.（2）證明：因?yàn)閍＞b＞c＞0，所以有，，，，則，，即有，成立；因?yàn)?，，所以，，又，所以，成?所以，有.2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，，，證明：．【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)?，所以．又，所以，所以．?/p>