2024年高考數(shù)學解答題專項訓練六（100題）附答案解析

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學解答題專項訓練(100題)附答案解析

1.已知/(%)=ax-Inx.

(1)求函數(shù)r(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意工€[1,+8),都有%./-(%)>a,求實數(shù)a的取值范圍.

2.已知函數(shù)/(%)為反比例函數(shù)，曲線g(x)=/(x)cosx4-b在x=*處的切線方程為y=-+

2.

(1)求g(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)F(x)=g(%)+1一/在區(qū)間(0,2TT]內(nèi)的零點的個數(shù)，并證明.

3.半圓O:x2+y2=l(y>0)的直徑的兩端點為力(一1,0),8(1,0)，點P在半圓。及直徑AB上

運動，若將點尸的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到點Q，記點Q的軌跡為曲線C.

(I)求曲線C的方程；

(2)若稱封閉曲線上任意兩點距離的最大值為該曲線的“直徑”，求曲線C的“直徑”.

4.己知函數(shù)/(x)=e*T+alr.x-1,aER.

(1)若x=l是r。)的極值點，求a的值及/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意工€[1,+8),不等式/(X)>0成立，求a的取值范圍.

5.已知函數(shù)/(x)=V3sinxcosx4-sin2x-.

(I)求/(%)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在△48C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,M為8c邊上一點，BM=3MC,

若/(力)=1,b=2,c=3,求AM.

6.已知函數(shù)/(%)=e"(x-2),g{x)=x-\nx.

(1)求函數(shù)y=/(%)+gQ)的最小值；

(2)設函數(shù)/i(x)=/(%)-ag(x)(aH0),討論函數(shù)h(x)的零點個數(shù).

7.某工廠預購買軟件服務，有如下兩種方案：

方案一：軟件服務公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務每次10元；

方案二：軟件服務公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務不超過15次，不另外收費，若

超過15次，超過部分的軟件服務每次收費標準為20元.

(英數(shù))

(I)設日收費為y元，每天軟件服務的次數(shù)為x,試寫出兩種方案中y與％的函數(shù)關(guān)系

式；

(2)該工廠對過去100天的軟件服務的次數(shù)進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計

數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說

明理由.

8.已知函數(shù)/(x)=|x-1|+|x+2|.

(1)求不等式/(%)<5的解集；

(2)若不等式/(r)>X2—ax+1的解集包含[-1,1],求實數(shù)a的取值范圍.

9.己知函數(shù)/(x)=皿+x(aWR).

(1)若函數(shù)/(X)的圖象在x=e2處的切線與y=x平行，求實數(shù)Q的值；

2

(2)設0<QW1，9(幻=#(%)-2x+(2a-l)x.求證：g(x)至多有一個零點.

10.已知/(%)=\x\+|x-2|.

(1)求/(x)的最小值；

(2)求不等式/(X)>1^1的解集.

11.某蔬菜批發(fā)商經(jīng)銷某種新鮮蔬菜(以下簡稱A蔬菜)，購入價為200元/袋，并以300元/袋的價

格售出，若前8小時內(nèi)所購進的4蔬菜沒有售完，則批發(fā)商將沒售完的A蔬菜以150元/袋的價格

低價處理完畢(根據(jù)經(jīng)驗，2小時內(nèi)完全能夠把A蔬菜低價處理完，且當天不再購進).該蔬菜批發(fā)

商根據(jù)往年的銷量，統(tǒng)計了100天4蔬菜在每天的前8小時內(nèi)的銷售量，制成如下頻數(shù)分布條形

圖.

(1)若某天該蔬菜批發(fā)商共購入6袋4蔬菜，有4袋，1蔬菜在前8小時內(nèi)分別被4名顧客購

買，剩下2袋在8小時后被另2名顧客購買.現(xiàn)從這6名顧客中隨機選2人進行服務回訪，則至少選

'I'1人是以15()元/袋的價格購買的概率是多少？

(2)以上述樣本數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù).

(i)若今年A蔬菜上市的100天內(nèi)，該蔬菜批發(fā)商堅持每天購進6袋A蔬菜，試估計該蔬菜

批發(fā)商經(jīng)銷A蔬菜的總盈利值：

(ii)若明年該蔬菜批發(fā)商每天購進4蔬菜的袋數(shù)相同，試幫其設計明年的A蔬菜的進貨方

案，使其所獲取的平均利潤最大.

12.已知函數(shù)/(x)=e2x-a,g(x)=ex-b,且/(%)與g(%)的圖象有一個斜率為1的公切

線(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(I)求b-a；

(2)設函數(shù)h(x)=/(x)-g{x)+,討論函數(shù)/i(x)的零點個數(shù).

