2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專題《導(dǎo)數(shù)解答題之零點(diǎn)問題八大題型》題型突破及解析

重難點(diǎn)專題11導(dǎo)數(shù)解答題之零點(diǎn)問題八大題型匯總

題型1一個零點(diǎn)問題...................................................1

題型2兩個零點(diǎn)問題...................................................2

題型3三個零點(diǎn)問題...................................................3

題型4判斷零點(diǎn)個數(shù)...................................................4

題型5最值函數(shù)的零點(diǎn)問題............................................5

題型6同構(gòu)法解零點(diǎn)問題...............................................6

題型7零點(diǎn)差問題.....................................................7

題型8割線法切線法與零點(diǎn)............................................8

題型1一個零點(diǎn)問題

【例題1】（2024秋?重慶?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

Ax）（A￡R）

（i）討論Hx）的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)烈力二武力’;在區(qū)間（工+8）上恰有一個零點(diǎn)，求珀勺取值范圍.

【變式1-111.（2023?河北保定?河北省唐縣第一中學(xué)?？级＃┘褐瘮?shù)

貝力二鏟+/*M其中常數(shù)3￡人已是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若"7,求犬了）的最小值：

⑵若函數(shù)式力二★力-&00】恰有一個零點(diǎn)，求a的值.

【變式『1]2.（2023秋?江西?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)

jfx）二式Inj）-ar（aG用.

（1）當(dāng)3二弓時(shí)，求曲線V二代外在點(diǎn)U,處的視線方程；

⑵若Hx）在（2/8）上僅一個零點(diǎn)，求日的取值范圍.

【變式1-1]3.（2023春?江西贛州-高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

=/-2aLnx-/*.

（1）當(dāng)己二7時(shí)，若真切的最小值為Z求實(shí)數(shù)8的值；

（2）若存在每￡上，炭|,使得函數(shù)H》）恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)》的取值范圍.

【變式（2023?河南開封?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)W"）二鏟一療.

(1)若函數(shù)Ax)的圖象與直線夕二X一1相切，求實(shí)數(shù)Z的值；

⑵若函數(shù)式力二Hx)-x+i有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

題型2兩個零點(diǎn)問題

【例題2](2023秋?全國-高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)A*)=

(a￡/).

(1)若Ax)W困0,+8)上恒成立，求a的取值范圍：

(2)設(shè)式力二七為函數(shù)用x)的兩個零點(diǎn)，證明：x.x,<1.

【變式2-1]1.(2023秋?湖南長沙-高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))證明下

面兩題：

(1)證明：當(dāng)時(shí)，L)/；

⑵當(dāng)°。時(shí)，證明函數(shù)x力二三有2個不同零點(diǎn).

【變式2-1]2.(2022秋?廣東東莞-高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)

力力二3鏟TnG+力+lna7.

(1)若3二7,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

⑵若函數(shù)fS)有且僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)后的取值范圍.

【變式2-113.(2023秋?貴州貴陽?高三貴陽一中校考開學(xué)考試)已知函數(shù)

/(J0-Inx-a>1,

(1)若函數(shù)N力在x二1處的切線的斜率為7-e,求實(shí)數(shù)a的值(e是自然對數(shù)的

底數(shù))；

(2)若函數(shù)X*)有且僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式2-114.(2023秋?安徽合肥?高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函

數(shù)?幻-ae'-j(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)犬工)的單調(diào)性；

⑵若用力二比'(X-D-In"f(x)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)d的取值范圍.

題型3三個零點(diǎn)問題

【例題3](2023春?重慶九龍坡-高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試)已知

/(x)二力ogjxl0月aHL.

(i)試討論函數(shù)Nx)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)7時(shí)，若H＞)有三個零點(diǎn)小，打

①求a的范圍;

②設(shè)，＜打＜打，求證：3『，+20+年〉2匕-[

【變式3-1]1.(2023春-重慶沙坪壩-高三重慶八中?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)

fW=a)flnx-Ina)-/，其中a)0.

(1)若求不等式fGJ2￡的解集；

⑵求證：匕w(2,+8),函數(shù)/Yi庸三個零點(diǎn)"￡，＜x7＜xJ,且"

"七成等比數(shù)列.

【變式3-1]2.(2023秋?重慶-高三重慶一中?？奸_學(xué)考試)設(shè)函數(shù)

Hi)-J-asiru,￥￡(?！üち襵)二--i-Zaxlru,且Hx)有唯一零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)證明：式力存在三個零點(diǎn)；

(3)記H*)的零點(diǎn)為p,半由最小的零點(diǎn)為q,證明：。/門,其中e是自然對

數(shù)的底數(shù).

【變式3-113.(2023?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)

*

找力二三一】nx_ln&7有三個零點(diǎn)

⑴求如勺取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)火力的三個零點(diǎn)由小到大依次是"匕.證明：配"訂＞e.

【變式3T】4.(2023?廣東深圳??？级?己知函數(shù)打'二三-Mm

(1)當(dāng)3二1時(shí)，求勺單調(diào)區(qū)間；

(2)①當(dāng)時(shí)，試證明函數(shù)^^恰有三個零點(diǎn)；

②記①中的三個零點(diǎn)分別為r，,丸，xi,且石＜刀＜七，試證明

M(l-xj〉匕

題型4判斷零點(diǎn)個數(shù)

【例題4](2022秋?廣東珠海?高三珠海市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

，

/(x)=7(1?a)x-InX^?W0)

(1)討論函數(shù)Wx)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a?1時(shí)，判斷函數(shù)式x)二(x7)lnx-"1-的零點(diǎn)個數(shù).

