2025屆高考數(shù)學一輪知能訓練第三章三角函數(shù)與解三角形第8講解三角形應用舉例含解析_第1頁
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文檔簡介

PAGE7-第8講解三角形應用舉例1.某人向正東方向走xkm后,順時針轉150°,然后朝新方向走3km,結果他離動身點恰好eq\r(3)km,則x=()A.eq\r(3)B.2eq\r(3)C.2eq\r(3)或eq\r(3)D.32.兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于akm,燈塔A在視察站C的北偏東20°的方向,燈塔B在視察站C的南偏東40°的方向,則燈塔A與燈塔B的距離為()A.a(chǎn)kmB.eq\r(2)akmC.2akmD.eq\r(3)akm3.(2024年河南中原名校質量測評)在△ABC中,a2+c2=b2+eq\r(2)ac,則eq\r(2)cosA+cosC的最大值是()A.1B.2C.3D.44.(2024年北京)如圖X3-8-1,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為()圖X3-8-1A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ5.(多選)在△ABC中,D在線段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-eq\f(\r(5),5),則()A.sin∠CDB=eq\f(3,10)B.△ABC的面積為8C.△ABC的周長為8+4eq\r(5)D.△ABC為鈍角三角形6.(2024年四川)如圖X3-8-2,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67°,30°,此時氣球的高是46m,則河流的寬度BC約等于________m.(用四舍五入法將結果精確到個位.參考數(shù)據(jù):sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,eq\r(3)≈1.73)圖X3-8-27.(2024年浙江)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點D在線段AC上,若∠BDC=45°,則BD=________,cos∠ABD=________.8.在△ABC中,邊AB的垂直平分線交邊AC于D,若C=eq\f(π,3),BC=8,BD=7,則△ABC的面積為________.9.(2024年新課標Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinA+eq\r(3)cosA=0,a=2eq\r(7),b=2.(1)求c;(2)設D為BC邊上一點,且AD⊥AC,求△ABD的面積.10.(2024年山東泰安模擬)如圖X3-8-3,A,B是海面上兩個固定觀測站,現(xiàn)位于B點南偏東45°且相距5eq\r(6)海里的D處有一艘輪船發(fā)出求救信號.此時在A處觀測到D位于其北偏東30°處,位于A北偏西30°且與A相距20eq\r(3)海里的C點的救援船馬上前往營救,其航行速度為30海里/時,該救援船到達D點須要多長時間?圖X3-8-3

11.(2024年湖南湘中名校高三聯(lián)考)設銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2bsinA.(1)求B的大??;(2)求cosA+sinC的取值范圍.12.(2024年天津)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B-\f(π,6))).(1)求角B的大小;(2)設a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.

第8講解三角形應用舉例1.C解析:如圖D140,在△ABC中,AC=eq\r(3)km,BC=3km,∠ABC=30°.由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC.∴3=x2+9-6x·cos30°.解得x=eq\r(3)或2eq\r(3).圖D1402.D解析:如圖D141,依題意,得∠ACB=120°.由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=a2+a2-2a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=3a2,∴AB=eq\r(3)akm.故選D.圖D1413.A解析:∵a2+c2=b2+eq\r(2)ac,∴cosB=eq\f(a2+c2-b2,2ac)=eq\f(\r(2),2).又0<B<π,∴B=eq\f(π,4).∴eq\r(2)cosA+cosC=eq\r(2)cosA+coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)-A))=eq\r(2)cosA-eq\f(\r(2),2)cosA+eq\f(\r(2),2)sinA=eq\f(\r(2),2)sinA+eq\f(\r(2),2)cosA=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,4))).∵0<A<eq\f(3π,4),∴eq\f(π,4)<A+eq\f(π,4)<π.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,4)))的最大值為1.故選A.4.B解析:視察圖象D142可知,當P為弧AB的中點時,陰影部分的面積S取最大值,圖D142此時∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為π×22×eq\f(2β,2π)+S△POB+S△POA=4β+eq\f(1,2)|OP||OB|sin(π-β)+eq\f(1,2)|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4sinβ.故選B.5.BCD6.60解析:依據(jù)已知的圖形可得AB=eq\f(46,sin67°).在△ABC中,∠BCA=30°,∠BAC=37°,由正弦定理,得eq\f(AB,sin30°)=eq\f(BC,sin37°).∴BC≈2×eq\f(46,0.92)×0.60=60(m).7.eq\f(12\r(2),5)eq\f(7\r(2),10)解析:由圖D143和正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)=eq\f(BD,sin∠BAC),而AB=4,∠ADB=eq\f(3π,4),AC=eq\r(AB2+BC2)=5,sin∠BAC=eq\f(BC,AC)=eq\f(3,5),cos∠BAC=eq\f(AB,AC)=eq\f(4,5),∴BD=eq\f(12\r(2),5).cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coseq\f(π,4)·cos∠BAC+sineq\f(π,4)sin∠BAC=eq\f(7\r(2),10).圖D1438.20eq\r(3)或24eq\r(3)解析:在△CDB中,設CD=t,由余弦定理,得49=64+t2-2×8t×cos60°,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.當t=3時,CA=10,三角形的面積S=eq\f(1,2)×10×8×sin60°=20eq\r(3);當t=5時,CA=12,三角形的面積S=eq\f(1,2)×12×8×sin60°=24eq\r(3).9.解:(1)由sinA+eq\r(3)cosA=0,得tanA=-eq\r(3).∴A=eq\f(2π,3).在△ABC中,由余弦定理,得28=4+c2-4ccoseq\f(2π,3),即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由題設,可得∠CAD=eq\f(π,2).∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=eq\f(π,6).∴eq\f(S△ABD,S△ACD)=eq\f(\f(1,2)AB·AD·sin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)=1.又△ABC的面積為eq\f(1,2)×4×2×sin∠BAC=2eq\r(3),∴△ABD的面積為eq\r(3).10.解:由題意可得BD=5eq\r(6),AC=20eq\r(3),∠ABD=45°,∠BAD=30°,∠CAD=60°.在△ABD中,由正弦定理可得eq\f(AD,sin∠ABD)=eq\f(BD,sin∠BAD),∴AD=eq\f(BD,sin∠BAD)·sin∠ABD=eq\f(5\r(6),sin30°)×sin45°=10eq\r(3).在△ACD中,由余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD=(20eq\r(3))2+(10eq\r(3))2-2×20eq\r(3)×10eq\r(3)×eq\f(1,2)=900.∴CD=30.又救援船的速度為30海里/時,∴救援船到達D點所需時間為1小時.11.解:(1)∵a=2bsinA,依據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA,∴sinB=eq\f(1,2),又△ABC為銳角三角形,∴B=eq\f(π,6).(2)∵B=eq\f(π,6),∴cosA+sinC=cosA+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π-\f(π,6)-A))=cosA+sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+A))=cosA+eq\f(1,2)cosA+eq\f(\r(3),2)sinA=eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3))).由△ABC為銳角三角形知,A+B>eq\f(π,2),∴eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2),∴eq\f(2π,3)<A+eq\f(π,3)<eq\f(5π,6),∴eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))<eq\f(\r(3),2),∴eq\f(\r(3),2)<eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))<eq\f(3,2).∴cosA+sinC的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),\f(3,2))).12.解:(1)在△ABC中,由正弦定理eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB),得bsinA=asinB,又由bsinA=acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B-\f(π,6))),得asinB=acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B-\f(π,6))),即sinB=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B-\f(π,6))),可得tanB=eq\r(3).又∵B∈(0,π),可得B=eq\f(π,3).(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=eq\f(π,3),有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=eq\r(7).由bsinA=acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs

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