13.冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和近重急性呼

吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未

在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣

促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有〃(/EN*)份血液樣本，有以下兩

種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗〃次.

方式二：混合檢驗，將其中k(k€N”且k22)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.

若檢驗結(jié)果為陰性，這人份的血液全為陰性，因而這女份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢

驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這&份血

液的檢驗次數(shù)總共為k+1.

假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是

陽性結(jié)果的概率為〃(0<p<l).現(xiàn)取其中％(kWN*且kN2)份血液樣本，記采用逐份檢

驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為。，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為芍.

(1)若="(七)，試求〃關(guān)于々的函數(shù)關(guān)系式p=f(k)；

(2)若〃與干擾素計量孫相關(guān)，其中勺，外，…，4(n>2)是不同的正實數(shù)，

1v2_2

滿足q=1且力i￡N*(九二2)都有?之2=津r§Y成立.

(力求證：數(shù)列{》"等比數(shù)列；

(")當P=1-泰時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢

驗的總次數(shù)的期望值更少，求a的最大值

14.已知函數(shù)/(x)=Inx-a(x—1).

(I)若函數(shù)/(r)的圖象與x軸相切,求實數(shù)〃的值：

(2)討論函數(shù)/(X)的零點個數(shù).

15.已知函數(shù)/(%)=2x,g(x)=丁+2ax.

(1)當a=-1時，求函數(shù)y=f(g(x))(-24％43)的值域.

(2)設函數(shù)九，若ab>0,且h(x)的最小值為*,求實數(shù)Q的取值

范圍.

22

16.已知函數(shù)/(x)=3+log2Af,x6[1,16],若函數(shù)^(x)=[/(x)]+2/(x).

(1)求函數(shù)g(x)的定義域；

(2)求函數(shù)9。)的最值.

17.已知函數(shù)g(<x)=ex-(a-l)^2-bx-l(a,bER),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若函數(shù)/(x)=g'(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)函數(shù)，試求Q的取值范圍；

(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上恰有3個零點，且g(l)=0,求a的取值范圍.

18.已知集合A={x\y=1)，集合8={x|—14x+Q{2}.

(1)求集合A；

(2)若,求實數(shù)a的取值范圍.

2

19.已知函數(shù)f(x)=a興+inx(QWR)的導函數(shù)為rw.

乙

(1)若曲線y=/(%)在％=1處的切線與直線x+3y4-1=0垂直，求Q的值；

⑵若八X)的兩個零點從小到大依次為X1,x2，證明：t\x2)>.

20.設橢圓常+4=l(Q>b>0)的右焦點為%,離心率為孝，過點尸】且與x軸垂直

的直線被橢圓截得的線段長為V2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若y2=4x上存在兩點M,N，橢圓C上存在兩個P.Q點滿足：M,N,&三點共線，

P,Q,Fi三點共線，且PQ1MN,求四邊形PMQN的面積的最小值.

21.已知函數(shù)fQ)=苧.

(I)若f(x)>a只有1個正整數(shù)解，求a的取值范圍；

2x

(2)①求證：方程/(x)=-2xe有唯一實根x0,且2xo+lnx()=0；

②求g(x)=/(%)+^^一a?”的最大值.

22.已知函數(shù)/(x)=|%-2|+\2x+m\,(mER).

(1)若m=4時，解不等式f(x)<6；

(2)若關(guān)于x的不等式/(X)<|2x-5|在xG[0,2]上有解，求實數(shù)m的取值范圍.

23.已知函數(shù)/(X)=21nx-.

(I)當m=1時，試判斷/(x)零點的個數(shù)；

(II)若x>1時，/(%)W0,求m的取值范圍.

24.已知困數(shù)

(I)若函數(shù)y=/(x)在x=x0(\n2<x0<ln3)處取得極值1,證明：2-焉VQ<3-焉

(2)若/(乃《第一去恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

25.已知函數(shù)/(X)=/nx4-i+1.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)當函數(shù)tg(x)=(%+l)lnx-a(x-1)有兩個極值點時，求實數(shù)a的取值范圍.

26.已知函數(shù)/(%)=Inx-.

人IJL

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(%)=mx-Q(昌)有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

人"lA

27.已知函數(shù)/(x)=—czlnx+x+42a.

(1)當a二4時，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

x2

(2)設g(x)=e+mx—6,當Q=，+2時，對任意X\6[2,+oo),存在x2W

2

[1,+°°)，使得/(%1)+2e>g(x2)，求實數(shù)m的取值范圍.