【變式4-1]1.(2023秋?廣東-高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知曲線C：

不力二siMx+ae*-x(3GR)

(1)若曲線C過點(diǎn)一刀，求曲線C在點(diǎn)P處的切線方程；

⑵當(dāng)戶7時(shí)，求真力在[°，子上的值域；

⑶若0W],討論虱X)二武力.去。5熱.d力的零點(diǎn)個數(shù).

【變式4-112.(2023?四川成都?校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)汽“二三.

(1)求X力的單調(diào)區(qū)間：

(2)設(shè)函數(shù)4力二Hx)-以求爪X)在|0,班|的零點(diǎn)個數(shù).

【變式4-113.(2023秋-黑龍江哈爾濱-高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？奸_學(xué)考試)

己知函數(shù)=其中dWE.

⑴討論函數(shù)C零點(diǎn)個數(shù)；

(2)求證：-W

【變式4T】4.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)

/(x)二三一?l)x+Inj

⑴當(dāng)a*時(shí),討論函數(shù)Hx)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)e二一1時(shí)，判斷函數(shù)式才二的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由.

題型5最值函數(shù)的零點(diǎn)問題

【例題5](2023?全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)力>>=GR)

g(i)-x-J.

(1)若直線y=g(x)與曲線y二力(%)相切，求a的值；

⑵用min｛爆加表示m,n中的最小值，討論函數(shù)方⑨=nin?力的零點(diǎn)個

數(shù).

【變式5-1]1.（2021秋?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)

fix）-Ini

（1）討論函數(shù)用，）二五6.。9WR）的單調(diào)性；

⑵①證明函數(shù)..二■=?為自然對數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間內(nèi)有唯一的零

點(diǎn)；

②設(shè)①中函數(shù)網(wǎng)力的賽點(diǎn)為此，記刀刀二?！?'“曰（其中min6,人表示a乂

中的較小值），若成力二〃彷￡川在區(qū)間（2+00）內(nèi)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

力，[”,（七），證明：x，+x,〉2也

【變式5-1]2.（2023?廣東-高三專題練習(xí)）已知函數(shù)？/二-ln1，

3

g（x）-x?aeF

（1）若函數(shù)gGJ存在極值點(diǎn)Xh且式X；）二g（x,），其中，聲得求證：x,+2xc=C；

⑵用nin&H表示m,n中的最小值，記函數(shù)方/二min&①，t（x）]（x>0）,

若函數(shù)萬（不有且僅有三個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式5-113.（2023?四川南充?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)

f（x）-xsinx>COSTt17arg（i）=

（1）當(dāng)d=6時(shí)，求函數(shù)f&J在%叫上的極值；

⑵用max益揖表示心篇中的最大值,記函數(shù)力⑴=maxAYx^gGZ7G）以討

論函數(shù)力在⑥+8）上的零點(diǎn)個數(shù).

【變式5-1]4.（2023?四川南充?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)?"）=三

烈工）二10其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)a力時(shí),求函數(shù)/（a的極值;

⑵用max｛珥力表示n,/中的最大值，記函數(shù)用力二maxtfl?,ajr）｝6r>0人當(dāng)

己是（時(shí)，討論函數(shù)A（力在（。/8]上的零點(diǎn)個數(shù).

題型6同構(gòu)法解零點(diǎn)問題

【例題6]（2022秋-重慶沙坪壩-高三重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1.己

知函數(shù)iW二況”Tn（"0+lna-g

（1）若Hx）在x=0處取得極值，求日的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）請?jiān)谙铝袃蓡栔羞x擇一問作答，答題前請標(biāo)好選擇.如果多寫按第一個計(jì)分.

①若Hx）2的成立，求日的取值范圍.

②若Hx）僅有兩個零點(diǎn)，求后的取值范圍.

【變式6-111.（2021秋?重慶渝中?高二重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知

函數(shù)0X）=-/（￥WR.

（1）選擇下列兩個條件之一：鏟=：；②^二人判斷乂力在區(qū)間0?叼是否存

在極小值點(diǎn)，并說明理由；

（2）已知酬24設(shè)函數(shù)式力二雙力?皿1110111）?若在區(qū)間9+8]上存在零點(diǎn)，

求實(shí)數(shù)笈的取值范圍.

【變式6-1]2.（2020秋?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

f（x）-&鏟TnG+力+Ina-J

（1）若3二，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)力,有且僅有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【變式6-1]3.（2021秋?重慶南岸-高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）

已知H0=xln"牙

⑴若函數(shù)僅力二以力打cosx-sin￥-xln”戰(zhàn)（“事上有i個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)&

的取值范圍.

⑵若關(guān)于，的方程尸/"二Hx）有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求日的取值范

圍.

【變式6-1】4.（2021春?江蘇-高三專題練習(xí)）己知函數(shù)"

（1）若函數(shù)V二Ax）在（〃口上單調(diào)遞減，求d的取值范圍；

（2）若函數(shù)V=手（1）在定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，求石的取值范圍.

題型7零點(diǎn)差問題

【例題7】（2023秋?河南-高三校聯(lián)考開學(xué)考試）H了）

有兩個零點(diǎn)口F乂幾(匕).

(1)3=0時(shí)，求加勺范圍；

⑵6=7且#=時(shí)，求證：x,<2>[7T4.

【變式7-1]1.(2023秋?河北衡水-高三?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)

/(x)-ln(x*J),*x)=HJT)+丸:其中aEj.

