廣東省華附、省實(shí)、廣雅、深中四校2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省華附、省實(shí)、廣雅、深中四校2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項(xiàng)的和為.若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．向量，，且，則（）A． B． C． D．4．的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B．60 C．70 D．805．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，則?R（A∩B）＝（）A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）6．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里7．在正方體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，給出下列命題：①；②；③平面；④和成角為.正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．38．《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（）A． B． C． D．9．閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25，那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是（）A． B． C． D．10．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．11．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．等差數(shù)列中，，，則數(shù)列前6項(xiàng)和為（）A．18 B．24 C．36 D．72二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則__________．14．已知為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為_(kāi)_______.15．某校初三年級(jí)共有名女生，為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項(xiàng)目訓(xùn)練情況，統(tǒng)計(jì)了所有女生分鐘“仰臥起坐”測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：個(gè)），并繪制了如下頻率分布直方圖，則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生有_____________個(gè)．16．已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，求證：.18．（12分）分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求的周長(zhǎng).19．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）某單位準(zhǔn)備購(gòu)買三臺(tái)設(shè)備，型號(hào)分別為已知這三臺(tái)設(shè)備均使用同一種易耗品，提供設(shè)備的商家規(guī)定：可以在購(gòu)買設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買該易耗品，每件易耗品的價(jià)格為100元，也可以在設(shè)備使用過(guò)程中，隨時(shí)單獨(dú)購(gòu)買易耗品，每件易耗品的價(jià)格為200元.為了決策在購(gòu)買設(shè)備時(shí)應(yīng)購(gòu)買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號(hào)的設(shè)備各60臺(tái)，調(diào)査每臺(tái)設(shè)備在一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計(jì)表如下所示.每臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù)678型號(hào)A30300頻數(shù)型號(hào)B203010型號(hào)C04515將調(diào)查的每種型號(hào)的設(shè)備的頻率視為概率，各臺(tái)設(shè)備在易耗品的使用上相互獨(dú)立.（1）求該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過(guò)21件的概率；（2）以該單位一個(gè)月購(gòu)買易耗品所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購(gòu)買設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買20件還是21件易耗品？21．（12分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且、、成等比數(shù)列，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）令，證明：.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，拋物線在點(diǎn)處的切線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，證明：軸.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由已知先求出，即，進(jìn)一步可得，再將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，，所以，，顯然當(dāng)時(shí)，，故，，若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識(shí)，是一道較為綜合的數(shù)列題.2、C【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得；若，根據(jù)線面平行的判定定理，可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式，即可得出答案.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.4、B【解析】

展開(kāi)式中含的項(xiàng)是由的展開(kāi)式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到，由二項(xiàng)式的通項(xiàng)，可得解【詳解】由題意，展開(kāi)式中含的項(xiàng)是由的展開(kāi)式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

求函數(shù)的值域得集合，求定義域得集合，根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果.【詳解】集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），∴A∩B＝（0，），∴?R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.6、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.7、C【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法對(duì)四個(gè)命題逐一分析，由此得出正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，，.①，，所以，故①正確.②，，不存在實(shí)數(shù)使，故不成立，故②錯(cuò)誤.③，，，故平面不成立，故③錯(cuò)誤.④，，設(shè)和成角為，則，由于，所以，故④正確.綜上所述，正確的命題有個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.8、C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達(dá)，即，解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問(wèn)題考查圓錐體積計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.9、C【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計(jì)算可得輸出為25時(shí)的值，進(jìn)而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，則，，，，，此時(shí)輸出，因而不符合條件框的內(nèi)容，但符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項(xiàng)可知C為正確選項(xiàng)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

過(guò)作于，連接，易知，，從而可證平面，進(jìn)而可知，當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，可得，再由，求出的最大值即可.【詳解】在和中，，所以，則，過(guò)作于，連接，顯然，則，且，又因?yàn)椋云矫?，所以，?dāng)最大時(shí)，取得最大值，取的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上（不在左右頂點(diǎn)），其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距長(zhǎng)為8，所以的最大值為橢圓的短軸長(zhǎng)的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.11、C【解析】

由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，列出方程求出的值，即可求解雙曲線的離心率，得到答案．【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，可得，解得，此時(shí)雙曲線，則曲線的離心率為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即，∴，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，再進(jìn)行集合的交運(yùn)算，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

基本事件總數(shù)，這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和，由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率．【詳解】解：為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從，，，，這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，基本事件總數(shù)，這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和，這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出，再求出分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解：，.則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題可得，因?yàn)橄蛄颗c向量平行，所以，解得．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】

（1），在上，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以恒成立，即恒成立，只需.令，，則，因?yàn)?，所?所以在上是增函數(shù)，所以，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的最大值為.（2），.令，則，根據(jù)題意知，所以在上是增函數(shù).又因?yàn)?，?dāng)從正方向趨近于0時(shí)，趨近于，趨近于1，所以，所以存在，使，即，，所以對(duì)任意，，即，所以在上是減函數(shù)；對(duì)任意，，即，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，．18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，將，化角為邊，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根據(jù)，選擇，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，最大，結(jié)合（1）中條件，即可求出最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值，再根據(jù)余弦定理求出邊，進(jìn)而得到的周長(zhǎng)．【詳解】（1）由，得，即.因?yàn)?，所?由，得.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)榈拿娣e.所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，則，所以的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．19、（1）；（2）【解析】

（1）分類討論去絕對(duì)值號(hào)，即可求解；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，分別求函數(shù)與的最小值，根據(jù)能同時(shí)成立，可得的最小值，即可求解.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí),不等式可化為,得，無(wú)解；②當(dāng)-2≤x≤1時(shí),不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當(dāng)x>1時(shí),不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上，不等式的解集為（2）由題意知在R上恒成立，所以令，則當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，取得最小值，且又所以當(dāng)時(shí)，與同時(shí)取得最小值.所以所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值不等式的解法，分類討論，函數(shù)的最值，屬于中檔題.20、（1）（2）應(yīng)該購(gòu)買21件易耗品【解析】

（1）由統(tǒng)計(jì)表中數(shù)據(jù)可得型號(hào)分別為在一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時(shí)的概率,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨(dú)立事件概率公式進(jìn)而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對(duì)應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購(gòu)買設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買20件易耗品和21件易耗品時(shí)總費(fèi)用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為；B型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為；C型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為；設(shè)該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過(guò)21件的概率為.（2）以題意知,X所有可能的取值為；；；由（1）知,,若該單位在購(gòu)買設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買了20件易耗品,設(shè)該單位一個(gè)月中購(gòu)買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,；；；；