28.設函數(shù)/(%)=In(l+ax)+bx,g(x)=f(x)-bx2.

(1)若Q=1,b=-l,求函數(shù)r(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=g(x)在點(l,ln3)處的切線與直線llx-3y=0平行.

①求a,b的值；

②求實數(shù)k(k<3)的取值范圍，使得g(x)>k(x2-x)對xE(0,+a))恒成立.

29.中國北京世界園藝博覽會于2019年4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉行.組委會為方便

游客游園，特推出“導引員''服務."導引員”的日工資方案如下：

4方案：由三部分組成

(表一)

底薪150元

工作時間6元/小時

行走路程11元/公里

B方案：由兩部分組成：(1)根據(jù)工作時間20元/小時計費；(2)行走路程不超過4公里時，按

10元/公里計費；超過4公里時，超出部分按15元/公里計費.已知"導引員''每天上班8小時，由于

各種因素，"導引員''每天行走的路程是一個隨機變量.試運行期間，組委會對某天100名“導引員'’的

行走路程述行了統(tǒng)計，為了計算方便對口行走路程進行取整處理.例如行走L8公里按1公里計算，

行走5.7公里按5公里計算.如表所示：

(表二)

行走路程

(0,4](4,8](8,12](12,16](16,20]

(公里)

人數(shù)510154525

(I)分別寫出兩種方案的日工資y(單位：元)與日行走路程x(單位：公里)(xWN)的

函數(shù)關(guān)系

(II)①現(xiàn)按照分層抽樣的方工式從(4,8],(8,12]共抽取5人組成愛心服務隊，再從這5人

中抽取3人當小紅帽，求小紅帽中恰有1人來自(4,8]的概率；

②“導引員”小張因為身體原因每天只能行走12公里，如果僅從日工資的角度考慮，請你幫小張

選擇使用哪種方案會使他的日工資更高？

30.已知函數(shù)/(x)=x\nx+az+2?在點(1,/(1))處的切線為3%—y—2=0.

(I)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若k￡Z,且存在x>0,使得左>”由成立，求k的最小值.

x

31.已知函數(shù)/(x)=|x-2|-x-1,函數(shù)g(x)=-\x-3|-x+m-l.

(1)當/(x)>0時，求實數(shù)x的取值范圍；

(2)當y=g(x)與y=/(x)的圖象有公共點，求實數(shù)m的取值范圍.

32.若函數(shù)f(x)=ex-ae~x-mx(mGR)為奇函數(shù)，且x=&時f(x)有極小值/.

(1)求實數(shù)a的值；

(2)求實數(shù)m的取值范圍；

(3)若f(x0)>--恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

33.已知函數(shù)PO1.

(I)求函數(shù)f?)的單調(diào)區(qū)間：

(2)若/(%)40在xW(0,4-00)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

(3)在(2)的條件下(提示：可以用第(2)問的結(jié)論)，任意的0<a<b,證明：<1_

b-aa

1.

34.如圖，在AABC中，AB=x,BC=1,0是4c的中點，/B0C=45。，記點C至IJ

AB的距離為h(x).

⑴求h(x)的表達式；

(2)寫出x的取值范圍，并求/i(x)的最大值.

35.已知函數(shù)f(x)=a(|sinx+|cosx|)-sin2x-1,a￡R.

(i)寫出函數(shù)f(x)的最小正周期(不必寫出過程)；

(2)求函數(shù)f(x)的最大值；

(3)當a=l時，若函數(shù)fix)在區(qū)間(()，k7i)(k￡N*)上恰有2015個零點，求k的值.

36.已知函數(shù)/(%)=2cos5(V^cos5—sin*)?

(1)設?！闧0,兀],且f(⑨=百+1,求0的值；

(2)在aABC中，AB=1,f(C)=V5+1,且4ABC的面積為卓，求sinA+sinB的值.

37.已知入，|4為常數(shù)，且為正整數(shù)，*1,無窮數(shù)列｛即｝的各項均為正整數(shù)，其前n項和為Sn,對

任意的正整數(shù)n,Sn=Xan-g.記數(shù)列｛an｝中任意兩不同項的和構(gòu)成的集合為A.

(I)證明：無窮數(shù)列｛a“為等比數(shù)列，并求兀的值；

(2)若2015GA,求N的值；

(3)對任意的nWN*,記集合Bn=｛x|3p?2n1VxV3R?2n,x￡A｝中元素的個數(shù)為bn,求數(shù)列｛bn｝

的通項公式.