(1)求過點(diǎn)(-1，-八且與函數(shù)a%)的圖象相切的直線方程；

⑵①求證：當(dāng)儲。時(shí)，

②若函數(shù)俱X)有兩個不同的零點(diǎn)"七，求證：%一"“后寫T

【變式7-1】2.(2022?全國-高三專題練習(xí))設(shè)“6”.+而又為乙

(1)如果g3>二￡仆1-劣一1在^二2處取得最小值-￡求FGJ的解析式；

⑵如果加“<加加/￡〃人力力的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求萬和元的

值.

【變式7-113.(2023秋?河南?高三河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試)已知函

數(shù)f3)-1就-2x+7+In住+力能//

⑴求曲線C；y二f在點(diǎn)尸”,刀處的切線方程；

(2)求證：函數(shù)力力存在單調(diào)遞減區(qū)間乙,6」,并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度，二6-a

的取值范圍.

【變式7-1]4.(2023春?上海黃浦?高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知關(guān)于

X的函數(shù)夕二與力+b優(yōu)b￡⑼在區(qū)間D上恒有

f(x)h(x)N.

(1)若/(力二/*20“jr)h/+2r,D=(…，，⑴，求h(x)的表達(dá)式；

(2)若"x)=F7+1,h(i)=ki-ktD=(Q,+⑼,求k的取

值范圍；

(3)若

f(i)-x/-2tfg(x);&萬⑨二4(N-W6)?

D-|jan\U[-、反方，求證：門-mWC.

題型8割線法切線法與零點(diǎn)

【例題8]（2020?安徽合肥?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)二一（e為自

然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的零點(diǎn)孔，以及曲線/二在X二九處的切線方程；

⑵設(shè)方程燈/二次（用）”有兩個實(shí)數(shù)根丸，打,求證：同一方?《2-水1”）.

【變式8-111.（2020?湖北武漢?統(tǒng)考二模）己知函數(shù)Hx）=（L-x）lm"為

自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)汽1）的零點(diǎn)，以及曲線/二孔》）在其零點(diǎn)處的切線方程；

（2）若方程Hx）二M加土⑦有兩個實(shí)數(shù)根"求證：1肛一七|<…T.

【變式87】2.（2017?山西臨汾?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)=

（1）求曲線K=f㈤在原點(diǎn)處的切線方程;

（2）若打力一打+u2（恒成立，求實(shí)數(shù)日的取值范圍；

（3）若方程二m彷W另有兩個正實(shí)數(shù)根右廣，求證：萬/<"加".

[變式8-1]3.（2021秋?山東泰安?高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)

Hx）=（x-7）ln（"7）,曲線y^f{x}在點(diǎn)（Z。處的切線方程為

y=kx+b〈k,b￡R）.

（1）求兌方的值；

⑵證明：力力?kx+b；

（3）若函數(shù)用力二Hx）+成而GR）有兩個零點(diǎn)七，七，證明：?乃一町IW7-郡-4.

【變式8T】4.（2022?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)貝外二（了+】）（-一刀.

（1）求?x）在點(diǎn)（-，?-/））處的切線方程；

（2）若方程立力二峭兩個實(shí)數(shù)根土，毛，且?。ㄒ宰C明孫一孫巖+￡.

1.（2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？既＃┘褐瘮?shù)

真力-xsinx*cos"己耳云JT）-jin-

⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)Hx）在I-nJ穴1上的極值；

（2）用max的力表示血力中的最大值，記函數(shù)A（力二討論

函數(shù)加力在+8）上的零點(diǎn)個數(shù).

2.（2023-河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)Hx）=加2a.

⑴求曲線V=f（力在點(diǎn)"痛處的切線方程；

⑵討論函數(shù)用了）=IHx）-H--的零點(diǎn)個數(shù).

3.（2023?廣東揭陽??？级＃┮阎瘮?shù)五?二lnx-以

（1）討論火幻的單調(diào)性；

（2）若三，xj,（x：（七）是的兩個零點(diǎn).證明:

⑴孫?“片

、4

（ii）外一

4.（2021?山東濰坊?統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)=xlnx.

（1）求曲線V二f"）在點(diǎn)（夕2,川夕明處的切線方程；

（2）若關(guān)于5的方程力力~有兩個實(shí)根，設(shè)為無，毛（不《々），證明:

2

Xj-Xi<1+2a+e'.

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)二〃

（1）當(dāng)d=6時(shí)，求的最大值；

⑵若fW恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

6.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）己知函數(shù)=

（1）若?x）認(rèn)求a的取值范圍；

（2）證明：若W力有兩個零點(diǎn)七,元,則，打（7.

7.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)Nx）=ln（1fX）?d"-'

（1）當(dāng)3=7時(shí)，求曲線V二f（x）在點(diǎn)（。咒如處的切線方程;

⑵若★*）在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

8.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)二G

（1）討論力篦的單調(diào)性；

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：打刀只有一個零點(diǎn)

①:“與46)2a；

②。《己心bW2a

9.(2020?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知】＜aW2,函數(shù)Hx)=其中

e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)證明：函數(shù)V=f(力在0，+8)上有唯一零點(diǎn)；

(II)記x0為函數(shù)P二武力在自，+R)上的零點(diǎn)，證明：

(i)\a-1WxjW1八

(ii)xj(戶)孑I)e.

10.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)"幻二/"x+c,曲線/二7色1在點(diǎn)

(1f&)處的切線與y軸垂直.

(1)求b.

(2)若盾一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對值都不

大于1.

11.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)

(1)討論力力的單調(diào)性；

(2)若力力有三個零點(diǎn)，求/的取值范圍.

【答案】(1)詳見解析；(2)?一.

