人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一第一章 集合與常用邏輯用語 章末重難點歸納總結(jié)（含答案及解析）

第一章章末重難點歸納總結(jié)考點一元素的互異性【例1】（2023·云南）已知集合，，則（）A． B．或 C． D．【一隅三反】1．（2023·天津）已知集合，若，則實數(shù)a的值為（

）A． B．C．或 D．52．（2023·重慶萬州）已知，，若集合，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．23．（2023·黑龍江哈爾濱）已知集合，若，求實數(shù)a的取值集合．考點二集合間的關(guān)系【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）集合且的真子集的個數(shù)是（

）A．16 B．15 C．8 D．7【例2-2】（2023·重慶）已知集合，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【例2-3】（2023·高一單元測試）已知，，且，則a的取值范圍為_________．【一隅三反】1．（2023·高一課時練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．2．（2023北京）已知集合和，那么（）A． B．C． D．3.（2023·上海浦東新）集合．(1)若是，求實數(shù)的取值范圍(2)是否存在這樣的實數(shù)，使得集合有且僅有兩個子集，若存在，求出實數(shù)及對應(yīng)的子集，若不存在，說明理由．考點三集合的運算【例3-1】（2023·天津）已知集合，則（

）A． B． C． D．【例3-2】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B．C． D．【例3-3】（2023·黑龍江哈爾濱）已知集合,，則（

）A． B．C． D．【例3-4】（2023·福建泉州）設(shè)集合.(1)討論集合與的關(guān)系；(2)若，且，求實數(shù)的值.【一隅三反】1．（2023·甘肅）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江金華）已知集合，則（

）A． B． C． D．3．（2023·吉林長春）已知非空集合，(1)當(dāng)時，求；(2)求能使成立的的取值范圍.4．（2023春·吉林長春）已知集合，集合.(1)若，求，；(2)若是的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.考點四充分必要條件【例4-1】1（2023春·河北）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【例4-2】（2023·北京）是方程有實根且的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【一隅三反】1．（2022秋·高一單元測試）設(shè)：或；：或，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023云南）設(shè)有甲、乙、丙三個條件，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么丙是甲的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

4．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）（多選）已知命題：關(guān)于x的不等式，命題：，若是的必要非充分條件，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B．C． D．考點五全稱量詞與存在量詞【例5-1】（2022秋·高一單元測試）命題，則為（

）A． B．C． D．【例5-2】（2023山西）已知命題，命題，若命題p和都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【一隅三反】1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？计谥校┮阎}，為假命題．(1)求實數(shù)a的取值集合A；(2)設(shè)集合，若“”是“”的必要不充分條件，求m的取值范圍．2．（2023·廣東深圳）已知集合，.(1)若“命題：，”是真命題，求的取值范圍.(2)“命題：，”是假命題，求的取值范圍.3．（2023·江蘇南京）已知命題p：“，使不等式成立”．(1)若命題p是假命題，求實數(shù)m的取值集合A；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．4（2022秋·廣東汕尾·高一華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知集合，，.(1)命題：“，都有”，若命題為真命題，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.

第一章章末重難點歸納總結(jié)考點一元素的互異性【例1】（2023·云南）已知集合，，則（）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．【一隅三反】1．（2023·天津）已知集合，若，則實數(shù)a的值為（

）A． B．C．或 D．5【答案】B【解析】因為，，當(dāng)時，解得，此時，不滿足集合的互異性，故（舍去），當(dāng)，解得（舍去）或，此時，滿足題意，故實數(shù)的值為.故選：B.2．（2023·重慶萬州）已知，，若集合，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【解析】∵集合，分母，∴，，且，解得，∴.故選：B.3．（2023·黑龍江哈爾濱）已知集合，若，求實數(shù)a的取值集合．【答案】【解析】因為，所以①若，解得，此時集合為，元素重復(fù)，所以不成立，即②若，解得或，當(dāng)時，集合為，滿足條件，即成立．當(dāng)時，集合為，元素重復(fù)，所以不成立，即③若，解得或，由①②知都不成立．所以滿足條件的實數(shù)的取值集合為考點二集合間的關(guān)系【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）集合且的真子集的個數(shù)是（