38.某生物探測器在水中逆流行進時，所消耗的能量為￡=。叮，其中v為行進時相對于水的速度，

T為行進時的時間(單位：h),c為常數(shù)，n為能量次級數(shù)，如果水的速度為4km/h,該生物探測器

在水中逆流行進200km.

(1)求T關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式；

(2)①當能量次級數(shù)為2時，求探測器消耗的最少能量；

②當能量次級數(shù)為3時，試確定v的大小，使該探測器消耗的能量最少.

39?數(shù)列｛/J中，Q】=l,，且駕?

11

")令/(n)=^；-(n-l)a/n6N^n-2)，將/⑺用幾表示，并求｛即｝通項公式；

⑵令7〃=城+廄+…+成，求證：Tn<g.

40.已知函數(shù)/(x)=2%-i-31nx.

(I)求函數(shù)y=/(x)在x=1處的切線方程；

(2)若y=/(%)在%%,%2(/工工2)處導數(shù)相等，證明：/Qi)+/(應)231n2.

(3)若對于任意kE(-co,2),直線y=kx+b與函數(shù)y=/(%)圖象都有唯一公共點，求實

數(shù)b的取值范圍.

41.已知函數(shù)f(x)=2V3sin2^+2sinxcosx—V3?(xER).

(1)求f/)的值；

(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及f(x)圖象的對稱軸方程.

42.已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx—ax,a是實數(shù).

(I)當Q<2時，求證：/(%)在定義域內(nèi)是增函數(shù):

(2)討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).

43.設函數(shù)g(x)=Inx4-aex.h(x)=axex,0<a<-,

e

(1)求g(x)在x=l處的切線的一般式方程；

(2)請判斷g(x)與/i(x)的圖像有幾個交點？

(3)設x0為函數(shù)g(x)-/i(x)的極值點，/為g(x')與h(x)的圖像一個交點的橫坐標，

且>項)，證明：3%0-x1>2.

44.設函數(shù)/(x)=ex-mx+n,曲線y=/(x)在點(ln2,/(ln2))處的切線方程為x-y-

21n2=0.

(I)求m,n的值；

(II)當x>0時，若k為整數(shù)，且無+1>(k-x)[/(x)+x+1],求k的最大值.

45.已知函數(shù)/(x)=\2x-2a\(aWR),對VxWR,f(x)滿足/(x)=/(2-x).

(I)求。的值：

(II)若mx€R,使不等式i/(x)-/(x+2)>7n2+7n,求實數(shù)m的取值范圍.

46.已知函數(shù)/(x)=\x-a\-2.

(I)若Q=1,解不等式f(x)+|2x-3|>0；

(2)關(guān)于x的不等式/-(xi>|x-3|有解，求實數(shù)Q的取值范圍.

47.已知函數(shù)/(%)=ex+x2-x,g(x)=x2+ax+b,a,beR.

(I)當Q=1時，求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線I與曲線y=g(x)切于點(l,c),求a,b,c的

值；

(HI)若/(%)2g(x)恒成立，求a+b的最大值.

48.已知函數(shù)/(X)的定義域為R且滿足/(-x)+/(X)=%2,當xZO時，f(x)<x.

(1)判斷/(%)在(-co,0]上的單調(diào)性并加以證明；

(2)若方程f(x)=x有實數(shù)根孫，則稱%0為函數(shù)f。)的一個不動點，設正數(shù)x0為函數(shù)

=xex4-a(l-ex)+x+1的一個不動點，且/(&)之/(I一%)+x。，求Q的取值范

圍.

49.已知函數(shù)/(x)=axe2~x-2(%-I)2,aER.

(1)當Q=—4時，討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當0<QV1時，求證：函數(shù)/(%)有兩個不相等的零點Xi,不，且勺+力>2.

SO.函數(shù)f(x)=|x+a|4-|x—2|.

(I)當Q=1時，求不等式/(x)<5的解集；

(2)若f(x)34,求Q的取值范圍.

51.已知函數(shù)/Q)=竽.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明對一切xG(0,4-00),都有mxv之一與成立.

ee入

52.已知函數(shù)/(X)滿足：/(X)=//(x)ex-1-/(0)x+1x2.

(I)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)=/(乃一,且當x>0時，(％-k)g，(x)+x+l>0,求整數(shù)k的最大值.

53.設函數(shù)/(x)=\x-a\-2\x+1|.

(1)當Q=1時，求不等式/(X)<0的解集；

(2)若/(X)的最大值為3,求a的值.

54.已知函數(shù)/(x)=ix3-^%2,g^=\-mx,m是實數(shù).