【分析】(1)fG)=3/-A,9分kW(和42C兩種情況討論即可；

(2)fGJ有三個零點(diǎn)，由(I)知且【f?〈。,解不等式組得到4的

范圍，再利用零點(diǎn)存在性定理加以說明即可.

12.(2019?江蘇?高考真題)設(shè)函數(shù)f3*二(x-a)(X-b)(X-c)t瓦"CER,

尸①為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;

(2)若aWb,b=c,且f(x)和f"’的零點(diǎn)均在集合中，求f(x)

的極小值；

(3)若a=0,0(bZc-J,且f(x)的極大值為M,求證:

參考答案與試題解析

重難點(diǎn)專題11導(dǎo)數(shù)解答題之零點(diǎn)問題八大題型匯總

題型1一個零點(diǎn)問題...................................................1

題型2兩個零點(diǎn)問題...................................................2

題型3三個零點(diǎn)問題...................................................2

題型4判斷零點(diǎn)個數(shù)...................................................3

題型5最值函數(shù)的零點(diǎn)問題............................................4

題型6同構(gòu)法解零點(diǎn)問題...............................................5

題型7零點(diǎn)差問題.....................................................6

題型8割線法切線法與零點(diǎn)............................................8

題型1一個零點(diǎn)問題

【例題1】(2024秋?重慶?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)

*x)-r￡R)

(1)討論Hi)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)烈力二武力在區(qū)間a+8)上恰有一個零點(diǎn)，求如勺取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

⑵a<-u

【分析】(1)討論參數(shù)a,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性；

(2)問題化為㈤鏟人在(，?8)上僅有一個解，構(gòu)造

雄但"Mnj-c利用導(dǎo)數(shù)研究其在E?8)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性判

斷區(qū)間零點(diǎn)個數(shù)，即可求參數(shù)范圍.

【詳解】(1)由，⑶二：?。二V,且xe(Q,+8),

當(dāng)a>19則f⑶M此時(shí)W力在S,.8)上遞增;

當(dāng)則°<刀<-%寸，，(公)0,即Hx)在e上遞增；

nV時(shí)，/（X）<6,即立尸）在上遞減；

綜上，a"Hx）在像，8）上遞增；

a”,Hx）在e一上遞增，在'吃?8）上遞減.

eJ

（2）由題設(shè)爪X）二alM-；*二二0在E+8）上僅有一個解，

所以"lrLr-e+鏟二碓（1，?8）卜僅有一個解，

令&W-5xlnx-e+巴則（x）-a（\x\x^l）ie.

當(dāng)a24時(shí)，/30。恒成立，此時(shí)@仆1遞增，旦e3b雄⑴二G,

所以@㈤二。在"*8］上無解.；

當(dāng)時(shí)，令二。6d二aln"e”,a,貝彼G）二三~,

令h（x）=a+xB”,則百/二G+"e”0,即力⑴遞增，則方力①二a+c,

i.當(dāng)?eW“C時(shí),h（x）〉G,即O'3Ms亙成立，即03二。‘如遞增，

所以6'⑴=e+aM,故?、龠f增，此時(shí)@.二。在（/，8）上無解;

ii.當(dāng)3<-e時(shí)，h⑴=a+e",片趨向正無窮時(shí)力.趨向正無窮，則

3xcE億，8/1使方二Q

億"上微"4即?31“。出遞減；

（力+8）上方/，。即。'⑴乂，?⑨遞增;

由。；Jr"<&x趨向正無窮時(shí)巾"，趨向正無窮，

所以。在（L尸/恒負(fù)，在（x>，8）上存在一個零點(diǎn)工，

故2上。G）=⑴《0,0①遞減；

，8）上。出）=遞增；

由于@夕）二。x趨向正無窮時(shí)/仆1趨向正無窮，

所以。W在2Xj上恒負(fù)，（玉，+8）上僅有一個零點(diǎn)，此時(shí)滿足題設(shè)；

綜上，a<-e.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，問題轉(zhuǎn)化為"】mr-e+鏟二。在。?8）上僅有一

個解，構(gòu)造中間函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn).

【變式1-111.（2023?河北保定?河北省唐縣第一中學(xué)校考二模）已知函數(shù)

Wx）二（,"為廣+廠:犯其中常數(shù)3G人已是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若”7,求*力的最小值;

⑵若函數(shù)式力二Kx）-&os】恰有一個零點(diǎn)，求a的值.

【答案】（1H

⑵kJ

【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得令"x）=f'（x）,然后分尸與尸>-：討

論，即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，由條件可得0是函數(shù)烈刀）的一個零點(diǎn)，構(gòu)造網(wǎng)力二g'（x）,分

3+a","a〉G以及""悶論，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）當(dāng)尸7時(shí)，犬力=（"為貝

f。工、

記用力-/（J）,則5（j）二

①當(dāng)尸W-J時(shí)，（"9e*W￡,2x-3W-?,可得f（幻”，可知函數(shù)犬》）在區(qū)

間58,上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，（"4QM,萬（x））0,可知函數(shù)用力單調(diào)遞增，又由灰。二C,

可知當(dāng)-3<x<，時(shí)，A（x）<0；

當(dāng)不乂時(shí)，用力乂，可知函數(shù)升工）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間'8）上

單調(diào)遞增，

由①②知函數(shù)汽力的減區(qū)間為（-8,仍，增區(qū)間為（0,+00］，故有

A^）am~-^（0二2；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)用力二武力一次osjf合有一個零點(diǎn)，

