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山東省煙臺市萊州一中2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象恒在軸的上方,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.2.復數(shù)().A. B. C. D.3.在正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點.若以為焦點,為準線的拋物線經(jīng)過,設球的半徑分別為,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù),則的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.20205.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.46.已知復數(shù)滿足,則的共軛復數(shù)是()A. B. C. D.7.在邊長為1的等邊三角形中,點E是中點,點F是中點,則()A. B. C. D.8.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.9.已知,,則等于().A. B. C. D.10.已知函數(shù).設,若對任意不相等的正數(shù),,恒有,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.11.在中,,分別為,的中點,為上的任一點,實數(shù),滿足,設、、、的面積分別為、、、,記(),則取到最大值時,的值為()A.-1 B.1 C. D.12.已知函數(shù),,的零點分別為,,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設、滿足約束條件,若的最小值是,則的值為__________.14.定義,已知,,若恰好有3個零點,則實數(shù)的取值范圍是________.15.若向量與向量垂直,則______.16.已知是同一球面上的四個點,其中平面,是正三角形,,則該球的表面積為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱,且.(1)解關(guān)于的不等式;(2)如果對,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知等差數(shù)列滿足,.(l)求等差數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.19.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列前項的和.20.(12分)在中,.(1)求的值;(2)點為邊上的動點(不與點重合),設,求的取值范圍.21.(12分)如圖所示,四棱柱中,底面為梯形,,,,,,.(1)求證:;(2)若平面平面,求二面角的余弦值.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,為等腰直角三角形,,平面底面,為的中點.(1)求證:平面;(2)若平面與平面的交線為,求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
函數(shù)的圖象恒在軸的上方,在上恒成立.即,即函數(shù)的圖象在直線上方,先求出兩者相切時的值,然后根據(jù)變化時,函數(shù)的變化趨勢,從而得的范圍.【詳解】由題在上恒成立.即,的圖象永遠在的上方,設與的切點,則,解得,易知越小,圖象越靠上,所以.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象,最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值,然后得出參數(shù)范圍.2、A【解析】試題分析:,故選A.【考點】復數(shù)運算【名師點睛】復數(shù)代數(shù)形式的四則運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式的乘法法則,除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化.3、D【解析】
由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設,兩球球心和公切點都在體對角線上,通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出,進而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義,點到點的距離與到直線的距離相等,其中點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設,兩個球心和兩球的切點均在體對角線上,兩個球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因為,因此,得,所以.故選:D【點睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)4、C【解析】
首先,根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式,根據(jù)所求函數(shù)的周期性,得到其周期為4,然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可.【詳解】解:.,,的周期為,,,,,..故選:C【點睛】本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識,掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.5、A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線,屬中檔題.6、B【解析】
根據(jù)復數(shù)的除法運算法則和共軛復數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由,得,所以.故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法的運算法則,考查了復數(shù)的共軛復數(shù)的定義,屬于基礎題.7、C【解析】
根據(jù)平面向量基本定理,用來表示,然后利用數(shù)量積公式,簡單計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:點E是中點,點F是中點,所以又所以則故選:C【點睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細心觀察,屬基礎題.8、A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項可知,只有正確.故選:A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.9、B【解析】
由已知條件利用誘導公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號,即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系,屬于基礎題.10、D【解析】