(【)若f(x)在x=1處取得極值，求m的值；

(II)若f(x)在區(qū)間(2,+8)為增函數(shù)，求m的取值范圍；

(III)在(II)的條件下，函數(shù)九。)=/(%)-9(%)有三個零點，求m的取值范圍.

ss.設函數(shù)§.

(I)解不等式f(x)>0；

2

(2)若3x0eR,使得/(x0)+2m<4m,求實數(shù)m的取值范圍.

56.已知函數(shù)/(x)=2^+p其中Q為實常數(shù).

(I)若/(0)=7,解關(guān)于x的方程f(x)=5；

(2)判斷函數(shù)/(X)的奇偶性，并說明理由.

57,設函數(shù)/(x)=2J

(1)當Q=-4時，解不筆式/(X)<5；

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間［2,+oo)上是增函數(shù)，求實數(shù)Q的取值范圍.

58.某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地AOB進行改建.如圖所示，平

行四邊形0MPN區(qū)域為停車場，其余部分建成綠地，點P在圍墻AB弧上，點M和點N分別

在道路0A和道路0B上，且。4=60米，乙AOB=60。，設乙POB=8.

（1）求停車場面積s關(guān)于e的函數(shù)關(guān)系式，并指出e的取值范圍；

（2）當0為何值時，停車場面積s最大，并求出最大值（精確到0.1平方米）.

59.一家污水處理廠有小B兩個相同的裝滿污水的處理池，通過去掉污物處理污水，A池用傳

統(tǒng)工藝成本低，每小時去掉池中剩余污物的10%,B池用創(chuàng)新工藝成本高，每小時去掉池中剩余污

物的19%.

（1）4池要用多長時間才能把污物的量減少一半；（精確到1小時）

（2）如果污物減少為原來的10%便符合環(huán)保規(guī)定，處理后的污水可以排入河流，若A、B兩池

同時工作，問經(jīng)過多少小時后把兩池水混合便符合環(huán)保規(guī)定.（精確到1小時）

60.已知函數(shù)/⑶=僅+梟+氏一名.

（I）求不等式/-（X）＜3的解集；

（2）若關(guān)于X的不等式/（X）＜梟1-°|的解集是空集，求實數(shù)Q的取值范圍.

61.已知函數(shù)/（x）=-10V3sinxcosx+10cos2x.

（1）求函數(shù)/（X）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)/（%）的圖像向右平移I個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖像，求使得＞0

的x的取值范圍.

62.已知函數(shù)/。）=2"-黃（口￡/?）將y=/（x）的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)y=9（%）

的圖象.

（1）求函數(shù)y=g。）的解析式；

（2）若方程在Xe[0,1]上有且僅有一個實根，求Q的取值范圍.

63.為了研究55歲左右的中國人睡眠質(zhì)量與心腦血管病是否有關(guān)聯(lián)，某機構(gòu)在適齡人群中隨機抽取

了100萬個樣本，調(diào)杳了他們每周是否至少三個晚上出現(xiàn)了三種失眠癥狀，A癥狀：入弗困難：

B癥狀；醒得太早；C癥狀；不能深度入睡或做夢，得到的調(diào)查數(shù)據(jù)如下:

數(shù)據(jù)1：出現(xiàn)4癥狀人數(shù)為8.5萬，出現(xiàn)B癥狀人數(shù)為9.3萬，出現(xiàn)C癥狀人數(shù)為6.5萬，其

中含AB癥狀同時出現(xiàn)1.8萬人，4c癥狀同時出現(xiàn)1萬人，癥狀同時出現(xiàn)2萬人，癥

狀同時出現(xiàn)0.5萬人;

數(shù)據(jù)2：同時有失眠癥狀和患心腦血管病的人數(shù)為5萬人，沒有失眠癥狀且無心腦血管病的人數(shù)

為73萬人.

(I)依據(jù)上述數(shù)據(jù)試分析55歲左右的中國人患有失眠癥的比例大約多少？

(II)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，并根據(jù)所填列聯(lián)表判斷能否有95%的把握說明失眠與心腦

血管病存在“強關(guān)聯(lián)”?

失眠不失眠合計

患心腦血管疾病

不患心腦血管疾病

合計

參考數(shù)據(jù)如下:

P(K2>k0)0.500.400.250.150.10

ko0.4550.7081.3232.0722.706

P(K2>ko)0.050.0250.0100.0050.001

ko3.8415.0246.6357.87910.828

2

參考公式.*2_"ad一―)

八一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

64.已知函數(shù)/(%)=(x+l)ln(x+1)-％(aCR).