且烈。二。0是函數(shù)用》）的一個零點(diǎn)，又g'（x）二（"①。?2""2siru,

不妨設(shè)汽x）=g'（x）,函數(shù)定義域?yàn)榱?，貝?x）=（"4把"2+%。"，

當(dāng)x>-4時(shí)，x+4〉G,又u"0,2+2cosx26,

所以（"介er2d2cosx）給（-￡，8）1亙成立，

則函數(shù)在（-￡+8）上單調(diào)遞增，即函數(shù)g'（x）在L4,，8）上單調(diào)遞增，

又g（6=3+%

當(dāng)時(shí)，可得g'（?！埃业兑?8時(shí)，g'a）乂，

則存在Q￡（。*8）,使得g'（。）力,此時(shí)在（〃勿上，有屋（外”，

在（上，g'（外，0,故烈X）在上為減函數(shù)，在（aJ8］上為增函數(shù),

故當(dāng)不。）時(shí)，用X）＜式6=0,而刀一,8時(shí)，烈力一，8,

故式方在/8）上存在一個零點(diǎn)，

則此時(shí)函數(shù)式力至少存在兩個零點(diǎn)，乂因?yàn)?是函數(shù)式力的唯一零點(diǎn)，故不符合

題意；

當(dāng)時(shí)，可得g'（0乂，又g'（一分=-eT-8-"%ina0,

所以在區(qū)間（一名①上存在一點(diǎn)亂使得g'（6）M

故當(dāng)在（6,0上，有?⑶*,在（-46）上，有3"）“

故俱工）在（氏功上為增函數(shù)，在（-4,6）上為減函數(shù)，

故當(dāng)不￡（瓦。時(shí)，俱力而當(dāng)不一一8時(shí)，Hx）一/8,

故此時(shí)函數(shù)儀X）在（-8,仍上至少存在一個零點(diǎn)，

又因?yàn)?是函數(shù)以X）的唯一零點(diǎn)，故不符合題意；

當(dāng)二，時(shí)，即d二時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)用力取得最小值，

最小值爪0=R0-&os。=Q

當(dāng)尸H￡時(shí)，因?yàn)榱襃）符合題意.

綜上，滿足條件的&值為一：.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：知道函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，要求參數(shù)的取值范圍，需結(jié)合導(dǎo)致的

符號和函數(shù)的單調(diào)性來處理，分類討論時(shí)注意利用已有的確定零點(diǎn)來確定一段范

圍上的函數(shù)值的符號

【變式1T】2.（2023秋?江西?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)

Hx）=x（"Inx）-ax"（ae吊.

⑴當(dāng)3二弓時(shí)，求曲線y二f（x）在點(diǎn)（七汽力）處的立線方程；

（2）若H*）在+8）上僅一個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】⑴=0

⑵（。力.

【分析1（1）由a=6得到?x）=Gru,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解：

（2）將問題轉(zhuǎn)化為"Inx-"二。在（1/8）上僅有一個實(shí)數(shù)解，設(shè)

9jJ—.

a

烈x）-Inx-ax*a（x>2）,求導(dǎo)g⑶=；-~~f，分aW&3》,，0<a（J討

論求解.

【詳解】（1）解:當(dāng)己二C時(shí)，XJT）-Hru,所以五乃二。，即切點(diǎn)為（Z0

又則H力二Ini+1二7,

故曲線V二/'（力在?力力）處的切線方程為V-。二」（工一4，

（2）由題意知，方程X/lnjr）—-二6在"+8】上僅有一個實(shí)數(shù)解，

則方程J’Inz-四二〃t（J,，8）上僅有一個實(shí)數(shù)解.

設(shè)烈力-lnx-ax/a（j>2］,則g⑶二；打二一，

當(dāng)aW4時(shí)，g'Cr）>0,所以式x）在（，*8）上單調(diào)遞增，

又二ln】?"a=。所以O(shè)時(shí)［力乂,則式x）在（L+8］上沒有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，時(shí)，則g'（x）”，所以式力在"+8）上單調(diào)遞減，

又對力二。所以"力”，則d外在（L+8）上沒有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，PA當(dāng)X*（工3時(shí)，g'cr）》4當(dāng)X*8+8）時(shí)，廠⑶女,

所以式力在（Z=）上單調(diào)遞增，在?8）上單調(diào)遞減，

則g（3"g（7）=4所以式X）在（上口上無零點(diǎn).

設(shè)用工）二鏟-成工20）,則方'（>）=所以從工）〉卜助二1,

則u”凡所以

設(shè)火力0）,則&'（外二e”-2凡

令成工）=e*-2r（x>0）,貝加（x）=e*-2,

當(dāng)不￡（。1必，/（X）（0,

所以戚工）在（〃ln9上單調(diào)遞減，在（InZ，8）上單調(diào)遞增，

則減X）學(xué)“In歷=2一且02=1口,乂，即”（幻，6,

所以e3在（。/8）上單調(diào)遞增，

又雄（。二。所以&（力乂，則尸-1＞廣，所以怎一八三貝"■云?：,

又入（；"8）則g同―?比:，―（-鄉(xiāng)，卬,

又烈工）在G+8）上單調(diào)遞減，且g（：”q

所以虱力在尼，?8）上有且僅有一個零點(diǎn).

綜上可知，己的取值范圍為力.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：代力在"+8）上僅一個零點(diǎn)，即方程乂在

（，,8）上僅有一個實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)用了）二lnx-a"8aX）,求導(dǎo)

g（x）-；-J-分iW4,a10＜a＜1,討論函數(shù)的圖象在"+8）上與

X軸有唯一的交點(diǎn)而得解.

【變式1-1]3.（2023春?江西贛州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

Hx）=/-2Mnx一戒.