求解的導函數(shù),研究其單調(diào)性,對任意不相等的正數(shù),構(gòu)造新函數(shù),討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為,,當時,,故在單調(diào)遞減;不妨設,而,知在單調(diào)遞減,從而對任意、,恒有,即,,,令,則,原不等式等價于在單調(diào)遞減,即,從而,因為,所以實數(shù)a的取值范圍是故選:D.【點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題,根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題,屬于一般性題目.11、D【解析】
根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得到的距離等于△的邊上高的一半,從而得到,由此結(jié)合基本不等式求最值,得到當取到最大值時,為的中點,再由平行四邊形法則得出,根據(jù)平面向量基本定理可求得,從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示:因為是△的中位線,所以到的距離等于△的邊上高的一半,所以,由此可得,當且僅當時,即為的中點時,等號成立,所以,由平行四邊形法則可得,,將以上兩式相加可得,所以,又已知,根據(jù)平面向量基本定理可得,從而.故選:D【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,考查了平面向量基本定理的應用,考查了基本不等式求最值,屬于中檔題.12、C【解析】
轉(zhuǎn)化函數(shù),,的零點為與,,的交點,數(shù)形結(jié)合,即得解.【詳解】函數(shù),,的零點,即為與,,的交點,作出與,,的圖象,如圖所示,可知故選:C【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點,考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
畫出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點的坐標,由得,顯然直線過時,最小,代入求出的值即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,解得,則點.由得,顯然當直線過時,該直線軸上的截距最小,此時最小,,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合思想,是一道中檔題.14、【解析】
根據(jù)題意,分類討論求解,當時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無零點,不合題意;當時,令,得,令,得或,再分當,兩種情況討論求解.【詳解】由題意得:當時,在軸上方,且為增函數(shù),無零點,至多有兩個零點,不合題意;當時,令,得,令,得或,如圖所示:當時,即時,要有3個零點,則,解得;當時,即時,要有3個零點,則,令,,所以在是減函數(shù),又,要使,則須,所以.綜上:實數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點睛】本題主要考查二次函數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點問題,還考查了分類討論的思想和運算求解的能力,利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬于中檔題.15、0【解析】
直接根據(jù)向量垂直計算得到答案.【詳解】向量與向量垂直,則,故.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),意在考查學生的計算能力.16、【解析】
求得等邊三角形的外接圓半徑,利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑,進而求得外接球的表面積.【詳解】設是等邊三角形的外心,則球心在其正上方處.設,由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑,所以外接球的表面積為.故答案為:【點睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計算,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱可得的表達式,再去掉絕對值即可解不等式;(2)對,不等式成立等價于,去絕對值得不等式組,即可求得實數(shù)的取值范圍.試題解析:(1)∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱,∴,∴原不等式可化為,即或,解得不等式的解集為;(2)不等式可化為:,即,即,則只需,解得,的取值范圍是.18、(1);(2).【解析】試題分析:(1)設等差數(shù)列滿的首項為,公差為,代入兩等式可解。(2)由(1),代入得,所以通過裂項求和可求得。試題解析:(1)設等差數(shù)列的公差為,則由題意可得,解得.所以.(2)因為,所以.所以.19、(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通項公式;(2)求出,用裂項相消法求和.【詳解】解:(1)設等比數(shù)列的公比為又因為,所以解得(舍)或所以,即(2)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點睛】本題考查求等比數(shù)列的通項公式,考查裂項相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務必掌握.20、(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再由求解即可;(2)在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:(1)在中,,所以,所以(2)由(1)可知,所以,在中,因為,所以,因為,所以,所以.【點睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查正弦定理的應用.21、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點為,連接,,,,根據(jù)線段關(guān)系可證明為等邊三角形,即可得;由為等邊三角形,可得,從而由線面垂直判斷定理可證明平面,即可證明.(2)以為原點,,,為,,軸建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并求得平面和平面的法向量,即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:取中點為,連接,,,如下圖所示:因為,,,所以,故為等邊三角形,則.連接,因為,,所以為等邊三角形,則.又,所以平面.因為平面,所以.(2)由(1)知,因為平面平面,平面,所以平面,以為原點,,,為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,易求,則,,,,則,,.設平面的法向量,則即令,則,,故.設平面的法向量,則則令,則,,故,所以.由圖可知,二面角為鈍二面角角,所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定,由線面垂直判定線線垂直,由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小,屬于中檔題.22、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,易得,進而可證明四邊形為平行四邊形,即,從而可證明平面;(2)取中點,中點,連接,易證平面,平面,從而可知兩兩垂直,以點為坐標原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系,進而求出平面的法
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