(I)設/(x)為函數(shù)/-(%)的導函數(shù)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)/(X)在(0,+8)上有最大值，求實數(shù)Q的取值范圍.

65.已知函數(shù)/(X)=總.

(1)求fM的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-Q在愷』,'］上只有一個零點，求Q的取值范圍.

66.已知函數(shù)/(x)=(x2-x4-a)lnx(aGR).

(1)當a>0時，討論/(x)的零點情況;

(2)當a=1時，記尸(乃=f(%)—尹2—%在焉2)上的最小值為m,求證:5

2

1

~2'

67.已知函數(shù)/(x)=x2—a\nx—1,(aER).

(I)若函數(shù)/(%)有且只有一個零點，求實數(shù)Q的取值范圍；

(II)設g(x)=ex+x2-ex-f(x)-1,若g(x)>0,若函數(shù)對%e[1,+8)恒成立，求

實數(shù)Q的取值范圍.(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828-)

68.已知函數(shù)f(x)=(堂Q+b)sinx+a—V3b)cosx?且/(。)=-1?f(1)二1?

(1)求/(x)的解析式；

(2)已知g(x)=%2-2%+血一3,若對任意的打E[0,同，總存在x26[-2,m],使得

fQi)=g(%2)成立，求小的取值范圍?

69.已知函數(shù)/(x)=sin2x.

(1)求函數(shù)r(x)的最小正周期和最大值；

(2)若3滿足度)=|，求/(?+力的值

70.已知函數(shù)/(%)=sin(2x+5)+sin(2x-5)+2cos2x,xeR.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間芻上的最大值和最小值.

71.已知等比數(shù)列｛an｝(其中nEN”),前n項和記為Sn,滿足：S3=白，

log2an+i=-l+log2an.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛an?log2an｝(n￡ND的前n項和Tn.

72.已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=x(Inx-ax)有兩個極值點xi,X2(xi<X2).

(1)求a的取值范圍；

(2)證明：.

73.已知函數(shù)/(x)=Inx-x2+ax.

(I)當a=l時，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若f(x)<0恒成立，求Q的取值范圍；

(3)設函數(shù)f(x)的極值點為勺，當Q變化時，點(M，f(x0))構(gòu)成曲線M.證明:任意過

原點的直線y=kx,與曲線M均僅有一個公共點.

74.已知函數(shù)/(X)=6R),g(x)=e2x-2.

X

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)<^(x)在(0.+8)上成立，求a的取值范圍.

75.已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax+l(cz6R).

(i)討論f(x)在(l,+8)上的零點個數(shù)；

(2)當Q>1時，若存在X€(L+8),使/-(x)<(e-l)(a-3)，求實數(shù)Q的取值范圍.

(e為自然對數(shù)的底數(shù)，其值為2.71828……)

76.將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的1倍(縱坐標不變)，再將所得的圖象

向左平移I個單位長度后得到函數(shù)/(x)的圖象.

(1)寫出函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若對任意xG［一看,金］，/2(x)-m/(x)-l<0恒成立，求實數(shù)m的取值范

圍；

(3)求實數(shù)Q和正整數(shù)n,使得F(x)=/,(%)-a在［O,nn］上恰有2019個零點.

77.已知函數(shù)/(x)=Inx-a(x-l),,9(x)=ex,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當Q=1時，求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間：

(2)求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［l,e］上的值域；

(3)若Q>O,過原點分別作曲線y=f(%),y=g(x)的切線、辦，且兩切線的斜率互

為倒數(shù)，求證：［0,+8).

78.設n為正整數(shù),集合A={T/T=(tltt2,...tn),tk6{04},k=1,2,.對于集合A中的任

意元素X=(xltx2f-,xn)和y=81，力，…，％)，記d(x,y)=|［(|%1+yil4-|Xi-yj)+

(kz+yzl+\x2-y2\)+…+(1%+%l+|xn-yn|)］.

(I)當n=3時，若X=(1,1,0),Y=(0,1,1),求d(X,X)和d(X,K)的值；

(H)當n=4時，設8是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素X,y,當x,v相同

時，d(x,y)是偶數(shù)；當X,y不同時，d(x,y)是奇數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值：

79.已知函數(shù)/(X)=(1+x/3tanx)cos2x.

(I)若a是第二象限角，且sina=，求/(?)的值；

(II)求函數(shù)f(x)的定義域和值域.

80.已知函數(shù)f(x)=ex~a-ln(x+a)(a>0).

(1)證明；函數(shù)/(x)在(0,+8)上存在唯一的零點；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上的最小值為1,求Q的值.