（1）當(dāng)時(shí),若0＞）的最小值為Z求實(shí)數(shù)》的值；

⑵若存在a三卜，a|,使得函數(shù)大外恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

【答案】⑴七二7

⑵卜』,4

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得式外的單調(diào)性，由此確定最值點(diǎn)，利用最小值可構(gòu)

造方程求得如勺值；

（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得?x）的單調(diào)性，結(jié)合"外僅有一個零點(diǎn)可構(gòu)造關(guān)于&妁勺方

程，采用分離變量的方式，將問題轉(zhuǎn)化為°二—有解；構(gòu)造函數(shù)

式司二手（。WaW＞」）,利用導(dǎo)數(shù)可求得用?的單調(diào)性和最值，由此可確定用團(tuán)

的取值范圍，從而得到結(jié)果.

【詳解】（1）當(dāng)己二7時(shí)，Hx）='-Nru-，，

:'Hx）的定義域?yàn)椋ǎ?8）,f'a）二a一二二與二半三，

?:當(dāng)不￡（。刀時(shí)，/（X）＜0.當(dāng)Xe（z+8）時(shí)，/（J）^0；

?:Hx）在（，力上單調(diào)遞減，在JJ8］上單調(diào)遞增，

二H,解得：b二-工

⑵當(dāng)a?［e川時(shí),f&）為Y=M佇"W

?:當(dāng)x￡（ay）時(shí)，/（X）（Q.當(dāng)4￡（北*8）時(shí)，，（外）4

?：代外在（。、團(tuán)上單調(diào)遞減，在（乃+8］上單調(diào)遞增；

?：?（x）BXB-f{yja）=a-2tHn?-/6二a-alna-t^L

若Hx）恰有一個零點(diǎn)，則?力.十二4

.：6二二要二號在ae［e,e4時(shí)有解，

設(shè)山）二弓GWaWe。則/（a）二上野二號，

,:當(dāng)3￡|e,e。時(shí)，g\a）＜6；當(dāng)時(shí)，g'（a），0；

?:g（亦4匕。7）上單調(diào)遞減，在炭|上單調(diào)遞增，

?:烈=￡（刁-^Jr-T,式力二1二max屈電水嘰

z\/-1&?//n/-lw,3

又水）二丁二，M功二-^二一3?:g（x）z=4

?：gU）e|-id?:實(shí)數(shù)上的取值范圍為|?％4

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)最值求解參數(shù)值、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)

個數(shù)的問題；根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求解參數(shù)范圍的基本思路是通過導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)

性，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)確定最值與零的大小關(guān)系，由此構(gòu)造方程或不等式來求解.

【變式1T】4.（2。23?河南開封?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)貝X）二1一”.

（1）若函數(shù)胃X）的圖象與直線夕二工一」相切，求實(shí)數(shù)的勺值；

⑵若函數(shù)用力二式力一］?［有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)&的取值范圍.

【答案】（1）今；

【分析】(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而列出關(guān)于

石的方程組，解之即可：

(2)由題意可得二。只有一個根，易知xH，，可轉(zhuǎn)化為v;與與

?“一■力

川力二寸的圖象只有一個交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)用力的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即

可求

【詳解】(1)設(shè)直線y=x一1與函數(shù)Hx)的圖象相切于點(diǎn)“乃匕)，

因?yàn)椋?x)=

e“。2"o=l①

夕.二孫一咫

Iy-,由②③可得二%一額，易知七聲，.

?%一。七?/9

由①得"五，代入④可得鏟"工.

gp2^-10--2,即(2-xo)e町二%-￡解得x°=2

x/fi*xo-2x0

故”WT.

(2)令式x)=Hx)-J+7=C,可得u“-4*-"[=C,

由題意可得e,-a/-"7二?只有一個根.

易知x二0不是方程二C的根，所以

所以由二“可得&二一^.

設(shè)/丫)二三；，則y二與與父工)二三；的圖象只有一個交點(diǎn).

當(dāng)x￡(-8,0時(shí),h⑶〉0,函數(shù)A(力單調(diào)遞增;

當(dāng)尸￡(。?時(shí)，A^x)<0,函數(shù)杈%)單調(diào)遞減；

當(dāng)?shù)丁?2,8)時(shí)，分(力乂，函數(shù)A(x)單調(diào)遞增.

設(shè)，(x)二鏟一"7,貝，(x)二17,

當(dāng)xE(-8,。時(shí)，八幻”，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x￡(。+8)時(shí)，/⑺乂，函數(shù)？(x)單調(diào)遞增.

所以fCr)2，(。二2

所以2）二手,4

又以？二二一，F(xiàn)—你t用力一+8,不一.8時(shí)，*力一’8,

畫出函數(shù)與工）的圖象如圖所示：

由圖可知，若夕二3與公力二手的圖象只有一個交點(diǎn)，

則0"嚀

所以實(shí)數(shù)如勺取值范圍是（°寧）.

題型2兩個零點(diǎn)問題

【例題2]（2023秋?全國-高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)Hx）=Nnx+町

（3―）.

⑴若Hx）W（在）8）上恒成立，求a的取值范圍：

（2）設(shè)烈外二r，,后為函數(shù)景外的兩個零點(diǎn)，證明：xMl.

【答案】⑴卜8,T

⑵證明見解析

【分析】（1）參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求解可得；

（2）將方程聚力入化為/?三^?戶4構(gòu)造函數(shù),*）二/-r-2,利用導(dǎo)數(shù)

討論其單調(diào)性，可知x：“<孫,構(gòu)造差函數(shù)可證.