）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】B【解析】，集合A含有4個元素，真子集的個數(shù)是，故選：B．【例2-2】（2023·重慶）已知集合，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，解可得，或或，所以.若，則，所以，所以.故選：B.【例2-3】（2023·高一單元測試）已知，，且，則a的取值范圍為_________．【答案】【解析】由題意，集合，當(dāng)時，即，解得，此時滿足，當(dāng)時，要使得，則或，當(dāng)時，可得，即，此時，滿足；當(dāng)時，可得，即，此時，不滿足，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【一隅三反】1．（2023·高一課時練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于表示一元二次方程的解的集合，而最多有兩個不相等的實數(shù)根，由于，所以故由韋達定理可得，故選：C2．（2023北京）已知集合和，那么（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以故選：C.3.（2023·上海浦東新）集合．(1)若是，求實數(shù)的取值范圍(2)是否存在這樣的實數(shù)，使得集合有且僅有兩個子集，若存在，求出實數(shù)及對應(yīng)的子集，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時，對應(yīng)的兩個子集為和；當(dāng)時，對應(yīng)的兩個子集為和.【解析】（1）若，方程沒有實數(shù)根，當(dāng)時，方程有實數(shù)根不合題意；則，二次方程沒有實數(shù)根，，解得.所以實數(shù)的取值范圍為（2）要使集合A有且僅有兩個子集，則集合A有且只有一個元素，即對應(yīng)的方程有且只有一個實根，當(dāng)時，方程化為，解得，此時，對應(yīng)的兩個子集為和；當(dāng)，二次方程只有一個實根，，解得，此時，對應(yīng)的兩個子集為和.考點三集合的運算【例3-1】（2023·天津）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，而，所以.故選：A【例3-2】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因為或，或，所以或或或，或或或.由題意可知陰影部分對于的集合為，所以，或.故選：D.【例3-3】（2023·黑龍江哈爾濱）已知集合,，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解方程組可得或或，又因為,，則.故選：D.【例3-4】（2023·福建泉州）設(shè)集合.(1)討論集合與的關(guān)系；(2)若，且，求實數(shù)的值.【答案】(1)答案見解析(2)或【解析】（1），當(dāng)時，；當(dāng)時，，是的真子集.（2）當(dāng)時，因為，所以，所以.當(dāng)時，解得（舍去）或，此時，符合題意.當(dāng)時，解得，此時符合題意.綜上，或.【一隅三反】1．（2023·甘肅）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B.2．（2023·浙江金華）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，.故選：A.3．（2023·吉林長春）已知非空集合，(1)當(dāng)時，求；(2)求能使成立的的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）當(dāng)時，，；（2），且，，∴，解得，的取值范圍是.4．（2023春·吉林長春）已知集合，集合.(1)若，求，；(2)若是的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）若則，，故，（2），若是的必要條件，則或為空集.當(dāng)時，解得；當(dāng)為空集時，即.綜上有考點四充分必要條件【例4-1】1（2023春·河北）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，得或；由，得，則“”是“”的必要不充分條件．故選：C【例4-2】（2023·北京）是方程有實根且的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】方程有實根且函數(shù)的圖象在時與軸有交點，則或，解得或.結(jié)合集合法易得是方程有實根且的充分不必要條件.故選：A【一隅三反】1．（2022秋·高一單元測試）設(shè)：或；：或，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)題意可得，，易知是的真子集，所以，因此，是的充分不必要條件.故選：A2．（2023云南）設(shè)有甲、乙、丙三個條件，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么丙是甲的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵甲是乙的必要條件，∴乙能推出甲.∵丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，∴丙能推出乙，乙不能推出丙，所以丙能推出甲，甲不能推出丙，所以丙是甲的充分不必要條件。（如下圖）故選A.

4．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）（多選）已知命題：關(guān)于x的不等式，命題：，若是的必要非充分條件，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由可得：，解得：，設(shè)，，若p是q的必要非充分條件，所以真包含于A，所以或或均滿足.故選：BCD.考點五全稱量詞與存在量詞【例5-1】（2022秋·高一單元測試）命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)命題的否定，任意變存在，范圍不變，結(jié)論相反，則為，故選：B.【例5-2】（2023山西）已知命題，命題，若命題p和都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】當(dāng)為真時，；當(dāng)為真時，，即；因為命題p和都是真命題，所以且或.故答案為：.【一隅三反】1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？计谥校┮阎}，為假命題．(1)求實數(shù)a的取值集合A；(2)設(shè)集合，若“”是“”的必要不充分條件，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)或【解析】（1）解：命題的否命題為，為真，且，解得．∴．（2）解：由解得，若“”是“”的必要不充分條件，則，∴當(dāng)時，即，解得；當(dāng)時，，解得，綜上：或．2．（2023·廣東深圳）已知集合，.(1)若“命題：，”是真命題，求的取值范圍.(2)“命題：，”是假命題，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因為命題是真命題，所以，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，則，解得，綜上m的取值范圍為；（2）解：因為“命題：，”是假命題，所以，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，則或，解得，綜上的取值范圍為.3．（2023·江蘇南京）已知命題p：“，使不等式成立”．(1)若命題p是假命題，求實數(shù)m的取值集合A；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）因為命題p:“，不等式”成立是假命題，所以命題p的否定“，不等式”成立是真命題①，符合