81.已知函數(shù)f(x)=x\nx.

(1)已知函數(shù)/(x)在點(&,/(勺))處的切線與x軸平行，求切點的縱坐標.

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,|］上的最小值；

(3)證明：VtG(~1,0),3xE(0,1),使得/(x)=t.

82.已知函數(shù)f(x)=(m+l)x+Inx(mER).

(1)當m=l時，求曲線y=/(x)在(1J(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)r(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(3)若函數(shù)^(%)=ix+i-/(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且只有一個極值點，求?n的取值范圍.

83.對于由有限個自然數(shù)組成的集合A,定義集合S(A)=(a+b|aeA,beA),記集合S(A)的元

索個數(shù)為d(S(A)).定義變換T,變換T將集合A變換為集合T(A)=AUS(A).

(I)若A=｛0,I,2),求S(A),T(A)；

(2)若集合A有n個元素，證明："d(S(A))=2n-l”的充要條件是“集合A中的所有元素能組

成公差不為0的等差數(shù)列”；

(3)若A￡｛1,2,3,4,5,6,7,8｝且｛1,2,3,…，25,26)ST(T(A)),求元素個數(shù)最少

的集合A.

84.對于集合4=冊｝，B=｛匕］/2,…,8血｝,n6N\meA/*,A+B=［x+y\xE

AtyeB｝.集合A中的元素個數(shù)記為|川.規(guī)定：若集合A滿足|4+*=嗎由，則稱集合4

具有性質(zhì)T.

(1)已知集合=(iJg^-1^>2，B=｛另捐｝，寫出I—川，舊+印的

值；

(II)已知集合A=｛alfa2t-fan］,｛an］為等比數(shù)列，an>0,且公比為1,證明：A具

有性質(zhì)T；

(III)已知A,B均有性質(zhì)T,且九=機，求|4+8|的最小值.

85.已知函數(shù)/(x)=x2-(cz-2)x-alnx.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若方程/(x)=c有兩個不相等的實數(shù)根%i，x2,求證：f(土磔2)>o.

86.已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx4-cosx)—4.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(II)若f(a)=夠，Q€(.第，求cos2a的值.

87.已知函數(shù)f(x)=1-kx,且f(1)=3,

(1)求k的值；

(2)判斷函數(shù)的奇偶性；

(3)判斷函數(shù)f(x)在(1,+8)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?并證明你的結(jié)論。

88.設a,bER，已知函數(shù)f(K)=a\nx+x2+bx存在極大值.

(I)若Q=1,求b的取值范圍；

(II)求Q的最大值，使得對于b的一切可能值，/(x)的極大值恒小于0.

89.己知函數(shù)f(x)=logaX(a>0,且a#l),且f(2)=1

(I)求a的值，并與出函數(shù)f(x)的定義域；

(2)設g(x)=f(2-x)-f(2+x),判斷g(x)的奇偶性，并說明理由：

(3)若不等式f(19DNf(3x-i)對任意x￡[l,2]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。

90.已知拋物線C:x2=^y的焦點為F,直線y=kx+>0)與拋物線C交于不同的兩點

M,N.

(1)若拋物線C在點M和N處的切線互相垂直，求m的值；

(2)若m=2,求|MF|?|NF|的最小值.

91.己知函數(shù)/(%)=|2x-1|-a.

(1)當Q=1時，解不等式/(x)>x+l：

(2)若存在實數(shù)x,使得f(x)<|/(x+1)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

92.

(1)已知函數(shù);'(%)-普是(1,+8)上的增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)試比較兩數(shù)起與薨的大小，并證明你得出的結(jié)論.

ZV2323

IT

93.設函數(shù)/(x)=sincox+sin((ox—，xER.

(I)若3=2，求f(x)的最大值及相應的X的集合；

(H).若x=工是f(x)的一個零點，且0V3V10,求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

94.已知函數(shù)/(x)=ax+\nx(aGR).

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當a=-2時，若mNf(x)恒成立，求m的取值范圍.

95.已知/ICR,函數(shù)/(X)=Aex-xlnx(e=2.71828-是自然對數(shù)的底數(shù)).

(I)若/(I)=0,證明：曲線y=f(x)沒有經(jīng)過點的切線；

(II)若函數(shù)f(x)在其定義域上不單調(diào)，求A的取值范圍；

96.e是自然對數(shù)的底數(shù)，Q〉0,已知函數(shù)f(x)=x+^?xER.

(i)若函數(shù)f(x)有零點，求實數(shù)a的取值范圍；

711

(2)對于g(x)=靖，證明:當Q之?時，/(%)>號不之訓鬲?