_Tlu

【詳解】（1）若HDW7在,8）上恒成立，即aW-丁，

令“力——,所以U⑶----------k，

所以當(dāng)0<x<e時(shí)，u（x）<￡,當(dāng)邙寸，爐⑶乂，

所以認(rèn)X）在（。切上單調(diào)遞減，在（a/8）上單調(diào)遞增，

所以認(rèn)X）皿?⑹

.

所以即a的取值范圍是（?8.T.

（2）令用力二。即N^?^二，

令苗力二人手，，則/⑴必-修二吟二，

令Xx）=/*】nxr,所以r"）二3/1乂，所以《外在.8止單調(diào)遞增,

又X乃二Q所以當(dāng)?！埃〞r(shí)，Xx）〃，所以方'⑶

當(dāng)X”時(shí)，耳力乂，所以方7打乂,

所以用力在（。力上單調(diào)遞減，在（I,+8）上單調(diào)遞增.

不妨設(shè)心"，則0＜刀＜】＜以0＜7,＜2.

因?yàn)閰残。┒剑▽O）二G,

所以也一㈢"）-啕?叫-導(dǎo)軟，

=（，"?）-（"-/2n功

設(shè)函數(shù)0（*）"-＞癡（1〃），貝“⑶4TY二呼乂在（小8）上恒

成立，

所以03在QJ8）上單調(diào)遞增，

所以'⑷=%-3-0n36⑴=。,

所以A（%）-也）叫即“盯）〉》（9

又函數(shù)Mx）:三--1?￡在（〃7）上單調(diào)遞減，

所以"勺＜￡",所以

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于極值點(diǎn)偏移問題，本題難點(diǎn)主要在于構(gòu)造差函數(shù)

*盯）-?（3,然后利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，利用單調(diào)性可證.

【變式2-1】1.（2023秋?湖南長沙?高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）證明下

面兩題：

（1）證明：當(dāng)時(shí)，eJ>?；

（2）當(dāng)°2。時(shí)，證明函數(shù)七）二三3（lnxr）有2個不同零點(diǎn).

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）首先設(shè)函數(shù)式力二1一）,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)

的最小值，即可證明；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)'⑶=Ur）仁七），并且判斷函

數(shù)的單調(diào)性和最值，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可證明零點(diǎn)個數(shù).

【詳解】（1）令烈x）二鏟-V,其中則g'（x）=l-2,

令火力二『-2九則。

所以雄（力在JJ8］上單調(diào)遞增，所以

所以烈x）在（1,+8］上單調(diào)遞增，g（x）故當(dāng)時(shí)，

（2）函數(shù)代力的定義域?yàn)椋ā?8）,

住7）=孑。?

因?yàn)閍”。，三七）。,令，⑶乂，得。<工"，令"幻"，得d,

所以?x）在（。力上單調(diào)遞增，在*8］上單調(diào)遞減，

所以H*）有最大值二:?￡.

當(dāng)。時(shí)，真力乂，

令A(yù)（力二lnx-"Z則力'（X）=:，二U則嵐力在（。力上單調(diào)遞增,

在（1J8）上單調(diào)遞減，所以力/3二方⑺-6,所以*x）-Inx-x^JWC,

因此當(dāng)°1時(shí)，Ina-aj,Ha）二三七Qn"a）弓一戶打仁-力

因?yàn)樗詄"Z于是

又*力在（。力上單調(diào)遞增，W力乂，且°

所以H*）在（。為上有唯一零點(diǎn).

（如沁二士??-alna-j

由⑴因?yàn)榍遆,所以爐乂3,即方",

/（-）-A-alna-1＜a-alna-j

所以.7^

由Inx—x+JWl,得＜4即—Ina—：+7＜。，得a-血na_/（C,

于是也）＜。

又w力＞4:Mw力在a?8）上單調(diào)遞減,

所以Hx）在a,+8]上有唯一零點(diǎn).

故°時(shí)，代力有兩個零點(diǎn)

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，以及零點(diǎn)問題，第一問需求

二次導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明：第二問的難點(diǎn)是利用零點(diǎn)存在

性定理證明",需構(gòu)造函數(shù).

【變式2-1]2.（2022秋?廣東東莞-高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

f（x）-atJ-In（xH）?Ina-J.

（1）若d二，求函數(shù)，’力的單調(diào)區(qū)間及極值；

⑵若函數(shù)fGJ有且僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)砧勺取值范圍.

【答案】（D單調(diào)遞減區(qū)是為＜一1a,單調(diào)遞增區(qū)間為@+8）,極小值

f（o）=ot無極大值

⑵0d.

【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值.

（2）f（x）^0naerina=ln6r?力?/?=＞aex*ln（aejrJ-ln（jr*7^*6r+〃

構(gòu)造函數(shù)力〃，二r+lnl研究其單調(diào)性可得弟*二刀+2在.8/上有

兩個交點(diǎn)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究$自）二三（刀”一力的單調(diào)性進(jìn)而可得圖象即可求得

結(jié)果.

【詳解】⑴當(dāng)&二】時(shí),心力7,定義域?yàn)閞-z+8，,

則/⑷:鏟-9，

顯然在，7,上單調(diào)遞增，且f(Q)二Q,

所以當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)<Of/YiJ單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f(i)>Gy/Y#單

調(diào)遞增.

所以廣外的單調(diào)遞減區(qū)為單調(diào)遞增區(qū)間為⑥+8人

打刀在尸。處取得極小值打力二6,無極大值.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn)，即ffx)二C有兩個解，即無“+ln。二】+7

有兩個解，

所以無”=lnCx*I)+jr，7有兩個解，即

x1^ln(aex?-In(x^l)+”有兩個解，

設(shè)”“Flnl,則力'〃"］七，4所以方⑴在他+8)上單調(diào)遞增,

猶"="7(X>-J)有兩個解，即k三(X2一］)有兩個解.

令S(x)二三(x〉-l),則s⑴:一3,

當(dāng)XWf-工勿時(shí)，S(2)>Q,sG單調(diào)遞增；當(dāng)Xw(0,+8)時(shí)，s'⑴(0,

$(川單調(diào)遞減.

又因?yàn)?4S(O)=1,當(dāng)X趨近于正無窮時(shí)，sGJ趨近于零，

所以S「#圖象如圖所示，

-1OX

所以。<a".

【點(diǎn)睛】同構(gòu)法的方法點(diǎn)睛：

①乘積型，如比'Wbl址可以同構(gòu)成況'W(InB九:叱進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)二X1；

②比商型，如二W4可以同構(gòu)成三W±,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)力/二三；

③和差型，如1±dWb土1由，同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)f⑨二『土"或

f(x)=x±lnj

【變式2-1］3.(2023秋?貴州貴陽-高三貴陽一中?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)

-lnx-/ln^,a>1,

（1）若函數(shù)h力在x二1處的切線的斜率為7-e,求實(shí)數(shù)a的值（e是自然對數(shù)的

底數(shù)）；

（2）若函數(shù)Hx）有且僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴

（2）（Le*）

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得尸二e,兩邊取對數(shù)結(jié)合換元法得

m?力rw=7,構(gòu)造函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)研究單調(diào)性，從而求解即可；

（2）把問題轉(zhuǎn)化為Inx-/Ina=（有且僅有兩個大于1的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)

網(wǎng)力二xlru,利用函數(shù)單調(diào)性得，二兒即Ina二二，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性，從而求解參數(shù)的范圍.

【詳解】⑴因?yàn)?力:所以f'（x）=，/（lna）j

又f'（力二1--e,所以“所以ln[4na）z]=lne,

gplna^^,n（lnd）-2,令m二Inz,則用21rwi?=1,

又因?yàn)間fW=疥+列ru在（。+8]上單調(diào)遞增，旦gd）二L所以加二1,

所以In"，即a=e.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)Hx）有且僅有兩個零點(diǎn)，

所以Inx-囚二。有且僅有兩個大于o的實(shí)數(shù)根，

又力。&二111九則xyina=xlru,即jHndrlru,

令網(wǎng)x）=xlru,則r'（，）=Inx1,

由F'Cr）=0得尸=由個"）儡由得

所以汽X）在i°：）上單調(diào)遞減，在（J?8）上單調(diào)遞增，

又汽/二月（功力），內(nèi)為”'（力二4所以kr,貝

即1na=3,令認(rèn)*）=三,則0'（力=手，

由0'（x）=G得刀二e,由0'（x）”0得。（尸由0'（幻"得

所以函數(shù)ax）在上單調(diào)遞增，在（a?8）上單調(diào)遞減，稅口二：

當(dāng)X無限趨近于0且為正數(shù)時(shí)，口力無限趨向于負(fù)無窮大，

當(dāng)X無限趨向于正無窮大時(shí)，口力無限趨向于0,

所以。所以故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，司.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根

據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出

導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；

（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題軍價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的

交點(diǎn)問題

【變式2-1]4.（2023秋?安徽合肥?高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函

數(shù)二死是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若式力二無%x.。-ln*f（x）有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)d的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析

⑵0＜勺

【分析】（1）求得,但，對日進(jìn)行分類討論，由此求得Hx）的單調(diào)區(qū)間.

（2）原題意等價(jià)于a二；有兩個不同的實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)

的單調(diào)性和極值，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)镠x）二兆,-1，所以f（x）=

當(dāng)aW4時(shí)，，⑶（0,所以Hx）在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令Fer）20得x2-1na；令"得x＜一】n&

所以Hx）在（-8,-In卻上單調(diào)遞減，在（-Ina+8）上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)aW（時(shí)，HXMER上單調(diào)遞減，無增區(qū)間；當(dāng)3”。時(shí)，真》）在（?8,-Ind）

上單調(diào)遞減，在Lina，8）上單調(diào)遞增.

（2）由題意式力二況生*-。Tnjr，f（jr）-axe1-Inx-1-weJ-IntieOU>0]

有兩個零點(diǎn)，

令公則，=（"x）d乂在，8）上恒成立，所以xxe“在，8）

上單調(diào)遞增，

故”0,所以用x）二*”一3（此為兩個零點(diǎn)等價(jià)于7（。-Lin用兩個零點(diǎn),

ini工/]_mi

等價(jià)于8二二有兩個不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于y:&與力有兩個交點(diǎn),

則力⑴二一，方'⑴）0得。（t<七夕⑴<0得于e,

所以方〃）二二在（。。）上單調(diào)遞增,在（a*50）上單調(diào)遞減，又方色，二?三,

h⑴二0,

當(dāng)t趨向于0且為正時(shí)，趨向于負(fù)無窮大，當(dāng)I趨向于正無窮大時(shí)，h《擔(dān)

向于0,如圖：

由圖可知，要使y二5與方〃）二%兩個交點(diǎn)，則

所以實(shí)數(shù)石的取值范圍為°<&<：

題型3三個零點(diǎn)問題

【例題3]（2023春?重慶九龍坡-高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）已知

扎1）二力ogJH-upG）0且aH1/,

（1）試討論函數(shù)Hx）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)all時(shí)，若真刀）有三個零點(diǎn)與，打九

①求石的范圍；

②設(shè)與（必5,求證：3二+2力十月>%T.

【答案】（1）答案見解析

⑵①】②證明見解析

【分析】（1）去絕對值符號，