97.設函數(shù)/(x)=|x+l|-2\x-1|.

(1)畫出y=/(%)的圖象；

(2)當xG(-oo,0］時，/(X)<ax+b，求a—b的最大值.

98.e是自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)/(x)=x(x-2)ex,xER.

(I)求函數(shù)y=/(幻的最小值；

(2)函數(shù)g(x)=f(x)-f(-a)在R上能否恰有兩個零點?證明你的結(jié)論.

99.某企業(yè)購買某種儀器，在儀器使用期間可能出現(xiàn)故障，需要請銷售儀器的企業(yè)派工程師進行維

修，因為考慮到人力、成本等多方面的原因，銷售儀器的企業(yè)提供以下購買儀器維修服務的條件：

在購買儀器時，可以直接購買儀器維修服務，維修一次1000元；在儀器使用期間，如果維修服務次

數(shù)不夠再次購買，則需要每次1500元..現(xiàn)需決策在購買儀器的同時購買幾次儀器維修服務，為此搜

集并整理了50()臺這種機器在使用期內(nèi)需要維修的次數(shù)，得到如下表格：

維修次數(shù)56789

頻數(shù)(臺)50100150100100

記X表示一臺儀器使用期內(nèi)維修的次數(shù)，y表示一臺儀器使用期內(nèi)維修所需要的費用，n表

示購買儀器的同時購買的維修服務的次數(shù).

(1)若幾=6,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)以這500臺儀器使用斯內(nèi)維修次數(shù)的頻率代替一臺儀器維修次數(shù)發(fā)生的概率，求64式48

的概率.

(3)假設購買這500臺儀器的同時每臺都購買7次維修服務，或每臺都購買8次維修服務，請分

別計算這500臺儀器在購買維修服務所需要費用的平均數(shù)，以此為決策依據(jù)，判斷購買7次還是8

次維修服務？

100.已知函數(shù)/(x)=(1—a)(x—1)—Inx+1,g(x)=xe1-x.

(1)求g(x)在區(qū)間(0,e］上的值域；

(2)是否存在實數(shù)a,對任意給定的xoe(O,e］,在［l,e］存在兩個不同的=1,2)使得

〃9)=9(%)，若存在，求出Q的范圍，若不存在，說出理由?

答案解析

1.【答案】(1)解：函數(shù)/(%)=ax-Inx的定義域為(0,+8),/'(%)=0_義=與1.

①當QW0時，對任意的x>0,/(x)<o，此時，函數(shù)y=/Q)的單調(diào)遞減區(qū)間為

(0,4-GO)；

②當Q>0時，令/(%)<0，得Ovx<(；令/(%)>0，得x>1.

此時，函數(shù)y=/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,6,單調(diào)遞增區(qū)間為?,+8)

(2)解：vx-/(X)>a,即a/一/nxZa，得ax2-a-xlnx>0,

Xx>1,不等式兩邊同時除以x,得ax-^—lnxN0,即。(工一3一InxZO.

易知g(l)=0,由題意可知9。)>g(l)對任意的x>1恒成立，g'(x)=葭+。.

X乙

①若a<0,則當x>1時，x-->0,lnx>0,此時g'(x)<0,

X

此忖，函數(shù)y=g。)在口,+8)上單調(diào)遞減，則g(x)Wg(l)，不合乎題意；

②若a>0,對于方程Q/一%+。=o.

⑴當d=1一4a24o時，即Q之，g\x)>0恒成立，

此時，函數(shù)y-tg(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，則有Q(X)>€g(l),合乎題意；

(ii)當d=1—4a2>o時，即0<Qv：時，

設方程ax2—x4-a=0的兩個不等實根分別為勺、犯，且犯V肛，

則xtx2=1,不+%2=：>0，所以，x2>xt>0,1=xxx2<%2?*,■x2>1.

當1VxV必時，9(X)<0；當%>不時，g(X)>。，???g(、2)V9(1)，不合乎題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是g+8)

【知識點】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【辭析】【分析】(1)求出函數(shù)y=f(x)的定義域和導數(shù)，對Q分QWO和a>0兩種情況，分

析/?在(0,+8)上的符號，可得出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)由x-/(X)>a,轉(zhuǎn)化為

a(x一1)一Inx>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=a(x--Inx,且有g(shù)(l)=0,問題轉(zhuǎn)化為g(x)>

g(l),對函數(shù)y=g(x)求導，分析函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性，結(jié)合不等式g(x)2g(l)求出實數(shù)

Q的取值范圍.

2.【答案】(